8.1 - Integral de Lebesgue

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Seja $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $X$ uma variável aleatória definida sobre $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Neste módulo, vamos definir a esperança da variável aleatória $X$, ou integral de Lebesgue de $X$. Na seção esperança de variáveis aelatórias, introduzimos as variáveis aleatórias simples na forma $$X(\omega) = \sum_{i=1}^n x_i 1\!\!1_{A_i}(\omega), \quad \omega \in \Omega,$$ nos quais $\{x_i\}$ são números reais distintos e $\{A_i\} \subset \mathcal{F}$ uma partição finita de $\Omega$. Desta forma, definimos a esperança ou integral da variável aleatória simples $X$, por $$\mathbb{E} [X]=\sum_{i=1}^n x_i \mathbb{P}(A_i).$$ Aqui, utilizaremos a notação $$\mathbb{E}[X],~~ \int X(\omega)d\mathbb{P}(\omega),~~\int Xd\mathbb{P},~~\text{ou simplesmente quando não houver confusão } \int Xd\mathbb{P}.$$ 

O funcional $\mathbb{E}$ toma elementos no espaço das variáveis aleatórias simples $X \in \mathfrak{E}$ e os transforma em números reais $\mathbb{E}(X)$. Desta forma, dizemos que $\mathbb{E}: \mathfrak{E} \rightarrow \mathbb{R}$ é um funcional. Dizemos que um funcional $\mathbb{G}:\mathfrak{E}\rightarrow \mathbb{R}$ é positivo se $\mathbb{G}(X)\geq 0$ sempre que $X\geq 0$. Na sequência, derivamos algumas propriedades do funcional esperança.  

Proposição 8.2.1:

A esperança $\mathbb{E}:\mathfrak{E} \rightarrow \mathbb{R}$ é  único funcional linear positivo contínuo tal que  $E[1\!\!1_A]=\mathbb{P}(A)$. Além disso, o funcional $\mathbb{E}$ apresenta a propriedade de continuidade monótona, ou seja, se $X_n\uparrow X$ em $\mathfrak{E}$, então $E[X_n]\uparrow E[X]$ (respectivamente, $\downarrow$).

Reciprocamente, se  $\mathbb{E}$ é um funcional linear positivo sobre $\mathfrak{E}$ tal que $E[1\!\!1_{\Omega}]=1$ e se $X_n\downarrow 0$ em $\mathfrak{E}$ então $E[X_n]\downarrow 0$, então $\mathbb{E}$ é a esperança associada com a probabilidade $\mathbb{P}$ definida por $\mathbb{P}(A)=E[1\!\!1_{A}]$ ($A\in \mathcal{F}$).

Demonstração:

Pela definição da esperança, temos que 

(1) $\mathbb{E}[1\!\!1_A]=P(A)$ e $\mathbb{E}[1\!\!1_\Omega]=1$;

(2) $\mathbb{E}(X) \geq 0$ sempre que $X \geq 0$;

(3) $\mathbb{E}(cX)=c\mathbb{E}(X)$ para todo real $c$. Além disso, temos que o funcional $\mathbb{E}$ é linear, pois $$\mathbb{E}(X+Y)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^m (x_i + y_j) \mathbb{P}(A_i \cap B_j)=\sum_{i=1}^n x_i \mathbb{P}(A_i)+\sum_{j=1}^m y_j \mathbb{P}(B_j)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y),$$ nos quais $X,Y\in \mathfrak{E}$. Na sequência, vamos mostrar que a esperança tem a propriedade de continuidade monótona.

Seja $\{X_n\}$ uma sequência decrescente de variáveis aleatórias simples que converge para zero. Considere $k$ o maior valor que $X_1$ assume. Assim, como a sequência $\{X_n\}$ é decrescente obtemos que $0\leq X_n\leq k 1\!\!1_{\{X_n\textgreater \epsilon\}}+\epsilon$, com $\epsilon\textgreater 0$. Como consequência, a esperança de $X_n$ satisfaz  $$0\leq \mathbb{E}[X_n]\leq k \mathbb{P}({X_n\textgreater \epsilon})+\epsilon$$

Como a sequência $\{X_n\}$ decresce para zero, temos que $\{X_n\textgreater \epsilon\}\downarrow \emptyset$. Assim, obtemos que $$\lim\mathbb{P}({X_n\textgreater \epsilon})+\epsilon=\epsilon$$

o que implica que $$0\leq \lim E[X_n]\leq \epsilon$$

como $\epsilon$ é arbitrário temos que $$\lim E[X_n]=0$$

Logo se $X_n\downarrow X$, então $E[X_n]\downarrow E[X]$.

Pois se $X_n\downarrow X\Rightarrow X_n-X\downarrow \emptyset$. Logo $$\lim E[X_n-X]=0\Rightarrow \lim E[X_n]-E[X]=0\Rightarrow \lim E[X_n]=E[X]$$

Da mesma forma temos que se $X_n\uparrow X$, então $-X_n+X\downarrow \emptyset$ o que implica que  $E[X_n]\uparrow E[X]$.

Para a reciproca basta mostramos que $\mathbb{P}(A)= \mathbb{E}[1\!\!1_{A}]$ define uma probabilidade na $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$. Desde que $\mathbb{E}$ é um funcional linear postivo, temos que  $\mathbb{P} (A)= \mathbb{E}[1\!\!1_{A}]$ define uma função de conjunto finitamente aditiva. Agora, a propriedade de continuidade monótona nos permite deduzir que $\mathbb{P}$ é contínua no vazio. Portanto, concluímos que $\mathbb{P}$ é uma probabilidade e, segue a proposição.

Mostramos anteriormente que qualquer variável aleatória positiva pode ser aproximada por uma sequência de variáveis aleatórias simples. Assim, podemos estender a nossa definição de esperança para toda variável aleatória positiva. 

Teorema 8.2.1:

Seja $X$ uma variável aleatória positiva e $\{X_n\}$ uma sequência de variáveis aleatórias simples que converge pontualmente para $X$. Desta forma, definimos $$\mathbb{E}[X]=\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}[X_n].$$ Além disso, a esperança satisfaz as seguintes propriedades:

(a) $0 \leq \mathbb{E}[X] \leq \infty$, para toda variável aleatória positiva $X$;

(b) $\mathbb{E} [cX]=c\mathbb{E}[X]$ para todo variável aleatória positiva $X$ e constante real $c \geq 0$. Além disso, se $X,Y$ são variáveis aleatórias positivas, temos que $\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$;

(c) Se $X\leq Y$ são variáveis aleatórias positivas, temos que $\mathbb{E}[X] \leq \mathbb{E}[Y]$;

(d) Dado $\{X_n\}$ uma sequência crescente de variáveis aleatórias positivas, então temos que $\mathbb{E}[\lim_{n\rightarrow \infty} X_n]=\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}[X_n]$.

Demonstração: Inicialmente, vamos mostrar que a definição de esperança está bem definida. Neste caso, precisamos mostrar que a definição da esperança é independente da sequência de variáveis aleatórias simples. Sejam $\{X_n\}$ e $\{Y_n\}$ duas sequências crescentes de variáveis aleatórias simples, vamos mostrar que se $\lim_mX_m\leq \lim_n Y_n$, então temos que $\lim_m \mathbb{E}[X_m] \leq \lim_n \mathbb{E}[Y_n].$ Como as sequência são monótonas, temos que $$\lim_n \inf(X_m , Y_n)=X_m\quad m \geq 1,$$ em $\mathfrak{E}$. Assim, como $\mathbb{E}$ é um funcional linear positivo com a propriedade de continuidade monótona em $\mathfrak{E}$, temos que $$\lim_n \mathbb{E}[Y_n]\geq\lim_n \mathbb{E}[\inf(X_m,Y_n)]=\mathbb{E}[X_m], \quad m\geq 1.$$ Assim, ao tomarmos o limite quando $m \rightarrow \infty$, concluímos que  $\lim_m \mathbb{E}[X_m] \leq \lim_n \mathbb{E}[Y_n].$ 

Como consequência, temos que se $X=\lim_n X_n$ a expressão $\lim_n \mathbb{E}[X_n]$ depende somente de $X$ e não da sequência de variáveis aleatórias simples $\{X_n\}$. Como consequência obtemos os itens (a) e (c). Para provarmos o item (b), basta observarmos que se $X=\lim_n X_n$ e $Y=\lim_n Y_n$ temos que $cX=c\lim_nX_n$ e $X+Y=\lim_n(X_n+Y_n)$. Na sequência, aplicamos a definição de esperança de ma variável aleatória positiva.

Para provar (d), tomamos $X_n=\lim_mY_{m,n}$ no qual $\{Y_{m,n}:m\geq 1\}$ é uma sequência de variáveis aleatórias simples para todo $n\geq 1$. Ao denotarmos por $Z_m=\sup_{n\leq m}Y_{m,n} \in \mathfrak{E}$ para todo $m\geq 1$, obtemos que $Y_{m,n}\leq Z_m\leq X_m$ e, obviamente, $\mathbb{E}[Y_{m,n}]\leq \mathbb{E}[Z_m]\leq \mathbb{E}[X_m]$ para todo $m\geq n$. Além disso, sabemos que $Z_m\leq Z_{m+1}$ o que implica que $\mathbb{E}[Z_m]\leq \mathbb{E}[Z_{m+1}]$. Desta forma, ao tomarmos o limite, concluímos que $$\lim_m X_m=\lim_m Z_m\quad \text{então}\quad \lim_m\mathbb{E}[X_m]=\lim_m \mathbb{E}[Z_m]=\mathbb{E}\left[\lim_m Z_m\right].$$ Com isso, obtemos o teorema.

Com a proposição acima, definimos esperança para qualquer variável aleatória positiva, mesmo que a esperança seja $\infty$. Agora, se $X$ é uma variável aleatória qualquer, sabemos que $X=X^+-X^-$ e $\mid X\mid=X^++X^-$, nos quais $X^+=\sup(X,0)$ e $X^-=-\inf (X,0)$. Assim, dizemos que a variável aleatória $X$ é integrável se $\mathbb{E}[X^+]\textless \infty$ e $\mathbb{E}[X^-]\textless \infty$, em particular, isto é válido para toda variável aleatória limitada. Para toda variável aleatória $X$ integrável, definimos $\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[X^+]-\mathbb{E}[X^-]$. Assim, obtemos uma extensão da esperança para todas variáveis aleatórias que são integráveis, que é linear, positiva e satisfaz a propriedade de continuidade monótona (ver teorema 8.2.2). A definição de esperança pode ser ampliada para a classe de variáveis aleatórias quase integráveis. Uma variável aleatória $X$ é denominada quase integrável se pelo menos um dos membros $\mathbb{E}[X^+]$ ou $\mathbb{E}[X^-]$ for finito. Neste caso, definimos $\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[X^+]-\mathbb{E}[X^-]$.

Teorema 8.2.2 (Esperança de uma variável Aleatória):

Dado $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ um espaço de probabilidade, a esperança $\mathbb{E}$ definida sobre o espaço de todas as variáveis aleatórias quase integráveis satisfaz as seguinte propriedades:

(a) Temos que $-\infty \leq \mathbb{E}[X] \leq \infty$ para toda variável aleatória quase integrável $X$. A esperança é finita se, e só se, a variável aleatória for integrável. Além disso, se $X\geq 0$, então obtemos que $\mathbb{E}[X]\geq 0$;

(b) Temos que $\mathbb{E}[cX]=c\mathbb{E}[X]$ para toda constante finita $c$. Além disso, temos que $\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$, se $X^+$ e $Y^+$ (ou, $X^-$ e $Y^-$) são integráveis;

(c) Se $X \leq Y$, então $\mathbb{E}[X]\leq \mathbb{E}[Y]$;

(d) Convergência monótona: Se $X_n \uparrow X$, então $\mathbb{E}[X_n]\uparrow \mathbb{E}[X]$, caso $X^-_n$ seja integrável para pelo menos um $n$. Da mesma forma, se $X_n \downarrow X$, então $\mathbb{E}[X_n]\downarrow \mathbb{E}[X]$, caso $X^+_n$ seja integrável para pelo menos um $n$.

Demonstração: A propriedade (a) segue diretamente da definição de esperança. A propriedade (b) é consequência do fato de que $X+Y=(X^++Y^+)-(X^-+Y^-)$ e das hipóteses do item (b). A propriedade (c) também é consequência direta da definição de esperança. 

Na sequência, vamos mostrar a propriedade (d). Considere $\{X_n\}$ uma sequência crescente de variáveis aleatórias tal que $X^{-}_{n_0}$ seja integrável para algum inteiro fixo $n_0$ e $X=\lim_n X_n$. Então, temos que $X^{-}_{n}\leq X^{-}_{n_0}$ para todo $n \geq n_0$ (exercício). Assim, concluímos que $X^-\leq X^{-}_{n_0}$ e, como consequência, as variáveis aleatórias $X^{-}_n$ para $n\geq n_0$ e $X$ são quase integráveis. Além disso, temos que $0 \leq X_n + X^{-}_{n_0}\uparrow X + X^{-}_{n_0}$ para todo $n_0\leq n$. Como consequência da propriedade (d) do teorema 8.2.1, temos que $\mathbb{E}[X_n]+\mathbb{E}[X^{-}_{n_0}]\uparrow \mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[X^{-}_{n_0}]$. Portanto, concluímos que $\mathbb{E}[X_n]\uparrow \mathbb{E}[X]$. No caso da sequência decrescente tomamaos $-X+X_{n_0}^+$ com $n \geq n_0$. Com isso, demonstramos o teorema.

 

Teorema 8.2.3:

Seja $\{X_n\}$ uma sequência de variáveis aleatórias positivas e $X=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}X_n$ então $\mathbb{E}[X]=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}[X_n]$.

Demonstração:

Primeiramente considere apenas $X_1$ e $X_2$, então temos que existe uma sequência de variáveis aleatórias simples $Y_n\uparrow X_1$ e $Z_n\uparrow X_2$. Então temos que, $Y_n+Z_n\uparrow X_1+X_2$, pela proposição 8.2.1 e pelo teorema 8.2.2 da convergência monótona. Temos que $$\mathbb{E}[X_1+X_2]=\lim \mathbb{E}[Y_n+Z_n]=\lim \left(\mathbb{E}[Y_n]+\mathbb{E}[Z_n]\right)=\lim \mathbb{E}[Y_n]+\lim \mathbb{E}[Z_n]= \mathbb{E}[X_1]+\mathbb{E}[X_2]$$

Por indução temos que $$\displaystyle \mathbb{E}[\sum_{i=1}^{n}X_i]=\sum_{i}^{n} \mathbb{E}[X_i]$$

Agora pelo teorema da convergência monótona, temos que $$\mathbb{E}[\sum_{i=1}^{\infty}X_i] =\mathbb{E}[\lim_n \sum_{i=1}^{n}X_i]=\lim \sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[X_i]=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{E}[X_i].$$ Portanto o resultado segue.

Corolário 8.2.1(Lema de Fatou-Lebesgue):

Seja $\{X_n\}$ uma sequência de variáveis aleatórias e Y e Z variáveis aleatórias integráveis, então $$X_n\leq Y\Rightarrow E[\limsup X_n]\geq \limsup \mathbb{E}[X_n]$$ $$X_n\geq Z\Rightarrow \mathbb{E}[\liminf X_n]\leq \liminf \mathbb{E}[X_n]$$

Em particular, se a sequência $\{X_n\}$ é convergente e se existe uma variável aleatória integrável U tal que $|X_n|\leq U$, então $\mathbb{E}[\lim X_n]=\lim \mathbb{E}[X_n]$.

Demonstração:

Suponha que $Y$ seja uma variável aleatória integrável e $X\leq Y$, então $X^+$ é integrável e, portanto, obtemos que $X$ é quase integrável. Assim a hipótese do corolário implica  que $(\sup_n X_n)^{+}$ é integrável. Desde que  $\sup_{m\geq n} X_m\downarrow \limsup_n X_n$, o item (d) do Teorema 8.2.2 nos diz que $$\sup_{m\geq n}E[X_m]\leq E[\sup_{m\geq n} X_m]\downarrow E[\limsup_n X_n],~~ quando~~ n\rightarrow \infty.$$ A segunda implicação do corolário é demonstrada de forma analoga.

Para o caso em que $-U\leq X_n\leq U$ com U integrável, temos que $$E[\liminf X_n]\leq \liminf E[X_n]\leq \limsup E[X_n]\leq E[\limsup X_n].$$ Como a sequência $\{X_n\}$ é por hipótese convergente, isto implica que o limite existe logo $$\lim_n E[X_n]=E[\lim X_n].$$ Segue o corolário.

O detalhe fundamental deste coroláro é que não exigimos  que a sequência seja monótona. Considere $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade completo e sobre este espaço duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$, dizemos que $X$ e $Y$ são iguais quase certamente (ou, $\mathbb{P}-q.c.$) se $\mathbb{P}[X=Y]=1$. Da definição segue que esta relação define uma equivalência sobre o espaço das variaáveis aleatórias. Sem dificuldades podemos estabelecer as seguintes propriedades: se $X=X^{\prime} ~ ~ (\mathbb{P}-q.c.)$ e
$Y=Y^{\prime} ~~ (\mathbb{P}-q.c.)$, temos \[cX=cX^{\prime} ~ ~,~ ~ X+Y=X^{\prime} + Y^{\prime}~~\text{e}~~XY=X^{\prime}Y^{\prime}\quad(\mathbb{P}-q.c.)\]
desde que a soma e produto estejam bem definidos. De forma análoga, se $X_i = Y_i$ para $i \in I$, onde $I$ é um conjunto contável, obtemos

$$\sup_i X_i=\sup_i Y_i\quad \text{e} \quad \inf_i X_i=\inf Y_i.$$ Dado uma variável aleatória $X$, denotaremos por $\mathbf{X}$ sua classe de equivalência, isto é, $\mathbf{X}=\{ Y : X=Y \}$ e $\mathbf{X}$ será representada, ou melhor, determinada por um de seus elementos.

Exercício: Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias integráveis tal que $X=Y~~\mathbb{P}-q.c.$. Mostre que $\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(Y)$.

Proposição 8.2.2:

Seja X e Y variáveis aleatórias independentes com $\mathbb{E}[|X|]\textless \infty$ e $\mathbb{E}[|Y|]\textless \infty$. Então $\mathbb{E}[|XY|]\textless \infty$ e 

$$\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$$

Demonstração 

Primeiramente considere $X\geq 0$ e $Y\geq 0$. Tomando

$$X_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{n}1\!\!1_{\{k/n\leq X(\omega)\textless (k+1)/n\}}$$
$$Y_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{n}1\!\!1_{\{k/n\leq Y(\omega)\textless (k+1)/n\}}$$
Então $\displaystyle X_n\leq X$, $|X_n-X |\leq \frac{1}{n}$ e $\displaystyle Y_n\leq Y$, $|Y_n-Y |\leq \frac{1}{n}$. Desde que $\mathbb{E}[X]\textless \infty$ e $\mathbb{E}[Y]\textless \infty$, segue do teorema da convergência dominada que 
$$\lim \mathbb{E}[X_n]=\mathbb{E}[X]\quad e \quad \lim \mathbb{E}[Y_n]=\mathbb{E}[Y]$$
Além disso, desde que $X$ e $Y$ são independentes temos 
$$\mathbb{E}[X_nY_n]=\displaystyle \sum_{k,\ell\geq 0}\frac{k\ell}{n^2}\mathbb{E}[1\!\!1_{\{k/n\leq X(\omega)\textless (k+1)/n\}}1\!\!1_{\{k/n\leq Y(\omega)\textless (k+1)/n\}}]$$
$$\displaystyle \sum_{k,\ell\geq 0}\frac{k\ell}{n^2}\mathbb{E}[1\!\!1_{\{k/n\leq X(\omega)\textless (k+1)/n\}}]\mathbb{E}[1\!\!1_{\{k/n\leq Y(\omega)\textless (k+1)/n\}}]=\mathbb{E}[X_n]\mathbb{E}[Y_n]$$
Agora observe que,
$$|\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X_nY_n]|\leq \mathbb{E}[|XY-X_nY_n|]\leq $$
$$\displaystyle \mathbb{E}[|X||Y-Y_n|]+\mathbb{E}[|Y_n||X-X_n|]\leq \frac{1}{n}\mathbb{E}[X]+\frac{1}{n}\mathbb{E}\left[Y+\frac{1}{n}\right]\rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty$$
Portanto, $\mathbb{E}[XY]=\lim\mathbb{E}[X_n Y_n]=\lim\mathbb{E}[X_n] \lim \mathbb{E}[Y_n]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$ e $\mathbb{E}[XY]\textless\infty$.
No caso geral,  basta dividirmos nos seguintes casos $X=X^+-X^-$ e $Y=Y^+-Y^-$, e o resultado segue.

Mudança de Variável

Considere $$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $X:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$ uma variável aleatória. Com a variável aleatória$X$, obtemos a espaço de probabilidade $(\mathbb{R},\mathcal{B},\mathbb{P}_X)$ nos quais $\mathcal{B}$ é a $\sigma$-álgebra de Borel  da reta e $\mathbb{P}_X$ a probabilidade induzida por $X$, isto é, $\mathbb{P}_X(B)=\mathbb{P}[X^{-1}(B)]$ para todo $B\in \mathcal{B}$. Considere $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma variável aleatória definida sobre $(\mathbb{R},\mathcal{B},\mathbb{P}_X)$. Como $X$ e $g$ são variáveis aleatórias, temos que a composição $g\circ X$, definida por $(g\circ X)(\omega)=g[X(\omega)]$ para todo $\omega \in \Omega$, também é uma variável aleatória (exercício). 

Corolário 8.2.2

Seja $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma variável aleatória positiva definida sobre $(\mathbb{R},\mathcal{B},\mathbb{P}_X)$. Desta forma, temos que \[\int_{\Omega} (g \circ X)(\omega) \mathbb{P}(d\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x) \mathbb{P}_X(dx).\]

Prova: Para $g=1\!\!1_{B}$ com $B\in \mathcal{B}$, obtemos que $(g\circ X)(\omega)=1\!\!1_{X^{-1}(B)}(\omega)$ para todo $\omega \in \Omega$. Com isso, obtemos que \[\int_{\Omega} 1\!\!1_{X^{-1}(B)}(\omega)\mathbb{P}(d\omega)=\mathbb{P}[X^{-1}(B)]=\mathbb{P}_X(B)=\int_{-\infty}^{\infty} 1\!\!1_{B}(x)\mathbb{P}_X(dx).\] Na sequência, tomamos $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ um variável aleatória simples na forma $g(x)=\sum_{i=1}^n x_i 1\!\!1_{B_i}(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Assim, obtemos que $(g\circ X)(\omega)=\sum_{i=1}^n x_i 1\!\!1_{X^{-1}(B_i}(\omega)$ para todo $\omega \in \Omega$. Como consequência, concluímos que \[\int_{\Omega} (g\circ X)(\omega)\mathbb{P}(d\omega)=\sum_{i=1}^n x_i \mathbb{P}[X^{-1}(B_i)]=\sum_{i=1}^n x_i \mathbb{P}_X(B_i)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\mathbb{P}_X(dx).\]

Agora, tomamos $\{g_n\}$ uma sequência crescente de funções simples tal que $0\leq g_n \uparrow g$. Então temos que $0\leq (g\circ X)\uparrow (g\circ X)$. Desta forma, ao aplicarmos o item (d) do teorema 8.2.1 (teorema da convergência monótona), concluímos que \[\int_{\Omega} (g\circ X)(\omega)\mathbb{P}(d\omega)=\lim_n\int_{\Omega} (g_n\circ X)(\omega)\mathbb{P}(d\omega)=\lim_n\int_{-\infty}^{\infty} g_n(x)\mathbb{P}_X(dx)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\mathbb{P}_X(dx).\] Segue o corolário.

Um ponto imporante deste corolário é que apesar de lidarmos com variáveis aleatórias positivas, não precisamos da hipótese de integrabilidade. A seguir, vamos estender este corolário para variáveis aleatórias gerais com a hipótese de integrabilidade.

Corolário 8.2.3

Uma variável aleatória $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma variável aleatória positiva definida sobre $(\mathbb{R},\mathcal{B},\mathbb{P}_X)$ é integrável com respeito a probabilidade $\mathbb{P}_X$ se, e só se, a composição $(g\circ X)$ for integrável com respeito a probabilidade $\mathbb{P}$. Além disso, temos que \[\int_{X^{-1}(B)}(g\circ X)(\omega)\mathbb{P}(d\omega)=\int_{B}g(x)\mathbb{P}_X(dx),\quad B\in \mathcal{B}.\]

Probabilidades

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