8.4.1 - Melhor estimador da média quadrática.

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Seja $ M=\{X_1,X_2,\cdots, X_n\} $ uma sistema ortonormal e X uma variável aleatória qualquer com $ X\in L^2 $. Podemos encontrar uma classe estimadores lineares. Basta notarmos que 

$$E[|X-\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_iX_i|^2]=||X-\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_iX_i||^2 =\left(X-\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_iX_i,X-\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_iX_i\right)$$

 

$$||X||^2 -2\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i(X,X_i)+\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_iX_i,\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_iX_i \right)$$

 

$$=||X||^2 -2\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i(X,X_i)+ \sum_{i=1}^{n}a_i^2$$

 

$$=||X||^2 -\displaystyle \sum_{i=1}^{n}|(X,X_i)|^2+ \sum_{i=1}^{n}|a_i-(X,X_i)|^2$$

 

$$\geq ||X||^2- \displaystyle \sum_{i=1}^{n}|(X,X_i)|$$

Assim o $ \inf E[|X-\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_iX_i|^2] $ é $ a_i=(X,X_i) $. Desta forma, podemos escrever X em termos de $ X_i $ da melhor forma possivel. Com $ a_i=(X,X_i) $, escrevemos 

$$\widehat{X}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(X,X_i)X_i$$

Como dizemos na observação a base para o espaço $ L^p $ tem dimensão infinita. E como mostrado no teorema sempre podemos encontrar uma base ortonormal $ M=\{X_1,X_2,\dots\} $, utilizando essa base existe uma importante desigualdade conhecida como desigualdade de Bessel's. A qual diz que $ \forall X \in L^2 $, temos que 

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}|(X,X_i)|^2\leq ||X||^2$$

com a igualdade sendo verificada se, e somente se, 

$$X=\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}(X,X_i)X_i$$

Além disso, é importante dizermos que se consideramos todos os estimadores $ e\in L^2 $ de X, que são função de $ X_i $, temos que o melhor estimador é dado por 

$$\widehat{X}=E(X|X_1,\dots, X_n)$$

 

Uma visão geométrica a esse respeito por ser analisada na figura. Onde A é um subconjunto de $ L^2 $ e além disso, A é gerado pelo sistema ortonormal M. Note que $ \widehat{X} $ (em vermelho) é a projeção de X(em preto) no conjunto A.

Probabilidades

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