8.3 - Convergência de Soma de variáveis aleatórias

Você está aqui

Sabemos que a serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 1/n$ diverge, e ainda que $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n/n$ converge. Entretanto a pergunta que fica será que se $P(X_n=1)=P(X_n=-1)=1/2$ a $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} X_n/n$ converge ? Como podemos analisar a convergência de uma serie aleatória ? $$A_1=\{\omega|\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} X_n/n~~ converge \}$$

esse é o conjunto dos pontos para o qual a serie converge. Mas adiante vamos demonstrar pelo Teorema de Kolmogorov conhecido como "lei zero-um" $P(A_1)$

pode ser apenas 0 ou 1.

Definição 8.3.1:

Seja $(\Omega, \mathcal{F},P)$ um espaço de probabilidade e seja $(X_n)_{n\in \mathbb{N}}$ uma sequêcia de variáveis aleatórias. Seja $\mathcal{F}_n^{\infty}=\sigma(X_n,X_{n+1},\dots)$ a sigma algebra gerada pelas variáveis $X_{n},X_{n_1}, \cdots$ e definimos $$\xi=\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\mathcal{F}_{n}^{\infty}$$

$\xi$ é uma $\sigma$-álgebra chamada de $\sigma$-álgebra calda, é também conhecida como $\sigma$-álgebra terminal ou álgebra assintótica.

Observação:

Note que para todo evento $A\in \xi$ temos que A é independente de $X_1,\cdots, X_n$ para todo n  finito.

Assim para todo $k\geq 1$ temos que $$A_1=\{\omega|\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} X_n/n ~~converge \}=\{\omega|\displaystyle \sum_{n=k}^{\infty} X_n/n ~~converge\}\in \mathcal{F}_k$$

Temos que $A_1\in \displaystyle \bigcap_{ k=1}^{\infty} \mathcal{F}_k^{\infty}=\xi$. Da mesma forma temos que, se $X_1,X_2,\cdots$ é uma sequência qualquer, $$A_2=\{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}X_n~~ converge\}\in \xi$$

Além disso, temos que $$A_3=\{X_n \in I_n\text{para um numero infinito de n}\}$$

onde $I_n$ pertence a $\sigma$-álgebra de borel. Logo se consideramos as variáveis independentes temos que pelo lema de Borel-Cantelli, segue que: $$P(A_3)=0\Leftrightarrow \sum P(X_n \in I_n)\textless \infty$$ $$P(A_3)=1\Leftrightarrow \sum P(X_n \in I_n)= \infty$$

Assim a probabilidade de $A_3$ pode assumir apenas valor 0 ou 1, dependendo apenas da convergência ou não da serie. Isto é conhecida como Lei 0-1 de Borel.

Lema 8.3.1:

Seja $\mathcal{B}$ uma algebra então, para qualquer $\epsilon\textgreater 0$ e $B\in\mathcal{F}$, com $\sigma{(\mathcal{B})}=\mathcal{F}$, existe $A\in\mathcal{B}$ tal que $$P(A\Delta B)\leq \epsilon$$

Teorema 8.3.1:

Lei zero-um de Kolmogorov. Seja $(X_n)_{n\in \mathbb{N}}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes  e seja $A\in \xi$. A $P(A)$ assume apenas valor zero ou um.

Demonstração:

Basta mostrarmos que todo evento $A\in \xi$ é um evento independente dele mesmo e portanto $P(A\cap A)=P(A)P(A)=P^2(A)$ isto implica que P(A)=0 ou P(A)=1. Note que $A\in \xi$ então $A\in \mathcal{F}_1^{\infty}=\sigma(X_1,X_2, \cdots)=\sigma(\cup_{n=1}^{\infty}\mathcal{F}_1^{n})$, com $\mathcal{F}_1^{n}=\sigma(X_1,\cdots,X_n)$. Portanto pelo lema anterior podemos encontrar um $A_n\in \mathcal{F}_1^{n}$, tal que $$P(A\Delta A_n)\rightarrow 0,~~ n\rightarrow \infty$$

portanto $$P(A_n)\rightarrow P(A), P(A_n\cap A)\rightarrow P(A)$$

Entretanto $A\in \xi$ e portanto A é independente de $A_n$ para todo $n\geq 1$. E portanto o resultado segue.

Corolário 8.3.1:

Seja $Y$ uma variável aleatória mensurável em relação a $\sigma$-álgebra cauda $\xi$. Então existe $c \in\mathbb{R}$ talque P(Y=c)=1.

Demonstração:

Primeiramente observe que como $Y$ é $\xi$-mensurável então para qualquer $A\in\sigma(Y)\subset \xi$, então  $$P(Y\in B_1\cap Y=B_2)=P(Y\in B_1)P(Y\in B_2), \forall B_i\in\mathfrak{B}$$

com $\mathfrak{B}$ sendo a $\sigma$-álgebra de Borel. Assim, considere a probabilidade do evento $[Y \leq x]$ é 0 ou 1, pois  $$P([Y \leq x])=P([Y \leq x]\cap[Y \leq x])=P([Y \leq x])P([Y \leq x])=P^2([Y \leq x])$$

Portanto, a função de distribuição de Y tem um único ponto de salto, que é o supremo do conjunto $\{x\in \mathbb{R} : P(Y \leq x) = 0\}$. Assim seja $c=sup\{x\in \mathbb{R} : P(Y \leq x) = 0\}$, então $$P(Y=c)=1$$

o que implica que Y=c quase certamente.

Seja $(X_n)_{n\in \mathbb{N}}$ um sequência de variáveis aleatórias bernoulli com $P(X_n=1)=p$ e $P(X_n=-1)=q$, p+q=1 $\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i$

Teorema 8.3.2:

a) Se $p=1/2$, então $P(S_n=0, i.v.)=1$, onde i.v.=infinita vezes.

b) Se $p\neq 1/2$, então $P(S_n=0,i.v.)=0$

Demonstração:

a) Note primeiramente que $B={[S_n=0,i.v.]}$ não pertence a $\sigma$-álgebra $\xi$ logo não é imediato que $P(B)=0$ ou $P(B)=1$. É suficiente provar que o evento $$A=\{\displaystyle \limsup \frac{S_n}{\sqrt{n}}=\infty,\liminf \frac{S_n}{\sqrt{n}}=-\infty\}$$

que $P(A)=1$, como $A\subset B$. Pois, é equivalente considerarmos o seguinte caso.

Como queremos usar o lema de Borel-Cantelli precisamos olhar para uma sequência independente. Assim considere uma subsequência $n_1\textless n_2\textless \cdots$ de números inteiros. Então para qualquer evento $\{C_k\}$ talque cada $C_k$ depende apenas de $\{X_{n_k +1},X_{n_k +2},\cdots, X_{n_{k +1}}\}$ são independentes e o lema de Borel-Cantelli pode ser aplicado. Assim seja $n_k\textless m_k \textless n_{k+1}$ e definimos $$C_k=\{X_{n_k+1}+\cdots+X_{m_k}\leq -n_k\}\cap\{X_{m_k+1}+\cdots +X_{n_{k+1}}\geq m_k\}$$

é importante notar que escolhemos definir $C_k$ desta forma devido a sabermos do seguinte fato $$S_{n_k}=X_1+\cdots +X_{n_k}\leq n_k$$

pois $X_i=\pm 1$. Portanto $\{\omega \in C_k\}\Rightarrow S_{n_k}\leq 0$. Por outro lado como $S_{m_k}\geq -m_k$, então adicionando temos que  $$\{\omega\in C_k\}\Rightarrow S_{n_{k+1}}\geq 0$$

Portanto $\{\omega \in C_k\}\Rightarrow \{S_n=0, ~~para~~ n_{k+1}\leq n \leq n_{k+1}\}$ e com isso temos que 

$\{C_k, i.v.\}\subset \{S_n=0,i.v.\}$

Assim basta provarmos que existe $n_k$ e $m_k$ talque $\sum P(C_k)=\infty$, e usando Borel-Cantelli temos $P[C_k,i.v]=1$, o que implica que $P[S_n=0,i.v.]=1$. Notemos primeiramente que dado qualquer $0<\alpha<1$, e um inteiro $k\geq 1$, existe um inteiro $p_k$, talque  $$P(|S_{p_k}|=k)\leq \alpha$$

Defina $n_k, m_k$ da seguinte forma $n_1=1$, $m_k=n_k+p_k$ e $n_{k+1}=m_k+p_k$. Assim $P(C_k)$ é dado da seguinte forma $$P(C_k)=P(X_{n_k+1}+\cdots+X_{m_k}\leq - n_k)P(X_{m_k+1}+\cdots+X_{n_{k+1}}\geq m_k)$$

Pela simetria temos que  $$P(C_k)=\frac{1}{4}P(|X_{n_k+1}+\cdots+X_{m_k}|\geq n_k)P(|X_{m_k+1}+\cdots+X_{n_{k+1}}|\geq m_k)$$

Além disso note que a distribuição de $P(S_{n+j}-S_n)=P(S_j)$, então temos que $$P(C_k)=\frac{1}{4}P(|X_{1}+\cdots+X_{m_k-n_k}|\geq n_k)P(|X_{1}+\cdots+X_{n_{k+1}-m_k}|\geq m_k)\geq \frac{1}{4}(1-\alpha)^2$$

o que implica que  $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} P(C_k)\geq \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4}(1-\alpha)^2=\infty$$

Portanto por Borel-Cantelli temos que $P(S_n=0,i.v.)=1$.

(b) Análogo a letra (a) porém usando o complementar.

Teorema 8.3.3: (Lei 0-1 de Hewitt-Savage)

Seja $X_1,X_2,\cdots$ uma sequência de variáveis aleatórias iid, e  $$A=\{\omega | (X_1,X_2,\cdots)\in B\}$$

um evento simétrico. Então P(A)=0 ou P(A)=1

Demonstração:

Seja $A=[X\in B]$ um evento simétrico. Seja $B_n\in \mathfrak{B}(R^n)$, com $\mathfrak{B}(R^n)$ a $\sigma$-álgebra de borel do $R^n$, tal que para $A_n=\{\omega | (X_1,\cdots, X_n)\in B_n\}$ com

$P(A\Delta A_n)\rightarrow 0, ~~ n\rightarrow \infty$

Então $P(A_n)\rightarrow P(A)$. Assim como A é simétrico então  $$P(A_n\cap A_n)=P((X_1,\cdots X_n)\in B_n;(X_{n+1}, \cdots X_{2n})\in B_n)$$

E pela independência dos $X_i$ temos que  $$P((X_1,\cdots X_n)\in B_n;(X_{n+1}, \cdots X_{2n})\in B_n)=P((X_1,\cdots X_n)\in B_n)P((X_{n+1}, \cdots X_{2n})\in B_n)$$

Assim quando $n\rightarrow \infty$ temos que  $$P(A)=P^2(A)$$

o que implica que P(A)=0 ou P(A)=1.

Exemplo 8.3.1:

Suponha $(X_n)_{n\geq 1}$ uma sequência de v.a's tal que $P(X=0)=1-\displaystyle \frac{1}{n}$, $P(X_n=1)=\displaystyle \frac{1}{2n}=P(X_n=-1)$. Mostre que $X_n\stackrel{P}{\rightarrow} 0$ e $X_n\stackrel{L^p}{\rightarrow} 0$.

Primeiramente mostremos que $X_n\stackrel{P}{\rightarrow} 0$, $$P(|X_n|\geq \epsilon)=P(X_n=1)+P(X_n=-1)$$ $$=\displaystyle \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{1}{n}.$$

Como $$\displaystyle \lim_{n\rightarrow}P(|X_n|\geq \epsilon)=0$$

Portanto concluímos que, $$X_n\stackrel{P}{\rightarrow} 0.$$

Agora mostremos que $X_n\stackrel{L^p}{\rightarrow} 0$.

Temos que $$E[|X_n|^p]=\displaystyle \frac{1}{n}$$

Como $$\displaystyle \lim_{n\rightarrow}E[|X_n|^p]=0$$

E portanto o resultado segue.

Exemplo 8.3.2:

Para $c\in\mathbb{R}$, constante, mostre que $X_n\stackrel{L^2}{\rightarrow} c$ se, e somente se, $E[X_n]\rightarrow c$ e $Var[X_n]\rightarrow 0$.

Primeiramente vamos supor que $X_n\stackrel{L^2}{\rightarrow} c$. Como $X_n\stackrel{L^2}{\rightarrow} 0$ temos que $$E[|X_n-c|^2]\rightarrow 0\Rightarrow Var[X_n]+(E[X_n]-c)^2\rightarrow 0$$ $$\Rightarrow Var[X_n]\rightarrow 0$$

e $$(E[X_n]-c)^2\rightarrow 0\Rightarrow E[X_n]\rightarrow 0$$

como queríamos demonstrar

Agora suponha que $E[X_n]\rightarrow c$ e $Var[X_n]\rightarrow 0$. Note que $$E[|X_n-c|^2]=Var[X_n]+(E[X_n]+c)^2\rightarrow 0$$

Probabilidades

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]