8.1 - Integral de Lebesgue

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Seja $ (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade e $ X $ uma variável aleatória definida sobre $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $. Neste módulo, vamos definir a esperança da variável aleatória $ X $, ou integral de Lebesgue de $ X $. Na seção esperança de variáveis aelatórias, introduzimos as variáveis aleatórias simples na forma

$$X(\omega) = \sum_{i=1}^n x_i 1\!\!1_{A_i}(\omega), \quad \omega \in \Omega,$$

nos quais $ \{x_i\} $ são números reais distintos e $ \{A_i\} \subset \mathcal{F} $ uma partição finita de $ \Omega $. Desta forma, definimos a esperança ou integral da variável aleatória simples $ X $, por

$$\mathbb{E} [X]=\sum_{i=1}^n x_i \mathbb{P}(A_i).$$

 Aqui, utilizaremos a notação 

$$\mathbb{E}[X],~~ \int X(\omega)d\mathbb{P}(\omega),~~\int Xd\mathbb{P},~~\text{ou simplesmente quando não houver confusão } \int Xd\mathbb{P}.$$

 

O funcional $ \mathbb{E} $ toma elementos no espaço das variáveis aleatórias simples $ X \in \mathfrak{E} $ e os transforma em números reais $ \mathbb{E}(X) $. Desta forma, dizemos que  \mathfrak{E} \rightarrow \mathbb{R} $ é um funcional. Dizemos que um funcional \mathfrak{E}\rightarrow \mathbb{R} $ é positivo se $ \mathbb{G}(X)\geq 0 $ sempre que $ X\geq 0 $. Na sequência, derivamos algumas propriedades do funcional esperança.  

Proposição 8.2.1:

A esperança \mathfrak{E} \rightarrow \mathbb{R} $ é  único funcional linear positivo contínuo tal que  $ E[1\!\!1_A]=\mathbb{P}(A) $. Além disso, o funcional $ \mathbb{E} $ apresenta a propriedade de continuidade monótona, ou seja, se $ X_n\uparrow X $ em $ \mathfrak{E} $, então $ E[X_n]\uparrow E[X] $ (respectivamente, $ \downarrow $).

Reciprocamente, se  $ \mathbb{E} $ é um funcional linear positivo sobre $ \mathfrak{E} $ tal que $ E[1\!\!1_{\Omega}]=1 $ e se $ X_n\downarrow 0 $ em $ \mathfrak{E} $ então $ E[X_n]\downarrow 0 $, então $ \mathbb{E} $ é a esperança associada com a probabilidade $ \mathbb{P} $ definida por $ \mathbb{P}(A)=E[1\!\!1_{A}] $ ($ A\in \mathcal{F} $).

Demonstração:

Pela definição da esperança, temos que 

(1) $ \mathbb{E}[1\!\!1_A]=P(A) $$ \mathbb{E}[1\!\!1_\Omega]=1 $;

(2) $ \mathbb{E}(X) \geq 0 $ sempre que $ X \geq 0 $;

(3) $ \mathbb{E}(cX)=c\mathbb{E}(X) $ para todo real $ c $. Além disso, temos que o funcional $ \mathbb{E} $ é linear, pois 

$$\mathbb{E}(X+Y)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^m (x_i + y_j) \mathbb{P}(A_i \cap B_j)=\sum_{i=1}^n x_i \mathbb{P}(A_i)+\sum_{j=1}^m y_j \mathbb{P}(B_j)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y),$$

nos quais $ X,Y\in \mathfrak{E} $. Na sequência, vamos mostrar que a esperança tem a propriedade de continuidade monótona.

Seja $ \{X_n\} $ uma sequência decrescente de variáveis aleatórias simples que converge para zero. Considere $ k $ o maior valor que $ X_1 $ assume. Assim, como a sequência $ \{X_n\} $ é decrescente obtemos que $ 0\leq X_n\leq k 1\!\!1_{\{X_n\textgreater \epsilon\}}+\epsilon $, com $ \epsilon\textgreater 0 $. Como consequência, a esperança de $ X_n $ satisfaz  

$$0\leq \mathbb{E}[X_n]\leq k \mathbb{P}({X_n\textgreater \epsilon})+\epsilon$$

Como a sequência $ \{X_n\} $ decresce para zero, temos que $ \{X_n\textgreater \epsilon\}\downarrow \emptyset $. Assim, obtemos que 

$$\lim\mathbb{P}({X_n\textgreater \epsilon})+\epsilon=\epsilon$$

o que implica que 

$$0\leq \lim E[X_n]\leq \epsilon$$

como $ \epsilon $ é arbitrário temos que 

$$\lim E[X_n]=0$$

Logo se $ X_n\downarrow X $, então $ E[X_n]\downarrow E[X] $.

Pois se $ X_n\downarrow X\Rightarrow X_n-X\downarrow \emptyset $. Logo 

$$\lim E[X_n-X]=0\Rightarrow \lim E[X_n]-E[X]=0\Rightarrow \lim E[X_n]=E[X]$$

Da mesma forma temos que se $ X_n\uparrow X $, então $ -X_n+X\downarrow \emptyset $ o que implica que  $ E[X_n]\uparrow E[X] $.

Para a reciproca basta mostramos que $ \mathbb{P}(A)= \mathbb{E}[1\!\!1_{A}] $ define uma probabilidade na $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $. Desde que $ \mathbb{E} $ é um funcional linear postivo, temos que  $ \mathbb{P} (A)= \mathbb{E}[1\!\!1_{A}] $ define uma função de conjunto finitamente aditiva. Agora, a propriedade de continuidade monótona nos permite deduzir que $ \mathbb{P} $ é contínua no vazio. Portanto, concluímos que $ \mathbb{P} $ é uma probabilidade e, segue a proposição.

Mostramos anteriormente que qualquer variável aleatória positiva pode ser aproximada por uma sequência de variáveis aleatórias simples. Assim, podemos estender a nossa definição de esperança para toda variável aleatória positiva. 

Teorema 8.2.1:

Seja $ X $ uma variável aleatória positiva e $ \{X_n\} $ uma sequência de variáveis aleatórias simples que converge pontualmente para $ X $. Desta forma, definimos

$$\mathbb{E}[X]=\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}[X_n].$$

 Além disso, a esperança satisfaz as seguintes propriedades:

(a) $ 0 \leq \mathbb{E}[X] \leq \infty $, para toda variável aleatória positiva $ X $;

(b) $ \mathbb{E} [cX]=c\mathbb{E}[X] $ para todo variável aleatória positiva $ X $ e constante real $ c \geq 0 $. Além disso, se $ X,Y $ são variáveis aleatórias positivas, temos que $ \mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y] $;

(c) Se $ X\leq Y $ são variáveis aleatórias positivas, temos que $ \mathbb{E}[X] \leq \mathbb{E}[Y] $;

(d) Dado $ \{X_n\} $ uma sequência crescente de variáveis aleatórias positivas, então temos que $ \mathbb{E}[\lim_{n\rightarrow \infty} X_n]=\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}[X_n] $.

Demonstração: Inicialmente, vamos mostrar que a definição de esperança está bem definida. Neste caso, precisamos mostrar que a definição da esperança é independente da sequência de variáveis aleatórias simples. Sejam $ \{X_n\} $ e $ \{Y_n\} $ duas sequências crescentes de variáveis aleatórias simples, vamos mostrar que se $ \lim_mX_m\leq \lim_n Y_n $, então temos que $ \lim_m \mathbb{E}[X_m] \leq \lim_n \mathbb{E}[Y_n]. $ Como as sequência são monótonas, temos que

$$\lim_n \inf(X_m , Y_n)=X_m\quad m \geq 1,$$

em $ \mathfrak{E} $. Assim, como $ \mathbb{E} $ é um funcional linear positivo com a propriedade de continuidade monótona em $ \mathfrak{E} $, temos que

$$\lim_n \mathbb{E}[Y_n]\geq\lim_n \mathbb{E}[\inf(X_m,Y_n)]=\mathbb{E}[X_m], \quad m\geq 1.$$

Assim, ao tomarmos o limite quando $ m \rightarrow \infty $, concluímos que  $ \lim_m \mathbb{E}[X_m] \leq \lim_n \mathbb{E}[Y_n]. $ 

Como consequência, temos que se $ X=\lim_n X_n $ a expressão $ \lim_n \mathbb{E}[X_n] $ depende somente de $ X $ e não da sequência de variáveis aleatórias simples $ \{X_n\} $. Como consequência obtemos os itens (a) e (c). Para provarmos o item (b), basta observarmos que se $ X=\lim_n X_n $ e $ Y=\lim_n Y_n $ temos que $ cX=c\lim_nX_n $ e $ X+Y=\lim_n(X_n+Y_n) $. Na sequência, aplicamos a definição de esperança de ma variável aleatória positiva.

Para provar (d), tomamos $ X_n=\lim_mY_{m,n} $ no qual m\geq 1\} $ é uma sequência de variáveis aleatórias simples para todo $ n\geq 1 $. Ao denotarmos por $ Z_m=\sup_{n\leq m}Y_{m,n} \in \mathfrak{E} $ para todo $ m\geq 1 $, obtemos que $ Y_{m,n}\leq Z_m\leq X_m $ e, obviamente, $ \mathbb{E}[Y_{m,n}]\leq \mathbb{E}[Z_m]\leq \mathbb{E}[X_m] $ para todo $ m\geq n $. Além disso, sabemos que $ Z_m\leq Z_{m+1} $ o que implica que $ \mathbb{E}[Z_m]\leq \mathbb{E}[Z_{m+1}] $. Desta forma, ao tomarmos o limite, concluímos que

$$\lim_m X_m=\lim_m Z_m\quad \text{então}\quad \lim_m\mathbb{E}[X_m]=\lim_m \mathbb{E}[Z_m]=\mathbb{E}\left[\lim_m Z_m\right].$$

Com isso, obtemos o teorema.

Com a proposição acima, definimos esperança para qualquer variável aleatória positiva, mesmo que a esperança seja $ \infty $. Agora, se $ X $ é uma variável aleatória qualquer, sabemos que $ X=X^+-X^- $ e $ \mid X\mid=X^++X^- $, nos quais $ X^+=\sup(X,0) $ e $ X^-=-\inf (X,0) $. Assim, dizemos que a variável aleatória $ X $ é integrável se $ \mathbb{E}[X^+]\textless \infty $ e $ \mathbb{E}[X^-]\textless \infty $, em particular, isto é válido para toda variável aleatória limitada. Para toda variável aleatória $ X $ integrável, definimos $ \mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[X^+]-\mathbb{E}[X^-] $. Assim, obtemos uma extensão da esperança para todas variáveis aleatórias que são integráveis, que é linear, positiva e satisfaz a propriedade de continuidade monótona (ver teorema 8.2.2). A definição de esperança pode ser ampliada para a classe de variáveis aleatórias quase integráveis. Uma variável aleatória $ X $ é denominada quase integrável se pelo menos um dos membros $ \mathbb{E}[X^+] $ ou $ \mathbb{E}[X^-] $ for finito. Neste caso, definimos $ \mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[X^+]-\mathbb{E}[X^-] $.

Teorema 8.2.2 (Esperança de uma variável Aleatória):

Dado $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade, a esperança $ \mathbb{E} $ definida sobre o espaço de todas as variáveis aleatórias quase integráveis satisfaz as seguinte propriedades:

(a) Temos que $ -\infty \leq \mathbb{E}[X] \leq \infty $ para toda variável aleatória quase integrável $ X $. A esperança é finita se, e só se, a variável aleatória for integrável. Além disso, se $ X\geq 0 $, então obtemos que $ \mathbb{E}[X]\geq 0 $;

(b) Temos que $ \mathbb{E}[cX]=c\mathbb{E}[X] $ para toda constante finita $ c $. Além disso, temos que $ \mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y] $, se $ X^+ $ e $ Y^+ $ (ou, $ X^- $ e $ Y^- $) são integráveis;

(c) Se $ X \leq Y $, então $ \mathbb{E}[X]\leq \mathbb{E}[Y] $;

(d) Convergência monótona: Se $ X_n \uparrow X $, então $ \mathbb{E}[X_n]\uparrow \mathbb{E}[X] $, caso $ X^-_n $ seja integrável para pelo menos um $ n $. Da mesma forma, se $ X_n \downarrow X $, então $ \mathbb{E}[X_n]\downarrow \mathbb{E}[X] $, caso $ X^+_n $ seja integrável para pelo menos um $ n $.

Demonstração: A propriedade (a) segue diretamente da definição de esperança. A propriedade (b) é consequência do fato de que $ X+Y=(X^++Y^+)-(X^-+Y^-) $ e das hipóteses do item (b). A propriedade (c) também é consequência direta da definição de esperança. 

Na sequência, vamos mostrar a propriedade (d). Considere $ \{X_n\} $ uma sequência crescente de variáveis aleatórias tal que $ X^{-}_{n_0} $ seja integrável para algum inteiro fixo $ n_0 $ e $ X=\lim_n X_n $. Então, temos que $ X^{-}_{n}\leq X^{-}_{n_0} $ para todo $ n \geq n_0 $ (exercício). Assim, concluímos que $ X^-\leq X^{-}_{n_0} $ e, como consequência, as variáveis aleatórias $ X^{-}_n $ para $ n\geq n_0 $ e $ X $ são quase integráveis. Além disso, temos que $ 0 \leq X_n + X^{-}_{n_0}\uparrow X + X^{-}_{n_0} $ para todo $ n_0\leq n $. Como consequência da propriedade (d) do teorema 8.2.1, temos que $ \mathbb{E}[X_n]+\mathbb{E}[X^{-}_{n_0}]\uparrow \mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[X^{-}_{n_0}] $. Portanto, concluímos que $ \mathbb{E}[X_n]\uparrow \mathbb{E}[X] $. No caso da sequência decrescente tomamaos $ -X+X_{n_0}^+ $ com $ n \geq n_0 $. Com isso, demonstramos o teorema.

 

Teorema 8.2.3:

Seja $ \{X_n\} $ uma sequência de variáveis aleatórias positivas e $ X=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}X_n $ então $ \mathbb{E}[X]=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}[X_n] $.

Demonstração:

Primeiramente considere apenas $ X_1 $ e $ X_2 $, então temos que existe uma sequência de variáveis aleatórias simples $ Y_n\uparrow X_1 $ e $ Z_n\uparrow X_2 $. Então temos que, $ Y_n+Z_n\uparrow X_1+X_2 $, pela proposição 8.2.1 e pelo teorema 8.2.2 da convergência monótona. Temos que 

$$\mathbb{E}[X_1+X_2]=\lim \mathbb{E}[Y_n+Z_n]=\lim \left(\mathbb{E}[Y_n]+\mathbb{E}[Z_n]\right)=\lim \mathbb{E}[Y_n]+\lim \mathbb{E}[Z_n]= \mathbb{E}[X_1]+\mathbb{E}[X_2]$$

Por indução temos que 

$$\displaystyle \mathbb{E}[\sum_{i=1}^{n}X_i]=\sum_{i}^{n} \mathbb{E}[X_i]$$

Agora pelo teorema da convergência monótona, temos que 

$$\mathbb{E}[\sum_{i=1}^{\infty}X_i] =\mathbb{E}[\lim_n \sum_{i=1}^{n}X_i]=\lim \sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[X_i]=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{E}[X_i].$$

 Portanto o resultado segue.

Corolário 8.2.1(Lema de Fatou-Lebesgue):

Seja $ \{X_n\} $ uma sequência de variáveis aleatórias e Y e Z variáveis aleatórias integráveis, então 

$$X_n\leq Y\Rightarrow E[\limsup X_n]\geq \limsup \mathbb{E}[X_n]$$

 

$$X_n\geq Z\Rightarrow \mathbb{E}[\liminf X_n]\leq \liminf \mathbb{E}[X_n]$$

Em particular, se a sequência $ \{X_n\} $ é convergente e se existe uma variável aleatória integrável U tal que $ |X_n|\leq U $, então $ \mathbb{E}[\lim X_n]=\lim \mathbb{E}[X_n] $.

Demonstração:

Suponha que $ Y $ seja uma variável aleatória integrável e $ X\leq Y $, então $ X^+ $ é integrável e, portanto, obtemos que $ X $ é quase integrável. Assim a hipótese do corolário implica  que $ (\sup_n X_n)^{+} $ é integrável. Desde que  $ \sup_{m\geq n} X_m\downarrow \limsup_n X_n $, o item (d) do Teorema 8.2.2 nos diz que 

$$\sup_{m\geq n}E[X_m]\leq E[\sup_{m\geq n} X_m]\downarrow E[\limsup_n X_n],~~ quando~~ n\rightarrow \infty.$$

A segunda implicação do corolário é demonstrada de forma analoga.

Para o caso em que $ -U\leq X_n\leq U $ com U integrável, temos que 

$$E[\liminf X_n]\leq \liminf E[X_n]\leq \limsup E[X_n]\leq E[\limsup X_n].$$

Como a sequência $ \{X_n\} $ é por hipótese convergente, isto implica que o limite existe logo 

$$\lim_n E[X_n]=E[\lim X_n].$$

Segue o corolário.

O detalhe fundamental deste coroláro é que não exigimos  que a sequência seja monótona. Considere $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade completo e sobre este espaço duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $, dizemos que $ X $ e $ Y $ são iguais quase certamente (ou, $ \mathbb{P}-q.c. $) se $ \mathbb{P}[X=Y]=1 $. Da definição segue que esta relação define uma equivalência sobre o espaço das variaáveis aleatórias. Sem dificuldades podemos estabelecer as seguintes propriedades: se $ X=X^{\prime} ~ ~ (\mathbb{P}-q.c.) $ e
$ Y=Y^{\prime} ~~ (\mathbb{P}-q.c.) $, temos

\[cX=cX^{\prime} ~ ~,~ ~ X+Y=X^{\prime} + Y^{\prime}~~\text{e}~~XY=X^{\prime}Y^{\prime}\quad(\mathbb{P}-q.c.)\]

desde que a soma e produto estejam bem definidos. De forma análoga, se $ X_i = Y_i $ para $ i \in I $, onde $ I $ é um conjunto contável, obtemos

$$\sup_i X_i=\sup_i Y_i\quad \text{e} \quad \inf_i X_i=\inf Y_i.$$

Dado uma variável aleatória $ X $, denotaremos por $ \mathbf{X} $ sua classe de equivalência, isto é,  X=Y \} $ e $ \mathbf{X} $ será representada, ou melhor, determinada por um de seus elementos.

Exercício: Sejam $ X $ e $ Y $ variáveis aleatórias integráveis tal que $ X=Y~~\mathbb{P}-q.c. $. Mostre que $ \mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(Y) $.

Proposição 8.2.2:

Seja X e Y variáveis aleatórias independentes com $ \mathbb{E}[|X|]\textless \infty $ e $ \mathbb{E}[|Y|]\textless \infty $. Então $ \mathbb{E}[|XY|]\textless \infty $

$$\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$$

Demonstração 

Primeiramente considere $ X\geq 0 $ e $ Y\geq 0 $. Tomando

$$X_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{n}1\!\!1_{\{k/n\leq X(\omega)\textless (k+1)/n\}}$$

$$Y_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{n}1\!\!1_{\{k/n\leq Y(\omega)\textless (k+1)/n\}}$$

Então $ \displaystyle X_n\leq X $, $ |X_n-X |\leq \frac{1}{n} $ e $ \displaystyle Y_n\leq Y $, $ |Y_n-Y |\leq \frac{1}{n} $. Desde que $ \mathbb{E}[X]\textless \infty $ e $ \mathbb{E}[Y]\textless \infty $, segue do teorema da convergência dominada que 

$$\lim \mathbb{E}[X_n]=\mathbb{E}[X]\quad e \quad \lim \mathbb{E}[Y_n]=\mathbb{E}[Y]$$

Além disso, desde que $ X $ e $ Y $ são independentes temos 

$$\mathbb{E}[X_nY_n]=\displaystyle \sum_{k,\ell\geq 0}\frac{k\ell}{n^2}\mathbb{E}[1\!\!1_{\{k/n\leq X(\omega)\textless (k+1)/n\}}1\!\!1_{\{k/n\leq Y(\omega)\textless (k+1)/n\}}]$$

$$\displaystyle \sum_{k,\ell\geq 0}\frac{k\ell}{n^2}\mathbb{E}[1\!\!1_{\{k/n\leq X(\omega)\textless (k+1)/n\}}]\mathbb{E}[1\!\!1_{\{k/n\leq Y(\omega)\textless (k+1)/n\}}]=\mathbb{E}[X_n]\mathbb{E}[Y_n]$$

Agora observe que,

$$|\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X_nY_n]|\leq \mathbb{E}[|XY-X_nY_n|]\leq $$

$$\displaystyle \mathbb{E}[|X||Y-Y_n|]+\mathbb{E}[|Y_n||X-X_n|]\leq \frac{1}{n}\mathbb{E}[X]+\frac{1}{n}\mathbb{E}\left[Y+\frac{1}{n}\right]\rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty$$

Portanto, $ \mathbb{E}[XY]=\lim\mathbb{E}[X_n Y_n]=\lim\mathbb{E}[X_n] \lim \mathbb{E}[Y_n]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] $ e $ \mathbb{E}[XY]\textless\infty $.
No caso geral,  basta dividirmos nos seguintes casos $ X=X^+-X^- $ e $ Y=Y^+-Y^- $, e o resultado segue.

Mudança de Variável

Considere $ $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade e \Omega\rightarrow \mathbb{R} $ uma variável aleatória. Com a variável aleatória$ X $, obtemos a espaço de probabilidade $ (\mathbb{R},\mathcal{B},\mathbb{P}_X) $ nos quais $ \mathcal{B} $ é a $ \sigma $-álgebra de Borel  da reta e $ \mathbb{P}_X $ a probabilidade induzida por $ X $, isto é, $ \mathbb{P}_X(B)=\mathbb{P}[X^{-1}(B)] $ para todo $ B\in \mathcal{B} $. Considere \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ uma variável aleatória definida sobre $ (\mathbb{R},\mathcal{B},\mathbb{P}_X) $. Como $ X $ e $ g $ são variáveis aleatórias, temos que a composição $ g\circ X $, definida por $ (g\circ X)(\omega)=g[X(\omega)] $ para todo $ \omega \in \Omega $, também é uma variável aleatória (exercício). 

Corolário 8.2.2

Seja \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ uma variável aleatória positiva definida sobre $ (\mathbb{R},\mathcal{B},\mathbb{P}_X) $. Desta forma, temos que

\[\int_{\Omega} (g \circ X)(\omega) \mathbb{P}(d\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x) \mathbb{P}_X(dx).\]

Prova: Para $ g=1\!\!1_{B} $ com $ B\in \mathcal{B} $, obtemos que $ (g\circ X)(\omega)=1\!\!1_{X^{-1}(B)}(\omega) $ para todo $ \omega \in \Omega $. Com isso, obtemos que

\[\int_{\Omega} 1\!\!1_{X^{-1}(B)}(\omega)\mathbb{P}(d\omega)=\mathbb{P}[X^{-1}(B)]=\mathbb{P}_X(B)=\int_{-\infty}^{\infty} 1\!\!1_{B}(x)\mathbb{P}_X(dx).\]

Na sequência, tomamos \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ um variável aleatória simples na forma $ g(x)=\sum_{i=1}^n x_i 1\!\!1_{B_i}(x) $ para todo $ x \in \mathbb{R} $. Assim, obtemos que $ (g\circ X)(\omega)=\sum_{i=1}^n x_i 1\!\!1_{X^{-1}(B_i}(\omega) $ para todo $ \omega \in \Omega $. Como consequência, concluímos que 

\[\int_{\Omega} (g\circ X)(\omega)\mathbb{P}(d\omega)=\sum_{i=1}^n x_i \mathbb{P}[X^{-1}(B_i)]=\sum_{i=1}^n x_i \mathbb{P}_X(B_i)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\mathbb{P}_X(dx).\]

Agora, tomamos $ \{g_n\} $ uma sequência crescente de funções simples tal que $ 0\leq g_n \uparrow g $. Então temos que $ 0\leq (g\circ X)\uparrow (g\circ X) $. Desta forma, ao aplicarmos o item (d) do teorema 8.2.1 (teorema da convergência monótona), concluímos que 

\[\int_{\Omega} (g\circ X)(\omega)\mathbb{P}(d\omega)=\lim_n\int_{\Omega} (g_n\circ X)(\omega)\mathbb{P}(d\omega)=\lim_n\int_{-\infty}^{\infty} g_n(x)\mathbb{P}_X(dx)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\mathbb{P}_X(dx).\]

Segue o corolário.

Um ponto imporante deste corolário é que apesar de lidarmos com variáveis aleatórias positivas, não precisamos da hipótese de integrabilidade. A seguir, vamos estender este corolário para variáveis aleatórias gerais com a hipótese de integrabilidade.

Corolário 8.2.3

Uma variável aleatória \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ uma variável aleatória positiva definida sobre $ (\mathbb{R},\mathcal{B},\mathbb{P}_X) $ é integrável com respeito a probabilidade $ \mathbb{P}_X $ se, e só se, a composição $ (g\circ X) $ for integrável com respeito a probabilidade $ \mathbb{P} $. Além disso, temos que

\[\int_{X^{-1}(B)}(g\circ X)(\omega)\mathbb{P}(d\omega)=\int_{B}g(x)\mathbb{P}_X(dx),\quad B\in \mathcal{B}.\]

Probabilidades

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