8.2 - Propriedades do espaço L^p

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Vamos denotar por $ L^p=L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $, com $ 0\leq p\leq \infty $ o espaço das variáveis aleatórias tal que $ \mathbb{E}[|X|^p]=\displaystyle \int Xd\mathbb{P}\textless \infty $, ou seja,  para $ 0\leq p\textless \infty $ temos 

\Omega\rightarrow \mathbb{R}; X \text{ é mensurável e }\mathbb{E}[|X|^p]\textless \infty\},$$

para $ p=\infty $ temos que

\Omega \rightarrow \mathbb{R}; X \text{ é mensurável e existe uma constante C tal que } |X(\omega)|\leq C, \quad q.c. \quad em \quad\Omega\}.$$

 Existe uma norma tradicional desse espaço, a qual é definida da seguinte forma: 

$$||X||_p=\mathbb{E}^{1/p}[|X|^p]$$

Apenas relembrando para que $ ||\cdot|| $ seja uma norma é necessário que:

(a) $ ||X||_p\geq 0,~~\forall X\in L^p $

(b) $ ||cX||_p=|c| ||X||,~~\forall X\in L^p~~e~~c\in\mathbb{R} $

(c) $ ||X||_p=0\Rightarrow X=0 $

(d) Desigualdade Triangular: $ ||X+Y||_p\leq ||X||_p +||Y||_p $

Note que para que $ ||\cdot|| $ seja uma norma, precisamos criar uma classe de equivalência. Assim dizemos que $ X\equiv Y $ se, e somente se, $ \mathbb{P}(X=Y)=1 $.

Primeiramente mostre que de fato é uma classe de equivalência. Para que seja uma classe de equivalência é preciso satisfazer 3 propriedades:

(a) Reflexiva: $ X\equiv X $

(b) Simétrica: $ X\equiv Y \Rightarrow Y\equiv X $ 

(c) Transitiva: $ X\equiv Y ~e~Y\equiv Z\Rightarrow X\equiv Z $ 

Demonstração:

(a) De fato, $ X\equiv X $, pois $ \mathbb{P}(X=X)=1 $.

(b) De fato, $ X\equiv Y \Rightarrow Y\equiv X $, pois $ \mathbb{P}(X=Y)=1=\mathbb{P}(Y=X) $.

(c) De fato, $ X\equiv Y ~e~Y\equiv Z\Rightarrow X\equiv Z $, pois $ \mathbb{P}(X=Y)=1=\mathbb{P}(Y=Z)\Rightarrow \mathbb{P}(X=Z)=1 $.

Assim dentro da classe de equivale temos que $ ||\cdot||_p $ de fato é uma norma.

Vamos apresentar nesse momento algumas propriedades fundamentais do espaço $ L^p $.

Notação:

Vamos usar $ L^{q} $ para representar o expoente conjugado do $ L^p $, ou seja, $ \displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $.

Proposição 8.2.1: (Desigualdade de Young)

Seja p e q conjugados então para todo número real não-negativo $ a $ e $ b $, para $ 1\leq p\leq \infty $ temos

$$ab\leq \displaystyle \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$

Demonstração:

Vamos dividir em casos. Caso $ ab=0 $ é trivial.
Caso $ a^p=b^q $, como $ p $ e $ q $ são conjugados temos $ 1/p+1/q=1 $

$$ab=a(b^q)^{1/q}=aa^{p/q}=a^{p/p}a^{p/q}=a^{p(1/p+1/q)}=a^p1=a^{p}\displaystyle\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)=\frac{a^P}{p}+\frac{b^q}{q}$$

Agora se $ a^p\neq b^q $, então usando a função exponencial, a qual é estritamente convexa temos (a derivada segunda é maior que zero em todo ponto). Então para todo $ t\in (0,1) $ e $ x,y \in \mathbb{R} $ com $ x\neq y $, temos

$$e^{tx+(1-t)y}\leq t e^x+(1-t)e^y$$

Assim tomando $ t=1/p $ o que implica $ 1-t=1/q $ e $ x=\ln a^p $ e $ y=\ln b^q $ temos que

$$\displaystyle ab=e^{\ln ab}=exp\left(\frac{\ln a^p}{p}+\frac{\ln b^q}{q}\right)\leq \frac{e^{\ln a^p}}{p}\frac{e^{\ln b^q}}{q}=\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$

Teorema 8.2.1: (Desigualdade de Hölder)

Seja f e g uma variável aleatória, tal que $ f\in L^p $, com $ 1\leq p\leq \infty $  e $ g\in L^{q} $. Então $ fg\in L^1 $

$$||fg||_1\leq ||f||_p||g||_q$$

Demonstração: 

Pela desigualdade de Young, temos que

$$|fg(\omega)|\leq \displaystyle \frac{1}{p}|f(\omega)|^p+\frac{1}{q}|g(\omega)|^q, ~~q.c.~~para~~\omega\in\Omega$$

o que implica que $ fg\in L^1 $, basta integrar de ambos os lados. Agora note que para $ \|f\|_p=0 $ e/ou $ \|g\|_q=0 $ temos que $ f=0 $ e/ou $ g=0 $ a menos de conjuntos de medida nula, o que implica que $ fg=0 $ a menos de conjuntos de medida nula o que implica que a desigualdade é válida. Agora suponha que nenhuma das normas seja zero e além disso, que $ \|f\|_{p}=1=\|g\|_q $. Então pela desigualdade de Young temos que

$$|fg(\omega)|\leq \displaystyle \frac{1}{p}|f(\omega)|^p+\frac{1}{q}|g(\omega)|^q, ~~q.c.~~para~~\omega\in\Omega$$

integrando de ambos os lados, obtemos que

$$\|fg\|_1\leq \frac{\|f\|_p}{p}+\frac{\|g\|_q}{q}=1$$

Portanto o resultado segue. Para o caso geral, basta tomar $ f=f/\|f\|_p $ e $ g=g/\|g\|_q $ e o resultado segue.

A desigualdade de Hölder pode ser estendida para k funções.

Proposição 8.2.2: (Desigualdade de Minkowski)

Se $ 1\leq p\leq \infty $ e $ f,g\in L^p $, então $ f+g\in L^p $ e

$$\|f+g\|_p\leq \|f\|_p+\|g\|_p$$

Demonstração:

Para o caso $ p=1 $ basta integrarmos a desigualdade

$$|f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|$$

Agora se $ 1\textless p\textless \infty $, então sabemos que

$$|f(x)+g(x)|^p\leq (|f(x)|+|g(x)|)^p\leq 2^p (|f(x)|^p+|g(x)|^p)$$

o que implica que $ f+g\in L^p $. A seguir considere

$$|f(x)+g(x)|^p=|f(x)+g(x)|^{p-1}|f(x)+g(x)|\leq |f(x)+g(x)|^{p-1}|f(x)|+|f(x)+g(x)|^{p-1}|g(x)|$$

Como $ (p-1)q=p $ isso implica que $ |f+g|^{(p-1)}\in L^q $, então podemos aplicar a desigualdade de Hölder. Logo

$$\||f||f+g|^{p-1}\|_1\leq \|f\|_p\|(f+g)^{p-1}\|_q$$

$$\||g||f+g|^{p-1}\|_1\leq \|g\|_p\|(f+g)^{p-1}\|_q$$

Agora integrando de ambos os lados

$$|f(x)+g(x)|^p\leq |f(x)+g(x)|^{p-1}|f(x)|+|f(x)+g(x)|^{p-1}|g(x)|$$

e usando as desigualdades acima obtemos

$$\|f+g\|_p^p\leq \|f\|_p\|(f+g)^{p-1}\|_q+\|g\|_p\|(f+g)^{p-1}\|_q$$

Além disso, note que

$$\|(f+g)^{p-1}\|_q=\mathbb{E}[|f+g|^{(p-1)q}]^{1/q}=\mathbb{E}[|f+g|^{p}]^{p/pq}=\|(f+g)\|_p^{p/q}$$

Portanto

$$\|f+g\|_p^p\leq \|f\|_p\|(f+g)\|_p^{p/q}+\|g\|_p\|(f+g)\|_p^{p/q}$$

o que implica que dividindo ambos os lados por $ \|(f+g)\|_p^{p/q} $ temos

$$\|f+g\|_p^{p(1-1/q)}=\|f+g\|_p\leq \|f\|_p+\|g\|_p$$

Portanto o resultado segue

Teorema 8.2.2: 

$ L^p $ é um espaço vetorial e $ ||\cdot||_p $ é uma norma para qualquer $ p\geq 0 $

Demonstração: 

Usando a desigualdade de Minkowski e as classes de equivalência o resultado segue.

Definição 8.2.1:

Um espaço é dito ser um espaço de Banach se é um espaço vetorial normado e completo.

Teorema 8.2.3: (Fischer-Riesz)

$ L^p $ é um espaço de Banach.

Demonstração:

Para mostrarmos que $ L^p $ é um espaço de Banach, temos que mostrar que qualquer sequência de Cauchy é convergente. Assim seja $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}} $ uma sequência de Cauchy, basta mostrarmos que existe uma subsequência convergente em $ L^p $. Assim seja $ (f_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} $ tal que

$$||f_{n_{k+1}}-f_{n_k}||_p\leq \displaystyle \frac{1}{2^k}$$

Defina

$$g_n(\omega)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}|f_{n_{k+1}}(\omega)-f_{n_k}(\omega)|$$

então  

$$||g_n||_p=\|\sum_{k=1}^{n}|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}|\|_p\leq \sum_{k=1}^{n}\|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p\leq \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}\leq 1$$

Como consequência temos que $ g(\omega) $ tem limite finito quase certamente em $ \Omega $, com $ g\in L^p $. Além disso, temos que para $ m\geq j\geq 2 $, temos que:

$$|f_{n_m}(\omega)-f_{n_j}(\omega)|\leq |f_{n_m}(\omega)-f_{n_{m-1}}(\omega)|+\dots+|f_{n_{n+1}}(\omega)-f_{n_{j}}(\omega)|\leq g(\omega)-g_{n_{j-1}}(\omega)$$

isto ocorre quase certamente em $ \Omega $. Agora temos que $ f_n(x) $ é de Cauchy e portanto converge para um limite finito, digamos  $ f(x) $. Assim temos que q.c

$$|f(\omega)-f_n(\omega)|\leq g(\omega), \quad n\geq 2$$

Além disso, $ f\in L^p $, pois

$$\|f\|_p=\|f-f_n+f_n\|_p\leq \|f-f_n\|_p+\|f_n\|_p\leq \|g\|_p+\|f_n\|_p\leq \infty$$

Finalmente desde que

$$|f_n(x)-f(x)|^p\rightarrow 0\quad e \quad |f_n-f|^p\leq g^p\in L^1$$

pelo teorema da Convergência dominada temos que

$$\|f_n-f\|_p\rightarrow 0$$

 Portanto o resultado segue.

Proposição 8.2.3:(Desigualdade de Jensen)

Seja \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ uma função convexa e $ X\in L^1 $. Então temos que

\[\mathbb{E}(f(X))\geq f(\mathbb{E}(X)).\]

Demonstração:

Ressaltamos que uma função é dita convexa se seu gráfico for convexo, ou seja, dado quaisquer pontos $ a,b\in \mathbb{R} $ a reta que passa pelos pares ordenados $ (a,f(a)) $ e $ (b,f(b)) $ não intercepta o gráfico de $ f $ em nenhum ponto no intervalo $ (a,b) $.
Uma definição equivalente seria que para quaisquer $ x, y \in [a,b] $ e para todo $ t\in [0,1] $ temos que:

\[f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)\]

De fato se $ f $ é uma função convexa então dado um par ordenado $ (y,f(y)) $ no gráfico de $ f $, temos que existe uma reta $ r $ tal que a reta passa pelo ponto $ (y,f(y)) $ e deixa a curva $ f $ toda acima dela, ou seja, existe um $ \lambda\in\mathbb{R} $ tal que $ r(x)=\lambda(x-y)+f(y) $.
Então temos que

\[f(x)\geq r(x)=\lambda(x-y)+f(y),~~~\forall x \in\mathbb{R}.\]

Portanto, se aplicarmos o valor esperado em ambos os lados obtemos:

\[\mathbb{E}(f(X))\geq \mathbb{E}(r(X))=f(y)+\lambda(\mathbb{E}(X)-y).\]

E, tomando $ y=\mathbb{E}(X) $, o resultado segue.

Teorema 8.2.4:

Seja $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}} $ um sequência tal que $ f_n\in L^p $ e seja $ f\in L^p $, tal que $ ||f_n-f||_p\rightarrow 0 $.

Então existe uma subsequência $ (f_{n_k}) $ e existe $ h\in L^p $, talque:

(a)$ f_{n_k}\stackrel{q.c}{\rightarrow}f $

(b)$ |f_{n_k}|\leq h $ quase certamente para qualquer $ k\geq 0 $

Lema 8.2.1: (Desigualdade Chebyshev)

Seja $ f\in L^p $ para $ 1\leq p\leq \infty $. Então

|f(x)|\textgreater \alpha\})\leq \displaystyle \left(\frac{\|f\|_p}{\alpha}\right)^p$$

Demonstração:

Seja |f(x)|\textgreater \alpha\} $. Então

$$\|f\|^p_p=\displaystyle \int_{\Omega}|f|^pd\mathbb{P}\geq \int_{E_{\alpha}}|f|^p d\mathbb{P}\geq \alpha^p \int_{E_\alpha}d\mathbb{P}=\alpha^p\mathbb{P}(E_\alpha).$$

Portanto o resultado segue.

Definição 8.2.2:

O espaço dual de um espaço topológico E é definido como sendo E\rightarrow \mathbb{R} $, com f linear e contínua.$ \} $

Definição 8.2.3:

Um espaço E é dito reflexivo se existe uma aplicação  E\rightarrow E^* $, onde E* é o espaço dual de E, com J sobrejetora.

Definição 8.2.4:

Um espaço E é dito ser separavél se possui um subconjunto D enumerável e denso em E.

Neste instante vamos mostrar que o espaço $ L^p $ é reflexivo e separável e o espaço dual de $ L^p $ é o seu expoente conjugado $ L^q $, não demonstraremos esses resultados, porém eles podem ser encontrados em qualquer livro de análise funcional a exemplo do Brezis.

Definição 8.2.5:

Seja X um espaço de Banach. Dizemos que X é um espaço uniformemente convexo se, para todo $ \epsilon \textgreater 0 $, existe $ \delta\textgreater 0 $ tal que, se $ \|x\|\leq 1 $, $ \|y\|\leq 1 $ e $ \|x-y\|\textgreater \epsilon  $, então

$$\displaystyle \left\|\frac{x+y}{2}\right\|\textless 1-\delta$$

Teorema 8.2.5:(Milman-Pettis)

Se X é um espaço de Banach uniformemente convexo, então X é reflexivo
 

Lema.8.2.2:(Desigualdade de Clarkson)

Se $ f,g \in L^p $, $ 1\textless p\textless \infty $
$ 1^\circ $ Desigualdade de Clarkson. Se $ p\geq 2 $, então

$$\displaystyle \left\|\frac{f+g}{2}\right\|^p_p+\left\|\frac{f-g}{2}\right\|^p_p\leq \frac{1}{2}(\|f\|_p^p+\|g\|^p_p)$$

$ 2^\circ $ Desigualdade de Clarkson. Se $ 1\textless p\textless 2 $, então

$$\displaystyle \left\|\frac{f+g}{2}\right\|^q_p+\left\|\frac{f-g}{2}\right\|^q_p\leq \frac{1}{2^{q-1}}(\|f\|_p^p+\|g\|^p_p)^{q-1}$$

Demonstração

Para primeira desigualdade de Clarkson, note que

$$a^p+b^p\leq (a^2+b^2)^{p/2}$$

tomando $ a=\displaystyle \frac{\alpha +\beta}{2} $ e $ b=\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2} $. Então

$$\left(\displaystyle \frac{\alpha +\beta}{2}\right)^p+\left(\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}\right)^p\leq \left(\left(\displaystyle \frac{\alpha +\beta}{2}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}\right)^2\right)^{p/2}$$

$$=\left(\displaystyle \frac{\alpha^2}{2}\frac{\beta^2}{2}\right)^{p/2}$$

$$\displaystyle \leq \frac{|\alpha|^p}{2}+\frac{|\beta|^p}{2}$$

Agora basta integramos e a desigualdade segue. Na segunda desigualdade de Clarkson, no que basta mostrarmos que

$$\left|\displaystyle \frac{\alpha +\beta}{2}\right|^q+\left|\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}\right|^q\leq \frac{1}{2^{q-1}} (|\alpha|^p+|b|^p)^{q-1}$$

É equivalente mostrar que

$$\left|\frac{1+t}{2}\right|^{q}+\left|\frac{1-t}{2}\right|^q\leq \frac{1}{2^{q-1}}(1+t^p)^{q-1}$$

para $ 0\leq t\leq 1 $. Note que para $ t=1 $ e $ t=0 $ a desigualdade segue trivialmente. Para, então seja $ 0\textless t\textless 1 $, fazendo uma mudança de variável temos

$$t=\displaystyle \frac{1-s}{1+s}$$

com $ 0\textless s \textless 1 $ então a equação acima é dada por

$$\displaystyle \frac{1}{2}[(1+s)^q+(1-s)^p]-(1+s^q)^p-1\geq 0$$

Assim, fazendo uma expansão por serie de potencia temos

$$\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty \binom{p}{k}s^k+\frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty \binom{p}{k}(-s)^k-\sum_{k=0}^\infty \binom{p-1}{k}s^{qk}=$$

$$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \left[\binom{p}{2k}s^{2k}-\binom{p-1}{2k-1}s^{q(2k-1)}-\binom{p-1}{2k}s^{2qk}\right]$$

no qual é convergente para $ 0\leq s\leq 1 $. Assim, basta provar que cada termo dela é positivo para $ 0\textless s \textless 1 $ e desta forma o resultado segue. Após algumas manipulações algébricas temos que o $ k $-ésimo termo da série é dado por

$$\displaystyle \frac{(2-p)(3-p)\cdots (2k-p)}{(2k-1)!}s^{2k}\left[\frac{1-s^{(2^k-p)/(p-1)}}{(2k-p)/(p-1)}-\frac{1-s^{2k/(p-1)}}{2k/(p-1)}\right]$$

Como $ p\textless 2 $, temos que

$$\displaystyle \frac{(2-p)(3-p)\cdots (2k-p)}{(2k-1)!}s^{2k}\textgreater 0$$

Além disso, desde que a função $ f(x)=(1-s^x)/x $ é decrescente para $ x\textgreater 0 $ e pelo fato de que

$$\displaystyle 0\textless \frac{(2k-p)}{(p-1)}\textless \frac{2k}{(p-1)} $$

o que implica que

$$\displaystyle \left[\frac{1-s^{(2^k-p)/(p-1)}}{(2k-p)/(p-1)}-\frac{1-s^{2k/(p-1)}}{2k/(p-1)}\right]\textgreater 0$$

portanto o k-ésimo termo é sempre positivo e como a serie é convergente temos que

$$\displaystyle \frac{1}{2}[(1+s)^q+(1-s)^p]-(1+s^q)^p-1\geq 0$$

o que implica que

$$\left|\frac{1+t}{2}\right|^{q}+\left|\frac{1-t}{2}\right|^q\leq \frac{1}{2^{q-1}}(1+t^p)^{q-1}$$

é verdadeira e portanto

$$\left|\displaystyle \frac{\alpha +\beta}{2}\right|^q+\left|\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}\right|^q\leq \frac{1}{2^{q-1}} (|\alpha|^p+|b|^p)^{q-1}$$

Assim, basta integrarmos os dois lados da desigualdade e portanto temos que  a segunda desigualdade de Clarkson é válida.

Teorema 8.2.6:

$ L^p $ é um espaço uniformemente convexo para qualquer $ 1\textless p\textless \infty $.

Demonstração:

Dado $ \epsilon\textgreater 0 $, sejam $ f,g \in L^p $ tais que

$$\|f\|_p=\|g\|_p=1\quad e \quad \|f-g \|\textgreater \epsilon$$

Se $ p\geq 2 $, então usando a primeira desigualdade de Clarkson temos

$$\displaystyle \left\|\frac{f+g}{2}\right\|_p^p\leq\frac{1}{2}(\|f\|^p_p+\|g\|_p^p)-\left\|\frac{f-g}{2}\right\|^p_p\leq 1-\frac{\epsilon^p}{2^p} $$

tomando $ \delta =\displaystyle 1-\left(\frac{1-\epsilon^p}{2^p}\right)^{1/p} $ temos que

$$\displaystyle \left\|\frac{f+g}{2}\right\|_p\textless 1-\delta$$

o  que mostra que $ L^p $ é uniformemente convexo para $ p\geq 2 $. Para $ 1\textless p\leq 2 $, usando a segunda desigualdade de Clarkson temos

$$\displaystyle \left\|\frac{f+g}{2}\right\|^q_p\leq \frac{1}{2^{q-1}}(\|f\|^p_p+\|g\|_p^p)^{q-1}-\left\|\frac{f-g}{2}\right\|^q_p$$

$$1-\frac{\epsilon^q}{2^q}$$

tomando $ \delta =\displaystyle 1-\left(1-\frac{\epsilon^q}{2^q}\right)^{1/q} $
Portanto temos que $ L^p $ é um espaço uniformemente convexo para qualquer $ 1\textless p\textless \infty $.
 

Teorema 8.2.7:

$ L^p $ é um espaço reflexivo para qualquer $ 1\textless p\textless \infty $

Demonstração:

Note que $ L^p $ é um espaço de Banach. Portanto, pelo teorema 8.2.6 ele é uniformemente convexo e assim reflexivo pelo teorema de Milman-Pettis

Teorema 8.2.8:

O espaço das funções contínuas $ C(\mathbb{R}^n) $ é denso em $ L^p $

Teorema 8.2.9:

$ L^p $ é separável para qualquer $ p\geq 1 $.

Demonstração:

Primeiramente consideraremos $ \Omega=\mathbb{R}^n $, defina a familia

=\displaystyle \left\{R=\prod_{k=1}^{n}(a_k,b_k)|a_k,b_k\in\mathbb{Q}\right\}$$

ou seja, $ \mathcal{R} $ é a familia de todos os retângulos de $ \mathbb{R}^n $ nos quais os lados são intervalos racionais. Note que $ \mathcal{R} $ é enumerável. Agora considere o espaço vetorial $ E $ gerado pela funções indicadoras de elementos de $ \mathbb{R} $, ou seja, $ (1\!\!1_{R})_{R\in\mathcal{R}} $ que consiste da combinação linear finita com coeficientes racionais de funções $ (1\!\!1_{R}) $, então $ E $ é contável.
Agora vamos mostrar que $ E $ é denso em $ L^p(\mathbb{R}^n) $ para $ 1\leq p\textless \infty $.

Assim, seja $ f\in L^p $ e $ \epsilon\textgreater 0 $, então existe $ f_1\in C_c(\mathbb{R}^n) $, tal que $ \|f-f_1\|_p\textless \epsilon $. Seja $ R\in\mathcal{R} $ qualquer retângulo contendo $ supp(f_1) $ (o suporte de $ f_1 $, ou seja,  f_1(x)\neq 0\}} $). Dado $ \delta\textgreater 0 $ pela uniformidade de $ f_1 $, podemos dividir $ R $ em sub-retângulos de $ \mathcal{R} $ distintos de maneira que a oscilação de $ f_1 $ é menor que $ \delta $ em cada um desses retângulos (a oscilação de $ f_1 $ é dada por $ \sup f_1-\inf f_1 $). Assim, definimos $ f_2 $ como sendo combinação linear finita de funções indicadoras deste retângulo, onde os coeficientes da combinação sejam escolhidos de maneira que

$$\|f_1-f_2\|_{\infty}\textless \delta$$

Assim estimamos,

$$\|f_1-f_2\|_p\leq \|f_1-f_2\|_{\infty}|R|^{1/p}\textless \delta |R|^{1/p}$$

Assim escolhendo de maneira que $ \delta |R|^{1/p}\textless \epsilon $ obtemos

$$\|f-f_2\|_p\leq 2\epsilon$$

Isso concluí a demonstração no caso em que $ \Omega=\mathbb{R}^n $.
No caso geral em que $ \Omega\subset \mathbb{R}^n $, vemos que podemos estender cada função de $ L^p(\Omega) $ como sendo zero fora de $ \Omega $. Dessa forma,
vemos que $ L^p(\Omega) $ pode ser visto com um subespaço fechado de $ L^p(\mathbb{R}^n) $. Existe uma isometria canônica e portanto temos que é separável.

Teorema 8.2.10:

O $ L^\infty $ não é separável.

Demonstração:

Seja $ \Omega \subset \mathbb{R}^n $ um aberto, então escolhemos $ \Lambda \subset \Omega $ um aberto, com $ \Lambda \neq \Omega $ de tal forma que a projeção de $ \Lambda $ sobre a primeira coordenada continha um intervalo $ [a,b] $. Então definimos um subconjunto $ B_t $ de $ \Lambda $ como

=\{(x,y)\in \Lambda ; 0\leq x\leq t\},\quad a\leq t\leq b$$

Neste caso, para $ t, s\in[0,1] $ com $ t\neq s $, temos

$$\|u_t-u_s\|_\infty=1$$

com $ u_t=1\!\!1_{B_t} $, definimos então a bola $ B_{u_t} $ em $ L^\infty $ como

$$B_{u_t}=\{f\in L^\infty;\|f-u_t\|\textless 1/2\}$$

Neste caso, cada $ B_{u_t} $ é um aberto de $ L^\infty $ e $ B_{u_t}\cap B_{u_s}=\emptyset $. Note que, o conjunto de $ \{B_{u_t}\}_{t\in[a,b]} $ é não-enumerável e disjunto.
Agora seja $ \{f_x\}_{x\in I} $ um subconjunto denso em $ L^\infty $. Neste caso, para cada $ t\in [a,b] $ podemos escolher um $ f_{x_t} $ de tal modo que $ f_{x_t}\in B_{u_t} $, pois $ \{f_x\}_{x\in I} $ é denso. Agora se $ x_t=x_s $ então $ f_{x_t}=f_{x_s}\in B_{u_t}\cap B_{u_s} $ o que implica que $ t=s $, então temos que o conjunto de índice $ I $ não pode ser enumerável. O que implica que não existe um subconjunto enumerável denso em $ L^\infty $ e portanto ele não é separável.

Proposição 8.2.4:

O espaço $ L^1 $ não é reflexivo.

Demonstração:

Suponha que $ L^1 $ seja reflexivo. Neste caso, ele seria reflexivo e separável. Consequentemente o seu dual $ (L^1)^\star=L^\infty $ seria separável o que é um absurdo.
 

É importante notarmos que como o espaço $ L^p $ é um espaço de Banach, ou seja, um espaço completo toda sequência é convergente se, e somente se, é uma sequência de Cauchy.

Lema 8.2.3:

Suponhamos que $ p_0\leq p_1 $. Então

$$L^{p_1}\subset L^{p_0}$$

Além disso, para toda $ f\in L^{p_1} $

$$\|f\|_{p_0}\leq \|f\|_{p_1}$$

ou seja, a inclusão de $ L^{p_1} $ em $ L^{p_0} $ é um operador limitado

Demonstração:

Defina =|f|^{p_0}\in L^{p_1/p_0} $, com $ f\in L^{p_1} $, podemos assumir sem perda de generalidade que $ p_1\textgreater p_0 $, então  defina $ p=\displaystyle \frac{p_1}{p_0}\textgreater 1 $ e seu expoente conjugado, dado por

$$q=\displaystyle \frac{p_1}{p_1-p_0}.$$

Aplicamos a Desigualdade de Hölder:

$$\displaystyle \int_{\Omega}Fd\mathbb{P}\leq \left(\int_\Omega 1d\mathbb{P}\right)^{1/q}\left(\int_{\Omega}F^pd\mathbb{P}\right)^{1/p}$$
$$\leq \mathbb{P}(\Omega)^{1-\frac{p_0}{p_1}}\left(\int_{\Omega}|f|^{p_1}d\mathbb{P}\right)^{p_0/p_1}$$

 

$$=\|f\|^{p_0}_{p_1},$$

o que implica que

$$\|f\|_{p_0}\leq \|f\|_{p_1}$$

.

Covariância e o Produto interno

Definição 8.2.6:

Seja L^2\times L^2\rightarrow \mathbb{R} $ na qual é definida por

$$Cov(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}[Y]$$

Note que a $ Cov(\cdot,\cdot) $ está bem definida para $ X,Y \in L^2 $, pois nesse caso basta usar a desigualdade de Hölder e obtemos que

$$\mathbb{E}[XY]\leq \mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]\textless \infty$$

o que implica que $ Cov(\cdot,\cdot) $, se $ X,Y \notin L^2 $, não podemos garantir que a $ Cov(\cdot,\cdot) $ exista.

Proposição 8.2.5:

A Covariância é simétrica e bilinear

Demonstração

Simetria: $ Cov(X,Y)=Cov(Y,X) $, para $ X,Y\in L^2 $
De fato, 

$$Cov(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{Y}=\mathbb{E}(YX)-\mathbb{E}(Y)\mathbb{X}=Cov(Y,X)$$

Bilinear: $ Cov(aX+bY,W)=aCov(X,W)+bCov(Y,W) $, para $ X,Y,W\in L^2 $ e $ a,b\in \mathbb{R} $
De fato,

$$Cov(aX+bY,W)=\mathbb{E}([aX+bY]W)-\mathbb{E}(aX+bY)\mathbb{E}(W)=$$

$$\mathbb{E}(aXW+bYW)-[a\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(W)+b\mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(W)]=$$

$$a\mathbb{E}(XW)+b\mathbb{E}(YW)-a\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(W)-b\mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(W)=$$

$$a(\mathbb{E}(XW)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(W))+b(\mathbb{E}(YW)-\mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(W))=$$

$$aCov(X,W)+bCov(Y,W)$$

Portanto o resultado segue

Definição 8.2.7 (Produto interno):

Seja V\times V\rightarrow K $, no qual, V é um espaço vetorial. No qual essa função tem as seguintes propriedades
(i) Simetria: $ \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle $
(ii) Bilinearidade: $ \langle au+bv,w\rangle=a\langle u,w\rangle+b\langle v,w\rangle $, com $ a,b \in\mathbb{R} $
(iii) Positividade: $ \langle u,u\rangle\geq 0 $ e é igual a zero se, e somente se, $ u=0 $

Muita propriedades de covariância podem ser facilmente obtida se pudermos identificar a covariância como um produto interno. Note que, ela satisfaz todas as propriedades de produto interno exceto o fato de ser igual a zero se, e somente se, $ X=0 $ isto ocorre para $ X=c $ com $ c $ constante é chamada de semi-positividade.
Então, assim criamos a seguinte classe de equivalência $ \mathbb{P}[X-Y=c]=1 $ para alguma constante $ c\in \mathbb{R} $, o que implica que a covariância define um produto interno sobre a classe de equivalência, este é o subespaço de variáveis aleatórias com segundo momento finito e esperança zero. Neste subespaço, a covariância é exatamente o produto interno de $ L^2 $.

Neste caso vamos mostrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que nada mais é que um caso particular da desigualdade de Hölder, para normas que provem de um produto interno.

Proposição 8.2.6:(Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

Seja $ X,Y \in L^2 $, com $ \mathbb{E}(X)=0=\mathbb{E}(Y) $, então

$$|Cov(X,Y)|\leq\|X\|_2\|Y\|_2$$

Demonstração:

Segue diretamente da Desigualdade de Hölder.
 

Probabilidades

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