9.2 - Seleção Universalmente Mensurável

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Dado um espaço mensurável $ (\Omega , \mathcal{F}) $, vamos estudar a classe dos subconjuntos universalmente mensuráveis de $ \Omega $ e propriedades das funções universalmente mensuráveis. Entre os principais resultados desta seção, vamos mostrar que a $ \sigma $-álgebra universal é fechada por operações de Souslin e por composição de funções universalmente mensurável. Na sequência, vamos estabelecer o teorema de seleção mensurável e aplicações. Fechamos esta seção com uma apresentação dos espaços de Souslin.

Definição 9.2.1 (Conjuntos Nulos e Espaço completo)

Considere $ (\Omega, \mathcal{F} ,\mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade, um conjunto $ N \subset \Omega $ é denominado $ \mathbb{P} $-nulo se existe $ A \in \mathcal{F} $ com $ \mathbb{P}(A)=0 $ tal que $ N \subset A $. Com isso dizemos que um espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} ,\mathbb{P}) $ é completo se a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $ contém todos os conjuntos $ \mathbb{P} $-nulos de $ \Omega $. Denotaremos por $ \mathcal{N} $ a classe de todos os conjuntos $ \mathbb{P} $-nulos. Dado um espaço $ (\Omega , \mathcal{F} ,\mathbb{P}) $ qualquer é possível ``completarmos'' este espaço de probabilidade com os conjuntos $ \mathbb{P} $-nulos, na forma [Neveu (1965); pp. 16, prop. I.4.5]: definimos a $ \sigma $-álgebra

\[\mathcal{F}_p = \mathcal{F} \cup \mathcal{N} \]

no qual cada elemento $ B \in \mathcal{F}_p $ é união de um elemento de $ \mathcal{F} $ com um elemento de $ \mathcal{N} $. Para estendermos a probabilidade $ \mathbb{P} $ para $ \mathcal{F}_p $, basta definirmos

\[ \bar{\mathbb{P}}(A \cup N) = \mathbb{P}(A) ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ A \in \mathcal{F} \mbox{ e } ~ ~ N \in \mathcal{N} \]

sobre $ \mathcal{F}_p $. Com isso, obtemos um outro espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F}_p , \bar{\mathbb{P}}) $ que é completo.

Definição 9.2.2:($ \sigma $-álgebra universal e conjuntos universalmente mensuráveis)

Denotamos por $ \mathcal{P}(\Omega) $ o conjunto de todas as probabilidades definidas sobre $ (\Omega , \mathcal{F}) $, Então, podemos definir

\[ \bar{\mathcal{F}} = \bigcap_{p \in \mathcal{P}(\Omega)} ~ \mathcal{F}_p \]

a  qual chamaremos de $ \sigma $-álgebra universal. Se um conjunto $ E $ pertence a $ \bar{\mathcal{F}} $, dizemos que $ E $ é universalmente mensurável. Por construção, se $ E $ é universalmente mensurável, então

\[ E = A \cup N \]

nos quais $ A \in \mathcal{F} $ e $ N $ é um conjunto $ p $-nulo para toda probabilidade $ p \in \mathcal{P}(\Omega) $. Desta forma, toda probabilidade sobre $ (\Omega , \mathcal{F}) $ pode ser estendida para $ (\Omega , \bar{\mathcal{F}}) $. A seguir, vamos utilizar um teorema de Lusin [Doob (1984), pg. 751] para mostrar que a $ \sigma $-álgebra universal $ \bar{\mathcal{F}} $ é fechada por operações de Souslin.

Proposição 9.2.1
Considere $ (\Omega, \mathcal{F}) $ um espaço mensurável e $ S $ um esquema de Souslin para $ \bar{\mathcal{F}} $. Então $ N(S) $ é universalmente mensurável. Em outras palavras, a $ \sigma $-álgebra universal é fechada por operações de Souslin.
Demonstração: Aplicando o teorema de Lusin [Doob (1984), pg. 751], obtemos que para toda probabilidade $ p \in \mathcal{P}(\Omega) $

\[ \bar{\mathcal{F}} \subset \mathcal{S} \left[ \bar{\mathcal{F}} \right] \subset \mathcal{S} \left[ \mathcal{F}_p \right] \subset \mathcal{F}_p \]

Desde que o resultado acima é válido para todo $ p \in \mathcal{P}(\Omega) $, obtemos

\[ \bar{\mathcal{F}} \subset \mathcal{S} \left[ \bar{\mathcal{F}} \right] \subset \bigcap_{p \in \mathcal{P}(\Omega)} \mathcal{F}_p = \bar{\mathcal{F}}\]

portanto, $ \bar{\mathcal{F}} = \mathcal{S}[ \bar{\mathcal{F}} ] $, segue a proposição
 

Na sequência, vamos definir e estudar algumas propriedades de funções universalmente mensuráveis.

Definição 9.2.3:
Considere $ (\Omega , \mathcal{F}) $ e $ (Y, \beta) $ espaços mensuráveis e D \rightarrow Y $, onde $ D \subset \Omega $. Se $ D \in \bar{\mathcal{F}} $ e $ f^{-1}(B) \in \bar{\mathcal{F}} $ para todo $ B \in \beta $, $ f $ é denominada universalmente mensurável.
 

Lema 9.2.1:
Considere $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço mensurável e $ E \subset \Omega $. Então $ E \in \bar{\mathcal{F}} $ se, e só se, dado $ p \in \mathcal{P}(\Omega) $, existe $ B \in \mathcal{F} $ tal que $ p(E \Delta B) = 0 $.
Demonstração: Se $ E \in \bar{\mathcal{F}} $, então $ E \in \mathcal{F}_p $ para todo $ p \in \mathcal{P}(\Omega) $.
Com isso,

\[ E = B \cup N \]

onde $ N $ é um conjunto $ p $-nulo (para toda probabilidade $ p \in \mathcal{P}(\Omega) $) e $ B \in \mathcal{F} $. Agora,

\[ E \Delta B = (E - B) \cup (B - E) = N \cup \emptyset = N \]

Portanto, concluímos que

\[ p[E \Delta B] = p(N) = 0 \]

Agora suponha que para qualquer $ p \in \mathcal{P}(\Omega) $, existe $ B \in \mathcal{F} $ tal que $ p(E \Delta B) = 0  $. Temos que

\[ E \Delta B = (B \cap E^c) \cup (E \cap B^c) \]

Assim,

\[ \begin{array}{c} B \cap E^c ~ \subset E \Delta B ~ \Rightarrow ~ B \cap E^c ~ \in ~ \mathcal{F}_p \\ \\E \cap B^c ~ \subset E \Delta B ~ \Rightarrow ~ E \cap B^c ~ \in ~ \mathcal{F}_p \end{array} \]

Por outro lado, temos que

\[ E \cap B = B - [B \cap E^c] = B \cap [B \cap E^c]^c \]

Desde que,

\[ B \cap E^c ~ \in ~ \mathcal{F}_p ~ \Rightarrow ~ [B \cap E^c]^c ~ \in ~ \mathcal{F}_p \]

Obtemos que $ E \cap B \in \mathcal{F}_p $. Agora,

\[ E = (E \cap B) \cup (E \cap B^c) \]

Mas, $ E \cap B \in \mathcal{F}_p $ e $ E \cap B^c \in \mathcal{F}_p $, portanto

\[ E \in \mathcal{F}_p ~ ~ ; ~ ~ \forall ~ p \in \mathcal{P}(\Omega) \]

 

Outra importante propriedade da $ \sigma $-álgebra universal é que esta é fechada por composição de funções, como mostraremos no lema a seguir.

Lema 9.2.2:
Considere $ (\Omega, \mathcal{F}) $, $ (Y, \beta) $ e $ (W, \mathcal{A}) $ espaços mensuráveis e $ D \in \bar{\mathcal{F}} $, $ E \in \bar{\beta} $. Suponha que  D \rightarrow Y $ e  E \rightarrow W $ sejam universalmente mensuráveis e $ f(D) \subset E $. Então, a composição $ g \circ f $ é universalmente mensurável.
Demonstração: Devemos mostrar que para todo $ B \in \mathcal{A} $, o conjunto $ f^{-1} [ g^{-1} (B)] \in \bar{\mathcal{F}} $. Desde que $ g^{-1}(B) \in \bar{\beta} $, basta mostrarmos que $ f^{-1}(A) \in \bar{\mathcal{F}} $ para todo $ A \in \bar{\beta} $. Para qualquer $ p \in \mathcal{P}(\Omega) $, definimos

\[ p^{\prime} [C] = p [ f^{-1}(C) ] ~ ~ ; ~ ~ \forall C \in \beta \]

Para $ A \in \bar{\beta} $ (fixo), considere $ V \in \beta $ tal que

\[ 0 = ~ p^{\prime}[V \Delta A] = \mathbb{P}[ f^{-1}(V) \Delta f^{-1}(A)] \]

Agora, temos que $ f^{-1}(V) \in \bar{\mathcal{F}} $, então $ f^{-1}(V)= B \cup N $ onde $ B \in \mathcal{F} $ e $ N $ é um conjunto $ p $-nulo. Portanto, existe $ B \in \mathcal{F} $ tal que

\[ p [ B \Delta f^{-1}(A) ] = 0 \]

com isso, o resultado segue do lema 9.2.1.
 

Como consequência da demonstração deste Lema, obtemos o seguinte resultado.

Corolario 9.2.1: 
Considere $ (\Omega, \mathcal{F}) $ e $ (Y, \beta) $ espaços mensuráveis e $ D \in \bar{\mathcal{F}} $ e  D \rightarrow Y $ uma função unversalmente mensurável. Então, para todo $ B \in \bar{\beta} $ temos que $ f^{-1}(B) \in \bar{\mathcal{F}} $.
 

Acima, estudamos algumas propriedades elementares sobre mensurabilidade universal, que utilizaremos para generalizar o teorema de seleção universalmente mensurável proposto por Bertsekas e Shreve (1978, prop. 7.50, pp. 184).

Seleção Universalmente Mensurável

Na sequência, vamos utilizar Teorema 5.5 em Leese (1978)  para estabelecer um teorema de uniformização de conjuntos universalmente mensuráveis. Dado dois espaços $ \Omega_1 $ e $ \Omega_2 $, denotamos por $ \Omega_1 \times \Omega_2 $ o produto Cartesiano de $ \Omega_1 $ e $ \Omega_2 $. Se $ A $ é um subconjunto arbitrário de $ \Omega_1 \times \Omega_2 $, denotamos por $ A_{w_1} $ a seção de $ A $ em $ w_1 $, isto é, um subconjunto de $ \Omega_2 $ definido por

 (w_1, w_2) \in A \right\} \]

Além disso, dado um subconjunto $ E $ de $ \Omega_1 \times \Omega_2 $, definimos a projeção sobre $ \Omega_1 $, na forma

 E_{w_1} \neq \emptyset \right\} \]

Considere dois espaços mensuráveis $ (\Omega_1 , \mathcal{F}_1) $ e $ (\Omega_2 , \mathcal{F}_2) $, um retângulo mensurável em $ \Omega_1 \times \Omega_2 $ é um subconjunto na forma

 w_1 \in A_1 ~ ~ \mbox{ e } ~ ~ w_2 \in A_2 \right\} \]

onde $ A_1 \in \mathcal{F}_1 $ e $ A_2 \in \mathcal{F}_2 $. A classe de todos os retângulos mensuráveis forma uma semi-álgebra de subconjuntos de $ \Omega_1\times \Omega_2 $  e denotaremos por $ \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2 $a $ \sigma $-álgebra gerada pela semi-álgebra de retângulos mensuráveis [ver módulo "Espaço Produto"] .

Considere $ \mathbb{N} $ o conjunto dos números naturais. Denotamos por $ \Sigma $ o espaço das sequências finitas $ i|n=(i_1 , i_2, \cdots , i_n) $ de elementos de $ \mathbb{N} $. O espaço produto $ \mathbb{N}^{\mathbb{N}} $ corresponde ao espaço das sequências de elementos de $ \mathbb{N} $. A seguir, vamos introduzir a principal classe de conjuntos associados aos teoremas de seleção mensurável, denominados conjuntos de Souslin. Considere $ \Omega $ um espaço qualquer e  n \geq 1\} $ uma sequência de subconjuntos de $ \Omega $ indexada por $ i|n $, com $ i \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}} $. Assim, dizemos que o conjunto

$$A ~ = ~ \bigcup_{i \in \Bbb{N}^{\Bbb{N}}} ~ \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{(i_1, \cdots , i_n)}$$

 é obtido da coleção de subconjuntos  n \in \mathbb{N} , ~ i \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\} $ por operações de Souslin. Se $ \mathcal{H} $ é uma classe de subconjuntos de $ \Omega $, a classe dos conjuntos obtidos por operações de Soulin para sequências de conjuntos em $ \mathcal{H} $ é denominada $ \mathcal{H} $-Souslin. Dados $ \Omega $ um espaço qualquer e $ \mathcal{H}_1 $$ \mathcal{H}_2 $ duas classes de subonjuntos de $ \Omega $ contendo o vazio (Paving), são válidas as seguinte afirmações (Bertsekas and Shreve (1978, Teorema 7.35):

a) Se $ \mathcal{H}_1 \subset \mathcal{H}_2 $, temos a classe de conjuntos $ \mathcal{H}_1 $-Souslin está contida na classe de conjuntos $ \mathcal{H}_2 $-Souslin;

b) A classe de conjuntos $ \mathcal{H}_1 $ está contida na classe de conjuntos $ \mathcal{H}_1 $-Souslin;

c) A classe $ \mathcal{H}_1 $-Souslin coincide com a classe ($ \mathcal{H}_1 $-Souslin)-Souslin.

Considere $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço mensurável separável e Hausdorff. Um subconjunto $ A \subset \Omega $ é denominado analítico se $ A \in \mathcal{F} $-Souslin. Diversas definições de subconjuntos analíticos podem ser encontrados na literatura [ver, Kuratowski (1966)].  A seguir, estabelecemos a definição de espaço de Souslin.

Definição de Espaço de Souslin: 

Seja $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço mensurável separável e Hausdorff. Dizemos que o espaço mensurável $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é Souslin ( Radon , Borel) se existe um isomorfismo mensurável  \Omega \rightarrow U $ no qual $ U \subset Y $ é um subconjunto analítico (universalmente mensurável, Borel) de $ Y $ um espaço metrizável compacto com a $ \sigma $-álgebra de Borel $ \beta(Y) $.

Na definição acima, tomamos  $ U $ com a $ \sigma $-álgebra traço de $ \beta(Y) $. Com esta notação, vamos apresentar alguns resultados sobre os espaços de Souslin, que utilizaremos durante este trabalho. Começamos com caracterizações dos subconjuntos analíticos dos espaços de Souslin. 

Lema: 

Considere $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço de Souslin e $ A \subset \Omega $. Então, as seguintes afirmações são equivalentes:

a) $  A  $ é um subconjunto analítico;

b) $ A \in F(\Omega) $-Souslin, no qual $ F(\Omega) $ corresponde a classe dos subconjuntos fechados de $ \Omega $ com a topologia $ \tau_{\Omega} $.

c) O espaço mensurável $ (A , \mathcal{F}_A) $ é Souslin, no qual $ \mathcal{F}_A $ corresponde ao traço da $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $ sobre $ A $.

d) Existe uma  função contínua  \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \rightarrow A $ no qual $ f(\mathbb{N}^{\mathbb{N}}) = A $.

Prova: Vamos mostrar que (a) e b são equivalentes. Desde que $ \Omega $ com a topologia $ \tau_{\Omega} $ é um espaço metrizável e separável, obtemos que
todo subconjunto aberto é  união de subconjuntos fechados [Bertsekas and Shreve (1978), lema 7.2, pg. 105]. Assim, temos que todo aberto de $ \Omega $ pode ser obtido por operações de Souslin de conjuntos fechados. Desde que $ \mathcal{F} $ corresponde a $ \sigma $-álgebra de Borel, obtemos $ \mathcal{F} \subset F(\Omega) $-Souslin. Com isso, obtemos que a classe dos conjuntos $ \mathcal{F} $-Souslin está contida na classe $ F(\Omega) $-Souslin [Bertsekas and Shreve (1978) , prop. 7.35, pg. 158]. Por outro lado, como $ F(\Omega) \subset \mathcal{F} $, concluímos que a classe $ F(\Omega) $-Souslin está  contida na classe $ \mathcal{F} $-Souslin. Portanto, estas classes coincidem.  Para mostrarmos que (a) e (c) são equivalentes, basta aplicamos o teorema 19 em Dellacherie e Meyer (1978, pg. 48). Na sequência, vamos mostrar que (c) e (d) são equivalentes.  Considere $ (A , \mathcal{F}_ A) $ um subconjunto de Souslin, existe um homeomorfismo  A \rightarrow U $ no qual $ U \subset [0,1] $ é analítico. Utilizando a proposição 7.37 em Bertsekas e Shreve (1978, pg. 164), obtemos que existe uma função  \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \rightarrow U $ contínua com imagem $ f[\mathbb{N}^{\mathbb{N}}] = U $. Assim, a função

$$g(x) ~ = ~ \Psi^{-1} \left[ f(x) \right] ~ ~ ; ~ ~ x ~ \in ~ \mathbb{N}^{\mathbb{N}}$$

é contínua e  $ g[\mathbb{N}^{\mathbb{N}}]=A $.

Por outro lado, se existe uma função  \Bbb{N}^{\Bbb{N}} \rightarrow A $ contínua e com imagem $ f[\mathbb{N}^{\mathbb{N}}]=A $, vamos mostrar que $ A $ é anal\ia tico. Desde que $ (\Omega , \mathcal{F}) $ é um espaço de Souslin, o espaço mensurável $ (A , \F_A) $ é separável e Hausdorff. Assim, existe um homeomorfismo A \rightarrow U $ onde $ U \subset [0,1] $. Com isso, a função

$$h(x) ~ = ~ \Psi \left[ f(x) \right] ~ ~ ; ~ ~ x ~ \in ~ \mathbb{N}^{\mathbb{N}} $$

é contínua e $ g[\mathbb{N}^{\mathbb{N}}]=U $. Desta forma, obtemos da proposição 7.37 em Bertsekas e Shreve (1978, pg. 164) que $ U $ é analítico. Segue o resultado.

A seguir, apresentamos uma propriedade dos subconjuntos analíticos de um espaço de Souslin.

Lema:
Considere $ (\Omega , \mathcal{F}) $ e $ (E , \mathcal{E}) $ dois espaços de Souslin e  \Omega \rightarrow E $ uma função mensurável. Então, se $ A $ é um subconjunto analítico de $ \Omega $, a imagem $ f(A) $ é um subconjunto analítico de $ E $. Por outro lado, se $ B \subset E $ é analítico, obtemos que $ f^{-1}(B)\subset \Omega $ também é um conjunto analítico.

Prova: Suponha que $ A \subset \Omega $ seja um conjunto analítico. Então, existe um homeomorfismo  A \rightarrow U_1 $, no qual $ U_1 $ é um subconjunto analítico do $ [0,1] $. Assim, temos que a função

$$(f \circ \Psi_{1}^{-1}) (x) ~ ~ f \left[ \Psi_{1}^{-1} (x) \right] ~ ~ ; ~ ~ x \in U_1$$

é mensurável e $ (f \circ \Psi_{1}^{-1})(U_1)=f(A)=C $. Desde que $ C $ é um subconjunto do espaço de Souslin $ (E , \mathcal{E}) $, o espaço mensurável $ (C , \mathcal{E}_C) $ é separável e Hausdorff. Então, existe um homeomorfismo  C \rightarrow U_2 $, no qual $ U_2 $ é um subconjunto do $ [0,1] $. Desta forma, a função

$$(\Psi_2 \circ f \circ \psi_{1}^{-1}) (x) ~ = ~ \psi_2 \left\{ f \left[ \Psi_{1}^{-1} (x) \right] \right\} ~ ~ ; ~ ~x \in U_1 $$

é mensurável e tem como imagem $ (\Psi_2 \circ f \circ \psi_{1}^{-1}) (U_1) = U_2 $. Desta forma, utilizando o lema 7.40 em Bertsekas e Shreve (1978, pg. 165), obtemos que $ U_2 \subset [0,1] $ é analítico. Desde que  C \rightarrow U_2 $ estabelece um homeomorfismo, obtemos que $ C \subset E $ é analítico. Segue o resultado.

Como consequência dos lemas, obtemos o seguinte resultado.

Teorema 9.2.1: 

Considere $ (\Omega , \marhcal{F}) $ um espaço mensurável, $ (E , \mathcal{E}) $ um espaço de Souslin e $ H $ um conjunto $ (\bar{\mathcal{F}} \times \mathcal{E}) $-Souslin. Então, temos que

a) $ Proj_{\Omega} (H) \in \bar{\mathcal{F}} $;

b) Existe uma função  Proj_{\Omega} \rightarrow E $ que é universalmente mensurável e $ (\omega, f(\omega)) \in H $ para todo $ \omega \in Proj_{\Omega}[H] $.

Prova: Seja $ R $ a classe de todos os retângulos mensuráveis $ B \times C $, no qual $ B \in \bar{\mathcal{F}} $ e $ C \in F(E) $. Vamos mostrar que $ H $ é $ R $-Souslin. Para isto, considere $ \mathcal{C} $ a classe de todos os conjuntos $ R $-Souslin cujo complementar também é $ R $-Souslin. Portanto, temos que $ \mathcal{C} $ é uma $ \sigma $-álgebra [Dellacherie e Meyer (1978), pp. 43, teo. 12]. Para todo $ B \in \bar{\mathcal{F}} $ e $ F \in F(E) $, temos que 

$$B \times F \in \mathcal{C} ~ ~ \text{e} ~ ~ (B \times F)^c ~ = ~ (B^c \times F) \cup (\Om \times F^c).$$

Desde que $ F^c \in F(E) $-Souslin, existe uma sequência  (i_1, \cdots , i_n) \in \Sigma \}\subset F(E) $ tal que 

$$F^c ~ = ~ \bigcup_{i \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}} } ~ \bigcap_{n=1}^{\infty} F_{(i_1, \cdots , i_n)}.$$

Assim, obtemos que

$$\Omega \times F^c ~ = ~ \Omega \times \left[ \bigcup_{i \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}} } ~ \bigcap_{n=1}^{\infty} F_{(i_1, \cdots , i_n)} \right]~ = ~ \bigcup_{i \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}} } ~ \bigcap_{n=1}^{\infty} \left[ \Om \times F_{(i_1, \cdots , i_n)} \right].$$

Como $ B^c \times F $ e $ \Omega \times F^c $ são conjuntos $ R $-Souslin, obtemos que $ (B \times F)^c $ também é $ R $-Souslin. Por outro lado, temos que $ \sigma $-álgebra $ \bar{\mathcal{F}} \times \mathcal{E} $ é gerada pelos retângulos em $ R $. Assim, concluímos que $ \bar{\mathcal{F}} \times \mathcal{E} \subset \mathcal{C} $. Desta forma, os elementos de $ \bar{\mathcal{F}} \times \mathcal{E} $ são $ R $-Souslin. Com isso, obtemos do teorema 7.35 em Bertsekas e Shrere que $ H $ também é um conjunto $ R $-Souslin.  Utilizando o teorema 5.5 em Leese (1978), obtemos que:

a) $ Proj_{\Omega} (H) \in \bar{\mathcal{F}} $

b) Existe uma função  Proj_{\Omega} \rightarrow E $ que é universalmente mensurável e $ (\omega, f(\omega)) \in H $ para todo $ \omega \in Proj_{\Omega}[H] $. Segue o resultado.

Como aplicação deste resultado, vamos generalizar o teorema de seleção universalmente mensurável apresentado por Bertsekas e Shreve (1978).

Proposição 9.2.2:

Considere os espaços $ (\Omega , \mathcal{F}) $ e $ (E, \beta_{E}) $ satisfazendo as hipóteses do teorema 9.2.1 e $ D \in \bar{\mathcal{F}} \times \beta_{E} $. Seja  D \rightarrow \mathbb{R}^\star $ uma função $ \bar{\mathcal{F}} \times \beta_{E} $-mensurável, definimos  Proj_{\Omega}[D] \rightarrow \mathbb{R}^\star $ por

\[f^{\star}(w) = \inf_{x \in E} ~ f(w , x)\]

a) A função $ f^{\star} $ é universalmente mensurável e para todo $ \epsilon \textgreater 0 $, existe uma função  Proj_{\Omega}[D] \rightarrow E $ tal que $ Gr[\phi] \subset D $ e para todo $ w \in Proj_{\Omega} [D] $

\[ f[w , \phi(w)] \leq \left\{ \begin{array}{c} f^{\star}(w) + \epsilon, f^{\star}(w) \textgreater - \infty \\ - \frac{1}{\epsilon} , f^{\star}(w) = - \infty \end{array} \right.\]

b) O conjunto

 ~ \mbox{ existe } ~ ~ x_{w} \in D_{w} \mbox{ com } ~ ~ f[w , x_{w}] = f^{\star} (w) \right\} \]

é universalmente mensurável, e para todo $ \epsilon \textgreater 0 $ existe uma função universalmente mensurável  Proj_{\Omega} (D) \rightarrow E $ tal que $ Gr[\phi] \subset D $ e para todo $ w \in Proj_{\Omega}(D) $

\[ f[w, \phi(w)] ~ = ~ f^{\star}(w) ~ ~ ; ~ ~ w \in I \]

e

\[ f[w , \phi(w)] \leq \left\{\begin{array}{c}f^{\star}(w) + \epsilon, w \not \in I f^{\star}(w)\textgreater - \infty \\ - \frac{1}{\epsilon} , w \not \in I ~ , ~ f^{\star}(w) = -\infty \end{array} \right. \]

Demonstração: Observe que,

 f(w,x) \leq b \right\} \right] \]

pois, seja  f(w,x) \textless b \right\} \right]  $ isto implica que existe um $ x^\prime \in E $ tal que

$$f(w,x^\prime)\textless b.$$

Em particular $ \inf_{x\in E} f(w,x)\leq f(w,x^\prime)\textless b $ o que implica que

 f^{\star}(w) \textless b \}$$

E portanto temos que

 f^{\star}(w) \textless b \}$$

Agora seja  f^{\star}(w) \textless b \}  $ isto implica que

$$\inf_{x\in E} f(w,x)\textless b$$

o que implica que dado $ \epsilon\geq 0 $ existe $ x^\prime \in E $ tal que

$$f(w,x^\prime)-\epsilon \textless b \Rightarrow f(w,x^\prime)\textless b+\epsilon$$

Desde que $ \epsilon $ é arbitrário obtemos que existe um $ x^{\epsilon/2}\in E $ tal que

$$f(w,x^{\epsilon/2})\textless b$$

O que implica que  f(w,x)\textless b \right\} \right] $ e portanto

 f(w,x) \textless b \right\} \right] \]

Desde que $ f $ é uma função $ \bar{\mathcal{F}} \times \beta_{E} $-mensurável, segue do Teorema 9.2.1 a que  Proj_{\Omega}[D]\rightarrow \mathbb{R}^{\star} $ é universalmente mensurável.  Para todo $ k= \cdots, -2, -1, 0 , 1, 2, \cdots $, definimos

 f(w,x) \leq k \epsilon \right\} \]

que pertence a $ \sigma $-álgebra $ \bar{\mathcal{F}} \times \beta_{E} $, pois $ f $ é $ (\bar{\mathcal{F}} \times \beta_{E}) $-mensurável. Os conjuntos,

 (k-1) \epsilon \leq f^{\star}(w) \textless k \epsilon \right\} \]

são universalmente mensuráveis ($ \bar{\mathcal{F}} $-mensuráveis), pois $ f^{\star} $ é universalmente mensurável. O conjunto,

 f^{\star}(w) = \infty \right\} \]

é universalmente mensurável, pois

 f^{\star}(w) \textgreater r \right\} \]

Da mesma forma, o conjunto

 f^{\star} = - \infty \right\} \]

é universalmente mensurável, pois

 f^{\star} (w) \textless r \right\} \]

Aplicando o Teorema 9.2.1 ao conjunto $ A(k) \in \bar{\mathcal{F}} \times \beta_E $, sabemos que existe uma função universalmente mensurável  Proj_{\Omega}(A(k)) \rightarrow E $ tal que $ Gr[\phi_k] \in A(k) $. Da mesma forma, aplicando o Teorema 9.2.1 ao conjunto D, existe uma função universalmente mensurável  Proj_{\Omega}(D) \rightarrow E $ tal que $ Gr[\phi^{\star}] \in D $. Considere $ {k}^{\star} $ um inteiro tal que $ k^{\star} \leq -\frac{1}{\epsilon^2} $, com isso, definimos uma função  Proj_{\Omega}(D) \rightarrow E $, por

\[ \phi(w) = \left\{ \begin{array}{c} \phi_k (w) , w \in B(k)\\ \phi^{\star} (w) , w \in B(\infty) \\ \phi_{k^{\star}} (w) , w \in B(- \infty) \end{array} \right. \]

Desde que,

\[ B(k) ~ \subset ~ Proj_{\Omega} [ A(k)] \]

e

\[ B( - \infty) ~ \subset ~ Proj_{\Omega}[A(k)] \]

para todo $ k= \cdots, -1,0,1, \cdots $, obtemos que $ \phi $ está bem definido. Além disso, $ \phi $ é universalmente mensurável e $ Gr[\phi] \subset D $.
Se tomarmos $ w \in B(k) $, temos que

\[ f[w, \phi(w)] = f [ w , \phi_k(w) ] ~ \leq ~ k \epsilon ~ \leq ~ f^{\star}(w) ~ + ~ \epsilon \]

Agora, se $  w \in B(\infty) $, então $ f(w,x) = + \infty $ para todo $ x \in D_w $, que implica em $ f[w, \phi(w)] = f[w, \phi^{\star}] = f^{\star}(w)= \infty $. Para finalizar, se tomarmos $ w \in B(- \infty) $, temos

\[ f[w, \phi(w)] = f[w, \phi_{k^{\star}} (w)] ~ \leq ~ k^{\star} \epsilon ~ \leq ~ - \frac{1}{\epsilon} \]

Portanto, $ \phi $ tem as propriedades requeridas e segue a parte (a). Para mostrarmos a parte (b), considere o conjunto $ F \subset \Omega \times E \times\mathbb{R}^\star $ definido por

 f (w,x) \leq b \right\} \]

Vamos mostrar que $ F \in \bar{\mathcal{F}} \times \beta_{E} \times \beta_{\mathbb{R}^\star} $. Seja $ k \in \mathbb{N} $, $ r \in \mathbb{Q}^\star $ e o conjunto

 r \leq b + \frac{1}{k} \right\} \]

Desde que,

 f(w,x) \leq r \right\} ~ \in ~ \bar{\mathcal{F}} \times \beta_{E} \]

e

 r \leq b + \frac{1}{k} \right\} ~ \in ~ \beta_{\mathbb{R}^\star} \]

temos que $ C[r,k] \subset \bar{\mathcal{F}} \times \beta_{E} \times \beta_{\mathbb{R}^\star} $. Como

\[ F = \bigcap_{k=1}^{\infty} ~ \bigcup_{r \in \mathbb{Q}^\star} C[r;k] \]

obtemos que $ F \in \bar{\mathcal{F}} \times \beta_{E} \times \beta_{\mathbb{R}^\star} $. Aplicando o Teorema 9.2.1, concluímos que

\[ A = Proj_{(\Omega \times \mathbb{R}^\star} (F) ~ \in ~ \stackrel{-}{\mathcal{F}} \times \stackrel{-}{\beta_{\mathbb{R}^\star}} \]

A transformação  Proj_{\Omega}(D) \rightarrow \Omega \times \mathbb{R}^\star $, definida por

\[ T(w) = (w, f^{\star}(w)) \]

é $ (\bar{\mathcal{F}}; \bar{\mathcal{F}} \times \beta_{\mathbb{R}^\star}) $-mensurável, pois para todo $ C \in \bar{\mathcal{F}} \times \beta_{\mathbb{R}^\star} $, temos que

 f^{\star}(w) \in C_w \right\} \]

Como consequência do Teorema 9.2.1 e o fato de que $ C_w \in \beta_{\mathbb{R}^\star} $ [Neveu (1965), prop. III.1.2, pg. 71], a transformação $ T $ é  $ (\bar{\mathcal{F}}; \bar{\mathcal{F}} \times \beta_{\mathbb{R}^\star}) $-mensurável. Além disso, temos que

 (w, f^{\star}(w)) \in A \right\} = T^{-1}(A) \]

Portanto, segue do corolário 9.2.1, que $ T^{-1}(A) \in \bar{\mathcal{F}} $ e assim, o conjunto $ I $ é universalmente mensurável. Como $ F \in \bar{\mathcal{F}} \times \beta_{E} \times \beta_{\mathbb{R}^\star} $, segue do teorema 9.2.1 que, existe uma função  A \rightarrow E $ universalmente mensurável [$ ( \bar{\mathcal{F}} \times \stackrel{-}{\beta_{\mathbb{R}^\star}}; \beta_{E} ) $-mensurável] tal que $ (w, \rho(w,b),b) \in F $ para todo $ (w,b) \in A $. Com isso, definimos  I \rightarrow E $, por

\[ \psi (w) = \rho[w, f^{\star}(w)] = (\rho \circ T)(w) ; w \in I \]

Então, como consequência do lema 9.2.2 a função $ \psi $ é universalmente mensurável e por construção

\[ f[w, \psi(w)] ~ \leq ~ f^{\star}(w) ~ ~ ; ~ ~ w \in I \]

Portanto,

\[ f[w, \psi(w)] = f^{\star}(w) ~ ~ ; ~ ~ w \in I \]

Utilizando a parte (a) desta Proposição, existe uma função  Proj_{\Omega}(D) \rightarrow E $ universalmente mensurável, satisfazendo

\[ f[w , \psi_{\epsilon} (w)] ~ \leq \left\{ \begin{array}{c} f^{\prime}(w) + \epsilon ;f^{\prime}(w) \textgreater - \infty \\ - \frac{1}{\epsilon} ; f^{\prime}(w) = - \infty \end{array} \right. \]

Se definirmos  Proj_{\Omega}(D) \rightarrow E $, por

\[ \phi(w) = \left\{ \begin{array}{c} \psi(w) ; w \in I \\ \\ \psi_{\epsilon}(w) ; w \in Proj_{\Omega}(D) - I \end{array} \right. \]

obtemos que $ \phi $ é universalmente mensurável e satisfaz as propriedades requeridas.

 

Probabilidades

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