7.2 - Lei dos Grandes Números

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A lei dos grandes números foi primeiramente provada pelo matemático James Bernoulli na quarta parte de seu livro Ars Conjectandi publicado em 1713. Como acontece na maioria dos casos, a prova dada por Bernoulli é muito mais difícil do que a realizada com a desigualdade de Chebyshev. Chebyshev desenvolveu sua desigualdade (uma generalização da desigualdade de Markov) para demonstrar uma forma mais geral da Lei dos Grandes Números.   

A lei dos grandes números é uma das principais leis assintóticas da estatística, sua ideia é bastante intuitiva, mas de grande importância. Antes de enunciarmos esta lei, vamos tentar analisar a ideia intuitiva dela.

Por exemplo, seja X uma variável aleatória que representa o lançamento de uma moeda honesta, no qual $ X(cara)=1 $ e $ X(coroa)=0. $ Se lançarmos essa moeda n vezes então temos que a média aritmética dos valores observados tendem a 1/2, ou seja, tendem a $ \mathbb{E}[X]. $ A lei dos grandes números nos diz que a média aritmética dos valores observados tendem a esperança da variável aleatória.

Um outro exemplo, é quando lançamos um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. A probabilidade de obtermos o número 4 é de $ \dfrac{1}{6}=0,16666\dots, $ pois os eventos são equiprováveis. Vamos simular os resultados no computador da seguinte forma. Primeiramente lançamos os dados 100 vezes e anotamos quantas vezes a face 4 aparece nos resultados e por fim calculamos a proporção de vezes que a face 4 aparece. Repetimos isto para 1000 e 10000 lançamentos. Assim, obtemos os seguintes resultados:

Lançamentos Face do dado igual a 4 Proporção de face igual a 4 
100 11 0,11
1000 159 0,159
10000 1660 0,166

Observe que quanto maior o número de lançamentos do dado, mais o resultado experimental se aproxima da probabilidade esperada.

 

 

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