2 - Variáveis Aleatórias

Você está aqui

Dado um fenômeno aleatório qualquer, com um certo espaço amostral, desejamos estudar a estrutura probabilística de quantidades associadas a esse fenômeno. Por exemplo, ao descrever uma peça manufaturada podemos empregar duas classificações: "defeituosa" ou "não defeituosa".  Para facilitar a análise, vamos atribuir um número real a cada resultado do experimento. Assim podemos atribuir o valor 0 às peças não defeituosas e 1 às defeituosas. Nós podemos entender por variável aleatória uma função que associa a cada elemento do espaço amostral (neste exemplo os elementos são "defeituosa", "não defeituosa") um número real. Denotaremos as variáveis aleatórias por letras maiúsculas.

Definição 2.1:

Consideremos um experimento e $ \Omega $ o espaço amostral associado a esse experimento. Uma função X, que associa a cada elemento $ \omega \in \Omega $ um número real, $ X(\omega) $, é denominada variável aleatória (v.a.). Ou seja, variável aleatória é um característico numérico do resultado de um experimento.

As variáveis aleatórias são fundamentais para as aplicações, pois elas representam as características de interesse em uma população. Por exemplo, em uma linha de usinagem de peças estamos interessados em controlar o diâmetro das peças produzidas. Neste caso, o resultado da medição do diâmetro é a variável aleatória de interesse. Em um ensaio clínico, estamos interessados em avaliar o tempo de vida dos pacientes e neste caso, a tempo de vida corresponde à variável aleatória.

Exemplo 2.1: 

Considere três lançamentos independentes de uma moeda equilibrada. Seja C cara e K coroa. O espaço amostral deste experimento é S={(C,C,C); (C,C,K); (C,K,C); (K,C,C); (C,K,K); (K,C,K); (K,K,C); (K,K,K)}. Podemos definir a variável aleatória X: "número de caras obtidas nos três lançamentos". Por exemplo, temos que X((C,C,C)) = 3 e X((K,C,C))=2.

Exemplo 2.2:

Escolher um ponto ao acaso no quadrado unitário, ou seja, escolher um par ordenado $ (x,y) \in [0,1] \times [0,1] $. Então $ \Omega=[0,1]\times [0,1] $ e como exemplo de variável aleatória o produto das duas coordenadas $ X(\omega)= x y $., para todo $ w =(x,y) \in \Omega $.

Em geral, não é qualquer função com domínio no espaço amostral e imagem na reta que é uma variável aleatória. Para espaços amostrais infinitos não enumeráveis, dizemos que a função  \Omega \rightarrow \Bbb{R} $ é uma variável aleatória se o conjunto  X(w) \leq x \} $ é um evento (pertence a $ \sigma $-álgebra de eventos em $ \Omega $), para todo $ x \in \Bbb{R} $

Probabilidades

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]