9.1. - Espaços de Radon

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Nesta seção, vamos explorar a estratégia de isomorfismo entre espaços mensuráveis para transportarmos propriedades entre estes espaços. Inicialmente, mostraremos que todo espaço mensurável separável e separado (Hausdorff) é homoeomorfo a um subconjunto do espaço de Cantor.  Com isso, podemos transportar propriedades do espaço de Cantor para estes espaços mensuráveis (separável e separado). Dizemos que um espaço mensurável $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é Radon, se, e só se, é isomorfo a um subconjunto $ U \subset S^\infty $ universalmente mensurável. Esta estratégia de "isomorfismo mensurável" também será utilizada para demonstrar nosso teorema de selação mensurável.  Considere um espaço mensurável $ (\Omega, \mathcal{F}) $ e $ A \subset \Omega $ um subconjunto qualquer, definimos por

 B \in \mathcal{F} \} \]

a $ \sigma $-álgebra traço de $ \mathcal{F} $ sobre $ A \subset \Omega $. Os átomos de $ \mathcal{F} $ são classes de equivalência em $ \Omega $ dada pela relação $ w \sim w^{\prime} $ se, e somente se,

\[ \mathds{1}_{A}(w) = \mathds{1}_{A} (w^{\prime}) \]

para todo $ A \in \mathcal{F} $ no qual $ \mathds{1}_{A} $ é a função indicadora.

Definição 9.1.1: O espaço mensurável $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é chamado de Hausdorff ou separado, se os átomos são pontos de $ \Omega $. Se existe uma sequência de elementos de $ \mathcal{F} $ que gera $ \mathcal{F} $,  então dizemos que $ \mathcal{F} $ é separável.

Considere $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço mensurável separável, tal que a sequência $ \{E_n\} $ gera a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $. Então, para cada $ w \in \Omega $, definimos

\[ D_n (w) \left\{ \begin{array}{c} E_n, \quad ;w \in E_n \\ \\E_{n}^c ,\quad w \in E_{n}^c \end{array} \right. \]

e

\[ Z_{w} ~ = ~ D_1 (w) \cap D_2 (w) \cap \cdots . \]

Com estes elementos, obtemos de Marczewski (1938) os seguintes Lemas.

Lema 9.1.1: 
Seja $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço mensurável separável tal que $ \mathcal{F} = \sigma(\{E_n \}) $. Então, para todo $ w_1 $, $ w_2 \in \Omega $ temos que $ w_1 \sim w_2 $ se, e somente se, $ Z_{w_1} = Z_{w_2} $.
Demonstração: $ \forall \omega_1, \omega_2\in \Omega $ temos que se $ \omega_1\sim \omega_2 $ temo que

$$\mathds{1}_A(\omega_1)=\mathds{1}_A(\omega_2)$$

para todo $ A\in \mathcal{F} $ em particular para todo $ \{E_n\} $, logo

$$\mathds{1}_{E_i}(\omega_1)=\mathds{1}_{E_i}(\omega_2)$$

para todo $ i $ mas isso implica que $ D_i(\omega_1)=D_i(\omega_2) $ para todo i, o que implica que

$$Z_{\omega_1}=Z_{\omega_2}.$$

Por outro lado temos que se $ Z_{\omega_1}=Z_{\omega_2} $, então temos que

$$D_i(\omega_1)=D_i(\omega_2)$$

para todo i, logo temos que

$$\mathds{1}_{E_i}(\omega_1)-\mathds{1}_{E_i}(\omega_2)$$

portanto o resultado segue.
 

Lema 9.1.2:
Um espaço mensurável $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é  separável e separado se, se e somente se, existe uma sequência $ \{ E_n \} $ que separa os pontos em $ (\Omega , \mathcal{F}) $.
Demonstração: Se $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço mensurável de Hausdorff, obtemos que do Lema 9.1.1 que $ w_1 \sim w_2 $ se, e somente se, $ w_1=Z_{w_1} = Z_{w_2} = w_2 $. Portanto, a sequência $ \{ E_n \} $ separa pontos em $ (\Omega , \mathcal{F}) $,i.e.,

i) $ \mathcal{F} = \sigma( \{E_n \}) $;

ii) Para todo $ w_1 $, $ w_2 \in \Omega $$ (w_1 \neq w_2) $ existe um $ m \in \Bbb{N} $ tal que $ \mathds{1}_{E_m}(w_1) \neq \mathds{1}_{E_m}(w_2) $.

A partir destas propriedades básicas dos espaços mensuráveis separável e separado, podemos definir uma topologia $ \tau_{\Omega} $ em $ \Omega $ tal que $ \mathcal{F} = \sigma\{\tau_{\Omega}\} $,  Considere $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço mensurável  separável e separado. Então, existe uma sequência $ \{E_n \} $ que separa os pontos em $ \Omega $.  Seja $ {\mathcal V}_0 $ a classe de subconjunto de  $ \Omega $ que contém os $ E_n $ e $ E_{n}^c $. Denotamos que $ {\mathcal V}_1 $  a classe obtida por operações finitas de interseções de elementos de $ {\mathcal V}_0 $. Portanto, a classe $ {\mathcal V}_1 $ define uma base para a topologia

 \forall w \in O, \exists B \in {\mathcal V}_1 ~ \mbox{ tal que } ~ w \in B \subset O \right\}.\]

Através do Teorema 2 em Blackwell (1956) sabemos que a função  \Omega \times \Omega \rightarrow [0, \infty) $, definida por

\[\rho_{\Omega}(w_1 , w_2) = \left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{k(w_1 , w_2) } , w_1 \neq w_2 \\ \\ 0 , w_1=w_2 \end{array} \right. \]

no qual $ k(w_1 , w_2) $ é o menor $ n \in \Bbb{N} $ para o qual $ \mathds{1}_{E_n}(w_1) \neq \mathds{1}_{E_n}(w_2) $, define uma métrica em $ \Omega $. Além disso, a topologia gerada pela métrica $ \rho_{\Omega} $ coincide com $ \tau_{\Omega} $. Desde que $ {\mathcal V}_1 $ é uma base para $ \tau_{\Omega} $ e gera $ \mathcal{F} $, concluimos que $ \mathcal{F}=\sigma(\tau_{\Omega}) $.

Utilizamos propriedades de mensurabilidade para construir uma topologia adequada  $ (\mathcal{F}=\sigma(\tau_{\Omega})) $ relacionada um espaço mensurável  $ (\Omega , \mathcal{F}) $ separável e separado.  Por outro lado, sabemos que para todo espaço topológico $ X $ com topologia $ \tau_X $ separável e Hausdorff, a $ \sigma $-álgebra gerada pelos abertos desta topologia $ \beta = \sigma(\tau_X) $, nos fornece um espaço mensurável $ (X, \beta) $ separável e separado (Hausdorff).  A partir deste fato, podemos estudar homeomorfismo (ou isomofirmos) entre espaços mensuráveis na presença da topologia $ \tau_{\Omega} $.

Na sequência, vamos introduzir a principal classe de espaços de probabilidade relaionados com os espaços mensuráveis separável e separado, denominados espaço de probabilidade compacto.

Definição 9.1.2: (Espaço de probabilidade Compacto) Dado um conjunto abstrato $ \Omega $ com uma classe de subconjuntos $ {\mathcal C} $, dizemos que $ {\mathcal C} $ é uma Classe Compacta, se para toda sequência  n \geq 1\} $ em $ {\mathcal C} $  com intersecção $ \cap_{n \geq 1} C_n = \emptyset $ existe um inteiro $ n_0 $ tal que $ \displaystyle \bigcap_{n \leq n_0} C_n = \emptyset $. Para um espaço de probabilidade, dizemos que a tripla $ (\Omega , \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ é compacto se existe uma classe de compactoa $ {\mathcal C} \subset \mathcal{F} $ tal que

 C \subset A , C \in {\mathcal C} \}, A \in \mathcal{F}. \]

O espaço de Cantor $ (S^\infty $ com a $ \sigma $-álgebra produto e a probabilidade usual $ \mathbb{P} $ contruída através de experimentos de Bernoulli consiste no principal exemplo de espaço de probabilidade compacto. Da forma geral,  se $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ é um espaço de probabilidade no qual $ \Omega $ é um espaço topológico separável e Hausdorff, $ \mathcal{F} $ a $ \sigma $-álgebra de Borel e $ \mathbb{P} $ uma probabilidade regular, isto é,

 D\subset A, ~\text{compacto na topologia de} ~\Omega\},\quad A \in \mathcal{F}$$

 obtemos que $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ é um espaço de probabilidade compacto.

A classe dos espaços de probabilidade compacto apresenta diversas propiredades, para maiores detalhes ver Leão, fragoso e Rufino (1999). A seguir, apresentamos um conceito sobre espaços de probabilidade amplamento estudados na literatura.

Definição 9.1.3: (Espaço Perfeito) Um espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ é dito ser perfeito se para qualquer função mensurável  \Omega \rightarrow\Bbb{R} $ existe um conjunto de Borel $ B $ tal que $ B \subset f(\Omega) $ e $ \mathbb{P}[f^{-1}(B)] = 1 $. Se a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $ é separável, é bem conhecido que a perfeição e a compacidade são equivalentes, como apresentado em Tortrat (1977, Proposition 3).

A seguir, vamos estabelecer um homeomorfismo entre um espaço mensurável separável e separado com um subconjunto do Espaço de Cantor. Iniciamos com uma breve introdução das principais propriedades do espaço de Cantor, apresentadas e demonstradas na seção "Espaco de Cantor".  Seja $ S $ o espaço composto pelos elementos $ 0 $ e $ 1 $, e

\[ S^{\infty} ~ = ~ S \times S \times S \times \cdots . \]

O espaço $ S^{\infty} $ é denominado espaço de Cantor. Considere  S^{\infty} \rightarrow S $ a projeção coordenada $ (k \in \Bbb{N}) $, definida por

\[ \pi_k (w) ~ = ~ w_k ~ ~ ; ~ ~ w = (w_1 , w_2 , \cdots ) \in S^{\infty} ~ \mbox{ e }~ k \in \Bbb{N}. \]

Com essas projeções coordenadas,  definimos a classe dos cilindros de $ S^{\infty} $ com base em $ S $, na forma

 i \in S, ~ k \in \Bbb{N} \right\}. \]

Esta classe de cilindros $ {\mathcal S} $ satisfaz as seguintes propriedades: é compacta, separa os pontos em $ S^{\infty} $ e é enumerável. A álgebra gerada pelos cilindros $ \mathcal{S} $ é dada por

 v = (v_1 , \cdots , v_n) \in {\mathcal D} ~ , ~ B \subset S^n ~ {\mbox e } ~ n \in \Bbb{N} \right\}.\]

Como a álgebra $ \mathcal{C} $ é obtida a partir de operações finitas de elementos de $ \mathcal{S} $, concluímos que $ {\mathcal C} $ também é uma classe de compacta. A partir da compacidade da álgebra $ \mathcal{C} $, sabemos que toda função de conjunto aditiva  {\mathcal C} \rightarrow [0,1] $ satisfazendo $ \delta(\emptyset)=0 $ e $ \delta(S^{\infty}) = 1 $ também é $ \sigma $-aditiva na álgebra. Como consequência do teorema de extensão  de Carathéodory, existe uma única probabilidade $ \mathbb{P} $ definida sobre a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{A} $ gerada por $ {\mathcal C} $, tal que

\[ \mathbb{P}(B) ~ = ~ \delta(B) ~ ~ ; ~ ~ \forall ~ B \in {\mathcal C}. \]

Ao denotamos por $ \mathcal{E} $ a classe de subconjuntos de $ S^{\infty} $ composta por interseções enumeráveis de elementos de $ \mathcal{C} $, temos que

\[ \mathbb{P}(D) = \lim_{n \rightarrow \infty} \delta(C_n), \forall D \in \E. \]

no qual $ \{ C_n \} $ é uma sequência monótona decrescente de elementos que $ {\mathcal C} $ tal que $ D = \cap C_n $, e

 K \subset A, ~ K \in {\mathcal E} \right\} ~ ~ ; ~ ~ \forall ~ A \in \mathcal{A}. \]

Além disso, temos que $ \mathcal{E} $ é uma classe compacta, pois é obtida a partir de interseções enumeráveis de elementos de $ {\mathcal C} $), ver a seção probabilidades compactas.

Considere o espaço de Cantor equipado com a topologia metrizável induzida pela métrica de Blackwell's, denotada por $ \tau $. Então, obtemos que o espaço de Cantor é compacto e metrizável tal que

 K ~ \mbox{ é compacto } \right\}. \]

Como definido anteiormente, dois espaço são ditos isomorfos se existe uma bijeção entre eles, que é mensurável e tem inversa mensurável. Tal bijeção é denominada isomorfismo mensurável.

Seja $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço mensurável separável e separado tal que a sequência $ \{ E_ n \} $ separa os pontos em $ \Omega $. A função Característica de  Marczewski (1938) (MCF) na forma

\[ \Psi (w) ~ = ~ \left( \mathds{1}_{E_1} (w) , \mathds{1}_{E_2}(w), \mathds{1}_{E_3}(w) , \cdots \right) ~ ~ ; ~ ~ w \in \Omega, \]

associa elementos de $ \Omega $ com elementos do espaço de Cantor. 

Ao equiparmos $ \Omega $ com a topologia $ \tau_{\Omega} $, obtemos que MCF estabelece um homeomorfismo entre $ \Omega $ e $ U $, com  $ U (\subset S^{\infty}) $ dotadado com a topologia induzida por $ \tau $ em $ U $. Além disso, os elementos da sequência $ \{E_n\} $, o qual separa pontos em $ \Omega $, estão abertos e fechados em $ \tau_{\Omega} $[Marczewski (1938)]. Em particular, está função estabelece um isomorfismo entre $ (\Omega , \mathcal{F}) $ e $ (U , \beta(U)) $ no qual $ U \subset S^{\infty} $ e $ \beta(U) $ é um traço da $ \sigma $-álgebra.

Considere $ K $ o conjunto composto de números reais $ x $ da forma $ x=2 \sum_{i=1}^n x_i / 3^i $, onde cada $ x_i $ é igual a zero ou 1. Uma vez que cada série converge, $ K $ é uma coleção de números reais a qual podemos metrizar pela métrica usual. Além disso, podemos ver que $ K $ é um homeomorfismo para $ S^{\infty} $ [Pervin (1964), Theorem 8.3.2]. Portanto, concluimos que para todo espaço mensurável de Hausdorff $ (\Omega , \mathcal{F}) $, se dotamos $ \Omega $ com a topologia $ \tau_{\Omega} $ e $ K $ com a topologia usual obtemos que $ \Omega $ é homeomorfo a um subconjunto de $ K $ (ou $ [0,1] $).

Seja $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço mensurável seperável de Hausdorff, então podemos definir uma topologia separável e metrizável $ (\tau_{\Omega}) $ em $ \Omega $ tal que   \Omega \rightarrow U $ estabelece um homeomorfismo entre $ \Omega $ e $ U $, no qual $ U $ é dotado is com a topologia induzida por $ \tau $ em $ U $. A seguir caracterizaremos a classe compacta de subconjuntos de $ \Omega $.

Lema 9.1.3:

Seja $ {\mathcal K}_{\Omega} $ a classe de subconjunto compactos de $ \Omega $. Então, temos que

 K \subset U , ~ K ~\mbox{ é um subconjunto compacto de }~ S^{\infty} \right\}.\]

Demonstração: Considere $ C $ um subconjunto compacto de $ \Omega $. Desde que $ \Psi $ é um homeomorfismo, a restrição  C \rightarrow S^{\infty} $ é uma função contínua.
Resulta da compacidade de $ C $ que $ \Psi(C) $ é também compacto [Royden (1988), prop. 4, pg. 191]. Portanto,

 K \subset U , K \mbox{ é um subconjunto compacto } ~ S^{\infty} \right\}.\]

Por outro lado, seja $ K \subset U $ ser um conjunto compacto de $ S^{\infty} $. Usando os mesmos argumentos concluímos que $ \Psi^{-1}(K) $ é um subconjunto compacto de $ \Omega $.
 

Seja $ Y $ um espaço métrico compacto dotado com $ \sigma $-algebra de Borel $ \beta(Y) $. Considere $ U \subset Y $ dotado com a $ \sigma $-álgebra traço de $ \beta(Y) $ em $ U $ denotado por $ \beta(U) $ e a topologia herdada de $ Y $.

Portanto, a proposição seguinte é uma consequência dos argumentos estabelecido acima e Marczewski (1938).

Proposição 9.1.1:
Para espaço mensurável $ (\Omega , \mathcal{F}) $, os seguintes item são equivalentes
a) $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço mensurável separável de Haussdorff;

b) Existe um isomorfismo mensurável entre $ (\Omega , \mathcal{F}) $ and $ (U, \beta(U)) $, no qual $ U $ é um subconjunto de um espaço métrico compacto;

c) Existe uma topologia $ \delta_{\Omega} $ em $ \Omega $ que gera $ \mathcal{F} $ e um homeomorfismo  \Omega \rightarrow U $, no qual $ U $ é um subconjunto de um espaço métrico compacto dotado com a topologia herdada de $ Y $;

d) Existe uma topologia metrizável separável $ \delta_{\Omega} $ em $ \Omega $ tal que $ \mathcal{F} = \sigma(\tau_{\Omega}) $.
 

Dado um espaço mensurável $ (E , \mathcal{E}) $, denotamos por $ \mathcal{E}^{\lambda} $ o completamento de $ \mathcal{E} $ com respeito a probabilidade $ \lambda $ neste espaço. A $ \sigma $-álgebra universal $ \mathcal{E}^\star $ definida por

\[ \mathcal{E}^\star ~ = ~ \bigcap_{\lambda} \mathcal{E}^{\lambda}, \]

no qual a interseção tomando sobre todas as probabilidade $ \lambda $  em $ (E , \mathcal{E}) $. O conjunto contendo em $ \mathcal{E}^\star $ é chamado universalmente mensurável.

Seja $ Y $ um espaço métrico dotado com a $ \sigma $-algebra Borel $ \beta(Y) $. Dizemos que $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon se existe um isomorfismo  (\Omega, \mathcal{F}) \rightarrow (U, \beta(U)) $, no qual $ U \in \beta(Y)^\star $ e  A \in \beta(Y) \} $, o traço de $ \beta(Y) $ em $ U $. Note que

 B \in \beta(Y)^\star \right\}. \]

O próximo teorema fornece uma caracterização de espaços de Radon que ajuda a compreender esse conceito e perceber melhor o quão rico é a estrutura desse espaço.

Teorema 9.1.1:

Considere $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço mensurável, então os seguintes itens são equivalentes:
1) $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon,

2) $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço mensurável separável e Hausdorff e para cada probabilidade $ \mathbb{P} $, o espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ é compacto (ou perfeito).

3) Existe uma sequência $ \{E_n\} $ que separa os pontos em $ (\Omega, \mathcal{F}) $ e MCF estabelece um homeomorfismo entre $ \Omega $ (dotado com a topologia $ \tau_{\Omega} $) e um subconjunto universalmente mensurável $ U $ de $ S^{\infty} $ dotado com com a topologia induzida,

4) Existe uma topologia $ \delta_{\Omega} $ em $ \Omega $ que gera $ \mathcal{F} $ e um homeomorfismo  \Omega \rightarrow U $, no qual $ U $ é um subconjunto universalmente mensurável de um espaço métrico dotado $ Y $ denotado com a topologia herdada de $ Y $;

5) Existe uma sequência $ \{ E_n \} \subset \mathcal{F} $ tal que o MCF estabelece um isomorfismo entre $ \Omega $ e $ U $, no qual $ U $ é um subconjunto universalmente mensurável de $ S^{\infty} $;

6) Existe uma topologia separável metrizável $ \tau_{\Omega} $ em $ \Omega $ que gera $ \mathcal{F} $ e para cada probabilidade $ \mathbb{P} $ em $ (\Omega , \mathcal{F}) $, temos que

 K \subset A , ~ K ~ \mbox{ é compacto em } ~ \tau_{\Omega} \right\} ~ ~ ; ~ ~ A \in \mathcal{F};\]

7) Existe uma topologia metrizável e separável $ \tau_{\Omega} $ em $ \Omega $ que gera $ \mathcal{F} $ e para cada probabilidade $ \mathbb{P} $ em $ (\Omega , \mathcal{F}) $, temos que

 ~ K ~ \mbox{ é compacto em } \tau_{\Omega} \right\} ~ ~ ; \]

8) $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço mensurável separável e Haussdorff e para cada probabilidade $ \mathbb{P} $ e o MCF  \Omega \rightarrow U $, existe um subconjunto $ B \subset U $ com $ B \in \mathcal{A} $ e $ \mathbb{P}[\Psi^{-1} (B) ]=1 $.
Demonstração: Do Teorema 2.1 em Leão, Fragoso e Ruffino (1999) temos que (1) e (2) são equivalente. Se $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon, então $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é separável e Hausdorff. Portanto, existe uma sequência $ \{E_n\} $ que separa os pontos em $ (\Omega, \mathcal{F}) $
Lema 9.1.2. Agora, se dotarmos $ \Omega $ com a topologia $ \tau_{\Omega} $ obtemos que MCF estabelece um homeomorfismo entre $ \Omega $ e $ U $, no qual $ U $ é dotado com a topologia induzida por $ S^{\infty} $. Além disso, do Corolário 2.1 em Leão, Fragoso e Ruffino (1999) temos que $ U $ é universalmente mensurável. Assim, concluímos que (1) implica (3). Além disso, podemos ver que (3) implica (1).

Agora para provar que (3) implica (4), é suficiente definir que $ \delta_{\Omega} = \tau_{\Omega} $. E por outro lado, se (4) é válido, temos que $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon. Portanto (4) implica (3). Para mostrar que (1) e (5) são equivalente, é suficiente ver que (3) e (5) são equivalentes. A seguir, seja $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço de Radon e $ \mathbb{P} $ uma probabilidade. O MCF $ \Psi $ estabelece um isomorfismo entre $ (\Omega , \mathcal{F}) $ e $ (U , \beta(U)) $, no qual $ U $ é um subconjunto universalmente mensurável de $ S^{\infty} $. Considere $ (\Psi_{\star} \mathbb{P}) $ a imagem da probabilidade em $ (U , \beta(U)) $. Desde que $ U $ é universalmente mensurável, podemos extender $ (\Psi_{\star}\mathbb{P}) $ em $ (\Omega , \mathcal{A}^{\star}) $, no qual $ \mathcal{A}^{\star} $ corresponde a $ \sigma $-álgebra universal. Então, obtemos que

 K \subset A, ~ K ~ \mbox{ compacto em } ~ S^{\infty} ~ \right\}, \]

para cada $ A \in \mathcal{A}^{\star} $. Portanto, segue do Lema 9.1.3, que

 C \subset B, ~ C ~ \mbox{ compacto } \right\} ~ ~ ; ~ ~ B \in \mathcal{F}. \]

A equivalência das afirmações (6) e (7) resulta das observações da Definição 1.1 em De La Rue (1993). Finalmente, conluímos que do Lema 3 em Sazonov (1965, Theorem 3, pg. 245) que (1) e (8) são equivalentes.
 

Seja $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço de Radon, então a seguinte versão do MCF.

\[\Psi (w) ~ = ~ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n} \mathds{1}_{ E_n } (w) ~ ~ ; ~ ~ w \in \Omega\]

estabelece um homeomorfismo entre $ \Omega $ (dotado da topologia $ \tau_{\Omega} $) e $ V $, no qual $ V $ é um subconjunto universalmente mensurável $ [0,1] $ com a topologia herdada. Assim, um resultado similar do Teorema 9.1.1 poderia ser obtido substituindo $ S^{\infty} $ e $ U $ pelo $ [0,1] $ e $ V $, respectivamente.

Definição 9.1.4:(Quase Isormoficos)
Dizemos que dois espaços de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ e $ (E , \mathcal{E}, \mu) $ são quase isomorfos, se existe um subconjunto $ \Omega_0 \in \mathcal{F} $ e $ E_0 \in \mathcal{E} $ com $ \mathbb{P}(\Omega_0) = \mu(E_0)=1 $ satisfazendo

a) Existe um isomorfismo mensurável $ \Phi $ entre $ (\Omega_0 , \mathcal{F}_0) $ e $ (E_0 , \mathcal{E}_0) $, no qual $ \mathcal{F}_0 $$ (\mathcal{E}_0) $ corresponde ao traço da $ \sigma $-álgebra de $ \mathcal{F} $$ (\mathcal{E}) $ em $ \Omega_0 $$ (E_0) $;

b) Para qualquer $ A \in \mathcal{F} $, temos que

\[ \mathbb{P}(A) ~ = ~ \mathbb{P}\left[ A \cap \Omega_0 \right] ~ = ~ \mu \left[ \Phi (A \cap \Omega_0) \right]. \]

 

Considere $ \mathbb{P} $ uma medida de probabilidade não atômica em um espaço de Radon $ (\Omega , \mathcal{F}) $ (i.e., $ \mathbb{P}(\{w\}) = 0 $, para qualquer $ w \in \Omega $). Então, seguindo a mesma linha para provar que os Teoremas 1 e 2 em Halmos and von-Neumann (1942, pg. 335 e 339) [veja, Leão (1999)], obtemos que o espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ e $ ([0,1] ,\beta([0,1]) , m) $ são quase isomorfo, no qual $ m $ denota a medida de Lebesgue. Além disso, temos que $ \Phi=(g^{-1} \circ \Psi) $, no qual

 F_{\Psi}(a) \leq y \right\}. \]

Teorema 9.1.2:
O espaço mensurável separável e Hausdorff $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é Radon, se, e somente se, para cada probabilidade não atômica $ \nu $, o espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \nu) $ é quase isomorfo ao $ ([0,1], \beta([0,1]), m) $.
Demonstração: Se $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon, é suficiente definir $ \Phi=(g^{-1} \circ \Psi) $. Por outro lado, se existe $ \Omega_0 \in \mathcal{F} $ e $ E_0 \in \beta([0,1]) $ com $ \nu(\Omega_0)=m(E_0)=1 $ satisfazendo (a) e (b), obtemos de Ryll-Nardzewski (1953, Teorema VII, pg. 129) que o espaço de probabilidades é completo $ (\Omega , \mathcal{F}^{\nu} , \nu) $ é perfeito. Além disso, é conhecido que um espaço de probabilidades  $ (\Omega , \mathcal{F} , \nu) $ é perfeito se, e somente se, o espaço é completo $ (\Omega , \mathcal{F}^{\nu} , \nu) $ é também perfeito [Sazonov (1965), Prop. (d), pg. 239]. Então, para todo probabilidade não atômica $ \mathbb{P} $ em $ (\Omega , \mathcal{F}) $, o espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ é perfeito (ou compacto). Em seguida, estenderemos esta propriedade para uma probabilidade arbitrária. Considere $ \mathbb{P} $ uma probabilidade em $ (\Omega , \mathcal{F}) $, então para cada $ a\textgreater 0 $, o conjunto

 \mathbb{P}( \{ w \}) \textgreater a \} \]

é finita. Além disso, a coleção de todos os pontos $ w \in \Omega $ tal que $ \mathbb{P}(\{w\})\textgreater 0 $ é finita ou enumerável. Então, podemos enumerar $ w_1, w_2, \cdots $ tal que $ \mathbb{P}(\{w_1\}) \leq \mathbb{P}(\{w_2\}) \leq \cdots $. Para cada $ n \geq 1 $, definimos

\[ M_n ~ = ~ \mathbb{P}(\{w_n\}) \]

e

\[ M_0 ~ = ~ 1 - \sum_{n=1}^{\infty} M_n . \]

Considere $ M_{n+1} = 0 $ se não houver mais de $ n $ pontos com probabilidade positiva. Denotamos $ \Omega_0 = \Omega - \cup_{n \geq 1} \{w_n\} $, vamos admitir que $ M_0 \textgreater 0 $, caso contrario, é trivial. Desde que $ \Omega_0 \in \mathcal{F} $, obtemos que

\[ \mathbb{P}_{0} (A) ~ = ~ \frac{\mathbb{P}(A \cap \Omega_0)}{M_0}, \quad \quad A \in \mathcal{F} \]

define uma probabilidade não atômica sobre $ (\Omega , \mathcal{F}) $. Então, o espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}_0) $ é perfeito (ou compacto). Além disso, podemos dividir a probabilidade $ \mathbb{P} $ em duas partes

\[ \mathbb{P}(A) ~ = ~ \mathbb{P}(A \cap \Omega_0) ~ + ~ \mathbb{P}(A \cap \Omega_{0}^{c}) ~=~ \mathbb{P}(A \cap \Omega_0) ~ + ~ \sum_{ \{w_k\} \in A \cap \Omega_{0}^{c} } \mathbb{P}(\{w_k\}). \]

Assim, o espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ é compacto. Desde que $ \mathbb{P} $ é arbitrário, concluímos que $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon Teorema 9.1.1. Portanto o resultado segue.

 

A partir dos argumentos acima obtemos os seguintes resultados.

Corolário 9.1.1:
O espaço separável mensurável e Hausdorff $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon se, e somente se, para toda probabilidade não atômica $ \mathbb{P} $, o espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ é perfeito (ou compacto).
 

Seja $ l $ uma probabilidade definida em $ (S^{\infty} , \mathcal{A}) $ tal que

\[ l \left[ \pi_{1}^{-1} ( \{ w_1 \}) \cap \cdots \cap \pi_{n}^{-1} (\{w_n\}) \right] ~ = ~ \frac{1}{2^n} \]

no qual $ (w_1 , \cdots , w_n) \in S^n $ e $  n \geq 1 $.

Corolário 9.1.2:
O espaço mensurável $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon se, e somente se, para toda probabilidade não atômica $ \mathbb{P} $, o espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ é quase isomórfico para o espaço de probabilidade $ (S^{\infty} , \mathcal{A} , l) $.
Demonstração: Podemos ver que a expansão diádica estabelece um quase isomorfismo entre os espaços de probabilidade $ (S^{\infty} , \mathcal{A} , l) $ e $ ([0,1], \beta([0,1]), m) $ [veja, Leão (1999), Capitulo 02]. Então, concluímos que do Teorema 9.1.2 que $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é Radon se, e somente se, para cada probabilidade não atômica $ \mathbb{P} $, o espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ é quase isomorfo o espaço de probabilidade $ (S^{\infty} , \mathcal{A} , l) $.
 

Corolário 9.1.3:
O espaço mensurável separável e Hausdorff $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon se, e somente se, para toda probabilidade $ \mathbb{P} $, o espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ é quase isomorfo para o espaço de probabilidade $ (\Omega_1 , \mathcal{F}_1 , \mathbb{P}_1) $, no qual
i) $ \Omega_1 = [0 , M_0] \cup \{x_n\} $ tal que $ x_n = 1 + \frac{1}{n} $

ii) $ \mathcal{F}_1 = \sigma \left\{ \beta([0,M_0]); \{x_n \} \right\} $

iii) $ \mathbb{P}_1 $ corresponde a medida de Lebesgue em $ ([0 , M_0], \beta([0,M_0])) $ com $ \mathbb{P}_{1}(\{x_n\}) =M_n $ para todo $ n \in \Bbb{N} $.

Demonstração: Seja $ \mathbb{P} $ um probabilidade sobre em $ (\Omega , \mathcal{F}) $, suponha o espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ é quase isomorfo $ (\Omega_1 , \mathcal{F}_1 , \mathbb{P}_1) $. Desde que $ (\Omega_1, \mathcal{F}_1 , \mathbb{P}_1) $ é compacto, obtemos que $ (\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ é também compacto [Ryll-Nardzewski (1953), Lema, pg. 126]. Então, concluímos que $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon (Teorema 9.1.1).

Por outro lado, considere $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon. Se $ \mathbb{P} $ é uma probabilidade é suficiente aplicar o Teorema 9.1.2. Considere $ \Omega_0 = \Omega - \cup_{n \geq 1} \{w_n\} $, vamos admitir que $ M_0 \textgreater 0 $, caso contrário é trivial.
Usando o fato que  $ \Omega_0 \in \mathcal{F} $, obtemos que  A \subset \Omega_0 \} $ corresponde ao traço $ \sigma $-álgebra de $ \mathcal{F} $ em $ \Omega_0 $ e

\[ \mathbb{P}_{0} (A) ~ = ~ \frac{\mathbb{P}(A \cap \Omega_0)}{M_0}, \quad \quad A \in \mathcal{F}, \]

define um probabilidade não atômica em $ (\Omega_0 , \mathcal{F}_0) $.
Desde que $ \Omega_0 \in \mathcal{F} $, o espaço de probabilidade $ (\Omega_0 , \mathcal{F}_0 , \mathbb{P}_0) $ é compacto. Portanto, o espaço de probabilidade $ (\Omega_0 , \mathcal{F}_0 , \mathbb{P}_0) $ é quase isomorfo ao $ ([0,1] , \beta([0,1]),m) $. Então, existe $ \Omega_{0}^{\prime} \in \mathcal{F}_0 $ e $ E_0 \in \beta([0,1]) $ com $ \mathbb{P}(\Omega_{0}^{\prime})= m(E_0) = 1 $ e um isomorfismo mensurável  \Omega_{0}^{\prime} \rightarrow E_0 $ tal que

\[ \mathbb{P}_0(A \cap \Omega_{0}^{\prime}) \quad = \quad\frac{\mathbb{P}(A \cap \Omega_{0}^{\prime} )}{M_0} ~ = ~ m \left[ h(A \cap \Omega_{0}^{\prime})\right] ~ ~ ; ~ ~ A \in \mathcal{F}_0 . \]

Portanto,

\[ \mathbb{P}(A \cap \Omega_{0}^{\prime}) ~ = ~ M_0 ~ m[h(A \cap \Omega_{0}^{\prime})] ~ = ~ m \left[ (M_0 h)(A \cap \Omega_{0}^{\prime}) \right] ~ ~ ; ~ ~ A \in \mathcal{F}_0 , \]

no qual $ (M_0 h)(w) = M_0 h(w) $ para todo $ w \in \Omega_{0}^{\prime} $. Portanto, se denotamos por
 x \in E_0 \right\} $, temos que $ E_{0}^{\prime} \in \beta([0,M_0]) $ and  \Omega_{0}^{\prime} \rightarrow E_{0}^{\prime} $
estabelece um isomorfismo mensurável que satisfaça

\[ \mathbb{P}\left(\Omega_{0}^{\prime}\right) ~ = ~ m \left(E_{0}^{\prime}\right) ~ = ~ M_0 . \]

Então, concluímos que o espaço de probabilidade $ (\Omega_0 , \mathcal{F}_0 , \mathbb{P}_0) $ and $ ([0,M_0] , \beta([0,M_0]), m) $ são quase isomorfas.
Finalmente, concluímos que o espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ e $ (\Omega_1 , \mathcal{F}_1 , \mathbb{P}_1) $ são quase isomorfos. Portanto o resultado segue.
 

Considere $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço mensurável separável e Hausdorff e seja $ \{E_n\} $ uma sequência tal que $ \mathcal{F}= \sigma(\{E_n\}) $. Em seguida, caracterizamos os espaços Radon através das propriedades de funções definidas na algebra gerada por $ \{E_n\} $.
Primeiramente, vamos estabelecer uma conexão entre subespaços universalmente mensurável $ U $ de um espaço de Cantor o conjunto de funções definidas no traço da álgebra cilindros em $ U $. Então, usaremos este resultado para caracterizar os espaços de Radon.

Lema 9.1.4:
Considere $ U $ um subconjunto de $ S^{\infty} $, então as seguintes afirmações são equivalentes:
a) $ U $ é universalmente mensurável;
b) Para cada probabilidade $ \mathbb{P} $ em $ (S^{\infty}, \mathcal{A}) $, temos que

 U \subset O , O \in \tau \right\} \]

c) Considere $ \mathcal{C}_U $ o traço da algebra $ \mathcal{C} $ em $ U $ C \in \mathcal{C} \}) $. Todo conjunto de funções  \mathcal{C}_U \rightarrow [0,1] $ que é aditivo finito $ \mu(U)=1 $ é também $ \sigma $-aditiva.
Demonstração: Desde que $ S^{\infty} $ é um espaço métrico compacto e $ \mathcal{A} $ é Borel $ \sigma $-álgebra, concluímos do Teorema 9.1.1 que (a) e
(b) são equivalentes. A seguir, vamos mostrar que (b) e (c) são equivalentes. Suponha que (b) é válido e considere um conjunto de funções

\[ \mu^{\star} (C) ~ = ~ \mu(C \cap U) ~ ~ ; ~ ~ C \in \mathcal{C} , \]

definida $ \mathcal{C} $. Então, $ \mu^{\star} $ é finitamente aditiva e $ \mu^{\star}(S^{\infty})=1 $. Resulta da compacidade de $ \mathcal{C} $ que $ \mu^{\star} $ é também $ \sigma $-aditiva. Portanto, usando ao Teorema de extensão Carathéodory, obtemos que uma única probabilidade $ \mathbb{P} $ em $ (S^{\infty},\mathcal{A}) $ que se estende $ \mu^{\star} $. A seguir, vamos mostrar que $ \mathbb{P}(U)=1 $.

Seja $ F $ ser um conjunto fechado (ou compacto) tal que $ U \subset F $. Então, existe uma sequência monótona decrescente $ \{C_n \} \subset \mathcal{C} $ tal que $ \cap C_n = F $. Portanto,

\[ \mathbb{P}(F) ~ = ~ \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(C_n) ~ = ~ \lim_{n \rightarrow \infty} \mu^{\star} (C_n) ~ = ~ \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(C_n \cap U) ~ = ~ 1 . \]

Então, se $ U $ é fechado obtemos que $ \mathbb{P}(U)=1 $. Para todo conjunto aberto $ O $, existe uma sequência $ \{C_n\} \subset \mathcal{C} $ tal que

\[ \bigcup_{k=1}^{\infty} C_k ~ = ~ O . \]

Suponha que $ U \subset O $ e $ O \neq U $, então existe $ n_0 \in \Bbb{N} $ satisfazendo

\[ U \subset \bigcup_{k=1}^{n_0} C_k ~ = ~ S_{n_0}~ \in ~ \mathcal{C} . \]

Portanto, temos que

\[ \mathbb{P}(O) ~ \geq ~ \mathbb{P}\left( S_{n_0} \right)~ = ~ \mu^{\star} \left( S_{n_0} \right) ~ = ~ \mu \left( S_{n_0} \cap U \right) ~ = ~\mu(U) ~ = ~ 1 . \]

Então, concluímos que $ \mathbb{P}(O)=1 $ para todo conjunto aberto $ O $ tal que $ U \subset O $ e $ U \neq O $. Usando o fato, que para todo conjunto universalmente mensurável $ A $ tal que $ U \subset A $ and $ A \neq U $, denotamos que

 A \subset O, ~ O ~ \mbox{ aberto } \} ~ = ~ 1 . \]

Desde que $ U $ é universalmente mensurável, obtemos que $ U_x = U \cup \{x\} $ é também universalmente mensurável, para todo $ x \in U^c $. Então, temos que

\[\mathbb{P}\left( U_x \right) ~ = ~ 1 ~ ~ ; ~ ~ x \in U^c . \]

Portanto, concluímos que $ \mathbb{P}(U) = 1 $. Então,  a restrição $ \mathbb{P}_U $ de $ \mathbb{P} $ em $ (U , \mathcal{A}_U) $ satisfaz

\[ \mathbb{P}_U(C \cap U) ~ = ~ \mathbb{P}(C \cap U) ~ = ~ \mathbb{P}(C) ~ = ~ \mu^{\star} (C) ~= ~ \mu(C \cap U)~ ~ ; ~ ~ C \in \mathcal{C} . \]

Então, obtemos que $ \mathbb{P}_U $ é uma probabilidade em $ (U , \mathcal{A}_U) $ o qual estende $ \mu $.

A seguir, vamos estabelecer que (c) implica (b). Para provar que, usaremos a noção de probabilidade condicional regular.
Considere $ \mathbb{P} $ uma probabilidade em $ (U , \mathcal{A}_U) $ e  (U , \mathcal{A}_U)\rightarrow (E , \mathcal{E}) $ uma função mensurável, no qual $ (E , \mathcal{E}) $ é um espaço arbitrário mensurável. Portanto, existe uma probabilidade condicional  E \times \mathcal{F} \rightarrow [0,1] $ tal que

\[ \mathbb{P}(A \cap T^{-1}(B)) ~ = ~ \int_{B} \nu(x,A) (T_{\star}P)(dx), \]

para todo $ B \in \mathcal{E} $  e $ A \in \mathcal{A}_U $, no qual $ T_{\star}P $ corresponde a probabilidade de imagem de $ \mathbb{P} $ em $ (E , \mathcal{E}) $ com respeito a $ T $. Vamos estabelecer uma versão  E \times \mathcal{F} \rightarrow [0,1] $ da probabilidade condicional $ \nu $ que é regular

i) Para todo $ x \in E $, temos que $ \mu(x, \cdot) $ é uma probabilidade em $ (U , \mathcal{A}_U) $;
ii) Para todo $ A \in \mathcal{A}_U $, temos que  $ \mu( \cdot , A) $ é uma função mensurável.
A partir das propriedades das probabilidades condicional $ \nu( \cdot ; U) = 1 ~ (T_{\star}P)-a.e. $ e para cada sequência $ \{ A_n \} \subset \mathcal{A}_U $ dois a dois disjuntos, obtemos que

\[ \nu \left( \cdot , \bigcup_n A_n \right) ~ = ~ \sum_{n=1}^{\infty} \nu \left( \cdot , A_n \right)~ ~ ; ~ ~ (T_{\star}P)-a.e. . \]

Portanto, o conjunto  \nu(x , U) =1 \} $ pertence a $ \mathcal{E} $ and $ (T_{\star}P)(M_1)=1 $. Além disso, para cada sequência finita $ C_1 , \cdots , C_n $ de elementos de $ \mathcal{C}_U $, o conjunto

 \nu \left( x , \bigcup_{i=1}^{n} C_i \right) ~ = ~ \sum_{i=1}^{n} \nu(x , C_i) \right\} \]

pertence a $ \mathcal{E} $ e $ (T_{\star}P)[M(C_1 , \cdots , C_n)]=1 $. Assim, se denotamos

\[ M_2 ~ = ~ \bigcup M(C_1 , \cdots , C_n), \]

no qual a união é tomada sobre toda sequência finita de elementos de uma álgebra $ \mathcal{C}_U $, obtemos que $ M_2 \in \mathcal{A}_U $ e $ (T_{\star}P)(M_2)=1 $. Definimos $ M=M_1 \cup M_2 $ e uma função  E \times \mathcal{C}_U \rightarrow [0,1] $ por

\[ \mu(x,C) ~ ~ = ~ \left\{ ~ \begin{array}{c} \nu(x,C) ~ ~ , ~ ~ x \in M \\ \\ \mathbb{P}(C) ~ ~ , ~ ~ x \in M^c \end{array} \right. \]

para todo $ C \in \mathcal{C}_U $. Então, para cada $ x \in E $, o conjunto de função  \mathcal{C}_U \rightarrow [0,1] $ é finita aditiva e
$ \mu(x , U)=1 $.
Resulta da hipótese (c) que $ \mu(x , \cdot) $ é $ \sigma $-aditiva em $ \mathcal{C}_U $. Assim, função de ajuste pode ser estendida a uma probabilidade em $ \mathcal{A}_U $, também denotamos por $ \mu(x, \cdot) $.  Para qualquer $ C \in \mathcal{C}_U $ e $ B \in \mathcal{E} $, temos que

\[ \mathbb{P}(C \cap T^{-1}(B)) ~ = ~ \int_{B} \nu(x , C) (T_{\star}P)(dx) ~ = ~ \int_{B} \mu(x,C) (T_{\star}P)(dx).\]

Desde que $ \mathcal{C}_U $ é a álgebra gerada $ \mathcal{A}_U $, concluímos que a equação acima é válida para todo $ A \in \mathcal{A}_U $. Portanto, $ \mu $ é uma probabilidade regular. Finalmente, decorre pelo Teorema 3.2 em Leão, Fragoso e Ruffino (1999) que $ U $ é universalmente mensurável.
 

Teorema 9.1.3:
Seja $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço mensurável separável e Hausdorff e $ \{E_n\} $ uma sequência tal que $ \mathcal{F}= \sigma(\{E_n\}) $. A álgebra gerada por $ \{E_n\} $ é denotada por $ \mathcal G $. Então, $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon se, e somente se, qualquer função de conjunto finitamente aditiva {\mathcal G} \rightarrow [0,1] $ satisfazendo $ \mu(\Omega) =1 $ também é $ \sigma $-aditiva na álgebra $ \mathcal{G} $.
Demonstração: Considere $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço separável e Hausdorff, então, o MCF estabelece uma isomorfismo mensurável entre $ (\Omega , \mathcal{F}) $ e $ (U, \beta(U)) $, no qual $ U $ é um subconjunto de $ S^{\infty} $ (Proposição 9.1.1). Além disso, para cada $ n \in \Bbb{N} $, obtemos que

\[ \Psi(E_n) ~ = ~ \pi_{n}^{-1} (\{1\}) \cap U . \]

Portanto, concluimos que $ \Psi({\mathcal G}) = \mathcal{C}_U $ e $ \Psi^{-1} (\mathcal{C}_U)= {\mathcal G} $. Usando esse fato, para cada função $ \mu $ definida em $ {\mathcal G} $, podemos definir que
$ \Psi_{\star}\mu $ em $ \mathcal{C}_U $ induzida por $ \mu $, satisfazendo

\[ \Psi_{\star}\mu(D) ~ = ~ \mu \left[ \Psi^{-1} (D) \right] ~ ~ ; ~ D \in \mathcal{C}_U . \]

Além disso, $ \mu $ é finito aditivo se, e somente se, $ \Psi_{\star}\mu $ é também finito aditivo.

Agora, se $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon, concluímos que $ U $ é universalmente mensurável (Teorema 9.1.1). Então, segue do Lema 9.1.4 que $ \Psi_{\star}\mu $ é $ \sigma $-aditiva. Então, obtemos que $ \mu $ também é $ \sigma $-aditiva.

Por outro lado, suponha que para toda função de conjuntos finitamente aditivo é  {\mathcal G} \rightarrow [0,1] $ com massa total igual a 1 é $ \sigma $-aditiva.
Seja  \mathcal{C}_{U} \rightarrow [0,1] $ seja uma função sobre um conjunto finitamente aditiva tal que $ \nu(U) = 1 $. Então, podemos induzir uma função sobre um conjunto finitamente aditivo $ \Psi^{-1}_{\star} \nu $ em $ (\Omega , \mathcal{F}) $. Desde que para todo conjunto de funções finitamente com massa total massa total igual a 1 é $ \sigma $-aditiva, concluímos que  \mathcal{C}_U \rightarrow [0,1] $ é também $ \sigma $-aditiva.
Portanto, segue do Lema 9.1.4 que $ U $ é universalmente mensurável. Finalmente, usando o Teorema 9.1.1 concluímos que $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Radon.

 

Probabilidades

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