10 - Cálculo Estocástico para o Movimento Browniano

O principal objetivo desta seção é estudar o cálculo estocástico com respeito ao movimento Browniano. Inicialmente, apresentamos os conceitos básicos de integral de Wiener para, depois, apresentar a integral de Itô e suas principais propriedades. Uma vez que a integral de Itô esteja apresentada, estudaremos a Fórmula de Itô e as principais propriedades relacionadas a ela. Finalmente, apresentaremos as equações diferenciais estocásticas, o teorema de Girsanov e o teorema de representação de martingales. 

A ideia principal é definir de forma consistente a seguinte integral

\[\int_a^bf(t)dB_t\]

em que $B_t$ é o movimento Browniano e $f$ é uma função que satisfaz algumas propriedades específicas. Antes de definirmos este tipo de integral, vamos relembrar, de forma rápida os conceitos das integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes que serão utilizadas como inspiração no desenvolvimento da integral anterior.

Integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes

A fim de definir as integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes definida no intervalo $[a,b]$, começamos com a seguinte definição.

Definição 10.1

 Seja $[a,b]$ um intervalo dado da reta real $\mathbb{R}$. Uma partição $\mathcal{P}$ de $[a,b]$ é um conjunto finito de pontos $x_0, x_1,\ldots,x_n$, em que

\[a = x_0\leq x_1\leq \ldots \leq x_{n-1}\leq x_n = b.\]

Escrevemos $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ para $i = 1,\ldots, n$. Suponha agora que $f$ seja uma função real limitada definida em $[a,b]$. Para cada partição $\mathcal{P}$, definimos

\[M_i = \sup_{x_{i-1}\leq x\leq x_i}f(x) \quad \text{e} \quad m_i = \inf_{x_{i-1}\leq x\leq x_i}f(x)\]

e

\[U(\mathcal{P},f) = \sum_{i=1}^nM_i\Delta x_i \quad \text{e} \quad L(\mathcal{P},f) = \sum_{i=1}^nm_i\Delta x_i\]

Finalmente, definimos as integrais de Riemann superior e inferior de $f$ sobre o intervalo $[a,b]$ da seguinte forma

\[\overline{\int}_a^bf(x)dx = \inf U(\mathcal{P},f) \quad \text{e} \quad \underline{\int}_a^bf(x)dx = \sup L(\mathcal{P},f)\]

em que o $\inf$ e o $\sup$ são tomados sobre todas as partições $\mathcal{P}$ de $[a,b]$.

Definição 10.2

Quando as integrais superior e inferior de $f$ são iguais, dizemos que a função $f$ é Riemann integrável em $[a,b]$ e escrevemos $f\in\mathfrak{R}$, em que $\mathfrak{R}$ denota o conjunto das funções Riemann integráveis e o valor comum de $\overline{\int}_a^bf(x)dx$ e $\underline{\int}_a^bf(x)dx$ é denotado por

\[\int_a^bf(x)dx\]

Esta é a integral de Riemann de $f$ no intervalo $[a,b]$. Como $f$ é limitada, existem dois números, $m$ e $M$ tais que

\[m\leq f(x)\leq M \qquad a\leq x\leq b\]

e, então, para todo $\mathcal{P}$, temos que

\[m(b-a)\leq L(\mathcal{P},f)\leq U(\mathcal{P},f)\leq M(b-a)\]

de forma que os valores $L(\mathcal{P},f)$ e $U(\mathcal{P},f)$ foram um conjunto limitado, o que mostra que as integrais superior e inferior estão definidas para toda função limitada $f$. De forma parecida, vamos definir a integral de Riemann-Stieltjes.

Definição 10.3

Seja $\alpha$ uma função monótona crescente defnida em $[a,b]$ (como $\alpha(a)$ e $\alpha(b)$ são finitos, segue que $\alpha$ é limitada em $[a,b]$). Para cada partição $\mathcal{P}$ de $[a,b]$, escrevemos

\[\Delta \alpha_i = \alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1}).\]

É claro que $\Delta \alpha_i\geq 0$. Para qualquer função real $f$ limitada em $[a,b]$, definimos

\[U(\mathcal{P},f,\alpha) = \sum_{i=1}^nM_i\Delta\apha_i \quad \text{e} \quad L(\mathcal{P},f,\alpha) = \sum_{i=1}^nm_i\Delta\alpha_i\]

em que $M_i$ e $m_i$ têm os mesmos significados que foram definidos na integral de Riemann. A partir disso, definimos

\[\overline{\int}_a^bf(x)d\alpha(x) = \inf U(\mathcal{P},f,\alpha) \quad \text{e} \quad \underline{\int}_a^bf(x)d\alpha(x) = \sup L(\mathcal{P},f,\alpha)\]

em que o $\inf$ e o $\sup$ são tomados sobre todas as partições. De forma análoga à defnição de integral de Riemann, quando $\overline{\int}_a^bf(x)d\alpha(x) = \underline{\int}_a^bf(x)d\alpha(x)$, denotamos seu valor comum por

\[\int_a^bf(x)d\alpha(x)\]

Esta é a integral de Riemann-Stieltjes (ou simplesmente, a integral de Stieltjes) de $f$ com respeito a $\alpha$, sobre $[a,b]$. Quando a integral de Riemann-Stieltjes existe, dizemos que $f$ é integrável com respeito a $\alpha$ no sentido de Riemann e escrevemos $f\in\mathfrak{R}(\alpha)$.

Observação 10.1

Quando tomamos $\alpha(x) = x$, a integral de Riemann é vista como um caso particular da integral de Riemann-Stieltjes.