4 - Variância de variáveis aleatórias

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Suponhamos que, para uma variável aleatória $ X $, verificamos que $ \mathbb{E}(X) = 2 $. Qual o significado disso? Como vimos acima, significa que se considerarmos um grande número de observações de $ X $, digamos $ x_1, x_2,\ldots,x_n $, ao calcularmos a média desses valores, ela estará próxima de 2, se $ n $ for grande.

Suponhamos, por exemplo, que $ X $ representa a duração de vida de lâmpadas que estão sendo recebidas de um fabricante, e que $ \mathbb{E}(X) = 1000 $ horas. Isto pode significar que a maioria das lâmpadas deve durar um período de tempo compreendido entre 900 horas e 1100 horas. Poderia significar também que as lâmpadas são formadas por dois tipos muito diferentes: cerca da metade são de muita boa qualidade e durarão aproximadamente 1400 horas, enquanto que a outra metade é de muito má qualidade e durarão aproximadamente 600 horas.

Assim, existe uma necessidade óbvia de se introduzir uma medida que possa distinguir entre essas duas situações.

Definição 4.1:

Seja $ X $ uma variável aleatória. Definimos a variância de $ X $, denotada por $ \text{Var}(X) $ ou $ \sigma^2_X $ por


\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}\left[\left(X-\mathbb{E}(X)\right)^2\right].\]

 

A raiz quadrada positiva da variância $ \text{Var}(X) $ é denominada de desvio-padrão de $ X $ e denotado por $ \sigma_X $.

Observação:

O número $ \text{Var}(X) $ é expresso por unidades quadradas de $ X $. Isto é, se $ X $ for medido em horas, então $ \text{Var}(X) $ é expressa em (horas)².

O cálculo de $ \text{Var}(X) $ pode ser simplificado com o auxílio do seguinte resultado.

Propriedade:

A variância de uma variável aleatória $ X $ pode ser calculada da seguinte forma


\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2.\]

 

De fato, desenvolvendo $ \mathbb{E}\left[\left(X-\mathbb{E}(X)\right)^2\right] $ e empregando as propriedades já estabelecidas de valor esperado, obtemos


\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}\left[\left(X-\mathbb{E}(X)\right)^2\right]=\mathbb{E}\left\{X^2-2X\mathbb{E}(X)+[\mathbb{E}(X)]^2\right\}\]

 

ou seja


\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(X)+[\mathbb{E}(X)]^2=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2.\]

 

Exemplo 4.1:

Suponhamos que $ X $ seja uma variável aleatória contínua com fdp


\[f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x, \ \text{se} \ -1\leq x\leq 0;\\1-x, \ \text{se} \ 0\leq x\leq 1.\end{array}\right.\]

 

Calcule $ \text{Var}(X) $.

Temos que


\[\mathbb{E}(X)=\int_{-1}^0x(1+x)dx+\int_0^1x(1-x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)_{-1}^0+\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)_0^1=0\]

 

e


\[\mathbb{E}(X^2)=\int_{-1}^0x^2(1+x)dx+\int_0^1x^2(1-x)dx=\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right)_{-1}^0+\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)_0^1=\frac{1}{6}\]

 

portanto, temos que


\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2=\frac{1}{6}.\]

 

Exemplo 4.2:

Utilizando o exemplo 3.2.5 cujo a função densidade de probabilidade da variável aleatória $ X $ é dada por


\[f(x) = \left\{ \begin{array}{c} \lambda e^{-\lambda x}, \ \hbox{se } x \geq 0; \\ 0 \ \hbox{caso contrário}.\end{array} \right.\]

 

Neste exemplo calculamos os valores esperados de $ X $ e de $ X^2 $, os quais são dados por


\[\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda}\]

 

e


\[\mathbb{E}(X^2)= \frac{2}{\lambda^2}.\]

 

Desta forma, a variância de $ X $ é dada por


\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}^2(X)=\frac{1}{\lambda^2}-\left(\frac{1}{\lambda}\right)^2=\frac{1}{\lambda^2}.\]

 

E portanto, $ \text{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2} $.

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