8.4 - Variáveis Aleatórias com segundo momento finito.

Discutimos algumas propriedades dos espaços $L^p$ na seção. Nesta seção vamos trabalhar com o espaço $L^2$, o qual é um espaço de Banach. Dentro deste contexto, ou seja, dentro do contexto de variáveis aleatórias de $L^2$, vamos introduzir uma visão geométrica dentro deste espaço.

Para essa seção todas as variáveis aleatórias consideradas serão variáveis pertencentes a $L^2$.

Assim como $L^2$ tem estrutura de espaço vetorial, assim vamos definir um produto interno e a norma induzida por esse produto interno.

Seja $X,Y\in L^2$ $$(X,Y)=E[XY]$$

é fácil ver que $(X,Y)$ é um produto interno e além disso, que a norma induzida por esse produto interno é dada por $$||X||=E^{1/2}[|X^2|]$$

o qual já mostramos que é uma norma na seção de propriedades do espaço $L^p$. Assim para introduzirmos nossa visão geométrica nesse espaço, agora que temos nossa definição de produto interno nesse espaço, podemos definir ortogonalidade.

Definição 8.4.1:

Dizemos que X e Y são variáveis ortogonais se, $(XY)=E[XY]=0$

Note que, duas variáveis são não correlacionadas se elas tem covariância nula, isto implica que $Cov(X,Y)=0\rightarrow E[XY]=E[X]E[Y]$,  o que implica que variáveis aleatórias ortogonais são não correlacionadas.

Definição 8.4.2:

Dizemos que M é um sistema de variáveis ortogonais se, X é ortogonal a Y para todo $X,Y\in M$.

Definição 8.4.3:

Dizemos que M é um sistema ortonormal se é um sistema ortogonal e além disso para todo $X\in M$ temos que $||X||=1$.

Observação:

Podemos fazer uma analogia com álgebra linear, quando temos uma base ortonormal por exemplo para o $R^2$, sendo essa por exemplo $M=\{(0,1);(1,0)\}$. Porém existe uma pequena peculiaridade no $L^2$, ele é um espaço com dimensão infinita e portanto a base ortonormal do espaço todo é uma conjunto M com infinitos termos. Lembrando que como $L^2$ é um espaço de Hilbert (para $L^p$, com $p\neq 2$, temos que $L^p$ não é Hilbert) e como mostramos na seção de propriedades do espaço $L^p$ temos que $L^2$ é separável. Além disso, temos que todo espaço de Hilbert separável admite uma base ortonormal.

Teorema 8.4.1:

Todo espaço H separável e de Hilbert tem uma base ortonormal.

Demonstração:

Seja $(v_n)$ um subconjunto enumerável denso em H (esse conjunto existe a prova pode ser encontrada no Brezis). Seja um espaço linear $F_k$ cujo a base é formada por $(v_1, \dots, v_k)$. A sequência de espaços $(F_k)$ é não decrescentes e finita dimensional e ainda $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty}F_k$ é denso em H. Tome o vetor $e_1$  base ortonormal de $F_1$. Se $F_1\neq F_2$, então existe $e_2$ tal que $\{e_1,e_2\}$ são base ortonormais para $F_2$. Repetindo essa construção encontramos uma base ortonormal enumerável para H.