10.1 - Integral de Wiener

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Antes de definir a integral de Itô em sua forma mais geral, vamos tratar da integral de Wiener dada por

\[\int_a^bf(t)dB_t(\omega)\]

em que $ f $ é uma função determinística (não depende de $ \omega\in\Omega $) e $ B(t,\omega) $ é um movimento Browniano. A fim de reduzir a notação, reescreveremos a integral de Wiener da forma

= \int_a^bf(t)dB_t.\]

Suponha que, para cada $ \omega\in\Omega $, queremos utilizar a fórmula de integração por partes definida na integral de Riemann-Stieltjes. Neste caso, teríamos que

\[\int_a^bf(t)dB_t = f(t)B_t\Big|_a^b- \int_a^bB_tdf(t)\]

de forma que a integral somente estará definida para uma classe bastante limitada de funções, isto é, para cada $ \omega $, $ f_t $ precisa ser uma função contínua de variação limitada. A seguir, vamos construir a integral de Wiener para funções $ f $ quadrado integráveis, não necessariamente de variação limitada.

Inicialmente, suponha que $ f $ é uma função simples dada por $ f= \sum_{i=1}^na_i\mathds{1}_{[t_{i-1},t_i)} $ em que $ t_0 = a $ e $ t_n = b $. Neste caso, definimos

\[I(f) = \sum_{i=1}^na_i(B_{t_i} - B_{t_{i-1}}).\]

É claro que, a partir desta definição, temos que $ I(cf+dg) = cI(f) + dI(g) $ para quaisquer $ c,d\in\mathbb{R} $ e funções simples $ f $ e $ g $. O que mostra que, para funções simples, a integral satisfaz a propriedade de linearidade. Também ressaltamos que a integral independe da representação da função simples $ f $, isto é, se

\[f = \sum_{i=1}^na_i\mathds{1}_{[t_{i-1},t_i)} = \sum_{i=1}^mb_i\mathds{1}_{[s_{i-1},s_i)}\]

então

\[\sum_{i=1}^na_i(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}) = \sum_{i=1}^mb_i(B_{s_i}-B_{s_{i-1}}).\]

Observação 10.1.1:

É importante observar que $ I(f) $ como defnida acima, é uma variável aleatória, isto é, \Omega\rightarrow\mathbb{R} $ é uma função que associa a cada $ \omega\in\Omega $ um valor real $ I(f)(\omega) $.

Lema 10.1.1:

Para uma função simples $ f $, a variável aleatória $ I(f) $ é gaussiana com média $ 0 $ e variância

\[\mathbb{E}\left[(I(f))^2\right] = \int_a^bf^2(t)dt.\]

Demonstração: Para verificar esta propriedade, é importante relembrar que uma combinação linear de variáveis aleatórias gaussianas é gaussiana. Além disso, temos que, se $ f $ é uma função simples, então

\[\mathbb{E}\left[I(f)\right] = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^na_i\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)\right] = \sum_{i=1}^na_i\mathbb{E}\left[B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right] = 0\]

a partir das propriedades do movimento Browniano. Além disso,

\[\mathbb{E}\left[\left(I(f)^2\right)\right]=\mathbb{E} \left[\sum_{j,i=1}^{n}a_ia_j(B(t_i)-B(t_{i-1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))\right], \ \text{com}\ i,j = 1,\ldots,n.\]

Para $ i\neq j $ temos que $ \mathbb{E}[(B(t_i)-B(t_{i-1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))]=0 $, pois os incrementos do movimento Browniano são independentes. Além disso, para $ i=j $ temos

\[\mathbb{E}[(B(t_i)-B(t_{i-1}))^2]=t_i-t_{i-1}\]

pela definição do movimento Browniano. Portanto

\[\mathbb{E}(I^2(f))=\sum_{j,i=1}^{n}a^2_i(t_i-t_{i-1})=\int_{a}^{b}f^2(t)dt\]

a última igualdade decorre da definição da integral Riemann. E portanto o resultado segue.

Tendo definido a integral para funções simples, o próximo passo é estender nossa definição para o espaço $ L^2[a,b] $.

Definição 10.1.1:

O espaço $ L^2(\Omega) $ é utilizado para denotar o espaço das variáveis aleatórias definidas em $ \Omega $ a valores reais que são quadrado integráveis e com produto interno definido por

\[\langle X, Y\rangle = \mathbb{E}(XY).\]

Da mesma forma, temos que $ L^2([a,b]) $ é o espaço das funções quadrado integráveis com o produto interno dado por

$$\langle f,g\rangle=\int_{a}^b f(s)g(s)ds,$$

para todas funções $ f,g \in L^2([a,b]) $.

Sejam $ f\in L^2[a,b] $$ \{f_n\}_n $ uma sequência de funções simples tal que $ f_n\rightarrow f $ em $ L^2([a,b]) $. Pelo Lema 10.1.1, temos que $ \{I(f_n)\}_{n\geq 1} $ é uma sequência de Cauchy em $ L^2(\Omega) $, pois

\[\mathbb{E}[(I(f_n)-I(f_m))^2]=\int_{a}^b (f_n-f_m)^2(t)dt\rightarrow 0 \ \text{quando} \ n, m \rightarrow\infty.\]

Como $ L^2(\Omega) $ é um espaço de Hilbert, temos que $ \{I(f_n)\}_n $ converge em $ L^2(\Omega) $. Portanto definimos

\[I(f)=\lim_{n\rightarrow} I(f_n), \ \text{em} \ L^2(\Omega).\]

Uma questão natural que podemos levantar é: será que, desta forma, a integral $ I(f) $ está bem definida? Ou seja, será que esse limite independe da escolha da sequência $ \{f_n\}_n $?

De fato, o resultado não depende da escolha da sequência. Para mostrar isso, seja $ \{g_m\}_{m\geq 1} $ outra sequência tal que $ g_m\rightarrow f $ em $ L^2[a,b] $. Então

\[\mathbb{E}[|I(f_n)-I(g_m)|^2]=\mathbb{E}[|I(f_n-g_m)|^2]=\int_a^b (f_n(t)-g_m(t))^2dt\leq 2\int_{a}^b (f_n(t)-f(t))^2dt+ 2\int_a^b(g_m(t)-f(t))^2dt\rightarrow 0\]

quando $ n,m\rightarrow \infty $. Isto implica que

\[\lim_{n\rightarrow \infty}I(f_n)=\lim_{m\rightarrow \infty}I(g_m), \ \text{em} \ L^2(\Omega).\]

O que mostra que $ I(f) $ está bem definida.

Definição 10.1.2:

Seja $ f\in L^2[a,b] $. A integral $ I(f) $ definida acima para funções $ f\in L^2([a,b]) $ é conhecida como integral de Wiener e denotada por

\[I(f)(\omega)=\left(\int_{a}^b f(t)dB_t\right)(\omega).\]

Por simplicidade, denotaremos esta integral por $ \int_{a}^b f(t)dB_t $ ou $ \int_{a}^b f(t)dB(t) $.

O teorema a seguir é o teorema fundamental da integral de Wiener.

Teorema 10.1.1:

Para cada $ f\in L^2([a,b]) $, a integral de Wiener

\[\int_a^bf(t)dB_t\]

é uma variável aleatória gaussiana com média zero e variância $ \|f\|^2_{L^2([a,b])} = \int_a^bf^2(t)dt $.

Demonstração:  De fato, seja $ \{f_n\}_n $ uma sequência de funções simples tal que $ f_n\rightarrow f $ em $ L^2([a,b]) $. Sabemos do Lema 10.1.1 que, para cada $ n $, $ I(f_n) $ é uma variável aleatória Gaussiana com média $ 0 $ e variância

\[\int_a^bf_n^2(t)dt\]

já que $ f_n $ é uma função simples para todo $ n $. Para verificar o resultado para a função $ f $, utilizamos o seguinte fato conhecido: se $ X_n $ é uma variável aleatória normal com média $ \mu_n $ e variância $ \sigma^2_n $, então $ X = \lim_{n\rightarrow\infty}X_n $ tem distribuição normal com média $ \mu = \lim_{n\rightarrow\infty}\mu_n $ e variância $ \sigma^2 = \lim_{n\rightarrow\infty} \sigma^2_n $. Portanto, temos que $ I(f) = \int_a^bf(t)dB_t $ é uma variável aleatória gaussiana com média zero, já que cada $ I(f_n) $ é uma variável aleatória normal com média zero e, além disso,

\[\mathbb{E}\left[(I(f))^2\right] = \lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{E}\left[(I(f_n))^2\right]= \lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^bf_n^2(t)dt = \int_a^b\lim_{n\rightarrow\infty}f_n^2(t)dt = \int_a^bf^2(t)dt = \|f\|^2_{L^2([a,b])}\]

como queríamos demonstrar.

Portanto, a integral de Wiener  L^2([a,b])\rightarrow L^2(\Omega) $ definida por

\[I(f) = \left(\int_a^bf(t)dB_t\right)(\omega)\]

é uma isometria, pois

\[\|I(f)\|^2_{L^2(\Omega)} = \langle I(f),I(f)\rangle = \mathbb{E}\left[I^2(f)\right] = \int_a^bf^2(t)dt = \|f\|^2_{L^2([a,b])}.\]

Corolário 10.1.1:

Se $ f,g\in L^2([a,b]) $, então

\[\mathbb{E}\left[I(f)I(g)\right] = \int_a^bf(t)g(t)dt.\]

Em particular, se $ f $ e $ g $ são ortogonais, então as variáveis aleatórias $ I(f) $ e $ I(g) $ são independentes.

Demonstração: De fato, a partir do produto interno  L^2([a,b])\times L^2([a,b])\rightarrow\mathbb{R} $ definido por 

=\int_a^bf(t)g(t)dt\]

e, pela linearidade da integral de Wiener, temos que

\[\mathbb{E}\left[\left(I(f) +I(g)\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[I^2(f+g)\right] = \int_a^b\left(f(t)+g(t)\right)^2dt = \int_a^bf^2(t)dt + 2\int_a^bf(t)g(t)dt + \int_a^bg^2(t)dt.\]

Além disso, temos que

\[\mathbb{E}\left[\left(I(f)+I(g)\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[I^2(f) + 2I(f)I(g) + I^2(g)\right] = \int_a^bf^2(t)dt + 2\mathbb{E}\left[I(f)I(g)\right] + \int_a^bg^2(t)dt\]

e, portanto, concluímos que

\[\mathbb{E}\left[I(f)I(g)\right] = \int_a^bf(t)g(t)dt.\]

No caso particular em que $ f $ e $ g $ são ortogonais, temos que

\[\int_a^bf(t)g(t)dt = \mathbb{E}\left[I(f)I(g)\right] = \langle I(f),I(g)\rangle = 0\]

e, como as variáveis são gaussianas, temos que $ I(f) $ e $ I(g) $ são independentes.

Exemplo 10.1.1:

A integral de Wiener

\[\int_0^1tdB_t\]

é uma variável aleatória gaussiana com média zero e variância $ \int_0^1t^2dt = \frac{1}{3} $.

Teorema 10.1.2:

Seja $ f $ uma função contínua de variação limitada. Então, para quase todo $ \omega\in\Omega $, temos que

\[\left(\int_a^bf(t)dB_t\right)(\omega) = (\text{RS})\int_a^bf(t)dB_t(\omega)\]

em que $ (\text{RS})\int $ é a integral de Riemann-Stieltjes.

Demonstração: De fato, para cada partição $ \Delta_n = \{t_0,t_1,\ldots,t_n\} $ de $ [a,b] $, definimos uma função simples dada por

\[f_n(t) = \sum_{i=1}^nf(t_{i-1})\mathds{1}_{\{[t_{i-1},t_i)\}}(t).\]

Desta forma, temos que $ f_n\rightarrow f $ em $ L^2([a,b]) $ quando $ n\rightarrow\infty $. Da definição da integral de Wiener, temos que

\[\int_a^bf(t)dB_t = \lim_{n\rightarrow\infty}I(f_n) = \lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^bf_n(t)dB_t = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(t_{i-1})\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right) \ \text{em} \ L^2(\Omega).\]

Reciprocamente, para cada $ \omega\in\Omega $,

\[\text{(RS)}\int_a^bf(t)dB_t(\omega) = f(b)B_b(\omega) - f(a)B_a(\omega) - \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nB_{t_i}(\omega)(f(t_i) - f(t_{i-1})) = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(t_{i-1})\left(B_{t_i}(\omega) - B_{t_{i-1}}(\omega)\right).\]

Como a convergência em $ L^2(\Omega) $ implica a existência de uma subsequência que converge quase certamente, escolhemos esta subsequência e temos o resultado.

Exemplo 10.1.2:

Considere a integral de Riemann $ \int_0^1B_t(\omega)dt $ definida para cada $ \omega\in\Omega $. Vamos encontrar a distribuição de probabilidades desta variável aleatória.

Utilizando a fórmula de integração por partes, temos que

\[\int_0^1B_t(\omega)dt = B_t(\omega)(t-1)\Big|^1_0 - \int_0^1(t-1)dB_t(\omega) = \text{(RS)}\int_0^1(1-t)dB_t(\omega).\]

Então, pelo Teorema 10.1.2, temos que, para quase todo $ \omega\in\Omega $

\[\int_0^1B_t(\omega)dt = \left(\int_0^1(1-t)dB_t\right)(\omega)\]

em que a integral do lado direito é uma integral de Wiener, de forma que $ \int_0^1B_tdt $ e a integral de Wiener $ \int_0^1(1-t)dB_t $ têm a mesma distribuição de probabilidades, ou seja, uma distribuição Gaussiana com média zero e variância

\[\int_0^1(1-t)^2dt = \frac{1}{3}.\]

A seguir, apresentamos um importante resultado relacionando a variável aleatória definida pela integral de Wiener com martingales.

Teorema 10.1.3:

Seja $ f\in L^2([a,b]) $. Então, o processo estocástico $ M_t $ definido por

\[M_t = \int_a^tf(s)dB_s, \quad a\leq t\leq b\]

é um martingale com respeito à filtragem $ \mathcal{F}_t = \sigma\left(B_s; \ s\leq t\right) $.

Demonstração: Inicialmente, mostramos que $ \mathbb{E}\left(|M_t|\right) \ \textless \ \infty $ para todo $ t\in[a,b] $ para que possamos considerar a esperança condicional de $ M_t $. De fato,

\[\mathbb{E}\left[|M_t|^2\right] = \int_a^tf^2(s)ds\leq \int_a^bf^2(s)ds \ \textless \ \infty.\]

Como $ \mathbb{E}\left[|M_t|\right] \leq\left[\mathbb{E}\left(|M_t|^2\right) \right]^{\frac{1}{2}} \ \textless \ \infty $, segue o resultado.

Mostremos agora que $ \mathbb{E}\left[M_t|\mathcal{F}_s\right] = M_s $ quase certamente para todo $ s\leq t $. Para isto, observamos que

\[M_t = \int_a^tf(u)dB_u = \int_a^sf(u)dB_u + \int_s^tf(u)dB_u = M_s + \int_s^tf(u)dB_u\]

e que $ M_s $ é $ \mathcal{F}_s $-mensurável. Então

\[\mathbb{E}\left[M_t|\mathcal{F}_s\right] = M_s + \mathbb{E}\left[\int_s^tf(u)dB_u\Big|\mathcal{F}_s\right].\]

Suponha agora que $ f $ seja uma função simples, ou seja, $ f(t) = \sum_{i=1}^na_i\mathds{1}_{[t_{i-1},t_i)}(t) $, com $ t_0 = s $ e $ t_n = t $. Então

\[\int_s^tf(u)dB_u = \sum_{i=1}^na_i\left(B_{t_i} - B_{t_{i-1}}\right).\]

Porém, da propriedade de incrementos independentes do movimento Browniano, temos que $ B_{t_i}-B_{t_{i-1}} $ são independentes de $ \mathcal{F}_s $ para todo $ i = 1,\ldots,n $. Portanto, $ \mathbb{E}\left[B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\Big|\mathcal{F}_s\right] = \mathbb{E}\left[B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right] = 0 $ para todo $ i $. Logo

\[\mathbb{E}\left[\int_s^tf(u)dB_u\Big|\mathcal{F}_s\right] = 0\]

e o resultado segue. Basta mostrar agora que o resultado permanece verdadeiro se tomarmos $ f\in L^2([a,b]) $. Neste caso, escolhemos uma sequência $ \{f_n\}_n $ de funções simples que converge para $ f $ em $ L^2([a,b]) $. Pela desigualdade condicional de Jensen, com $ \phi(x) = x^2 $, temos que

\[\left|\mathbb{E}\left[X\Big|\mathcal{F}\right]\right|^2\leq \mathbb{E}\left[X^2\Big|\mathcal{F}\right]\]

de onde concluímos que

\[\Big|\mathbb{E}\left[\int_s^t\left(f_n(u)-f(u)\right)dB_u\Big|\mathcal{F}_s\right]\Big|^2\leq \mathbb{E}\left[\left(\int_s^t\left(f_n(u)-f(u)\right)dB_u\right)^2\Big|\mathcal{F}_s\right].\]

Usamos agora a propriedade $ \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[X|\mathcal{F}\right]\right] = \mathbb{E}[X] $ da esperança condicional e concluímos que

\[\mathbb{E}\left[\Big|\mathbb{E}\left[\int_s^t\left(f_n(u)-f(u)\right)dB_u\Big|\mathcal{F}_s\right]\Big|^2\right]\leq \mathbb{E}\left[\left(\int_s^t\left(f_n(u)-f(u)\right)dB_u\right)^2\right] = \int_s^t\left(f_n(u)-f(u)\right)^2du\leq\int_a^b\left(f_n(u)-f(u)\right)^2du\rightarrow 0\]

quando $ n\rightarrow\infty $. Então a sequência $ \mathbb{E}\left[\int_s^tf_n(u)dB_u|\mahtcal{F}_s\right] $ de variáveis aleatórias converge para $ \mathbb{E}\left[\int_s^tf(u)dB_u|\mathcal{F}_s\right] $ em $ L^2(\Omega) $.

Observamos que a convegência em $ L^2(\Omega) $ implica convergência em probabilidade que implica a existência de uma subsequência que converge quase certamente. Escolhendo esta subsequência, temos que

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{E}\left[\int_s^tf_n(u)dB_u\Big|\mathcal{F}_s\right] = \mathbb{E}\left[\int_s^tf(u)dB_u\Big|\mathcal{F}_s\right] \ \text{quase certamente}\]

e, como $ \mathbb{E}\left[\int_s^tf_n(u)dB_u|\mathcal{F}_s\right) = 0 $, segue que $ \mathbb{E}\left[\int_s^tf(u)dB_u|\mathcal{F}_s\right]=0 $, concluindo a demonstração.

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