10 - Cálculo Estocástico para o Movimento Browniano

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O principal objetivo desta seção é estudar o cálculo estocástico com respeito ao movimento Browniano. Inicialmente, apresentamos os conceitos básicos de integral de Wiener para, depois, apresentar a integral de Itô e suas principais propriedades. Uma vez que a integral de Itô esteja apresentada, estudaremos a Fórmula de Itô e as principais propriedades relacionadas a ela. Finalmente, apresentaremos as equações diferenciais estocásticas, o teorema de Girsanov e o teorema de representação de martingales. 

A ideia principal é definir de forma consistente a seguinte integral

\[\int_a^bf(t)dB_t\]

em que $ B_t $ é o movimento Browniano e $ f $ é uma função que satisfaz algumas propriedades específicas. Antes de definirmos este tipo de integral, vamos relembrar, de forma rápida os conceitos das integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes que serão utilizadas como inspiração no desenvolvimento da integral anterior.

Integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes

A fim de definir as integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes definida no intervalo $ [a,b] $, começamos com a seguinte definição.

Definição 10.1

 Seja $ [a,b] $ um intervalo dado da reta real $ \mathbb{R} $. Uma partição $ \mathcal{P} $ de $ [a,b] $ é um conjunto finito de pontos $ x_0, x_1,\ldots,x_n $, em que

\[a = x_0\leq x_1\leq \ldots \leq x_{n-1}\leq x_n = b.\]

Escrevemos $ \Delta x_i = x_i - x_{i-1} $ para $ i = 1,\ldots, n $. Suponha agora que $ f $ seja uma função real limitada definida em $ [a,b] $. Para cada partição $ \mathcal{P} $, definimos

\[M_i = \sup_{x_{i-1}\leq x\leq x_i}f(x) \quad \text{e} \quad m_i = \inf_{x_{i-1}\leq x\leq x_i}f(x)\]

e

\[U(\mathcal{P},f) = \sum_{i=1}^nM_i\Delta x_i \quad \text{e} \quad L(\mathcal{P},f) = \sum_{i=1}^nm_i\Delta x_i\]

Finalmente, definimos as integrais de Riemann superior e inferior de $ f $ sobre o intervalo $ [a,b] $ da seguinte forma

\[\overline{\int}_a^bf(x)dx = \inf U(\mathcal{P},f) \quad \text{e} \quad \underline{\int}_a^bf(x)dx = \sup L(\mathcal{P},f)\]

em que o $ \inf $ e o $ \sup $ são tomados sobre todas as partições $ \mathcal{P} $ de $ [a,b] $.

Definição 10.2

Quando as integrais superior e inferior de $ f $ são iguais, dizemos que a função $ f $ é Riemann integrável em $ [a,b] $ e escrevemos $ f\in\mathfrak{R} $, em que $ \mathfrak{R} $ denota o conjunto das funções Riemann integráveis e o valor comum de $ \overline{\int}_a^bf(x)dx $ e $ \underline{\int}_a^bf(x)dx $ é denotado por

\[\int_a^bf(x)dx\]

Esta é a integral de Riemann de $ f $ no intervalo $ [a,b] $. Como $ f $ é limitada, existem dois números, $ m $ e $ M $ tais que

\[m\leq f(x)\leq M \qquad a\leq x\leq b\]

e, então, para todo $ \mathcal{P} $, temos que

\[m(b-a)\leq L(\mathcal{P},f)\leq U(\mathcal{P},f)\leq M(b-a)\]

de forma que os valores $ L(\mathcal{P},f) $ e $ U(\mathcal{P},f) $ foram um conjunto limitado, o que mostra que as integrais superior e inferior estão definidas para toda função limitada $ f $. De forma parecida, vamos definir a integral de Riemann-Stieltjes.

Definição 10.3

Seja $ \alpha $ uma função monótona crescente defnida em $ [a,b] $ (como $ \alpha(a) $ e $ \alpha(b) $ são finitos, segue que $ \alpha $ é limitada em $ [a,b] $). Para cada partição $ \mathcal{P} $ de $ [a,b] $, escrevemos

\[\Delta \alpha_i = \alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1}).\]

É claro que $ \Delta \alpha_i\geq 0 $. Para qualquer função real $ f $ limitada em $ [a,b] $, definimos

\[U(\mathcal{P},f,\alpha) = \sum_{i=1}^nM_i\Delta\apha_i \quad \text{e} \quad L(\mathcal{P},f,\alpha) = \sum_{i=1}^nm_i\Delta\alpha_i\]

em que $ M_i $ e $ m_i $ têm os mesmos significados que foram definidos na integral de Riemann. A partir disso, definimos

\[\overline{\int}_a^bf(x)d\alpha(x) = \inf U(\mathcal{P},f,\alpha) \quad \text{e} \quad \underline{\int}_a^bf(x)d\alpha(x) = \sup L(\mathcal{P},f,\alpha)\]

em que o $ \inf $ e o $ \sup $ são tomados sobre todas as partições. De forma análoga à defnição de integral de Riemann, quando $ \overline{\int}_a^bf(x)d\alpha(x) = \underline{\int}_a^bf(x)d\alpha(x) $, denotamos seu valor comum por

\[\int_a^bf(x)d\alpha(x)\]

Esta é a integral de Riemann-Stieltjes (ou simplesmente, a integral de Stieltjes) de $ f $ com respeito a $ \alpha $, sobre $ [a,b] $. Quando a integral de Riemann-Stieltjes existe, dizemos que $ f $ é integrável com respeito a $ \alpha $ no sentido de Riemann e escrevemos $ f\in\mathfrak{R}(\alpha) $.

Observação 10.1

Quando tomamos $ \alpha(x) = x $, a integral de Riemann é vista como um caso particular da integral de Riemann-Stieltjes.

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