8 - Esperança de variáveis aleatórias

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Considere $ (\Omega,\mathcal{F}) $ um espaço mensurável, no qual $ \mathcal{F} $ é uma $ \sigma $-álgebra em $ \Omega $. Denotamos por  \mathcal{F}\rightarrow [0,1] $ uma probabilidade sobre $ (\Omega, \mathcal{F}) $. A probabilidade $ \mathbb{P} $ é uma função de conjunto $ \sigma $-aditiva com $ \mathbb{P}(\Omega)=1 $, ver Noções de Probabilidade. Para uma discussão detalhada sobre a construção da probabilidade ver teorema de extensão de caratheodory.Neste módulo, vamos nos dedicar a estudar o funcional linear e positivo, denominado esperança ou integral de lebesgue.

Seja \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ uma função. Para todo $ A \subset \mathbb{R} $, definimos 

$$X^{-1}(A)=\{\omega\in \Omega |X(\omega)\in A\}$$

a imagem inversa da função $ X $.  As propriedades de imagem inversa listadas abaixo serão utilizadas na sequência: 

$$X^{-1}(\emptyset)=\emptyset$$

 

$$X^{-1}(A^c)=(X^{-1}(A))^{c}$$

 

$$\displaystyle X^{-1}\left(\bigcup_{i}A_i\right)=\bigcup_{i}X^{-1}(A_i)$$

 

$$\displaystyle X^{-1}\left(\bigcap_{i}A_i\right)=\bigcap_{i}X^{-1}(A_i).$$

 Denotamos por $ X^{-1}(\mathcal{E}) $ a classe de subconjuntos $ X^{-1}(C) $ no qual $ C \in \mathcal{E} $. Com essas propriedades não é difícil notar que a imagem inversa de uma $ \sigma $-álgebra define uma $ \sigma $-álgebra.

Dizemos que $ X $ é uma função mensurável se $ X^{-1}(A)\in \mathcal{F} $ para todo $ A\in \mathcal{B}, $ no qual $ \mathcal{B} $ é a $ \sigma $-álgebra de borel definida nos reais. Para facilidade de notação, neste módulo, vamos identificar variáveis aleatórias com funções mesuráveis, sem necessariamente mencionar uma probabilidade sobre o espaço mensurável.  

Definição 8.1: 

Dizemos que uma função $ 1\!\!1_A $ é indicadora para o conjunto $ A $ se  

$$\displaystyle 1\!\!1_{A}(\omega)= \left\{\begin{array}{c} 1,~~ se ~~\omega \in A\\ 0, ~~ se ~~ \omega \notin A\end{array}\right .$$

Lema 8.1:

A função $ 1\!\!1_A $ é mensurável se, e somente se, $ A $ pertence a $ \mathcal{F} $.

Demonstração:  

Se $ A\in \mathcal{F} $, então temos que $ A^c \in \mathcal{F} $. Além disso para qualquer Boreliano real $ B\in \mathcal{B} $, temos que as seguintes possibilidades

(1) $ 1\in B $ e $ 0\notin B $;

(2) $ 1\notin B $ e $ 0\in B $;

(3) $ \{0,1\}\in B $;

(4) $ \{0,1\}\notin B $.

Para o caso 1. temos que $ 1\!\!1_A^{-1}(B)=A\in \mathcal{F} $, para o caso 2. temos que $ 1\!\!1_A^{-1}(B)=A^c \in \mathcal{F} $, para o caso 3. temos que $ 1\!\!1^{-1}_{A}(B)=\Omega\in\mathcal{F} $ e por fim para o caso 4, temos que $ 1\!\!1_{A}^{-1}(B)=\emptyset $. Como esse é todos os possíveis caso temos que $ 1\!\!1_A $ é mensurável se $ A\in \mathcal{F} $
Agora se $ 1\!\!1_A $ é uma função mensurável isso implica que para qualquer $ B\in \mathcal{B} $, temos que $ 1\!\!1^{-1}_A(B)\in \mathcal{B} $, em particular tome $ B=\{1\} $, assim temos que $ (1\!\!1_A)^{-1}(\{\ 1 \})=A $, o qual deve pertencer a $ \mathcal{F} $, pois caso contrário $ 1\!\!1_A $ não seria mensurável.
 
Na sequência, listamos algumas propriedades da função indicadora que serão utilizados ao longo deste texto. Deixamos a demonstração destas propriedades como exercício.

Propriedades da função Indicadora.

P1- $ 1\!\!1_{A^c}=1-1\!\!1_{A} $;

P2- $ 1\!\!1_{A\cup B}=1\!\!1_{A}+1\!\!1_{B} $, com $ A\cap B=\emptyset $;

P3- $ 1\!\!1_{A}1\!\!1_{B}=1\!\!1_{A\cap B} $;

P4- $ 1\!\!1_{A\cup B}=\sup(1\!\!1_{A},1\!\!1_{B}) $;

P5- $ 1\!\!1_{A\cap B}=\inf\{1\!\!1_{A},1\!\!1_{B}\} $.

Definição 8.2:

Definimos uma variável aleatória simples, na forma 

$$\displaystyle X(\omega)=\sum_{i=1}^{n}x_i 1\!\!1_{A_i}(\omega), \quad \omega \in \Omega,$$

no qual

$ x_i\in \mathbb{R} $ são números reais distintos e i=1,2, \cdots , n\} \subset \mathcal{F} $ é uma partição de $ \Omega $, isto é, $ A_i\cap A_j=\emptyset $, se $ i\neq j $ e $  \cup_i A_i = \Omega $

Lema 8.2:

O conjunto $ \mathfrak{E} $ composto pelas variáveis aleatórias simples é um espaço vetorial.

Demonstração:

Se $ X, Y \in \mathfrak{E} $, então 

$$X+Y=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i 1\!\!1_{A_i}+\sum_{j=1}^{m}y_j 1\!\!1_{B_j}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(x_i+y_j) 1\!\!1_{A_i\cap B_j}=\displaystyle \sum_{(i,j)\in I_n\times I_m}(x_i+y_j) 1\!\!1_{A_i\cap B_j}$$

 é uma função simples.

Além disso, temos que se $ c\in \mathbb{R} $, então 

$$cX=c\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i 1\!\!1_{A_i}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}cx_i 1\!\!1_{A_i}.$$

Logo $ \mathfrak{E} $ é um espaço vetorial.

Na sequência, vamos derivar outras propriedades da classe de variáveis aleatórias simples. Sejam $ X $ e $ Y $ elementos de $ \mathfrak{E} $, então

$$ XY=\left(\sum_{i} x_i 1\!\!1_{ A_i} \right) \left( \sum_j y_j 1\!\!1_{B_j}\right)=\sum_{ij} x_i y_j 1\!\!1_{A_i \cap B_j} \in \mathfrak{E}.$$

Com isso, obtemos que $ \mathfrak{E} $ é uma álgebra. Dizemos que $ X \leq Y $ se $ X(\omega) \leq Y(\omega) $ para todo $ \omega \in \Omega $. Dados duas variáveis aleatórias simples $ X $ e $ Y $, temos que

$$\sup (X,Y) = \sum_{ij} \sup (x_i,y_j) 1\!\!1_{A_i \cap B_j} \quad \text{e} \quad \inf(X,Y) = \sum_{ij} \inf (x,y)1\!\!1_{A_i \cap B_j$$

também são variáveis aleatórias simples.  Portanto, a classe $ \mathfrak{E} $ tem uma estrtura de lattice. Para qualquer função  \Omega \rightarrow \mathbb{R} $, as seguintes fórmula são válidas:

(1) $ \sup(-X,-Y)=- \inf(X,Y) $;

(2) $ \sup(X,Y)+\in(X,Y)=X+Y $.

Denotamos por $ X^{+}=\sup(X,0) $ e por $ X^{-}=\sup(-X,0)=-\inf(X,0) $ duas funções não negativas. Assim, obtemos que $ X=X^{+} - X^{-} $ e $ \mid X\mid = X^{+}+X^{-} $

Definição 8.3 

Dados $ (\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade e \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ uma função, dizemos que $ X $ é uma variável aleatória se  X(w) \leq x\} \in \mathcal{F} $ para todo $ x \in \mathbb{R} $.

Lema 8.3:

Toda variável aleatória $ X $ é uma função mensurável.

Demonstração: Vamos mostrar que para todo boreliano $ B \in \mathcal{B} $, temos que $ X^{-1}(B) \in \mathcal{F} $. Desde que $ X $ é uma variável aleatória, sabemos que esta propriedade é válida para $ B=(- \infty, b] $ com $ b \in\mathbb{R} $. Utilizando o fato de que $ \mathcal{F} $ é ma $ \sigma $-álgebra, concluímos que 

(1) $ X^{-1} ((a, \infty))=X^{-1} \left( (- \infty , a]^c \right)= \left[ X^{-1} ((-\infty, a])\right]^c \in \mathcal{F} $;

(2) $ X^{-1} ((a,b]) = X^{-1} ((-\infty,b] \cap (a, \infty))= X^{1}((-\infty , b]) \cap X^{-1} ((a, \infty)) \in \mathcal{F} $.

para todo $ -\infty \leq a \textless b \textless \infty $. Denotamos por  X^{-1} (B) \in \mathcal{F}\} $. Como consequência da propriedade (2), concluímos que $ \mathcalD} $ contém a semiálgebra formada pelos intervalos  -\infty \leq a \textless b \textless \infty\} $. Desde que a $ \sigma $-álgebra de Borel é gerada pelos intervalos $ \mathcal{R} $, basta mostrarmos que $ \mathcal{D} $ é uma $ \sigma $-álgebra. Assim, temos que 

(a) $ X^{-1} (\emptyset)=\emptyset \in \mathcal{F} $;

(b) Suponha que $ B \in \mathcalD} $, então $ X^{-1}(B^c) = \left(X^{-1}(B)\right)^c \in \mathcal{F} $;

(c) Sejam $ A_1 , A_2, \cdots $ elementos de $ \mathcal{D} $, então temos que $ X^{-1} \left(\cup_{i=1}^\infty A_i \right) = \cup_{i=1}^\infty X^{-1}(A_i) \in \mathcal{F}. $

Portanto, obtemos que $ \mathcal{D} $ é uma $ \sigma $-álgebra e segue o lema.

Lema 8.4:

Seja \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ uma função tal que  X(\omega) \textless x\} \in \mathcal{F} $ para todo $ x \in \mathbb{R} $. Então, temos que $ X $ é uma variável aleatória.

Demonstração: Basta observarmos que

$$X^{-1} ((-\infty,b])=X^{-1} \left(\cap_{n=1}^{\infty} (-\infty, b+ \frac{1}{n})\right) = \cap_{n=1}^{\infty} X^{-1} ((-\infty, b+ \frac{1}{n})) \in \mathcal{F},$$

para todo $ b \in \mathbb{R} $. Segue o lema.

Com os lemas 8.3 e 8.4, concluímos que se \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ satisfaz  X(\omega)\geq a\} \in \mathcal{F} $ para todo $ a \in \mathbb{R} $, então $ X $ também é uma variável aleatória. Dados $ X $ e $ Y $ variáveis aleatórias, temos que $ g=\sup (X,Y) $ também é uma variável aleatória, pois

 Y(\omega) \leq b\} \in \mathcal{F},$$

para todo $ b \in \mathbb{R} $. Da mesma forma, podemos mostrar que $ Z=\inf (X,Y) $ é uma variável aleatória.  A seguir, vamos caracterizar variáveis aleatórias através de sequências de variáveis aleatórias simples. Este fato será importante na definição da esperança ou da integral de lebesgue.

Teorema 8.1:

Uma função  \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ é uma variável aleatória se, e só se, existe uma sequência de variáveis aleatórias simples $ \{X_n\} \subset \mathfrak{E} $ tal que $ X_n(\omega) \rightarrow X(\omega) $ para todo $ \omega \in \Omega $. Para todo variável aleatória positiva $ Y $, existe uma sequência não decrescente de variáveis aleatórias simples $ \{Y_n\} $ que converge pontualmente para $ Y $. Além disso, esta sequência pode ser tomada de tal forma que o limite seja uniforme em todo subconjunto de $ \Omega $ para o qual $ Y $ é limitada acima. 

Demonstração: Suponha que existe uma sequência de variáveis aleatórias simples $ \{X_n\} $ que converge pontualmente para $ X $. Ao definirmos $ g_n=\sup_{k \geq n} X_k $, obtemos que  X_k(\omega) \leq b\} \in \mathcal{F} $, para todo $ b \in \mathbb{R} $$ n \in \mathbb{N} $. Desta forma, obtemos que $ g_n $ é uma variável aleatória para todo $ n $. Desde que $ X_n $ converge pontualmente para $ X $, sabemos que

$$X = \lim \sup_n X_n = \inf_{n \geq 1} \sup_{n \geq k} X_k = \inf_{n \geq 1} g_n.$$

 Assim, concluímos que  g_n(\omega) \textgreater a \} \in \mathcal{F} $ para todo $ a \in \mathbb{R} $. Portanto, obtemos que $ X $ é uma variável aleatória.

Por outro lado, suponha que $ X $ seja uma variável aleatória. Desde que $ X=X^+ - X^- $ é a diferença de duas variáveis aleatórias positivas, basta mostrarmos que toda variável aleatória positiva é limite pontual de variáveis aleatórias simples. Seja $ X $ uma variável aleatória positiva, para $ n=0,1,2,3,\cdots $ e $ 0\leq k\leq 2^{2n}-1 $ tomamos 

$$E_n^k= X^{-1}((k2^{-n},(k+1)2^{-n}]) \quad \text{e} \quad F_n=X^{-1}((2^n,\infty]).$$

Assim, definimos a variável aleatória simples 

$$X_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{2^{2n}-1}k2^{-n}1\!\!1_{E_n^k}+2^n 1\!\!1_{F_n}.$$

Note que $ X_n\leq X_{n+1} $, para todo n, e ainda que $ 0\leq X-X_n\leq 2^n $, no conjunto onde $ X\leq 2^n $, logo quando $  n\rightarrow \infty $ temos que $ X_n\rightarrow X $ pontualmente e uniformemente nos conjuntos no qual X é limitado. Com isso, obtemos o teorema.

Para ilustrar a aproximação de variáveis aleatórias por variáveis aleatórias simples, consideramos as figuras abaixo.

Na figura (a) temos em vermelho a função $ X_0 $ e na figura (b) também em vermelho temos $ X_1 $, podemos notar que conforme n cresce $ X_n $ aproxima-se cada vez mais e ainda $ X_n\leq X_{n+1} $. Como consequência do teorema 8.1, obtemos a seguinte proposição

Proposição 8.1:

Sejam $ X, Y $ funções mensuráveis, então

(a) $ cX $;

(b) $ X+Y $;

(c) $ XY $;

(d) $ X/Y $, se $ Y(\omega)\neq 0 $.

são funções mensuráveis.

Demonstração: Exercício.

Através da proposição 8.1, concluímos que a classe de variáveis aleatórias apresenta uma estrutura de álgebra. Além disso, se $ \{X_n\} $ é uma sequência de variáveis aleatórias, as funções $ Y=\sup_n X_n $ e $ Z=\inf_n X_n $ também são variáveis aleatórias. Desta forma, para toda sequência $ \{X_n\} $ de variáveis aleatórias, temos que $ \lim \sup_n X_n $ e $ \lim \inf_n X_n $ também são variáveis aleatórias. O conjunto de convergência da sequência $ \{X_n\} $ é definido por

 \lim \inf_n X_n = \lim \sup_n X_n\} \in \mathcal{F}.$$

 Assim, o limite de toda sequência convergente de variáveis aleatórias também é uma variável aleatória.  

Dado $ Y $ uma variável aleatória definida sobre $ (\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ e $ \beta \subset \mathcal{F} $ uma sub-$ \sigma $-álgebra. Dizemos que $ Y $ é mensurável com respeito a $ \beta $ se $ \sigma $-álgebra gerada pela variável aleatória $ Y $, definida por B \in \mathcal{B}\} $, está contida em $ \beta $.

Proposição 8.2:

Considere $ \beta(X) $ a $ \sigma $-álgebra gerada pela variável aleatória $ X $. Uma variável aleatória $ Y $ é mensurável com respeito a $ \beta(X) $ se, e só se, $ Y=f(X) $ no qual \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ é uma função mensurável.

Demonstração: Se $ Y=f(X) $ no qual $ f $ é uma função mensurável, temos que $ Y $ é mensurável com respeito a $ \sigma $-álgebra $ \beta(X) $ (exercíco). Na sequência, vamos mostrar que se $ Y $ é uma variável aleatória mensurável com respeito a $ \beta(X) $, então $ Y $ tem a forma $ Y=f(X) $. Inicialmente, consideramos o caso em que $ Y $ é uma variável aleatória simples. Por definição, existe uma partição finita i=1,2, \cdots ,n\} $ de $ \Omega $ tal que

$$Y(\omega) = \sum_i y_i 1\!\!1_{B_i}(\omega), \quad \omega \in \Omega,$$

no qual i=1, \cdots , n\} $ são números reais distintos. Desde que $ B_i \in \beta(X) $, existe pelo menos um boreliano $ S_i \in \mathcal{B} $ tal que $ B_i=X^{-1}(S_i) $, para todo $ i=1,\cdots ,n $. Os borelianos

$$S^{\prime}_1=S_1,\quad S^{\prime}_i=S_i - \cup_{j=1}^{i-1}S_j, \quad i=2,3, \cdots ,n\quad \text{e} \quad \left(\cup_i S_i\right)^c = \left(\cup_i S^{\prime}_i\right)^c$$

formam uma partição finita de $ \mathbb{R} $. Como consequência do fato de que $ X^{-1}(S_i \cap S_j)=B_i \cap B_j = \emptyset $ para todo $ i\neq j=1,2, \cdots , n, $ temos que $ B_i=X^{-1}(S^{\prime}_i) $. Desta forma, definimos a função simples

$$f(x)=\sum_i y_i 1\!\!1_{\{S^{\prime}_i\}} + 0 1\!\!1_{\{\left( \cup_i S^{\prime}_i\right)^c\}}.$$

Por construção, obtemos que $ Y=f(X) $.

Seja $ Y $ uma variável aleatória mensurável com respeito a $ \beta(X) $ que não é uma variável aleatória simples. Tomamos $ \{Y_n\} $ uma sequência de variáveis aleatórias simples mesnuráveis com respeito a $ \beta(X) $ tal que $ Y=\lim_n Y_n $. Sabemos que $ Y_n = f_n(X) $ no qual \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ é uma função mensurável. Desta forma, ao definirmos $ f=\lim_n f_n $, concluímos que $ f $ é mensurável e $ Y=f(X) $. Segue a proposição.

 

 

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