8 - Esperança de variáveis aleatórias

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Considere $(\Omega,\mathcal{F})$ um espaço mensurável, no qual $\mathcal{F}$ é uma $\sigma$-álgebra em $\Omega$. Denotamos por $\mathbb{P}: \mathcal{F}\rightarrow [0,1]$ uma probabilidade sobre $(\Omega, \mathcal{F})$. A probabilidade $\mathbb{P}$ é uma função de conjunto $\sigma$-aditiva com $\mathbb{P}(\Omega)=1$, ver Noções de Probabilidade. Para uma discussão detalhada sobre a construção da probabilidade ver teorema de extensão de caratheodory.Neste módulo, vamos nos dedicar a estudar o funcional linear e positivo, denominado esperança ou integral de lebesgue.

Seja $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ uma função. Para todo $A \subset \mathbb{R}$, definimos $$X^{-1}(A)=\{\omega\in \Omega |X(\omega)\in A\}$$ a imagem inversa da função $X$.  As propriedades de imagem inversa listadas abaixo serão utilizadas na sequência: $$X^{-1}(\emptyset)=\emptyset$$ $$X^{-1}(A^c)=(X^{-1}(A))^{c}$$ $$\displaystyle X^{-1}\left(\bigcup_{i}A_i\right)=\bigcup_{i}X^{-1}(A_i)$$ $$\displaystyle X^{-1}\left(\bigcap_{i}A_i\right)=\bigcap_{i}X^{-1}(A_i).$$ Denotamos por $X^{-1}(\mathcal{E})$ a classe de subconjuntos $X^{-1}(C)$ no qual $C \in \mathcal{E}$. Com essas propriedades não é difícil notar que a imagem inversa de uma $\sigma$-álgebra define uma $\sigma$-álgebra.

Dizemos que $X$ é uma função mensurável se $X^{-1}(A)\in \mathcal{F}$ para todo $A\in \mathcal{B},$ no qual $\mathcal{B}$ é a $\sigma$-álgebra de borel definida nos reais. Para facilidade de notação, neste módulo, vamos identificar variáveis aleatórias com funções mesuráveis, sem necessariamente mencionar uma probabilidade sobre o espaço mensurável.  

Definição 8.1: 

Dizemos que uma função $1\!\!1_A$ é indicadora para o conjunto $A$ se  $$\displaystyle 1\!\!1_{A}(\omega)= \left\{\begin{array}{c} 1,~~ se ~~\omega \in A\\ 0, ~~ se ~~ \omega \notin A\end{array}\right .$$

Lema 8.1:

A função $1\!\!1_A$ é mensurável se, e somente se, $A$ pertence a $\mathcal{F}$.

Demonstração:  

Se $A\in \mathcal{F}$, então temos que $A^c \in \mathcal{F}$. Além disso para qualquer Boreliano real $B\in \mathcal{B}$, temos que as seguintes possibilidades

(1) $1\in B$ e $0\notin B$;

(2) $1\notin B$ e $0\in B$;

(3) $\{0,1\}\in B$;

(4) $\{0,1\}\notin B$.

Para o caso 1. temos que $1\!\!1_A^{-1}(B)=A\in \mathcal{F}$, para o caso 2. temos que $1\!\!1_A^{-1}(B)=A^c \in \mathcal{F}$, para o caso 3. temos que $1\!\!1^{-1}_{A}(B)=\Omega\in\mathcal{F}$ e por fim para o caso 4, temos que $1\!\!1_{A}^{-1}(B)=\emptyset$. Como esse é todos os possíveis caso temos que $1\!\!1_A$ é mensurável se $A\in \mathcal{F}$. 
Agora se $1\!\!1_A$ é uma função mensurável isso implica que para qualquer $B\in \mathcal{B}$, temos que $1\!\!1^{-1}_A(B)\in \mathcal{B}$, em particular tome $B=\{1\}$, assim temos que $(1\!\!1_A)^{-1}(\{\ 1 \})=A$, o qual deve pertencer a $\mathcal{F}$, pois caso contrário $1\!\!1_A$ não seria mensurável.
 
Na sequência, listamos algumas propriedades da função indicadora que serão utilizados ao longo deste texto. Deixamos a demonstração destas propriedades como exercício.

Propriedades da função Indicadora.

P1- $1\!\!1_{A^c}=1-1\!\!1_{A}$;

P2- $1\!\!1_{A\cup B}=1\!\!1_{A}+1\!\!1_{B}$, com $A\cap B=\emptyset$;

P3- $1\!\!1_{A}1\!\!1_{B}=1\!\!1_{A\cap B}$;

P4- $1\!\!1_{A\cup B}=\sup(1\!\!1_{A},1\!\!1_{B})$;

P5- $1\!\!1_{A\cap B}=\inf\{1\!\!1_{A},1\!\!1_{B}\}$.

Definição 8.2:

Definimos uma variável aleatória simples, na forma $$\displaystyle X(\omega)=\sum_{i=1}^{n}x_i 1\!\!1_{A_i}(\omega), \quad \omega \in \Omega,$$ no qual $x_i\in \mathbb{R}$ são números reais distintos e $\{A_i:i=1,2, \cdots , n\} \subset \mathcal{F}$ é uma partição de $\Omega$, isto é, $A_i\cap A_j=\emptyset$, se $i\neq j$ e $ \cup_i A_i = \Omega$. 

Lema 8.2:

O conjunto $\mathfrak{E}$ composto pelas variáveis aleatórias simples é um espaço vetorial.

Demonstração:

Se $X, Y \in \mathfrak{E}$, então $$X+Y=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i 1\!\!1_{A_i}+\sum_{j=1}^{m}y_j 1\!\!1_{B_j}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(x_i+y_j) 1\!\!1_{A_i\cap B_j}=\displaystyle \sum_{(i,j)\in I_n\times I_m}(x_i+y_j) 1\!\!1_{A_i\cap B_j}$$ é uma função simples.

Além disso, temos que se $c\in \mathbb{R}$, então $$cX=c\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i 1\!\!1_{A_i}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}cx_i 1\!\!1_{A_i}.$$ Logo $\mathfrak{E}$ é um espaço vetorial.

Na sequência, vamos derivar outras propriedades da classe de variáveis aleatórias simples. Sejam $X$ e $Y$ elementos de $\mathfrak{E}$, então $$ XY=\left(\sum_{i} x_i 1\!\!1_{ A_i} \right) \left( \sum_j y_j 1\!\!1_{B_j}\right)=\sum_{ij} x_i y_j 1\!\!1_{A_i \cap B_j} \in \mathfrak{E}.$$ Com isso, obtemos que $\mathfrak{E}$ é uma álgebra. Dizemos que $X \leq Y$ se $X(\omega) \leq Y(\omega)$ para todo $\omega \in \Omega$. Dados duas variáveis aleatórias simples $X$ e $Y$, temos que $$\sup (X,Y) = \sum_{ij} \sup (x_i,y_j) 1\!\!1_{A_i \cap B_j} \quad \text{e} \quad \inf(X,Y) = \sum_{ij} \inf (x,y)1\!\!1_{A_i \cap B_j$$ também são variáveis aleatórias simples.  Portanto, a classe $\mathfrak{E}$ tem uma estrtura de lattice. Para qualquer função $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$, as seguintes fórmula são válidas:

(1) $\sup(-X,-Y)=- \inf(X,Y)$;

(2) $\sup(X,Y)+\in(X,Y)=X+Y$.

Denotamos por $X^{+}=\sup(X,0)$ e por $X^{-}=\sup(-X,0)=-\inf(X,0)$ duas funções não negativas. Assim, obtemos que $X=X^{+} - X^{-}$ e $\mid X\mid = X^{+}+X^{-}$. 

Definição 8.3 

Dados $(\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ uma função, dizemos que $X$ é uma variável aleatória se $\{\omega \in \Omega: X(w) \leq x\} \in \mathcal{F}$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

Lema 8.3:

Toda variável aleatória $X$ é uma função mensurável.

Demonstração: Vamos mostrar que para todo boreliano $B \in \mathcal{B}$, temos que $X^{-1}(B) \in \mathcal{F}$. Desde que $X$ é uma variável aleatória, sabemos que esta propriedade é válida para $B=(- \infty, b]$ com $b \in\mathbb{R}$. Utilizando o fato de que $\mathcal{F}$ é ma $\sigma$-álgebra, concluímos que 

(1) $X^{-1} ((a, \infty))=X^{-1} \left( (- \infty , a]^c \right)= \left[ X^{-1} ((-\infty, a])\right]^c \in \mathcal{F}$;

(2) $X^{-1} ((a,b]) = X^{-1} ((-\infty,b] \cap (a, \infty))= X^{1}((-\infty , b]) \cap X^{-1} ((a, \infty)) \in \mathcal{F}$.

para todo $-\infty \leq a \textless b \textless \infty$. Denotamos por $\mathcal{D} = \{ B \subset \mathbb{R}: X^{-1} (B) \in \mathcal{F}\}$. Como consequência da propriedade (2), concluímos que $\mathcalD}$ contém a semiálgebra formada pelos intervalos $\mathcal{R} = \{(a,b]: -\infty \leq a \textless b \textless \infty\}$. Desde que a $\sigma$-álgebra de Borel é gerada pelos intervalos $\mathcal{R}$, basta mostrarmos que $\mathcal{D}$ é uma $\sigma$-álgebra. Assim, temos que 

(a) $X^{-1} (\emptyset)=\emptyset \in \mathcal{F}$;

(b) Suponha que $B \in \mathcalD}$, então $X^{-1}(B^c) = \left(X^{-1}(B)\right)^c \in \mathcal{F}$;

(c) Sejam $A_1 , A_2, \cdots$ elementos de $\mathcal{D}$, então temos que $X^{-1} \left(\cup_{i=1}^\infty A_i \right) = \cup_{i=1}^\infty X^{-1}(A_i) \in \mathcal{F}.$

Portanto, obtemos que $\mathcal{D}$ é uma $\sigma$-álgebra e segue o lema.

Lema 8.4:

Seja $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ uma função tal que $\{\omega \in \Omega: X(\omega) \textless x\} \in \mathcal{F}$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Então, temos que $X$ é uma variável aleatória.

Demonstração: Basta observarmos que $$X^{-1} ((-\infty,b])=X^{-1} \left(\cap_{n=1}^{\infty} (-\infty, b+ \frac{1}{n})\right) = \cap_{n=1}^{\infty} X^{-1} ((-\infty, b+ \frac{1}{n})) \in \mathcal{F},$$ para todo $b \in \mathbb{R}$. Segue o lema.

Com os lemas 8.3 e 8.4, concluímos que se $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ satisfaz $\{\omega \in \Omega: X(\omega)\geq a\} \in \mathcal{F}$ para todo $a \in \mathbb{R}$, então $X$ também é uma variável aleatória. Dados $X$ e $Y$ variáveis aleatórias, temos que $g=\sup (X,Y)$ também é uma variável aleatória, pois $$\{\omega \in \Omega:g(\omega) \leq b\}=\{\omega \in \Omega:X(\omega) \leq b\}\cap \{\omega \in \Omega: Y(\omega) \leq b\} \in \mathcal{F},$$ para todo $b \in \mathbb{R}$. Da mesma forma, podemos mostrar que $Z=\inf (X,Y)$ é uma variável aleatória.  A seguir, vamos caracterizar variáveis aleatórias através de sequências de variáveis aleatórias simples. Este fato será importante na definição da esperança ou da integral de lebesgue.

Teorema 8.1:

Uma função $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ é uma variável aleatória se, e só se, existe uma sequência de variáveis aleatórias simples $\{X_n\} \subset \mathfrak{E}$ tal que $X_n(\omega) \rightarrow X(\omega)$ para todo $\omega \in \Omega$. Para todo variável aleatória positiva $Y$, existe uma sequência não decrescente de variáveis aleatórias simples $\{Y_n\}$ que converge pontualmente para $Y$. Além disso, esta sequência pode ser tomada de tal forma que o limite seja uniforme em todo subconjunto de $\Omega$ para o qual $Y$ é limitada acima. 

Demonstração: Suponha que existe uma sequência de variáveis aleatórias simples $\{X_n\}$ que converge pontualmente para $X$. Ao definirmos $g_n=\sup_{k \geq n} X_k$, obtemos que $\{\omega \in \Omega: g_n(\omega) \leq b\} = \cap_{k \geq n} \{ \omega \in \Omega : X_k(\omega) \leq b\} \in \mathcal{F}$, para todo $b \in \mathbb{R}$ e $n \in \mathbb{N}$. Desta forma, obtemos que $g_n$ é uma variável aleatória para todo $n$. Desde que $X_n$ converge pontualmente para $X$, sabemos que $$X = \lim \sup_n X_n = \inf_{n \geq 1} \sup_{n \geq k} X_k = \inf_{n \geq 1} g_n.$$ Assim, concluímos que $\{\omega \in \Omega: X(\omega) \textgreater a\}=\cap_{n=1}^{\infty} \{\omega \in \Omega: g_n(\omega) \textgreater a \} \in \mathcal{F}$ para todo $a \in \mathbb{R}$. Portanto, obtemos que $X$ é uma variável aleatória.

Por outro lado, suponha que $X$ seja uma variável aleatória. Desde que $X=X^+ - X^-$ é a diferença de duas variáveis aleatórias positivas, basta mostrarmos que toda variável aleatória positiva é limite pontual de variáveis aleatórias simples. Seja $X$ uma variável aleatória positiva, para $n=0,1,2,3,\cdots$ e $0\leq k\leq 2^{2n}-1$ tomamos $$E_n^k= X^{-1}((k2^{-n},(k+1)2^{-n}]) \quad \text{e} \quad F_n=X^{-1}((2^n,\infty]).$$ Assim, definimos a variável aleatória simples $$X_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{2^{2n}-1}k2^{-n}1\!\!1_{E_n^k}+2^n 1\!\!1_{F_n}.$$

Note que $X_n\leq X_{n+1}$, para todo n, e ainda que $0\leq X-X_n\leq 2^n$, no conjunto onde $X\leq 2^n$, logo quando $ n\rightarrow \infty$ temos que $X_n\rightarrow X$ pontualmente e uniformemente nos conjuntos no qual X é limitado. Com isso, obtemos o teorema.

Para ilustrar a aproximação de variáveis aleatórias por variáveis aleatórias simples, consideramos as figuras abaixo.

Na figura (a) temos em vermelho a função $X_0$ e na figura (b) também em vermelho temos $X_1$, podemos notar que conforme n cresce $X_n$ aproxima-se cada vez mais e ainda $X_n\leq X_{n+1}$. Como consequência do teorema 8.1, obtemos a seguinte proposição

Proposição 8.1:

Sejam $X, Y$ funções mensuráveis, então

(a) $cX$;

(b) $X+Y$;

(c) $XY$;

(d) $X/Y$, se $Y(\omega)\neq 0$.

são funções mensuráveis.

Demonstração: Exercício.

Através da proposição 8.1, concluímos que a classe de variáveis aleatórias apresenta uma estrutura de álgebra. Além disso, se $\{X_n\}$ é uma sequência de variáveis aleatórias, as funções $Y=\sup_n X_n$ e $Z=\inf_n X_n$ também são variáveis aleatórias. Desta forma, para toda sequência $\{X_n\}$ de variáveis aleatórias, temos que $\lim \sup_n X_n$ e $\lim \inf_n X_n$ também são variáveis aleatórias. O conjunto de convergência da sequência $\{X_n\}$ é definido por $$\{\omega \in \Omega: \lim \inf_n X_n = \lim \sup_n X_n\} \in \mathcal{F}.$$  Assim, o limite de toda sequência convergente de variáveis aleatórias também é uma variável aleatória.  

Dado $Y$ uma variável aleatória definida sobre $(\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P})$ e $\beta \subset \mathcal{F}$ uma sub-$\sigma$-álgebra. Dizemos que $Y$ é mensurável com respeito a $\beta$ se $\sigma$-álgebra gerada pela variável aleatória $Y$, definida por $\beta(Y)=\{Y^{-1}(B):B \in \mathcal{B}\}$, está contida em $\beta$.

Proposição 8.2:

Considere $\beta(X)$ a $\sigma$-álgebra gerada pela variável aleatória $X$. Uma variável aleatória $Y$ é mensurável com respeito a $\beta(X)$ se, e só se, $Y=f(X)$ no qual $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função mensurável.

Demonstração: Se $Y=f(X)$ no qual $f$ é uma função mensurável, temos que $Y$ é mensurável com respeito a $\sigma$-álgebra $\beta(X)$ (exercíco). Na sequência, vamos mostrar que se $Y$ é uma variável aleatória mensurável com respeito a $\beta(X)$, então $Y$ tem a forma $Y=f(X)$. Inicialmente, consideramos o caso em que $Y$ é uma variável aleatória simples. Por definição, existe uma partição finita $\{B_i:i=1,2, \cdots ,n\}$ de $\Omega$ tal que $$Y(\omega) = \sum_i y_i 1\!\!1_{B_i}(\omega), \quad \omega \in \Omega,$$ no qual $\{y_i:i=1, \cdots , n\}$ são números reais distintos. Desde que $B_i \in \beta(X)$, existe pelo menos um boreliano $S_i \in \mathcal{B}$ tal que $B_i=X^{-1}(S_i)$, para todo $i=1,\cdots ,n$. Os borelianos $$S^{\prime}_1=S_1,\quad S^{\prime}_i=S_i - \cup_{j=1}^{i-1}S_j, \quad i=2,3, \cdots ,n\quad \text{e} \quad \left(\cup_i S_i\right)^c = \left(\cup_i S^{\prime}_i\right)^c$$ formam uma partição finita de $\mathbb{R}$. Como consequência do fato de que $X^{-1}(S_i \cap S_j)=B_i \cap B_j = \emptyset$ para todo $i\neq j=1,2, \cdots , n,$ temos que $B_i=X^{-1}(S^{\prime}_i)$. Desta forma, definimos a função simples $$f(x)=\sum_i y_i 1\!\!1_{\{S^{\prime}_i\}} + 0 1\!\!1_{\{\left( \cup_i S^{\prime}_i\right)^c\}}.$$ Por construção, obtemos que $Y=f(X)$.

Seja $Y$ uma variável aleatória mensurável com respeito a $\beta(X)$ que não é uma variável aleatória simples. Tomamos $\{Y_n\}$ uma sequência de variáveis aleatórias simples mesnuráveis com respeito a $\beta(X)$ tal que $Y=\lim_n Y_n$. Sabemos que $Y_n = f_n(X)$ no qual $f_n:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função mensurável. Desta forma, ao definirmos $f=\lim_n f_n$, concluímos que $f$ é mensurável e $Y=f(X)$. Segue a proposição.

 

 

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