9.1. - Espaços de Radon

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Nesta seção, vamos explorar a estratégia de isomorfismo entre espaços mensuráveis para transportarmos propriedades entre estes espaços. Inicialmente, mostraremos que todo espaço mensurável separável e separado (Hausdorff) é homoeomorfo a um subconjunto do espaço de Cantor.  Com isso, podemos transportar propriedades do espaço de Cantor para estes espaços mensuráveis (separável e separado). Dizemos que um espaço mensurável $(\Omega , \mathcal{F})$ é Radon, se, e só se, é isomorfo a um subconjunto $U \subset S^\infty$ universalmente mensurável. Esta estratégia de "isomorfismo mensurável" também será utilizada para demonstrar nosso teorema de selação mensurável.  Considere um espaço mensurável $(\Omega, \mathcal{F})$ e $A \subset \Omega$ um subconjunto qualquer, definimos por

\[ \mathcal{F}_A = \{ B \cap A : B \in \mathcal{F} \} \]
a $\sigma$-álgebra traço de $\mathcal{F}$ sobre $A \subset \Omega$. Os átomos de $\mathcal{F}$ são classes de equivalência em $\Omega$ dada pela relação $w \sim w^{\prime}$ se, e somente se, \[ \mathds{1}_{A}(w) = \mathds{1}_{A} (w^{\prime}) \] para todo $A \in \mathcal{F}$ no qual $\mathds{1}_{A}$ é a função indicadora.

Definição 9.1.1: O espaço mensurável $(\Omega , \mathcal{F})$ é chamado de Hausdorff ou separado, se os átomos são pontos de $\Omega$. Se existe uma sequência de elementos de $\mathcal{F}$ que gera $\mathcal{F}$,  então dizemos que $\mathcal{F}$ é separável.

Considere $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço mensurável separável, tal que a sequência $\{E_n\}$ gera a $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$. Então, para cada $w \in \Omega$, definimos

\[ D_n (w) \left\{ \begin{array}{c} E_n, \quad ;w \in E_n \\ \\E_{n}^c ,\quad w \in E_{n}^c \end{array} \right. \]
e

\[ Z_{w} ~ = ~ D_1 (w) \cap D_2 (w) \cap \cdots . \]
Com estes elementos, obtemos de Marczewski (1938) os seguintes Lemas.

Lema 9.1.1: 
Seja $(\Omega , \mathcal{F})$ um espaço mensurável separável tal que $\mathcal{F} = \sigma(\{E_n \})$. Então, para todo $w_1$, $w_2 \in \Omega$ temos que $w_1 \sim w_2$ se, e somente se, $Z_{w_1} = Z_{w_2}$.
Demonstração: $\forall \omega_1, \omega_2\in \Omega$ temos que se $\omega_1\sim \omega_2$ temo que
$$\mathds{1}_A(\omega_1)=\mathds{1}_A(\omega_2)$$
para todo $A\in \mathcal{F}$ em particular para todo $\{E_n\}$, logo
$$\mathds{1}_{E_i}(\omega_1)=\mathds{1}_{E_i}(\omega_2)$$
para todo $i$ mas isso implica que $D_i(\omega_1)=D_i(\omega_2)$ para todo i, o que implica que
$$Z_{\omega_1}=Z_{\omega_2}.$$
Por outro lado temos que se $Z_{\omega_1}=Z_{\omega_2}$, então temos que
$$D_i(\omega_1)=D_i(\omega_2)$$
para todo i, logo temos que
$$\mathds{1}_{E_i}(\omega_1)-\mathds{1}_{E_i}(\omega_2)$$
portanto o resultado segue.
 

Lema 9.1.2:
Um espaço mensurável $(\Omega , \mathcal{F})$ é  separável e separado se, se e somente se, existe uma sequência $\{ E_n \}$ que separa os pontos em $(\Omega , \mathcal{F})$.
Demonstração: Se $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço mensurável de Hausdorff, obtemos que do Lema 9.1.1 que $w_1 \sim w_2$ se, e somente se, $w_1=Z_{w_1} = Z_{w_2} = w_2$. Portanto, a sequência $\{ E_n \}$ separa pontos em $(\Omega , \mathcal{F})$,i.e.,

i) $\mathcal{F} = \sigma( \{E_n \})$;

ii) Para todo $w_1$, $w_2 \in \Omega$ $(w_1 \neq w_2)$ existe um $m \in \Bbb{N}$ tal que $\mathds{1}_{E_m}(w_1) \neq \mathds{1}_{E_m}(w_2)$.

A partir destas propriedades básicas dos espaços mensuráveis separável e separado, podemos definir uma topologia $\tau_{\Omega}$ em $\Omega$ tal que $\mathcal{F} = \sigma\{\tau_{\Omega}\}$,  Considere $(\Omega , \mathcal{F})$ um espaço mensurável  separável e separado. Então, existe uma sequência $\{E_n \}$ que separa os pontos em $\Omega$.  Seja ${\mathcal V}_0$ a classe de subconjunto de  $\Omega$ que contém os $E_n$ e $E_{n}^c$. Denotamos que ${\mathcal V}_1$  a classe obtida por operações finitas de interseções de elementos de ${\mathcal V}_0$. Portanto, a classe ${\mathcal V}_1$ define uma base para a topologia

\[ \tau_{\Omega} ~ = ~ \left\{ O \subset \Omega : \forall w \in O, \exists B \in {\mathcal V}_1 ~ \mbox{ tal que } ~ w \in B \subset O \right\}.\]

Através do Teorema 2 em Blackwell (1956) sabemos que a função $\rho_{\Omega}: \Omega \times \Omega \rightarrow [0, \infty)$, definida por
\[\rho_{\Omega}(w_1 , w_2) = \left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{k(w_1 , w_2) } , w_1 \neq w_2 \\ \\ 0 , w_1=w_2 \end{array} \right. \]
no qual $k(w_1 , w_2)$ é o menor $n \in \Bbb{N}$ para o qual $\mathds{1}_{E_n}(w_1) \neq \mathds{1}_{E_n}(w_2)$, define uma métrica em $\Omega$. Além disso, a topologia gerada pela métrica $\rho_{\Omega}$ coincide com $\tau_{\Omega}$. Desde que ${\mathcal V}_1$ é uma base para $\tau_{\Omega}$ e gera $\mathcal{F}$, concluimos que $\mathcal{F}=\sigma(\tau_{\Omega})$.

Utilizamos propriedades de mensurabilidade para construir uma topologia adequada  $(\mathcal{F}=\sigma(\tau_{\Omega}))$ relacionada um espaço mensurável  $(\Omega , \mathcal{F})$ separável e separado.  Por outro lado, sabemos que para todo espaço topológico $X$ com topologia $\tau_X$ separável e Hausdorff, a $\sigma$-álgebra gerada pelos abertos desta topologia $\beta = \sigma(\tau_X)$, nos fornece um espaço mensurável $(X, \beta)$ separável e separado (Hausdorff).  A partir deste fato, podemos estudar homeomorfismo (ou isomofirmos) entre espaços mensuráveis na presença da topologia $\tau_{\Omega}$.

Na sequência, vamos introduzir a principal classe de espaços de probabilidade relaionados com os espaços mensuráveis separável e separado, denominados espaço de probabilidade compacto.

Definição 9.1.2: (Espaço de probabilidade Compacto) Dado um conjunto abstrato $\Omega$ com uma classe de subconjuntos ${\mathcal C}$, dizemos que ${\mathcal C}$ é uma Classe Compacta, se para toda sequência $\{C_n : n \geq 1\}$ em ${\mathcal C}$  com intersecção $\cap_{n \geq 1} C_n = \emptyset$ existe um inteiro $n_0$ tal que $\displaystyle \bigcap_{n \leq n_0} C_n = \emptyset$. Para um espaço de probabilidade, dizemos que a tripla $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb{P})$ é compacto se existe uma classe de compactoa ${\mathcal C} \subset \mathcal{F}$ tal que

\[ \mathbb{P}(A) ~ = ~ \sup \{ \mathbb{P}(C) : C \subset A , C \in {\mathcal C} \}, A \in \mathcal{F}. \]

O espaço de Cantor $(S^\infty$ com a $\sigma$-álgebra produto e a probabilidade usual $\mathbb{P}$ contruída através de experimentos de Bernoulli consiste no principal exemplo de espaço de probabilidade compacto. Da forma geral,  se $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ é um espaço de probabilidade no qual $\Omega$ é um espaço topológico separável e Hausdorff, $\mathcal{F}$ a $\sigma$-álgebra de Borel e $\mathbb{P}$ uma probabilidade regular, isto é, $$\mathbb{P}(A) = \sup \{\mathbb{P}(D) : D\subset A, ~\text{compacto na topologia de} ~\Omega\},\quad A \in \mathcal{F}$$ obtemos que $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ é um espaço de probabilidade compacto.

A classe dos espaços de probabilidade compacto apresenta diversas propiredades, para maiores detalhes ver Leão, fragoso e Rufino (1999). A seguir, apresentamos um conceito sobre espaços de probabilidade amplamento estudados na literatura.

Definição 9.1.3: (Espaço Perfeito) Um espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb{P})$ é dito ser perfeito se para qualquer função mensurável $f: \Omega \rightarrow\Bbb{R}$ existe um conjunto de Borel $B$ tal que $B \subset f(\Omega)$ e $\mathbb{P}[f^{-1}(B)] = 1$. Se a $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$ é separável, é bem conhecido que a perfeição e a compacidade são equivalentes, como apresentado em Tortrat (1977, Proposition 3).

A seguir, vamos estabelecer um homeomorfismo entre um espaço mensurável separável e separado com um subconjunto do Espaço de Cantor. Iniciamos com uma breve introdução das principais propriedades do espaço de Cantor, apresentadas e demonstradas na seção "Espaco de Cantor".  Seja $S$ o espaço composto pelos elementos $0$ e $1$, e

\[ S^{\infty} ~ = ~ S \times S \times S \times \cdots . \]

O espaço $S^{\infty}$ é denominado espaço de Cantor. Considere $\pi_{k}: S^{\infty} \rightarrow S$ a projeção coordenada $(k \in \Bbb{N})$, definida por

\[ \pi_k (w) ~ = ~ w_k ~ ~ ; ~ ~ w = (w_1 , w_2 , \cdots ) \in S^{\infty} ~ \mbox{ e }~ k \in \Bbb{N}. \]
Com essas projeções coordenadas,  definimos a classe dos cilindros de $S^{\infty}$ com base em $S$, na forma

\[ {\mathcal S} ~= ~ \left\{ \pi^{-1}_{k} (\{i\}) : i \in S, ~ k \in \Bbb{N} \right\}. \]

Esta classe de cilindros ${\mathcal S}$ satisfaz as seguintes propriedades: é compacta, separa os pontos em $S^{\infty}$ e é enumerável. A álgebra gerada pelos cilindros $\mathcal{S}$ é dada por

\[ {\mathcal C} ~ = ~ \left\{ \pi_{v}^{-1} (B) : v = (v_1 , \cdots , v_n) \in {\mathcal D} ~ , ~ B \subset S^n ~ {\mbox e } ~ n \in \Bbb{N} \right\}.\]

Como a álgebra $\mathcal{C}$ é obtida a partir de operações finitas de elementos de $\mathcal{S}$, concluímos que ${\mathcal C}$ também é uma classe de compacta. A partir da compacidade da álgebra $\mathcal{C}$, sabemos que toda função de conjunto aditiva $\delta: {\mathcal C} \rightarrow [0,1]$ satisfazendo $\delta(\emptyset)=0$ e $\delta(S^{\infty}) = 1$ também é $\sigma$-aditiva na álgebra. Como consequência do teorema de extensão  de Carathéodory, existe uma única probabilidade $\mathbb{P}$ definida sobre a $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$ gerada por ${\mathcal C}$, tal que

\[ \mathbb{P}(B) ~ = ~ \delta(B) ~ ~ ; ~ ~ \forall ~ B \in {\mathcal C}. \]

Ao denotamos por $\mathcal{E}$ a classe de subconjuntos de $S^{\infty}$ composta por interseções enumeráveis de elementos de $\mathcal{C}$, temos que

\[ \mathbb{P}(D) = \lim_{n \rightarrow \infty} \delta(C_n), \forall D \in \E. \]

no qual $\{ C_n \}$ é uma sequência monótona decrescente de elementos que ${\mathcal C}$ tal que $D = \cap C_n$, e

\[ \mathbb{P}(A) ~ = ~ \sup \left\{ \mathbb{P}(K) : K \subset A, ~ K \in {\mathcal E} \right\} ~ ~ ; ~ ~ \forall ~ A \in \mathcal{A}. \]

Além disso, temos que $\mathcal{E}$ é uma classe compacta, pois é obtida a partir de interseções enumeráveis de elementos de ${\mathcal C}$), ver a seção probabilidades compactas.

Considere o espaço de Cantor equipado com a topologia metrizável induzida pela métrica de Blackwell's, denotada por $\tau$. Então, obtemos que o espaço de Cantor é compacto e metrizável tal que

\[ \mathcal{E} =\left\{ K \subset S^{\infty} : K ~ \mbox{ é compacto } \right\}. \]

Como definido anteiormente, dois espaço são ditos isomorfos se existe uma bijeção entre eles, que é mensurável e tem inversa mensurável. Tal bijeção é denominada isomorfismo mensurável.

Seja $(\Omega , \mathcal{F})$ um espaço mensurável separável e separado tal que a sequência $\{ E_ n \}$ separa os pontos em $\Omega$. A função Característica de  Marczewski (1938) (MCF) na forma

\[ \Psi (w) ~ = ~ \left( \mathds{1}_{E_1} (w) , \mathds{1}_{E_2}(w), \mathds{1}_{E_3}(w) , \cdots \right) ~ ~ ; ~ ~ w \in \Omega, \]
associa elementos de $\Omega$ com elementos do espaço de Cantor. 

Ao equiparmos $\Omega$ com a topologia $\tau_{\Omega}$, obtemos que MCF estabelece um homeomorfismo entre $\Omega$ e $U$, com  $U (\subset S^{\infty})$ dotadado com a topologia induzida por $\tau$ em $U$. Além disso, os elementos da sequência $\{E_n\}$, o qual separa pontos em $\Omega$, estão abertos e fechados em $\tau_{\Omega}$ [Marczewski (1938)]. Em particular, está função estabelece um isomorfismo entre $(\Omega , \mathcal{F})$ e $(U , \beta(U))$ no qual $U \subset S^{\infty}$ e $\beta(U)$ é um traço da $\sigma$-álgebra.

Considere $K$ o conjunto composto de números reais $x$ da forma $x=2 \sum_{i=1}^n x_i / 3^i$, onde cada $x_i$ é igual a zero ou 1. Uma vez que cada série converge, $K$ é uma coleção de números reais a qual podemos metrizar pela métrica usual. Além disso, podemos ver que $K$ é um homeomorfismo para $S^{\infty}$ [Pervin (1964), Theorem 8.3.2]. Portanto, concluimos que para todo espaço mensurável de Hausdorff $(\Omega , \mathcal{F})$, se dotamos $\Omega$ com a topologia $\tau_{\Omega}$ e $K$ com a topologia usual obtemos que $\Omega$ é homeomorfo a um subconjunto de $K$ (ou $[0,1]$).

Seja $(\Omega , \mathcal{F})$ um espaço mensurável seperável de Hausdorff, então podemos definir uma topologia separável e metrizável $(\tau_{\Omega})$ em $\Omega$ tal que  $\Psi: \Omega \rightarrow U$ estabelece um homeomorfismo entre $\Omega$ e $U$, no qual $U$ é dotado is com a topologia induzida por $\tau$ em $U$. A seguir caracterizaremos a classe compacta de subconjuntos de $\Omega$.

Lema 9.1.3:

Seja ${\mathcal K}_{\Omega}$ a classe de subconjunto compactos de $\Omega$. Então, temos que
\[ {\mathcal K}_{\Omega} = \left\{ \Psi^{-1}(K) : K \subset U , ~ K ~\mbox{ é um subconjunto compacto de }~ S^{\infty} \right\}.\]
Demonstração: Considere $C$ um subconjunto compacto de $\Omega$. Desde que $\Psi$ é um homeomorfismo, a restrição $\Psi : C \rightarrow S^{\infty}$ é uma função contínua.
Resulta da compacidade de $C$ que $\Psi(C)$ é também compacto [Royden (1988), prop. 4, pg. 191]. Portanto,

\[ {\mathcal K}_{\Omega} ~ \subset ~ \left\{ \Psi^{-1}(K) : K \subset U , K \mbox{ é um subconjunto compacto } ~ S^{\infty} \right\}.\]

Por outro lado, seja $K \subset U$ ser um conjunto compacto de $S^{\infty}$. Usando os mesmos argumentos concluímos que $\Psi^{-1}(K)$ é um subconjunto compacto de $\Omega$.
 

Seja $Y$ um espaço métrico compacto dotado com $\sigma$-algebra de Borel $\beta(Y)$. Considere $U \subset Y$ dotado com a $\sigma$-álgebra traço de $\beta(Y)$ em $U$ denotado por $\beta(U)$ e a topologia herdada de $Y$.

Portanto, a proposição seguinte é uma consequência dos argumentos estabelecido acima e Marczewski (1938).

Proposição 9.1.1:
Para espaço mensurável $(\Omega , \mathcal{F})$, os seguintes item são equivalentes
a) $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço mensurável separável de Haussdorff;

b) Existe um isomorfismo mensurável entre $(\Omega , \mathcal{F})$ and $(U, \beta(U))$, no qual $U$ é um subconjunto de um espaço métrico compacto;

c) Existe uma topologia $\delta_{\Omega}$ em $\Omega$ que gera $\mathcal{F}$ e um homeomorfismo $\phi: \Omega \rightarrow U$, no qual $U$ é um subconjunto de um espaço métrico compacto dotado com a topologia herdada de $Y$;

d) Existe uma topologia metrizável separável $\delta_{\Omega}$ em $\Omega$ tal que $\mathcal{F} = \sigma(\tau_{\Omega})$.
 

Dado um espaço mensurável $(E , \mathcal{E})$, denotamos por $\mathcal{E}^{\lambda}$ o completamento de $\mathcal{E}$ com respeito a probabilidade $\lambda$ neste espaço. A $\sigma$-álgebra universal $\mathcal{E}^\star$ definida por

\[ \mathcal{E}^\star ~ = ~ \bigcap_{\lambda} \mathcal{E}^{\lambda}, \]
no qual a interseção tomando sobre todas as probabilidade $\lambda$  em $(E , \mathcal{E})$. O conjunto contendo em $\mathcal{E}^\star$ é chamado universalmente mensurável.

Seja $Y$ um espaço métrico dotado com a $\sigma$-algebra Borel $\beta(Y)$. Dizemos que $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon se existe um isomorfismo $\phi : (\Omega, \mathcal{F}) \rightarrow (U, \beta(U))$, no qual $U \in \beta(Y)^\star$ e $\beta(U) = \{ A \cap U : A \in \beta(Y) \}$, o traço de $\beta(Y)$ em $U$. Note que

\[ \beta(U)^\star ~ = ~ \left\{ B \cap U : B \in \beta(Y)^\star \right\}. \]

O próximo teorema fornece uma caracterização de espaços de Radon que ajuda a compreender esse conceito e perceber melhor o quão rico é a estrutura desse espaço.

Teorema 9.1.1:

Considere $(\Omega , \mathcal{F})$ um espaço mensurável, então os seguintes itens são equivalentes:
1) $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon,

2) $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço mensurável separável e Hausdorff e para cada probabilidade $\mathbb{P}$, o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb{P})$ é compacto (ou perfeito).

3) Existe uma sequência $\{E_n\}$ que separa os pontos em $(\Omega, \mathcal{F})$ e MCF estabelece um homeomorfismo entre $\Omega$ (dotado com a topologia $\tau_{\Omega}$) e um subconjunto universalmente mensurável $U$ de $S^{\infty}$ dotado com com a topologia induzida,

4) Existe uma topologia $\delta_{\Omega}$ em $\Omega$ que gera $\mathcal{F}$ e um homeomorfismo $\phi: \Omega \rightarrow U$, no qual $U$ é um subconjunto universalmente mensurável de um espaço métrico dotado $Y$ denotado com a topologia herdada de $Y$;

5) Existe uma sequência $\{ E_n \} \subset \mathcal{F}$ tal que o MCF estabelece um isomorfismo entre $\Omega$ e $U$, no qual $U$ é um subconjunto universalmente mensurável de $S^{\infty}$;

6) Existe uma topologia separável metrizável $\tau_{\Omega}$ em $\Omega$ que gera $\mathcal{F}$ e para cada probabilidade $\mathbb{P}$ em $(\Omega , \mathcal{F})$, temos que

\[\mathbb{P}(A) ~= ~ \sup \left\{ \mathbb{P}(K) : K \subset A , ~ K ~ \mbox{ é compacto em } ~ \tau_{\Omega} \right\} ~ ~ ; ~ ~ A \in \mathcal{F};\]

7) Existe uma topologia metrizável e separável $\tau_{\Omega}$ em $\Omega$ que gera $\mathcal{F}$ e para cada probabilidade $\mathbb{P}$ em $(\Omega , \mathcal{F})$, temos que

\[ 1 ~= ~ \sup \left\{ \mathbb{P}(K) : ~ K ~ \mbox{ é compacto em } \tau_{\Omega} \right\} ~ ~ ; \]

8) $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço mensurável separável e Haussdorff e para cada probabilidade $\mathbb{P}$ e o MCF $\Psi: \Omega \rightarrow U$, existe um subconjunto $B \subset U$ com $B \in \mathcal{A}$ e $\mathbb{P}[\Psi^{-1} (B) ]=1$.
Demonstração: Do Teorema 2.1 em Leão, Fragoso e Ruffino (1999) temos que (1) e (2) são equivalente. Se $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon, então $(\Omega , \mathcal{F})$ é separável e Hausdorff. Portanto, existe uma sequência $\{E_n\}$ que separa os pontos em $(\Omega, \mathcal{F})$
Lema 9.1.2. Agora, se dotarmos $\Omega$ com a topologia $\tau_{\Omega}$ obtemos que MCF estabelece um homeomorfismo entre $\Omega$ e $U$, no qual $U$ é dotado com a topologia induzida por $S^{\infty}$. Além disso, do Corolário 2.1 em Leão, Fragoso e Ruffino (1999) temos que $U$ é universalmente mensurável. Assim, concluímos que (1) implica (3). Além disso, podemos ver que (3) implica (1).

Agora para provar que (3) implica (4), é suficiente definir que $\delta_{\Omega} = \tau_{\Omega}$. E por outro lado, se (4) é válido, temos que $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon. Portanto (4) implica (3). Para mostrar que (1) e (5) são equivalente, é suficiente ver que (3) e (5) são equivalentes. A seguir, seja $(\Omega , \mathcal{F})$ um espaço de Radon e $\mathbb{P}$ uma probabilidade. O MCF $\Psi$ estabelece um isomorfismo entre $(\Omega , \mathcal{F})$ e $(U , \beta(U))$, no qual $U$ é um subconjunto universalmente mensurável de $S^{\infty}$. Considere $(\Psi_{\star} \mathbb{P})$ a imagem da probabilidade em $(U , \beta(U))$. Desde que $U$ é universalmente mensurável, podemos extender $(\Psi_{\star}\mathbb{P})$ em $(\Omega , \mathcal{A}^{\star})$, no qual $\mathcal{A}^{\star}$ corresponde a $\sigma$-álgebra universal. Então, obtemos que

\[ (\Psi \star P) (A) ~ = ~ \sup \left\{ (\Psi \star P) (K) : K \subset A, ~ K ~ \mbox{ compacto em } ~ S^{\infty} ~ \right\}, \]
para cada $A \in \mathcal{A}^{\star}$. Portanto, segue do Lema 9.1.3, que

\[\mathbb{P}(B) ~ = ~ \sup \left\{ \mathbb{P}(C) : C \subset B, ~ C ~ \mbox{ compacto } \right\} ~ ~ ; ~ ~ B \in \mathcal{F}. \]
A equivalência das afirmações (6) e (7) resulta das observações da Definição 1.1 em De La Rue (1993). Finalmente, conluímos que do Lema 3 em Sazonov (1965, Theorem 3, pg. 245) que (1) e (8) são equivalentes.
 

Seja $(\Omega , \mathcal{F})$ um espaço de Radon, então a seguinte versão do MCF.

\[\Psi (w) ~ = ~ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n} \mathds{1}_{ E_n } (w) ~ ~ ; ~ ~ w \in \Omega\]
estabelece um homeomorfismo entre $\Omega$ (dotado da topologia $\tau_{\Omega}$) e $V$, no qual $V$ é um subconjunto universalmente mensurável $[0,1]$ com a topologia herdada. Assim, um resultado similar do Teorema 9.1.1 poderia ser obtido substituindo $S^{\infty}$ e $U$ pelo $[0,1]$ e $V$, respectivamente.

Definição 9.1.4:(Quase Isormoficos)
Dizemos que dois espaços de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ e $(E , \mathcal{E}, \mu)$ são quase isomorfos, se existe um subconjunto $\Omega_0 \in \mathcal{F}$ e $E_0 \in \mathcal{E}$ com $\mathbb{P}(\Omega_0) = \mu(E_0)=1$ satisfazendo

a) Existe um isomorfismo mensurável $\Phi$ entre $(\Omega_0 , \mathcal{F}_0)$ e $(E_0 , \mathcal{E}_0)$, no qual $\mathcal{F}_0$ $(\mathcal{E}_0)$ corresponde ao traço da $\sigma$-álgebra de $\mathcal{F}$ $(\mathcal{E})$ em $\Omega_0$ $(E_0)$;

b) Para qualquer $A \in \mathcal{F}$, temos que

\[ \mathbb{P}(A) ~ = ~ \mathbb{P}\left[ A \cap \Omega_0 \right] ~ = ~ \mu \left[ \Phi (A \cap \Omega_0) \right]. \]

 

Considere $\mathbb{P}$ uma medida de probabilidade não atômica em um espaço de Radon $(\Omega , \mathcal{F})$ (i.e., $\mathbb{P}(\{w\}) = 0$, para qualquer $w \in \Omega$). Então, seguindo a mesma linha para provar que os Teoremas 1 e 2 em Halmos and von-Neumann (1942, pg. 335 e 339) [veja, Leão (1999)], obtemos que o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ e $([0,1] ,\beta([0,1]) , m)$ são quase isomorfo, no qual $m$ denota a medida de Lebesgue. Além disso, temos que $\Phi=(g^{-1} \circ \Psi)$, no qual

\[ F_{\Psi}(x) ~ = ~ \mathbb{P}\left[ \Psi^{-1} ([0,x]) \right] ~ ~ \mbox{ e } ~ ~ g = \inf \left\{a \in [0,1] : F_{\Psi}(a) \leq y \right\}. \]

Teorema 9.1.2:
O espaço mensurável separável e Hausdorff $(\Omega , \mathcal{F})$ é Radon, se, e somente se, para cada probabilidade não atômica $\nu$, o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \nu)$ é quase isomorfo ao $([0,1], \beta([0,1]), m)$.
Demonstração: Se $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon, é suficiente definir $\Phi=(g^{-1} \circ \Psi)$. Por outro lado, se existe $\Omega_0 \in \mathcal{F}$ e $E_0 \in \beta([0,1])$ com $\nu(\Omega_0)=m(E_0)=1$ satisfazendo (a) e (b), obtemos de Ryll-Nardzewski (1953, Teorema VII, pg. 129) que o espaço de probabilidades é completo $(\Omega , \mathcal{F}^{\nu} , \nu)$ é perfeito. Além disso, é conhecido que um espaço de probabilidades  $(\Omega , \mathcal{F} , \nu)$ é perfeito se, e somente se, o espaço é completo $(\Omega , \mathcal{F}^{\nu} , \nu)$ é também perfeito [Sazonov (1965), Prop. (d), pg. 239]. Então, para todo probabilidade não atômica $\mathbb{P}$ em $(\Omega , \mathcal{F})$, o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ é perfeito (ou compacto). Em seguida, estenderemos esta propriedade para uma probabilidade arbitrária. Considere $\mathbb{P}$ uma probabilidade em $(\Omega , \mathcal{F})$, então para cada $a\textgreater 0$, o conjunto

\[ \{ w \in \Omega : \mathbb{P}( \{ w \}) \textgreater a \} \]
é finita. Além disso, a coleção de todos os pontos $w \in \Omega$ tal que $\mathbb{P}(\{w\})\textgreater 0$ é finita ou enumerável. Então, podemos enumerar $w_1, w_2, \cdots$ tal que $\mathbb{P}(\{w_1\}) \leq \mathbb{P}(\{w_2\}) \leq \cdots$. Para cada $n \geq 1$, definimos

\[ M_n ~ = ~ \mathbb{P}(\{w_n\}) \]
e
\[ M_0 ~ = ~ 1 - \sum_{n=1}^{\infty} M_n . \]
Considere $M_{n+1} = 0$ se não houver mais de $n$ pontos com probabilidade positiva. Denotamos $\Omega_0 = \Omega - \cup_{n \geq 1} \{w_n\}$, vamos admitir que $M_0 \textgreater 0$, caso contrario, é trivial. Desde que $\Omega_0 \in \mathcal{F}$, obtemos que
\[ \mathbb{P}_{0} (A) ~ = ~ \frac{\mathbb{P}(A \cap \Omega_0)}{M_0}, \quad \quad A \in \mathcal{F} \]
define uma probabilidade não atômica sobre $(\Omega , \mathcal{F})$. Então, o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}_0)$ é perfeito (ou compacto). Além disso, podemos dividir a probabilidade $\mathbb{P}$ em duas partes

\[ \mathbb{P}(A) ~ = ~ \mathbb{P}(A \cap \Omega_0) ~ + ~ \mathbb{P}(A \cap \Omega_{0}^{c}) ~=~ \mathbb{P}(A \cap \Omega_0) ~ + ~ \sum_{ \{w_k\} \in A \cap \Omega_{0}^{c} } \mathbb{P}(\{w_k\}). \]
Assim, o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ é compacto. Desde que $\mathbb{P}$ é arbitrário, concluímos que $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon Teorema 9.1.1. Portanto o resultado segue.

 

A partir dos argumentos acima obtemos os seguintes resultados.

Corolário 9.1.1:
O espaço separável mensurável e Hausdorff $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon se, e somente se, para toda probabilidade não atômica $\mathbb{P}$, o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ é perfeito (ou compacto).
 

Seja $l$ uma probabilidade definida em $(S^{\infty} , \mathcal{A})$ tal que

\[ l \left[ \pi_{1}^{-1} ( \{ w_1 \}) \cap \cdots \cap \pi_{n}^{-1} (\{w_n\}) \right] ~ = ~ \frac{1}{2^n} \]
no qual $(w_1 , \cdots , w_n) \in S^n$ e $ n \geq 1$.

Corolário 9.1.2:
O espaço mensurável $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon se, e somente se, para toda probabilidade não atômica $\mathbb{P}$, o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ é quase isomórfico para o espaço de probabilidade $(S^{\infty} , \mathcal{A} , l)$.
Demonstração: Podemos ver que a expansão diádica estabelece um quase isomorfismo entre os espaços de probabilidade $(S^{\infty} , \mathcal{A} , l)$ e $([0,1], \beta([0,1]), m)$ [veja, Leão (1999), Capitulo 02]. Então, concluímos que do Teorema 9.1.2 que $(\Omega , \mathcal{F})$ é Radon se, e somente se, para cada probabilidade não atômica $\mathbb{P}$, o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ é quase isomorfo o espaço de probabilidade $(S^{\infty} , \mathcal{A} , l)$.
 

Corolário 9.1.3:
O espaço mensurável separável e Hausdorff $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon se, e somente se, para toda probabilidade $\mathbb{P}$, o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ é quase isomorfo para o espaço de probabilidade $(\Omega_1 , \mathcal{F}_1 , \mathbb{P}_1)$, no qual
i) $\Omega_1 = [0 , M_0] \cup \{x_n\}$ tal que $x_n = 1 + \frac{1}{n}$

ii) $\mathcal{F}_1 = \sigma \left\{ \beta([0,M_0]); \{x_n \} \right\}$

iii) $\mathbb{P}_1$ corresponde a medida de Lebesgue em $([0 , M_0], \beta([0,M_0]))$ com $\mathbb{P}_{1}(\{x_n\}) =M_n$ para todo $n \in \Bbb{N}$.

Demonstração: Seja $\mathbb{P}$ um probabilidade sobre em $(\Omega , \mathcal{F})$, suponha o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ é quase isomorfo $(\Omega_1 , \mathcal{F}_1 , \mathbb{P}_1)$. Desde que $(\Omega_1, \mathcal{F}_1 , \mathbb{P}_1)$ é compacto, obtemos que $(\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P})$ é também compacto [Ryll-Nardzewski (1953), Lema, pg. 126]. Então, concluímos que $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon (Teorema 9.1.1).

Por outro lado, considere $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon. Se $\mathbb{P}$ é uma probabilidade é suficiente aplicar o Teorema 9.1.2. Considere $\Omega_0 = \Omega - \cup_{n \geq 1} \{w_n\}$, vamos admitir que $M_0 \textgreater 0$, caso contrário é trivial.
Usando o fato que  $\Omega_0 \in \mathcal{F}$, obtemos que $\mathcal{F}_0 =\{ A \in \mathcal{F} : A \subset \Omega_0 \}$ corresponde ao traço $\sigma$-álgebra de $\mathcal{F}$ em $\Omega_0$ e

\[ \mathbb{P}_{0} (A) ~ = ~ \frac{\mathbb{P}(A \cap \Omega_0)}{M_0}, \quad \quad A \in \mathcal{F}, \]
define um probabilidade não atômica em $(\Omega_0 , \mathcal{F}_0)$.
Desde que $\Omega_0 \in \mathcal{F}$, o espaço de probabilidade $(\Omega_0 , \mathcal{F}_0 , \mathbb{P}_0)$ é compacto. Portanto, o espaço de probabilidade $(\Omega_0 , \mathcal{F}_0 , \mathbb{P}_0)$ é quase isomorfo ao $([0,1] , \beta([0,1]),m)$. Então, existe $\Omega_{0}^{\prime} \in \mathcal{F}_0$ e $E_0 \in \beta([0,1])$ com $\mathbb{P}(\Omega_{0}^{\prime})= m(E_0) = 1$ e um isomorfismo mensurável $h : \Omega_{0}^{\prime} \rightarrow E_0$ tal que

\[ \mathbb{P}_0(A \cap \Omega_{0}^{\prime}) \quad = \quad\frac{\mathbb{P}(A \cap \Omega_{0}^{\prime} )}{M_0} ~ = ~ m \left[ h(A \cap \Omega_{0}^{\prime})\right] ~ ~ ; ~ ~ A \in \mathcal{F}_0 . \]
Portanto,
\[ \mathbb{P}(A \cap \Omega_{0}^{\prime}) ~ = ~ M_0 ~ m[h(A \cap \Omega_{0}^{\prime})] ~ = ~ m \left[ (M_0 h)(A \cap \Omega_{0}^{\prime}) \right] ~ ~ ; ~ ~ A \in \mathcal{F}_0 , \]
no qual $(M_0 h)(w) = M_0 h(w)$ para todo $w \in \Omega_{0}^{\prime}$. Portanto, se denotamos por
$E_{0}^{\prime} = \left\{ M_0 x : x \in E_0 \right\}$, temos que $E_{0}^{\prime} \in \beta([0,M_0])$ and $(M_0 h): \Omega_{0}^{\prime} \rightarrow E_{0}^{\prime}$
estabelece um isomorfismo mensurável que satisfaça
\[ \mathbb{P}\left(\Omega_{0}^{\prime}\right) ~ = ~ m \left(E_{0}^{\prime}\right) ~ = ~ M_0 . \]
Então, concluímos que o espaço de probabilidade $(\Omega_0 , \mathcal{F}_0 , \mathbb{P}_0)$ and $([0,M_0] , \beta([0,M_0]), m)$ são quase isomorfas.
Finalmente, concluímos que o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ e $(\Omega_1 , \mathcal{F}_1 , \mathbb{P}_1)$ são quase isomorfos. Portanto o resultado segue.
 

Considere $(\Omega , \mathcal{F})$ um espaço mensurável separável e Hausdorff e seja $\{E_n\}$ uma sequência tal que $\mathcal{F}= \sigma(\{E_n\})$. Em seguida, caracterizamos os espaços Radon através das propriedades de funções definidas na algebra gerada por $\{E_n\}$.
Primeiramente, vamos estabelecer uma conexão entre subespaços universalmente mensurável $U$ de um espaço de Cantor o conjunto de funções definidas no traço da álgebra cilindros em $U$. Então, usaremos este resultado para caracterizar os espaços de Radon.

Lema 9.1.4:
Considere $U$ um subconjunto de $S^{\infty}$, então as seguintes afirmações são equivalentes:
a) $U$ é universalmente mensurável;
b) Para cada probabilidade $\mathbb{P}$ em $(S^{\infty}, \mathcal{A})$, temos que
\[ \mathbb{P}(U) ~ = ~ \sup\{\mathbb{P}(K) : K \subset U , ~ K ~ \mbox{ é compacto } \}~ = ~ \inf \left\{ \mathbb{P}(O) : U \subset O , O \in \tau \right\} \]
c) Considere $\mathcal{C}_U$ o traço da algebra $\mathcal{C}$ em $U$ $(\mathcal{C}_U = \{C \cap U : C \in \mathcal{C} \})$. Todo conjunto de funções $\mu: \mathcal{C}_U \rightarrow [0,1]$ que é aditivo finito $\mu(U)=1$ é também $\sigma$-aditiva.
Demonstração: Desde que $S^{\infty}$ é um espaço métrico compacto e $\mathcal{A}$ é Borel $\sigma$-álgebra, concluímos do Teorema 9.1.1 que (a) e
(b) são equivalentes. A seguir, vamos mostrar que (b) e (c) são equivalentes. Suponha que (b) é válido e considere um conjunto de funções

\[ \mu^{\star} (C) ~ = ~ \mu(C \cap U) ~ ~ ; ~ ~ C \in \mathcal{C} , \]
definida $\mathcal{C}$. Então, $\mu^{\star}$ é finitamente aditiva e $\mu^{\star}(S^{\infty})=1$. Resulta da compacidade de $\mathcal{C}$ que $\mu^{\star}$ é também $\sigma$-aditiva. Portanto, usando ao Teorema de extensão Carathéodory, obtemos que uma única probabilidade $\mathbb{P}$ em $(S^{\infty},\mathcal{A})$ que se estende $\mu^{\star}$. A seguir, vamos mostrar que $\mathbb{P}(U)=1$.

Seja $F$ ser um conjunto fechado (ou compacto) tal que $U \subset F$. Então, existe uma sequência monótona decrescente $\{C_n \} \subset \mathcal{C}$ tal que $\cap C_n = F$. Portanto,

\[ \mathbb{P}(F) ~ = ~ \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(C_n) ~ = ~ \lim_{n \rightarrow \infty} \mu^{\star} (C_n) ~ = ~ \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(C_n \cap U) ~ = ~ 1 . \]
Então, se $U$ é fechado obtemos que $\mathbb{P}(U)=1$. Para todo conjunto aberto $O$, existe uma sequência $\{C_n\} \subset \mathcal{C}$ tal que

\[ \bigcup_{k=1}^{\infty} C_k ~ = ~ O . \]
Suponha que $U \subset O$ e $O \neq U$, então existe $n_0 \in \Bbb{N}$ satisfazendo

\[ U \subset \bigcup_{k=1}^{n_0} C_k ~ = ~ S_{n_0}~ \in ~ \mathcal{C} . \]
Portanto, temos que

\[ \mathbb{P}(O) ~ \geq ~ \mathbb{P}\left( S_{n_0} \right)~ = ~ \mu^{\star} \left( S_{n_0} \right) ~ = ~ \mu \left( S_{n_0} \cap U \right) ~ = ~\mu(U) ~ = ~ 1 . \]
Então, concluímos que $\mathbb{P}(O)=1$ para todo conjunto aberto $O$ tal que $U \subset O$ e $U \neq O$. Usando o fato, que para todo conjunto universalmente mensurável $A$ tal que $U \subset A$ and $A \neq U$, denotamos que

\[ \mathbb{P}(A) ~ = ~ \inf \{ \mathbb{P}(O) : A \subset O, ~ O ~ \mbox{ aberto } \} ~ = ~ 1 . \]
Desde que $U$ é universalmente mensurável, obtemos que $U_x = U \cup \{x\}$ é também universalmente mensurável, para todo $x \in U^c$. Então, temos que

\[\mathbb{P}\left( U_x \right) ~ = ~ 1 ~ ~ ; ~ ~ x \in U^c . \]
Portanto, concluímos que $\mathbb{P}(U) = 1$. Então,  a restrição $\mathbb{P}_U$ de $\mathbb{P}$ em $(U , \mathcal{A}_U)$ satisfaz

\[ \mathbb{P}_U(C \cap U) ~ = ~ \mathbb{P}(C \cap U) ~ = ~ \mathbb{P}(C) ~ = ~ \mu^{\star} (C) ~= ~ \mu(C \cap U)~ ~ ; ~ ~ C \in \mathcal{C} . \]
Então, obtemos que $\mathbb{P}_U$ é uma probabilidade em $(U , \mathcal{A}_U)$ o qual estende $\mu$.

A seguir, vamos estabelecer que (c) implica (b). Para provar que, usaremos a noção de probabilidade condicional regular.
Considere $\mathbb{P}$ uma probabilidade em $(U , \mathcal{A}_U)$ e $T : (U , \mathcal{A}_U)\rightarrow (E , \mathcal{E})$ uma função mensurável, no qual $(E , \mathcal{E})$ é um espaço arbitrário mensurável. Portanto, existe uma probabilidade condicional $\nu : E \times \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$ tal que

\[ \mathbb{P}(A \cap T^{-1}(B)) ~ = ~ \int_{B} \nu(x,A) (T_{\star}P)(dx), \]

para todo $B \in \mathcal{E}$  e $A \in \mathcal{A}_U$, no qual $T_{\star}P$ corresponde a probabilidade de imagem de $\mathbb{P}$ em $(E , \mathcal{E})$ com respeito a $T$. Vamos estabelecer uma versão $\mu: E \times \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$ da probabilidade condicional $\nu$ que é regular

i) Para todo $x \in E$, temos que $\mu(x, \cdot)$ é uma probabilidade em $(U , \mathcal{A}_U)$;
ii) Para todo $A \in \mathcal{A}_U$, temos que  $\mu( \cdot , A)$ é uma função mensurável.
A partir das propriedades das probabilidades condicional $\nu( \cdot ; U) = 1 ~ (T_{\star}P)-a.e.$ e para cada sequência $\{ A_n \} \subset \mathcal{A}_U$ dois a dois disjuntos, obtemos que

\[ \nu \left( \cdot , \bigcup_n A_n \right) ~ = ~ \sum_{n=1}^{\infty} \nu \left( \cdot , A_n \right)~ ~ ; ~ ~ (T_{\star}P)-a.e. . \]
Portanto, o conjunto $M_1 = \{ x \in E : \nu(x , U) =1 \}$ pertence a $\mathcal{E}$ and $(T_{\star}P)(M_1)=1$. Além disso, para cada sequência finita $C_1 , \cdots , C_n$ de elementos de $\mathcal{C}_U$, o conjunto

\[ M(C_1 , \cdots , C_n) ~ = ~ \left\{ x \in E: \nu \left( x , \bigcup_{i=1}^{n} C_i \right) ~ = ~ \sum_{i=1}^{n} \nu(x , C_i) \right\} \]
pertence a $\mathcal{E}$ e $(T_{\star}P)[M(C_1 , \cdots , C_n)]=1$. Assim, se denotamos

\[ M_2 ~ = ~ \bigcup M(C_1 , \cdots , C_n), \]

no qual a união é tomada sobre toda sequência finita de elementos de uma álgebra $\mathcal{C}_U$, obtemos que $M_2 \in \mathcal{A}_U$ e $(T_{\star}P)(M_2)=1$. Definimos $M=M_1 \cup M_2$ e uma função $\mu: E \times \mathcal{C}_U \rightarrow [0,1]$ por

\[ \mu(x,C) ~ ~ = ~ \left\{ ~ \begin{array}{c} \nu(x,C) ~ ~ , ~ ~ x \in M \\ \\ \mathbb{P}(C) ~ ~ , ~ ~ x \in M^c \end{array} \right. \]
para todo $C \in \mathcal{C}_U$. Então, para cada $x \in E$, o conjunto de função $\mu(x , \cdot) : \mathcal{C}_U \rightarrow [0,1]$ é finita aditiva e
$\mu(x , U)=1$.
Resulta da hipótese (c) que $\mu(x , \cdot)$ é $\sigma$-aditiva em $\mathcal{C}_U$. Assim, função de ajuste pode ser estendida a uma probabilidade em $\mathcal{A}_U$, também denotamos por $\mu(x, \cdot)$.  Para qualquer $C \in \mathcal{C}_U$ e $B \in \mathcal{E}$, temos que

\[ \mathbb{P}(C \cap T^{-1}(B)) ~ = ~ \int_{B} \nu(x , C) (T_{\star}P)(dx) ~ = ~ \int_{B} \mu(x,C) (T_{\star}P)(dx).\]
Desde que $\mathcal{C}_U$ é a álgebra gerada $\mathcal{A}_U$, concluímos que a equação acima é válida para todo $A \in \mathcal{A}_U$. Portanto, $\mu$ é uma probabilidade regular. Finalmente, decorre pelo Teorema 3.2 em Leão, Fragoso e Ruffino (1999) que $U$ é universalmente mensurável.
 

Teorema 9.1.3:
Seja $(\Omega , \mathcal{F})$ um espaço mensurável separável e Hausdorff e $\{E_n\}$ uma sequência tal que $\mathcal{F}= \sigma(\{E_n\})$. A álgebra gerada por $\{E_n\}$ é denotada por $\mathcal G$. Então, $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon se, e somente se, qualquer função de conjunto finitamente aditiva $\mu:{\mathcal G} \rightarrow [0,1]$ satisfazendo $\mu(\Omega) =1$ também é $\sigma$-aditiva na álgebra $\mathcal{G}$.
Demonstração: Considere $(\Omega , \mathcal{F})$ um espaço separável e Hausdorff, então, o MCF estabelece uma isomorfismo mensurável entre $(\Omega , \mathcal{F})$ e $(U, \beta(U))$, no qual $U$ é um subconjunto de $S^{\infty}$ (Proposição 9.1.1). Além disso, para cada $n \in \Bbb{N}$, obtemos que

\[ \Psi(E_n) ~ = ~ \pi_{n}^{-1} (\{1\}) \cap U . \]
Portanto, concluimos que $\Psi({\mathcal G}) = \mathcal{C}_U$ e $\Psi^{-1} (\mathcal{C}_U)= {\mathcal G}$. Usando esse fato, para cada função $\mu$ definida em ${\mathcal G}$, podemos definir que
$\Psi_{\star}\mu$ em $\mathcal{C}_U$ induzida por $\mu$, satisfazendo

\[ \Psi_{\star}\mu(D) ~ = ~ \mu \left[ \Psi^{-1} (D) \right] ~ ~ ; ~ D \in \mathcal{C}_U . \]
Além disso, $\mu$ é finito aditivo se, e somente se, $\Psi_{\star}\mu$ é também finito aditivo.

Agora, se $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon, concluímos que $U$ é universalmente mensurável (Teorema 9.1.1). Então, segue do Lema 9.1.4 que $\Psi_{\star}\mu$ é $\sigma$-aditiva. Então, obtemos que $\mu$ também é $\sigma$-aditiva.

Por outro lado, suponha que para toda função de conjuntos finitamente aditivo é $\mu: {\mathcal G} \rightarrow [0,1]$ com massa total igual a 1 é $\sigma$-aditiva.
Seja $\nu: \mathcal{C}_{U} \rightarrow [0,1]$ seja uma função sobre um conjunto finitamente aditiva tal que $\nu(U) = 1$. Então, podemos induzir uma função sobre um conjunto finitamente aditivo $\Psi^{-1}_{\star} \nu$ em $(\Omega , \mathcal{F})$. Desde que para todo conjunto de funções finitamente com massa total massa total igual a 1 é $\sigma$-aditiva, concluímos que $\nu : \mathcal{C}_U \rightarrow [0,1]$ é também $\sigma$-aditiva.
Portanto, segue do Lema 9.1.4 que $U$ é universalmente mensurável. Finalmente, usando o Teorema 9.1.1 concluímos que $(\Omega , \mathcal{F})$ é um espaço de Radon.

 

Probabilidades

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