10.1.1 - Expansão em série da integral de Wiener

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Seja $ \{\phi_n\}_n $ uma base ortonormal pra o espaço de Hilbert $ L^2([a,b]) $. Desta forma, cada função $ f\in L^2([a,b]) $ tem a seguinte expansão

\[f = \sum_{n=1}^\infty\langle f,\phi_n\rangle\phi_n \qquad (\star)\]

em que $ \langle \cdot,\cdot\rangle $ é o produto interno em $ L^2([a,b]) $ definido por $ \langle f,g\rangle = \int_a^bf(t)g(t)dt $. A partir desta expansão, temos a seguinte identidade, conhecida como identidade de Parseval e dada por

\[\|f\|_{L^2([a,b])}^2 = \sum_{n=1}^{\infty}\langle f,\phi_n\rangle^2.\]

De fato, temos que

\[\|f\|_{L^2([a,b])}^2 = \langle f,f\rangle = \langle\sum_{n=1}^{\infty}\langle f,\phi_n\rangle\phi_n,\sum_{n=1}^{\infty}\langle f, \phi_n\rangle\phi_n\rangle=\sum_{j=1}^\infty\langle f,\phi_j\rangle\langle\phi_j,\langle f,\phi_j\rangle\phi_j\rangle = \sum_{j=1}^{\infty}\langle f,\phi_j\rangle^2\langle \phi_j,\phi_j\rangle = \sum_{j=1}^{\infty}\langle f,\phi_j\rangle^2.\]

Então, tomando a integral de Wiener em ambos os lados da equação ($ \star $), temos

\[\int_a^bf(t)dB_t = \sum_{n=1}^{\infty}\langle f,\phi_n\rangle\int_a^b\phi_ndB_t.\]

Questão: A série do lado direito converge para a integral de Wiener do lado esquerdo? Em que sentido?

Inicialmente, observamos que as variáveis aleatórias $ \int_a^b\phi_ndB_t $ com $ n \geq 1 $ são independentes, uma vez que $ \phi_i $ e $ \phi_j $ são ortogonais se $ i\neq j $. Além disso, são variáveis gaussianas com média zero e variância $ \int_a^b\phi_n^2dt = \langle \phi_n,\phi_n\rangle = \|\phi_n\|^2_{L^2([a,b])} = 1 $. Assim, o lado direito é uma série aleatória de variáveis aleatórias independentes e igualmente distribuídas.phi

Pelo teorema da equivalência de Lévy, esta série converge quease certamente se, e somente se, converge em probabilidade e, em contrapartida, se, e somente se, converge em distribuição. Porém, a convergência em $ L^2(\Omega) $ desta série pode ser verificada facilmente. De fato, temos que

\[\mathbb{E}\left[\left(\int_a^bf(t)dB_t-\sum_{n=1}^N\langle f,\phi_n\rangle\int_a^b\phi_n(t)dB_t\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[\left(\int_a^bf(t)dB_t\right)^2\right] - 2\sum_{n=1}^N\mathbb{E}\left[\int_a^bf(t)dB_t\langle f,\phi_n\rangle\int_a^b\phi_n(t)dB_t\right] + \mathbb{E}\left[\left(\sum_{n=1}^N\langle f,\phi_n\rangle\int_a^b\phi_n(t)dB_t\right)^2\right].\]

E então, segue que

\[\left\|I(f) - \sum_{n=1}^NI(\phi_n)\right\|_{L^2(\Omega)}^2 = \int_a^bf^2(t)dt - 2\sum_{n=}^N\langle f,\phi_n\rangle^2 + \sum_{n=1}^N\langle f,\phi_n\rangle^2 = \int_a^bf^2(t)dt - \sum_n=1}^N\langle f,\phi_n\rangle^2 \stackrel{N\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\|f\|_{L^2([a,b])} - \|f\|_{L^2([a,b])} = 0\]

de onde concluímos que a série do lado direito converge em $ L^2(\Omega) $ para a variável aleatória do lado esquerdo e, como a convergência em $ L^2(|Omega) $ implica convergência em probabilidade, temos o resultado. A partir disso, temos o seguinte resultado

Teorema 10.1.1.1

Seja $ \{\phi_n\}_n $ uma base ortonormal para $ L^2([a,b]) $. Então, para cada $ f\in L^2([a,b]) $, a integral de Wiener de $ f $ possui a seguinte expansão

\[\int_a^bf(t)dB_t = \sum_{n=1}^\infty\langle f,\phi_n\rangle\int_a^b\phi_n(t)dB_t\]

com probabilidade um, em que a série converge quase certamente.

Exemplo 10.1.1.1

Aplicando o Teorema 10.1.1.1 com $ a = 0 $, $ b = 1 $ e $ f = \mathds{1}_{[0,t)} $ com $ 0 \ \textless \ t \ \texteless \ 1 $, temos que

\[\int_0^1f(t)dB_t = 1(B_t - B_0) + 0(B_1- B_t) = B_t\]

e então

\[B_t(\omega) = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\int_0^t\phi_n(s)ds\right)\left(\int_0^1\phi_n(s)dB_s(\omega)\right).\]

Desta forma, esperamos que $ B_t $ possa ser representado por

\[B_t(\omega) = \sum_{n=1}^{\infty}\xi_n(\omega)\int_0^t\phi_n(s)ds\]

em que $ \xi_n(\omega) $ são variáveis aleatórias gaussianas independentes com média zero e variância 1.

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