8.4 - Variáveis Aleatórias com segundo momento finito.

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Discutimos algumas propriedades dos espaços $ L^p $ na seção. Nesta seção vamos trabalhar com o espaço $ L^2 $, o qual é um espaço de Banach. Dentro deste contexto, ou seja, dentro do contexto de variáveis aleatórias de $ L^2 $, vamos introduzir uma visão geométrica dentro deste espaço.

Para essa seção todas as variáveis aleatórias consideradas serão variáveis pertencentes a $ L^2 $.

Assim como $ L^2 $ tem estrutura de espaço vetorial, assim vamos definir um produto interno e a norma induzida por esse produto interno.

Seja $ X,Y\in L^2 $ 

$$(X,Y)=E[XY]$$

é fácil ver que $ (X,Y) $ é um produto interno e além disso, que a norma induzida por esse produto interno é dada por 

$$||X||=E^{1/2}[|X^2|]$$

o qual já mostramos que é uma norma na seção de propriedades do espaço $ L^p $. Assim para introduzirmos nossa visão geométrica nesse espaço, agora que temos nossa definição de produto interno nesse espaço, podemos definir ortogonalidade.

Definição 8.4.1:

Dizemos que X e Y são variáveis ortogonais se, $ (XY)=E[XY]=0 $

Note que, duas variáveis são não correlacionadas se elas tem covariância nula, isto implica que $ Cov(X,Y)=0\rightarrow E[XY]=E[X]E[Y] $,  o que implica que variáveis aleatórias ortogonais são não correlacionadas.

Definição 8.4.2:

Dizemos que M é um sistema de variáveis ortogonais se, X é ortogonal a Y para todo $ X,Y\in M $.

Definição 8.4.3:

Dizemos que M é um sistema ortonormal se é um sistema ortogonal e além disso para todo $ X\in M $ temos que $ ||X||=1 $.

Observação:

Podemos fazer uma analogia com álgebra linear, quando temos uma base ortonormal por exemplo para o $ R^2 $, sendo essa por exemplo $ M=\{(0,1);(1,0)\} $. Porém existe uma pequena peculiaridade no $ L^2 $, ele é um espaço com dimensão infinita e portanto a base ortonormal do espaço todo é uma conjunto M com infinitos termos. Lembrando que como $ L^2 $ é um espaço de Hilbert (para $ L^p $, com $ p\neq 2 $, temos que $ L^p $ não é Hilbert) e como mostramos na seção de propriedades do espaço $ L^p $ temos que $ L^2 $ é separável. Além disso, temos que todo espaço de Hilbert separável admite uma base ortonormal.

Teorema 8.4.1:

Todo espaço H separável e de Hilbert tem uma base ortonormal.

Demonstração:

Seja $ (v_n) $ um subconjunto enumerável denso em H (esse conjunto existe a prova pode ser encontrada no Brezis). Seja um espaço linear $ F_k $ cujo a base é formada por $ (v_1, \dots, v_k) $. A sequência de espaços $ (F_k) $ é não decrescentes e finita dimensional e ainda $ \displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty}F_k $ é denso em H. Tome o vetor $ e_1 $  base ortonormal de $ F_1 $. Se $ F_1\neq F_2 $, então existe $ e_2 $ tal que $ \{e_1,e_2\} $ são base ortonormais para $ F_2 $. Repetindo essa construção encontramos uma base ortonormal enumerável para H.

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