4 - Variância de variáveis aleatórias

Suponhamos que, para uma variável aleatória $X$, verificamos que $\mathbb{E}(X) = 2$. Qual o significado disso? Como vimos acima, significa que se considerarmos um grande número de observações de $X$, digamos $x_1, x_2,\ldots,x_n$, ao calcularmos a média desses valores, ela estará próxima de 2, se $n$ for grande.

Suponhamos, por exemplo, que $X$ representa a duração de vida de lâmpadas que estão sendo recebidas de um fabricante, e que $\mathbb{E}(X) = 1000$ horas. Isto pode significar que a maioria das lâmpadas deve durar um período de tempo compreendido entre 900 horas e 1100 horas. Poderia significar também que as lâmpadas são formadas por dois tipos muito diferentes: cerca da metade são de muita boa qualidade e durarão aproximadamente 1400 horas, enquanto que a outra metade é de muito má qualidade e durarão aproximadamente 600 horas.

Assim, existe uma necessidade óbvia de se introduzir uma medida que possa distinguir entre essas duas situações.

Definição 4.1:

Seja $X$ uma variável aleatória. Definimos a variância de $X$, denotada por $\text{Var}(X)$ ou $\sigma^2_X$ por

\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}\left[\left(X-\mathbb{E}(X)\right)^2\right].\]

A raiz quadrada positiva da variância $\text{Var}(X)$ é denominada de desvio-padrão de $X$ e denotado por $\sigma_X$.

Observação:

O número $\text{Var}(X)$ é expresso por unidades quadradas de $X$. Isto é, se $X$ for medido em horas, então $\text{Var}(X)$ é expressa em (horas)².

O cálculo de $\text{Var}(X)$ pode ser simplificado com o auxílio do seguinte resultado.

Propriedade:

A variância de uma variável aleatória $X$ pode ser calculada da seguinte forma

\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2.\]

De fato, desenvolvendo $\mathbb{E}\left[\left(X-\mathbb{E}(X)\right)^2\right]$ e empregando as propriedades já estabelecidas de valor esperado, obtemos

\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}\left[\left(X-\mathbb{E}(X)\right)^2\right]=\mathbb{E}\left\{X^2-2X\mathbb{E}(X)+[\mathbb{E}(X)]^2\right\}\]

ou seja

\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(X)+[\mathbb{E}(X)]^2=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2.\]

Exemplo 4.1:

Suponhamos que $X$ seja uma variável aleatória contínua com fdp

\[f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x, \ \text{se} \ -1\leq x\leq 0;\\1-x, \ \text{se} \ 0\leq x\leq 1.\end{array}\right.\]

Calcule $\text{Var}(X)$.

Temos que

\[\mathbb{E}(X)=\int_{-1}^0x(1+x)dx+\int_0^1x(1-x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)_{-1}^0+\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)_0^1=0\]

e

\[\mathbb{E}(X^2)=\int_{-1}^0x^2(1+x)dx+\int_0^1x^2(1-x)dx=\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right)_{-1}^0+\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)_0^1=\frac{1}{6}\]

portanto, temos que

\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2=\frac{1}{6}.\]

Exemplo 4.2:

Utilizando o exemplo 3.2.5 cujo a função densidade de probabilidade da variável aleatória $X$ é dada por

\[f(x) = \left\{ \begin{array}{c} \lambda e^{-\lambda x}, \ \hbox{se } x \geq 0; \\ 0 \ \hbox{caso contrário}.\end{array} \right.\]

Neste exemplo calculamos os valores esperados de $X$ e de $X^2$, os quais são dados por

\[\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda}\]

e

\[\mathbb{E}(X^2)= \frac{2}{\lambda^2}.\]

Desta forma, a variância de $X$ é dada por

\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}^2(X)=\frac{1}{\lambda^2}-\left(\frac{1}{\lambda}\right)^2=\frac{1}{\lambda^2}.\]

E portanto, $\text{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}$.