8.2 - Propriedades do espaço L^p

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Vamos denotar por $L^p=L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, com $0\leq p\leq \infty$ o espaço das variáveis aleatórias tal que $\mathbb{E}[|X|^p]=\displaystyle \int Xd\mathbb{P}\textless \infty$, ou seja,  para $0\leq p\textless \infty$ temos $$L^p=\{X:\Omega\rightarrow \mathbb{R}; X \text{ é mensurável e }\mathbb{E}[|X|^p]\textless \infty\},$$ para $p=\infty$ temos que $$L^\infty=\{X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}; X \text{ é mensurável e existe uma constante C tal que } |X(\omega)|\leq C, \quad q.c. \quad em \quad\Omega\}.$$ Existe uma norma tradicional desse espaço, a qual é definida da seguinte forma: $$||X||_p=\mathbb{E}^{1/p}[|X|^p]$$

Apenas relembrando para que $||\cdot||$ seja uma norma é necessário que:

(a) $||X||_p\geq 0,~~\forall X\in L^p$

(b) $||cX||_p=|c| ||X||,~~\forall X\in L^p~~e~~c\in\mathbb{R}$

(c) $||X||_p=0\Rightarrow X=0$

(d) Desigualdade Triangular: $||X+Y||_p\leq ||X||_p +||Y||_p$

Note que para que $||\cdot||$ seja uma norma, precisamos criar uma classe de equivalência. Assim dizemos que $X\equiv Y$ se, e somente se, $\mathbb{P}(X=Y)=1$.

Primeiramente mostre que de fato é uma classe de equivalência. Para que seja uma classe de equivalência é preciso satisfazer 3 propriedades:

(a) Reflexiva: $X\equiv X$

(b) Simétrica: $X\equiv Y \Rightarrow Y\equiv X$ 

(c) Transitiva: $X\equiv Y ~e~Y\equiv Z\Rightarrow X\equiv Z$ 

Demonstração:

(a) De fato, $X\equiv X$, pois $\mathbb{P}(X=X)=1$.

(b) De fato, $X\equiv Y \Rightarrow Y\equiv X$, pois $\mathbb{P}(X=Y)=1=\mathbb{P}(Y=X)$.

(c) De fato, $X\equiv Y ~e~Y\equiv Z\Rightarrow X\equiv Z$, pois $\mathbb{P}(X=Y)=1=\mathbb{P}(Y=Z)\Rightarrow \mathbb{P}(X=Z)=1$.

Assim dentro da classe de equivale temos que $||\cdot||_p$ de fato é uma norma.

Vamos apresentar nesse momento algumas propriedades fundamentais do espaço $L^p$.

Notação:

Vamos usar $L^{q}$ para representar o expoente conjugado do $L^p$, ou seja, $\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Proposição 8.2.1: (Desigualdade de Young)

Seja p e q conjugados então para todo número real não-negativo $a$ e $b$, para $1\leq p\leq \infty$ temos
$$ab\leq \displaystyle \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$

Demonstração:

Vamos dividir em casos. Caso $ab=0$ é trivial.
Caso $a^p=b^q$, como $p$ e $q$ são conjugados temos $1/p+1/q=1$
$$ab=a(b^q)^{1/q}=aa^{p/q}=a^{p/p}a^{p/q}=a^{p(1/p+1/q)}=a^p1=a^{p}\displaystyle\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)=\frac{a^P}{p}+\frac{b^q}{q}$$
Agora se $a^p\neq b^q$, então usando a função exponencial, a qual é estritamente convexa temos (a derivada segunda é maior que zero em todo ponto). Então para todo $t\in (0,1)$ e $x,y \in \mathbb{R}$ com $x\neq y$, temos
$$e^{tx+(1-t)y}\leq t e^x+(1-t)e^y$$
Assim tomando $t=1/p$ o que implica $1-t=1/q$ e $x=\ln a^p$ e $y=\ln b^q$ temos que
$$\displaystyle ab=e^{\ln ab}=exp\left(\frac{\ln a^p}{p}+\frac{\ln b^q}{q}\right)\leq \frac{e^{\ln a^p}}{p}\frac{e^{\ln b^q}}{q}=\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$

Teorema 8.2.1: (Desigualdade de Hölder)

Seja f e g uma variável aleatória, tal que $f\in L^p$, com $1\leq p\leq \infty$  e $g\in L^{q}$. Então $fg\in L^1$ e $$||fg||_1\leq ||f||_p||g||_q$$

Demonstração: 

Pela desigualdade de Young, temos que $$|fg(\omega)|\leq \displaystyle \frac{1}{p}|f(\omega)|^p+\frac{1}{q}|g(\omega)|^q, ~~q.c.~~para~~\omega\in\Omega$$
o que implica que $fg\in L^1$, basta integrar de ambos os lados. Agora note que para $\|f\|_p=0$ e/ou $\|g\|_q=0$ temos que $f=0$ e/ou $g=0$ a menos de conjuntos de medida nula, o que implica que $fg=0$ a menos de conjuntos de medida nula o que implica que a desigualdade é válida. Agora suponha que nenhuma das normas seja zero e além disso, que $\|f\|_{p}=1=\|g\|_q$. Então pela desigualdade de Young temos que
$$|fg(\omega)|\leq \displaystyle \frac{1}{p}|f(\omega)|^p+\frac{1}{q}|g(\omega)|^q, ~~q.c.~~para~~\omega\in\Omega$$
integrando de ambos os lados, obtemos que $$\|fg\|_1\leq \frac{\|f\|_p}{p}+\frac{\|g\|_q}{q}=1$$
Portanto o resultado segue. Para o caso geral, basta tomar $f=f/\|f\|_p$ e $g=g/\|g\|_q$ e o resultado segue.

A desigualdade de Hölder pode ser estendida para k funções.

Proposição 8.2.2: (Desigualdade de Minkowski)

Se $1\leq p\leq \infty$ e $f,g\in L^p$, então $f+g\in L^p$ e
$$\|f+g\|_p\leq \|f\|_p+\|g\|_p$$

Demonstração:

Para o caso $p=1$ basta integrarmos a desigualdade
$$|f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|$$
Agora se $1\textless p\textless \infty$, então sabemos que
$$|f(x)+g(x)|^p\leq (|f(x)|+|g(x)|)^p\leq 2^p (|f(x)|^p+|g(x)|^p)$$
o que implica que $f+g\in L^p$. A seguir considere
$$|f(x)+g(x)|^p=|f(x)+g(x)|^{p-1}|f(x)+g(x)|\leq |f(x)+g(x)|^{p-1}|f(x)|+|f(x)+g(x)|^{p-1}|g(x)|$$
Como $(p-1)q=p$ isso implica que $|f+g|^{(p-1)}\in L^q$, então podemos aplicar a desigualdade de Hölder. Logo
$$\||f||f+g|^{p-1}\|_1\leq \|f\|_p\|(f+g)^{p-1}\|_q$$
$$\||g||f+g|^{p-1}\|_1\leq \|g\|_p\|(f+g)^{p-1}\|_q$$
Agora integrando de ambos os lados
$$|f(x)+g(x)|^p\leq |f(x)+g(x)|^{p-1}|f(x)|+|f(x)+g(x)|^{p-1}|g(x)|$$
e usando as desigualdades acima obtemos
$$\|f+g\|_p^p\leq \|f\|_p\|(f+g)^{p-1}\|_q+\|g\|_p\|(f+g)^{p-1}\|_q$$
Além disso, note que
$$\|(f+g)^{p-1}\|_q=\mathbb{E}[|f+g|^{(p-1)q}]^{1/q}=\mathbb{E}[|f+g|^{p}]^{p/pq}=\|(f+g)\|_p^{p/q}$$
Portanto
$$\|f+g\|_p^p\leq \|f\|_p\|(f+g)\|_p^{p/q}+\|g\|_p\|(f+g)\|_p^{p/q}$$
o que implica que dividindo ambos os lados por $\|(f+g)\|_p^{p/q}$ temos
$$\|f+g\|_p^{p(1-1/q)}=\|f+g\|_p\leq \|f\|_p+\|g\|_p$$
Portanto o resultado segue

Teorema 8.2.2: 

$L^p$ é um espaço vetorial e $||\cdot||_p$ é uma norma para qualquer $p\geq 0$

Demonstração: 

Usando a desigualdade de Minkowski e as classes de equivalência o resultado segue.

Definição 8.2.1:

Um espaço é dito ser um espaço de Banach se é um espaço vetorial normado e completo.

Teorema 8.2.3: (Fischer-Riesz)

$L^p$ é um espaço de Banach.

Demonstração:

Para mostrarmos que $L^p$ é um espaço de Banach, temos que mostrar que qualquer sequência de Cauchy é convergente. Assim seja $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ uma sequência de Cauchy, basta mostrarmos que existe uma subsequência convergente em $L^p$. Assim seja $(f_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$ tal que $$||f_{n_{k+1}}-f_{n_k}||_p\leq \displaystyle \frac{1}{2^k}$$

Defina $$g_n(\omega)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}|f_{n_{k+1}}(\omega)-f_{n_k}(\omega)|$$

então  $$||g_n||_p=\|\sum_{k=1}^{n}|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}|\|_p\leq \sum_{k=1}^{n}\|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p\leq \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}\leq 1$$

Como consequência temos que $g(\omega)$ tem limite finito quase certamente em $\Omega$, com $g\in L^p$. Além disso, temos que para $m\geq j\geq 2$, temos que: $$|f_{n_m}(\omega)-f_{n_j}(\omega)|\leq |f_{n_m}(\omega)-f_{n_{m-1}}(\omega)|+\dots+|f_{n_{n+1}}(\omega)-f_{n_{j}}(\omega)|\leq g(\omega)-g_{n_{j-1}}(\omega)$$
isto ocorre quase certamente em $\Omega$. Agora temos que $f_n(x)$ é de Cauchy e portanto converge para um limite finito, digamos  $f(x)$. Assim temos que q.c

$$|f(\omega)-f_n(\omega)|\leq g(\omega), \quad n\geq 2$$
Além disso, $f\in L^p$, pois
$$\|f\|_p=\|f-f_n+f_n\|_p\leq \|f-f_n\|_p+\|f_n\|_p\leq \|g\|_p+\|f_n\|_p\leq \infty$$
Finalmente desde que
$$|f_n(x)-f(x)|^p\rightarrow 0\quad e \quad |f_n-f|^p\leq g^p\in L^1$$
pelo teorema da Convergência dominada temos que
$$\|f_n-f\|_p\rightarrow 0$$ Portanto o resultado segue.

Proposição 8.2.3:(Desigualdade de Jensen)

Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ uma função convexa e $X\in L^1$. Então temos que
\[\mathbb{E}(f(X))\geq f(\mathbb{E}(X)).\]

Demonstração:

Ressaltamos que uma função é dita convexa se seu gráfico for convexo, ou seja, dado quaisquer pontos $a,b\in \mathbb{R}$ a reta que passa pelos pares ordenados $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$ não intercepta o gráfico de $f$ em nenhum ponto no intervalo $(a,b)$.
Uma definição equivalente seria que para quaisquer $x, y \in [a,b]$ e para todo $t\in [0,1]$ temos que:
\[f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)\]
De fato se $f$ é uma função convexa então dado um par ordenado $(y,f(y))$ no gráfico de $f$, temos que existe uma reta $r$ tal que a reta passa pelo ponto $(y,f(y))$ e deixa a curva $f$ toda acima dela, ou seja, existe um $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $r(x)=\lambda(x-y)+f(y)$.
Então temos que
\[f(x)\geq r(x)=\lambda(x-y)+f(y),~~~\forall x \in\mathbb{R}.\]
Portanto, se aplicarmos o valor esperado em ambos os lados obtemos:
\[\mathbb{E}(f(X))\geq \mathbb{E}(r(X))=f(y)+\lambda(\mathbb{E}(X)-y).\]
E, tomando $y=\mathbb{E}(X)$, o resultado segue.

Teorema 8.2.4:

Seja $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ um sequência tal que $f_n\in L^p$ e seja $f\in L^p$, tal que $||f_n-f||_p\rightarrow 0$.

Então existe uma subsequência $(f_{n_k})$ e existe $h\in L^p$, talque:

(a)$f_{n_k}\stackrel{q.c}{\rightarrow}f$

(b)$|f_{n_k}|\leq h$ quase certamente para qualquer $k\geq 0$

Lema 8.2.1: (Desigualdade Chebyshev)

Seja $f\in L^p$ para $1\leq p\leq \infty$. Então $$\mathbb{P}(\{x:|f(x)|\textgreater \alpha\})\leq \displaystyle \left(\frac{\|f\|_p}{\alpha}\right)^p$$

Demonstração:

Seja $E_{\alpha}=\{x:|f(x)|\textgreater \alpha\}$. Então $$\|f\|^p_p=\displaystyle \int_{\Omega}|f|^pd\mathbb{P}\geq \int_{E_{\alpha}}|f|^p d\mathbb{P}\geq \alpha^p \int_{E_\alpha}d\mathbb{P}=\alpha^p\mathbb{P}(E_\alpha).$$ Portanto o resultado segue.

Definição 8.2.2:

O espaço dual de um espaço topológico E é definido como sendo $E^*=\{f: f:E\rightarrow \mathbb{R}$, com f linear e contínua.$\}$

Definição 8.2.3:

Um espaço E é dito reflexivo se existe uma aplicação $J: E\rightarrow E^*$, onde E* é o espaço dual de E, com J sobrejetora.

Definição 8.2.4:

Um espaço E é dito ser separavél se possui um subconjunto D enumerável e denso em E.

Neste instante vamos mostrar que o espaço $L^p$ é reflexivo e separável e o espaço dual de $L^p$ é o seu expoente conjugado $L^q$, não demonstraremos esses resultados, porém eles podem ser encontrados em qualquer livro de análise funcional a exemplo do Brezis.

Definição 8.2.5:

Seja X um espaço de Banach. Dizemos que X é um espaço uniformemente convexo se, para todo $\epsilon \textgreater 0$, existe $\delta\textgreater 0$ tal que, se $\|x\|\leq 1$, $\|y\|\leq 1$ e $\|x-y\|\textgreater \epsilon $, então
$$\displaystyle \left\|\frac{x+y}{2}\right\|\textless 1-\delta$$

Teorema 8.2.5:(Milman-Pettis)

Se X é um espaço de Banach uniformemente convexo, então X é reflexivo
 

Lema.8.2.2:(Desigualdade de Clarkson)

Se $f,g \in L^p$, $1\textless p\textless \infty$
$1^\circ$ Desigualdade de Clarkson. Se $p\geq 2$, então
$$\displaystyle \left\|\frac{f+g}{2}\right\|^p_p+\left\|\frac{f-g}{2}\right\|^p_p\leq \frac{1}{2}(\|f\|_p^p+\|g\|^p_p)$$
$2^\circ$ Desigualdade de Clarkson. Se $1\textless p\textless 2$, então
$$\displaystyle \left\|\frac{f+g}{2}\right\|^q_p+\left\|\frac{f-g}{2}\right\|^q_p\leq \frac{1}{2^{q-1}}(\|f\|_p^p+\|g\|^p_p)^{q-1}$$

Demonstração

Para primeira desigualdade de Clarkson, note que
$$a^p+b^p\leq (a^2+b^2)^{p/2}$$
tomando $a=\displaystyle \frac{\alpha +\beta}{2}$ e $b=\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}$. Então
$$\left(\displaystyle \frac{\alpha +\beta}{2}\right)^p+\left(\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}\right)^p\leq \left(\left(\displaystyle \frac{\alpha +\beta}{2}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}\right)^2\right)^{p/2}$$
$$=\left(\displaystyle \frac{\alpha^2}{2}\frac{\beta^2}{2}\right)^{p/2}$$
$$\displaystyle \leq \frac{|\alpha|^p}{2}+\frac{|\beta|^p}{2}$$
Agora basta integramos e a desigualdade segue. Na segunda desigualdade de Clarkson, no que basta mostrarmos que
$$\left|\displaystyle \frac{\alpha +\beta}{2}\right|^q+\left|\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}\right|^q\leq \frac{1}{2^{q-1}} (|\alpha|^p+|b|^p)^{q-1}$$
É equivalente mostrar que
$$\left|\frac{1+t}{2}\right|^{q}+\left|\frac{1-t}{2}\right|^q\leq \frac{1}{2^{q-1}}(1+t^p)^{q-1}$$
para $0\leq t\leq 1$. Note que para $t=1$ e $t=0$ a desigualdade segue trivialmente. Para, então seja $0\textless t\textless 1$, fazendo uma mudança de variável temos
$$t=\displaystyle \frac{1-s}{1+s}$$
com $0\textless s \textless 1$ então a equação acima é dada por
$$\displaystyle \frac{1}{2}[(1+s)^q+(1-s)^p]-(1+s^q)^p-1\geq 0$$
Assim, fazendo uma expansão por serie de potencia temos
$$\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty \binom{p}{k}s^k+\frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty \binom{p}{k}(-s)^k-\sum_{k=0}^\infty \binom{p-1}{k}s^{qk}=$$
$$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \left[\binom{p}{2k}s^{2k}-\binom{p-1}{2k-1}s^{q(2k-1)}-\binom{p-1}{2k}s^{2qk}\right]$$
no qual é convergente para $0\leq s\leq 1$. Assim, basta provar que cada termo dela é positivo para $0\textless s \textless 1$ e desta forma o resultado segue. Após algumas manipulações algébricas temos que o $k$-ésimo termo da série é dado por
$$\displaystyle \frac{(2-p)(3-p)\cdots (2k-p)}{(2k-1)!}s^{2k}\left[\frac{1-s^{(2^k-p)/(p-1)}}{(2k-p)/(p-1)}-\frac{1-s^{2k/(p-1)}}{2k/(p-1)}\right]$$
Como $p\textless 2$, temos que
$$\displaystyle \frac{(2-p)(3-p)\cdots (2k-p)}{(2k-1)!}s^{2k}\textgreater 0$$
Além disso, desde que a função $f(x)=(1-s^x)/x$ é decrescente para $x\textgreater 0$ e pelo fato de que
$$\displaystyle 0\textless \frac{(2k-p)}{(p-1)}\textless \frac{2k}{(p-1)} $$
o que implica que
$$\displaystyle \left[\frac{1-s^{(2^k-p)/(p-1)}}{(2k-p)/(p-1)}-\frac{1-s^{2k/(p-1)}}{2k/(p-1)}\right]\textgreater 0$$
portanto o k-ésimo termo é sempre positivo e como a serie é convergente temos que
$$\displaystyle \frac{1}{2}[(1+s)^q+(1-s)^p]-(1+s^q)^p-1\geq 0$$
o que implica que
$$\left|\frac{1+t}{2}\right|^{q}+\left|\frac{1-t}{2}\right|^q\leq \frac{1}{2^{q-1}}(1+t^p)^{q-1}$$
é verdadeira e portanto
$$\left|\displaystyle \frac{\alpha +\beta}{2}\right|^q+\left|\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}\right|^q\leq \frac{1}{2^{q-1}} (|\alpha|^p+|b|^p)^{q-1}$$
Assim, basta integrarmos os dois lados da desigualdade e portanto temos que  a segunda desigualdade de Clarkson é válida.

Teorema 8.2.6:

$L^p$ é um espaço uniformemente convexo para qualquer $1\textless p\textless \infty$.

Demonstração:

Dado $\epsilon\textgreater 0$, sejam $f,g \in L^p$ tais que
$$\|f\|_p=\|g\|_p=1\quad e \quad \|f-g \|\textgreater \epsilon$$
Se $p\geq 2$, então usando a primeira desigualdade de Clarkson temos
$$\displaystyle \left\|\frac{f+g}{2}\right\|_p^p\leq\frac{1}{2}(\|f\|^p_p+\|g\|_p^p)-\left\|\frac{f-g}{2}\right\|^p_p\leq 1-\frac{\epsilon^p}{2^p} $$
tomando $\delta =\displaystyle 1-\left(\frac{1-\epsilon^p}{2^p}\right)^{1/p}$ temos que
$$\displaystyle \left\|\frac{f+g}{2}\right\|_p\textless 1-\delta$$
o  que mostra que $L^p$ é uniformemente convexo para $p\geq 2$. Para $1\textless p\leq 2$, usando a segunda desigualdade de Clarkson temos
$$\displaystyle \left\|\frac{f+g}{2}\right\|^q_p\leq \frac{1}{2^{q-1}}(\|f\|^p_p+\|g\|_p^p)^{q-1}-\left\|\frac{f-g}{2}\right\|^q_p$$
$$1-\frac{\epsilon^q}{2^q}$$
tomando $\delta =\displaystyle 1-\left(1-\frac{\epsilon^q}{2^q}\right)^{1/q}$
Portanto temos que $L^p$ é um espaço uniformemente convexo para qualquer $1\textless p\textless \infty$.
 

Teorema 8.2.7:

$L^p$ é um espaço reflexivo para qualquer $1\textless p\textless \infty$

Demonstração:

Note que $L^p$ é um espaço de Banach. Portanto, pelo teorema 8.2.6 ele é uniformemente convexo e assim reflexivo pelo teorema de Milman-Pettis

Teorema 8.2.8:

O espaço das funções contínuas $C(\mathbb{R}^n)$ é denso em $L^p$

Teorema 8.2.9:

$L^p$ é separável para qualquer $p\geq 1$.

Demonstração:

Primeiramente consideraremos $\Omega=\mathbb{R}^n$, defina a familia
$$\mathcal{R}:=\displaystyle \left\{R=\prod_{k=1}^{n}(a_k,b_k)|a_k,b_k\in\mathbb{Q}\right\}$$
ou seja, $\mathcal{R}$ é a familia de todos os retângulos de $\mathbb{R}^n$ nos quais os lados são intervalos racionais. Note que $\mathcal{R}$ é enumerável. Agora considere o espaço vetorial $E$ gerado pela funções indicadoras de elementos de $\mathbb{R}$, ou seja, $(1\!\!1_{R})_{R\in\mathcal{R}}$ que consiste da combinação linear finita com coeficientes racionais de funções $(1\!\!1_{R})$, então $E$ é contável.
Agora vamos mostrar que $E$ é denso em $L^p(\mathbb{R}^n)$ para $1\leq p\textless \infty$.

Assim, seja $f\in L^p$ e $\epsilon\textgreater 0$, então existe $f_1\in C_c(\mathbb{R}^n)$, tal que $\|f-f_1\|_p\textless \epsilon$. Seja $R\in\mathcal{R}$ qualquer retângulo contendo $supp(f_1)$ (o suporte de $f_1$, ou seja, $supp(f_1)=\overline{\{x\in \mathbb{R}^n: f_1(x)\neq 0\}}$). Dado $\delta\textgreater 0$ pela uniformidade de $f_1$, podemos dividir $R$ em sub-retângulos de $\mathcal{R}$ distintos de maneira que a oscilação de $f_1$ é menor que $\delta$ em cada um desses retângulos (a oscilação de $f_1$ é dada por $\sup f_1-\inf f_1$). Assim, definimos $f_2$ como sendo combinação linear finita de funções indicadoras deste retângulo, onde os coeficientes da combinação sejam escolhidos de maneira que
$$\|f_1-f_2\|_{\infty}\textless \delta$$
Assim estimamos,
$$\|f_1-f_2\|_p\leq \|f_1-f_2\|_{\infty}|R|^{1/p}\textless \delta |R|^{1/p}$$
Assim escolhendo de maneira que $\delta |R|^{1/p}\textless \epsilon$ obtemos
$$\|f-f_2\|_p\leq 2\epsilon$$
Isso concluí a demonstração no caso em que $\Omega=\mathbb{R}^n$.
No caso geral em que $\Omega\subset \mathbb{R}^n$, vemos que podemos estender cada função de $L^p(\Omega)$ como sendo zero fora de $\Omega$. Dessa forma,
vemos que $L^p(\Omega)$ pode ser visto com um subespaço fechado de $L^p(\mathbb{R}^n)$. Existe uma isometria canônica e portanto temos que é separável.

Teorema 8.2.10:

O $L^\infty$ não é separável.

Demonstração:

Seja $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ um aberto, então escolhemos $\Lambda \subset \Omega$ um aberto, com $\Lambda \neq \Omega$ de tal forma que a projeção de $\Lambda$ sobre a primeira coordenada continha um intervalo $[a,b]$. Então definimos um subconjunto $B_t$ de $\Lambda$ como
$$B_t:=\{(x,y)\in \Lambda ; 0\leq x\leq t\},\quad a\leq t\leq b$$
Neste caso, para $t, s\in[0,1]$ com $t\neq s$, temos
$$\|u_t-u_s\|_\infty=1$$
com $u_t=1\!\!1_{B_t}$, definimos então a bola $B_{u_t}$ em $L^\infty$ como
$$B_{u_t}=\{f\in L^\infty;\|f-u_t\|\textless 1/2\}$$
Neste caso, cada $B_{u_t}$ é um aberto de $L^\infty$ e $B_{u_t}\cap B_{u_s}=\emptyset$. Note que, o conjunto de $\{B_{u_t}\}_{t\in[a,b]}$ é não-enumerável e disjunto.
Agora seja $\{f_x\}_{x\in I}$ um subconjunto denso em $L^\infty$. Neste caso, para cada $t\in [a,b]$ podemos escolher um $f_{x_t}$ de tal modo que $f_{x_t}\in B_{u_t}$, pois $\{f_x\}_{x\in I}$ é denso. Agora se $x_t=x_s$ então $f_{x_t}=f_{x_s}\in B_{u_t}\cap B_{u_s}$ o que implica que $t=s$, então temos que o conjunto de índice $I$ não pode ser enumerável. O que implica que não existe um subconjunto enumerável denso em $L^\infty$ e portanto ele não é separável.

Proposição 8.2.4:

O espaço $L^1$ não é reflexivo.

Demonstração:

Suponha que $L^1$ seja reflexivo. Neste caso, ele seria reflexivo e separável. Consequentemente o seu dual $(L^1)^\star=L^\infty$ seria separável o que é um absurdo.
 

É importante notarmos que como o espaço $L^p$ é um espaço de Banach, ou seja, um espaço completo toda sequência é convergente se, e somente se, é uma sequência de Cauchy.

Lema 8.2.3:

Suponhamos que $p_0\leq p_1$. Então
$$L^{p_1}\subset L^{p_0}$$
Além disso, para toda $f\in L^{p_1}$
$$\|f\|_{p_0}\leq \|f\|_{p_1}$$
ou seja, a inclusão de $L^{p_1}$ em $L^{p_0}$ é um operador limitado

Demonstração:

Defina $F:=|f|^{p_0}\in L^{p_1/p_0}$, com $f\in L^{p_1}$, podemos assumir sem perda de generalidade que $p_1\textgreater p_0$, então  defina $p=\displaystyle \frac{p_1}{p_0}\textgreater 1$ e seu expoente conjugado, dado por $$q=\displaystyle \frac{p_1}{p_1-p_0}.$$ Aplicamos a Desigualdade de Hölder: $$\displaystyle \int_{\Omega}Fd\mathbb{P}\leq \left(\int_\Omega 1d\mathbb{P}\right)^{1/q}\left(\int_{\Omega}F^pd\mathbb{P}\right)^{1/p}$$ $$\leq \mathbb{P}(\Omega)^{1-\frac{p_0}{p_1}}\left(\int_{\Omega}|f|^{p_1}d\mathbb{P}\right)^{p_0/p_1}$$  $$=\|f\|^{p_0}_{p_1},$$ o que implica que $$\|f\|_{p_0}\leq \|f\|_{p_1}$$.

Covariância e o Produto interno

Definição 8.2.6:

Seja $Cov(\cdot,\cdot):L^2\times L^2\rightarrow \mathbb{R}$ na qual é definida por $$Cov(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}[Y]$$

Note que a $Cov(\cdot,\cdot)$ está bem definida para $X,Y \in L^2$, pois nesse caso basta usar a desigualdade de Hölder e obtemos que $$\mathbb{E}[XY]\leq \mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]\textless \infty$$
o que implica que $Cov(\cdot,\cdot)$, se $X,Y \notin L^2$, não podemos garantir que a $Cov(\cdot,\cdot)$ exista.

Proposição 8.2.5:

A Covariância é simétrica e bilinear

Demonstração

Simetria: $Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$, para $X,Y\in L^2$
De fato, 
$$Cov(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{Y}=\mathbb{E}(YX)-\mathbb{E}(Y)\mathbb{X}=Cov(Y,X)$$
Bilinear: $Cov(aX+bY,W)=aCov(X,W)+bCov(Y,W)$, para $X,Y,W\in L^2$ e $a,b\in \mathbb{R}$
De fato,
$$Cov(aX+bY,W)=\mathbb{E}([aX+bY]W)-\mathbb{E}(aX+bY)\mathbb{E}(W)=$$
$$\mathbb{E}(aXW+bYW)-[a\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(W)+b\mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(W)]=$$
$$a\mathbb{E}(XW)+b\mathbb{E}(YW)-a\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(W)-b\mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(W)=$$
$$a(\mathbb{E}(XW)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(W))+b(\mathbb{E}(YW)-\mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(W))=$$
$$aCov(X,W)+bCov(Y,W)$$
Portanto o resultado segue

Definição 8.2.7 (Produto interno):

Seja $\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\rightarrow K$, no qual, V é um espaço vetorial. No qual essa função tem as seguintes propriedades
(i) Simetria: $\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle$
(ii) Bilinearidade: $\langle au+bv,w\rangle=a\langle u,w\rangle+b\langle v,w\rangle$, com $a,b \in\mathbb{R}$
(iii) Positividade: $\langle u,u\rangle\geq 0$ e é igual a zero se, e somente se, $u=0$

Muita propriedades de covariância podem ser facilmente obtida se pudermos identificar a covariância como um produto interno. Note que, ela satisfaz todas as propriedades de produto interno exceto o fato de ser igual a zero se, e somente se, $X=0$ isto ocorre para $X=c$ com $c$ constante é chamada de semi-positividade.
Então, assim criamos a seguinte classe de equivalência $\mathbb{P}[X-Y=c]=1$ para alguma constante $c\in \mathbb{R}$, o que implica que a covariância define um produto interno sobre a classe de equivalência, este é o subespaço de variáveis aleatórias com segundo momento finito e esperança zero. Neste subespaço, a covariância é exatamente o produto interno de $L^2$.

Neste caso vamos mostrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que nada mais é que um caso particular da desigualdade de Hölder, para normas que provem de um produto interno.

Proposição 8.2.6:(Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

Seja $X,Y \in L^2$, com $\mathbb{E}(X)=0=\mathbb{E}(Y)$, então $$|Cov(X,Y)|\leq\|X\|_2\|Y\|_2$$

Demonstração:

Segue diretamente da Desigualdade de Hölder.
 

Probabilidades

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