10.2 - Integral de Itô

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Seja $B_t(\omega)$ um movimento Browniano. A Integral de Itô será definida de forma a generalizar a ideia da Integral de Wiener. Neste sentido, estudaremos integrais do tipo

\[\int_a^bf(t,\omega)dB_t(\omega)\]

em que $f(t,\omega)$ é um processo estocástico adaptado à filtragem $\mathcal{F}_t = \sigma\left(B_s; \ s\leq t\right)$ e

\[\int_a^b\mathbb{E}\left(|f(t)|^2\right)dt \ \textless \ \infty.\]

É claro que, como a integral será uma generalização da Integral de Wiener, quando o integrando é uma função determinística $f(t)$, a integral de Itô $\int_a^bf(t)dB_t(\omega)$ é reduzida para a integral de Wiener.

Inicialmente, a teoria de integração estocástica foi motivada como um método direto para a construção de processos de difusão como soluções de equações diferenciais estocásticas. Ela também pode ser vista como motivação para martingales. Seja $B_t$ um movimento Browniano. Suponha que $f(t)$ seja uma função determinística definida em $L^2([a,b])$. Então, como vimos no Teorema 10.1.3 o processo

\[M_t = \int_a^tf(s)dB_s, \quad a\leq t\leq b\]

é um martingale. De forma análoga, queremos definir a integral estocástica

\[\int_a^bf(t,\omega)dB_t(\omega)\]

de forma que

\[M_t = \int_a^tf(s,\omega)dB_s(\omega) \quad a\leq t\leq b\]

seja um martingale.

Exemplo 10.2.1:

Antes que possamos definir a integral de Itô, consideramos um exemplo simples com $f(t,\omega) = B_t(\omega)$, de forma que a integral estocástica é dada por

\[\int_a^bB_tdB_t.\]

Considerando subintervalos $[t_{i-1},t_i]$ e avaliarmos $B_t$ nos extremos da partição, temos que

\[L_n := \sum_{i=1}^nB_{t_{i-1}}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right) \qquad \text{avaliação no ponto inferior da partição}.\]

e

\[R_n := \sum_{i=1}^nB_{t_{i}}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right) \qquad \text{avaliação no ponto superior da partição}.\]

Então, segue que

\[R_n-L_n = \sum_{i=1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^2\]

e, se $\lim_{n\rightarrow\infty}(R_n-L^n)$ existe, ele é a variação quadrática do movimento Browniano $B_t$.

Teorema 10.2.1:

Seja $\mathcal{P}_n := \{a = t_0 \ \textless \ t_1 \ \textless \ \ldots \ \textless \ t_{n-1} \ \textless \ t_n = b\}$ uma partição do intervalo finito $[a,b]$. Então, temos que

\[\sum_{i=1}^n\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^2 \rightarrow b-a\]

em $L^2(\Omega)$ quando $\|\mathcal{P}_n\| = \max_{1\leq i\leq n}(t_i-t_{i-1}) \rightarrow 0$.

Demonstração: De fato, observamos que

\[b-a = \sum_{i=1}^n(t_i-t_{i-1})\]

e, então, tomando

\[\phi_n = \sum_{i=1}^n\left[\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^2 - \left(t_i-t_{i-1}\right)\right] = \sum_{i=1}^nX_i\]

em que $X_i = \left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^2-\left(t_i-t_{i-1}\right)$. Desta forma, segue que

\[\phi_n^2 = \sum_{i,j=1}^nX_iX_j. \qquad (\star)\]

Para $i\neq j$, temos que $\mathbb{E}\left[X_iX_j\right] = 0$, já que $B_t$ tem incrementos independentes e $\mathbb{E}\left[\left(B_t-B_s\right)^2\right] = |t-s|$.  Reciprocamente, temos que $\mathbb{E}\left[\left(B_t-B_s\right)^4\right] = 3(t-s)^2$ e, então, para $i = j$, temos que

\[\mathbb{E}\left[X_i^2\right] = \mathbb{E}\left[\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^4 - 2(t_i-t_{i-1})\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^2 + (t_i-t_{i-1})^2\right] = 2(t_i-t_{i-1})^2.\]

Portanto, da equação $(\star)$, temos que

\[\mathbb{E}\left[\phi_n^2\right] = \sum_{i=1}^n2(t_i-t_{i-1})^2\leq 2\|\mathcal{P}_n\|\sum_{i=1}^n(t_i-t_{i-1}) = 2(b-a)\|\mathcal{P}_n\|\rightarrow 0 \ \text{quando} \ \|\mathcal{P}_n\|\rightarrow0\]

o que mostra que $\phi_n$ converge para zero em $L^2(\Omega)$. Então, $\sum_{i=1}^n\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^2$ converge para $b-a$ em $L^2(\Omega)$ quando $\|\mathcal{P}_n\|\rightarrow 0$.

$\square$

Portanto, aplicando o Teorema 10.2.1, concluímos que

\[\lim_{\|\mathcal{P}_n\|\rightarrow 0}R_n-L_n = b-a \ \text{em} \ L^2(\Omega)\]

e $\lim_{\|\mathcal{P}_n\|\rightarrow 0}R_n\neq \lim_{\|\mathcal{P}_n\|\rightarrow 0}L_n$.  Mas o que são esses limites? Observamos que

\[R_n + L_n = \sum_{i=1}^n\left(B_{t_i}+B_{t_{i-1}}\right)\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right) = \sum_{i=1}^n\left(B^2_{t_i}-B^2_{t_{i-1}}\right) = B^2_b-B^2_a\]

de forma que

\[R_n = \frac{1}{2}\left(B^2_b-B^2_a+\sum_{i=1}^n\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)2\right)\]

e

\[L_n = \frac{1}{2}\left(B^2_b-B^2_a-\sum_{i=1}^n\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)2\right)\]

e, utilizando o Teorema 10.2.1, temos que

\[\lim_{\|\mathcal{P}_n\|\rightarrow 0}R_n = \frac{1}{2}\left(B^2_b-B^2_a + (b-a)\right) \qquad (1)\]

e

\[\lim_{\|\mathcal{P}_n\|\rightarrow 0}L_n = \frac{1}{2}\left(B^2_b-B^2_a - (b-a)\right) \qquad (2)\]

A partir dos limites acima, qual dentre as equações (1) e (2) deve ser escolhida para ser a integral $\int_a^bB_tdB_t$? Ou seja, qual ponto extremo do subintervalo $[t_{i-1},t_i]$ deve ser escolhido para calcular o integrando? A fim de responder esta questão, tomamos $a = 0$ e $b = t$ nas equações (1) e (2) para definir os processos estocásticos

\[R_t= \frac{1}{2}\left(B^2_t + t\right) \qquad \text{e} \qquad L_t = \frac{1}{2}\left(B^2_t - t\right).\]

Desta forma, temos que

\[\mathbb{E}\left[R_t\right] = \mathbb{E}\left[\frac{1}{2}\left(B^2_t + t\right)\right] = \frac{1}{2}\left(\mathbb{E}\left[B^2_t\right] + t\right) = t\]

e, portanto, $R_t$ não é um martingale, já que $\mathbb{E}\left[M_t\right]$ deve ser contante para qualquer martingale $M_t$. Em contrapartida, $L_t$ é um martingale. De fato, seja $\mathcal{F}_t = \sigma\left\{B_s; \ s\leq t\}$. Então, para qualquer $s\leq t$,

\[\mathbb{E}\left[L_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = \frac{1}{2}\mathbb{E}\left[B^2_t\Big|\mathcal{F}_s\right] - \frac{1}{2}t = \frac{1}{2}\left(\mathbb{E}\left[B^2_t - B^2_s\Big|\mathcal{F}_s\right] +\mathbb{E}\left[B^2_s\right]\right) - \frac{1}{2}t\]

de onde concluímos que

\[\mathbb{E}\left[L_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = \frac{1}{2}\left(t-s+B^2_s\right) - \frac{1}{2}t = \frac{1}{2}\left(B^2_s-s\right) = L_s \ \text{para todo} \ s\leq t\]

Portanto, se desejamos a propriedade martingale para a integral estocástica $\int_a^tf(s)dB_s$, devemos tomar o ponto extremo à esquerda de cada subintervalo como ponto de avaliação de $f$.

Exemplo 10.2.2:

Considere a integral

\[X_t = \int_0^tB_1dB_s; \ 0\leq t\leq 1.\]

Intuitivamente, é de se pesperar que $X_t = B_1B_t$. Entretanto, o processo estocástico $X_t$ não é um martingale, uma vez que $\mathbb{E}\left[X_t\right] = \mathbb{E}\left[B_1B_t\right] = \min\{1,t\} = t$ que não é constante. Desta forma, a integral $\int_0^1B_1dB_s$ não pode ser calculada desta forma se queremos obter um processo martingale. A razão para esta integral simples não estar definida (quando queremos obter martingales) é devido ao fato de que o integrando $B_1$ não é adaptado à filtragem $\sigma\{B_s; \ s\leq t\}$ com $0\leq t\leq 1$. Portanto, uma importante exigêngia para o integrando, se queremos a propriedade martingale para integral estocástica $\int_a^tf(s)dB_s$ é que o integrando seja adapatado à filtragem $\{\mathcal{F}_t\}$. Em geral, permitiremos que $\{\mathcal{F}_t\}$ seja uma filtragem um pouco maior do que a gerada pelo movimento Browniano, isto é, $\sigma\{B_s; \ s\leq t\} \subset \mathcal{F}_t$ para todo $t$.

Observação 10.2.1:

Do discutido acima, é importante observar que, para que a integral estocástica tenha a propriedade martingale, então devemos tomar a integral ''inferior'' em cada subintervalo. É importante destacar que, nas integrais dexo Riemann (ou Riemann-Stieltjes) o ponto do subintervalo a ser tomado é irrelevante, pois o limite é o mesmo independente do ponto escolhido. Entretanto, na integral estocástica, como pudemos ver, isto não é possível, já que cada ponto nos fornece um limite diferente e a escolha do ponto depende das propriedades que desejamos que a integral possua. Como o foco é a propriedade martingale da integral estocástica, sua definição dependerá da escolha do ponto inferior.

Definição da Integral de Itô

A fim de definir a integral de Itô, consideramos $B_t$ um movimento Browniano fixo e uma filtragem $\{\mathcal{F}_t; \ a\leq t\leq b\}$ que satisfaz as seguintes condições:

  1. Para cada $t$, $B_t$ é $\mathcal{F}_t$-mensurável;
  2. Para qualquer $s\leq t$, a variável aleatória $B_t-B_s$ é independente da $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}_s$.

Notação 10.2.1:

Utilizaremos a notação $L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$ para o espaço de todos os processos estocásticos $f(t,\omega)$, com $a\leq t\leq b$ e $\omega\in\Omega$ que satisfazem as seguintes condições:

  1. $f(t,\omega)$ é adapatado à filtragem $\{\mathcal{F}_t\}$.
  2. $\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)\right|^2\right]dt \ \textless \ \infty$.

Inicialmente, para definir a integral de Itô, cosideramos os processos estocásticos $f\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$ do tipo simples, ou seja, suponha que $f$ seja dado por

\[f(t,\omega) = \sum_{i=1}^n\xi_{i-1}(\omega)\mathds{1}_{[t_{i-1},t_i]}(t)\]

em que $\xi_{i-1}$ é $\mathcal{F}_{t_{i-1}}$-mensurável e $\mathbb{E}\left[\xi^2_{i-1}\right] \ \textless \ \infty$. Neste caso, definimos a integral $I(f)$ por

\[I(f) := \sum_{i=1}^n\xi_{i-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right).\]

É imediato que, neste caso, a integral é linear, ou seja, $I(\alpha f+\beta g) = \alpha I(f) + \beta I(g)$ para quaisquer $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ e funções simples $f$ e $g$.

Lema 10.2.1:

Seja $f$ um processo estocástico simples em $L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$ e a integral de Itô definida da forma acima. Então $\mathbb{E}\left[I(f)\right] = 0$ e

\[\mathbb{E}\left[\left|I(f)\right|^2\right] = \int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)\right|^2\right]dt\]

Demonstração: De fato, para cada $1\leq i\leq n$, temos que

\[\mathbb{E}\left[\xi_{i-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)\right]=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\xi_{i-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)\Big|\mathcal{F}_{t_{i-1}}\right]\right] = \mathbb{E}\left[\xi_{i-1}\mathbb{E}\left[B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\Big|\mathcal{F}_{t_{i-1}}\right]\right] = \mathbb{E}\left[\xi_{i-1}\mathbb{E}\left[B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right]\right] = 0\]

de onde segue que $\mathbb{E}\left[I(f)\right] = 0$. Além disso, temos que

\[I^2(f) = \sum_{i,j=1}^n\xi_{i-1}\xi_{j-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)\left(B_{t_j}-B_{t_{j-1}}\right).\]

Observamos que, para $i\neq j$, digamos $i \ \textless \ j$,

\[\mathbb{E}\left[\xi_{i-1}\xi_{j-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)\left(B_{t_j}-B_{t_{j-1}}\right)\right] = \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\xi_{i-1}\xi_{j-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)\left(B_{t_j}-B_{t_{j-1}}\right)\Big|\mathcal{F}_{t_{j-1}}\right]\right]\]

e, portanto,

\[\mathbb{E}\left[\xi_{i-1}\xi_{j-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)\left(B_{t_j}-B_{t_{j-1}}\right)\right]=\mathbb{E}\left[\xi_{i-1}\xi_{j-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)\mathbb{E}\left[B_{t_j}-B_{t_{j-1}}\right]\right] = 0.\]

Em contrapartida, se $i = j$, então

\[\mathbb{E}\left[\xi^2_{i-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\xi^2_{i-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^2\Big|\mathcal{F}_{t_{i-1}}\right]\right] = \mathbb{E}\left[\xi^2_{i-1}\mathbb{E}\left[\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^2\Big|\mathcal{F}_{t_{i-1}}\right]\right] = \mathbb{E}\left[\xi^2_{i-1}(t_i-t_{i-1})\right] = (t_i-t_{i-1})\mathbb{E}\left[\xi^2_{i-1}\right].\]

Das equações acima, temos que

\[\mathbb{E}\left[\left|I(f)\right|^2\right] = \sum_{i=1}^n(t_i-t_{i-1})\mathbb{E}\left[\xi^2_{i-1}\right] = \int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)\right|^2\right]dt.\]

como queríamos demonstrar.

$\square$

Por fim, usando o teorema a seguir podemos estender a definição da integral de Itô para qualquer processo $f\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$. Para isso, basta mostramos que existe uma sequência de processos simples que converge para $f$.

Teorema 10.2.2:

Suponha que $f\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$. Então existe uma sequência $\{f_n(t); \ n\geq 1\}$ de processos estocásticos simples em $L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$ tal que

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)-f_n(t)\right|^2\right]dt = 0.\]

Demonstração: A demonstração será dividida em casos especiais e o caso geral.

Caso1: Suponha que $\mathbb{E}\left[f(t)f(s)\right]$ é uma função contínua de $(t,s)$ em $[a,b]\times[a,b]$.

Neste caso, seja $\Delta_n: a = t_0 \ \textless \ t_1 \ \textless \ \ldots \ \textless \ t_{n-1} \ \textless \ t_n$ uma partição de $[a,b]$ e defina o processo estocástico $f_n(t,\omega)$ da forma

\[f_n(t) = f(t_{i-1}) \ \text{para} \ t_{i-1} \ \textless \ t \leq t_i.\]

Desta forma, $\{f_n(t,\omega)\}_n$ é uma sequência de processos estocásticos simples adaptados. Pela continuidade de $\mathbb{E}\left[f(t)f(s)\right]$ em $[a,b]\times[a,b]$, temos que

\[\lim_{s\rightarrow t}\mathbb{E}\left[\left|f(t)-f(s)\right|^2\right] = 0\]

o que implica que, para cada $t\in[a,b]$,

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{E}\left[\left|f(t)-f_n(t)\right|^2\right] = 0.\]

Além disso, utilizando a desigualdade

\[|\alpha-\beta|^2\leq 2\left(|\alpha|^2+|\beta|^2\right)\]

segue que

\[\left|f(t)-f_n(t)\right|^2\leq 2\left(\left|f(t)\right|^2+\left|f_n(t)\right|^2\right).\]

Então, para todo $a\leq t\leq b$, temos que

\[\mathbb{E}\left[\left|f(t)-f_n(t)\right|^2\right] \leq 2\left(\mathbb{E}\left[\left|f(t)\right|^2\right] + \mathbb{E}\left[\left|f_n(t)\right|^2\right]\right) \leq 4\sup_{a\leq s\leq b}\mathbb{E}\left[\left|f(s)\right|^2\right].\]

Portanto, aplicando o teorema da convergência dominada, concluímos que

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)-f_n(t)\right|^2\right]dt = 0.\]

Caso 2: $f$ é limitada.

Neste caso, definimos um processo estocástico $g_n$ dado por

\[g_n(t,\omega) = \int_0^{n(t-a)}e^{-\tau}f(t-n^{-1}\tau,\omega)d\tau.\]

Observamos que $g_n$ é adaptado a $\mathcal{F}_{\tau}$ e $\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|g_n(t)\right|^2\right]dt \ \textless \ \infty$.

Afirmação (a): para cada $n$, $\mathbb{E}\left[g_n(t)g_n(s)\right]$ é uma função contínua de $(t,s)$.

A fim de demonstrar esta afirmação, seja $u = t - n^{-1}\tau$ de forma que podemos reescrever $g_n(t,\omega)$ como

\[g_n(t) = \int_a^bne^{-n(t-u)}f(u)du,\]

que podemos utilizar para verificar que

\[\lim_{t\rightarrow s}\mathbb{E}\left[\left|g_n(t)-g_n(s)\right|^2\right] = 0,\]

demonstrando a afirmação.

Afirmação (b): $\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)-g_n(t)\right|^2\right]dt \rightarrow 0$ quando $n\rightarrow \infty$.

Para verificar esta afirmação, basta notar que

\[f(t) - g_n(t) = \int_0^{\infty}e^{-\tau}\left(f(t) - f(t-n^{-1}\tau)\right)d\tau,\]

em que $f(t)$ é uma função não zero para $t \ \textless \ a$. Como $e^{-\tau}d\tau$ é uma medida de probabilidade em $[0,\infty)$, podemos aplicar a desigualdade de Schwarz e então, segue que

\[\left|f(t)-g_n(t)\right|^2\leq \int_0^{\infty}\left|f(t)-f(t-n^{-1}\tau)\right|^2e^{\tau}d\tau.\]

Portanto,

\[\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)-g_n(t)\right|^2\right]dt \leq \int_a^b\int_0^{\infty}e^{\tau}\mathbb{E}\left[\left|f(t)-f(t-n^{-1}\tau)\right|^2\right]d\tau dt = \int_0^{\infty}e^{-\tau}\left(\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)-f(t-n^{-1}\tau)\right|^2\right]dt\right)d\tau\]

de forma que

\[\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)-g_n(t)\right|^2\right]dt\leq \int_0^{\infty}e^{\tau}\mathbb{E}\left(\int_a^b\left|f(t)-f(t-n^{-1}\tau)\right|^2dt\right)d\tau.\]

Como, por hipótese, $f$ é limitada, temos que

\[\int_a^b\left|f(t,\cdot)-f(t-n^{-1}\tau,\cdot)\right|^2dt\rightarrow 0 \ \text{q.c}\]

quando $n\rightarrow\infty$. Portanto, concluímos a afirmação.

A partir da afirmação (a), podemos aplicar o caso 1 em $g_n$ para cada $n$ para obter um processo estocástico simples $f_n(t)$ tal que

\[\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|g_n(t)-f_n(t)\right|^2\right]dt\leq \frac{1}{n}.\]

Então, pela afirmação (b) e a desigualdade acima, temos que

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)-f_n(t)\right|^2\right]dt = 0,\]

o que completa a demonstração para o caso 2.

Caso 3: Caso geral para $f\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$.

Para cada $n$ definimos

\[g_n(t,\omega) = \left\{\begin{array}{l}f(t,\omega), \ \text{se} \ |f(t,\omega)|\leq n\\0, \ \text{se} \ |f(t,\omega)| \ \textgreater \ n\end{array}\right.\]

Então, pelo teorema da convergência dominada,

\[\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)-g_n(t)\right|^2\right]dt\rightarrow 0 \ \text{quando} \ n\rightarrow \infty. \qquad (3)\]

Agora, para cada $n$, aplicamos o caso 2 em $g_n$ para selecionar um processo estocástico simples $f_n(t)$ tal que

\[\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|g_n(t)-f_n(t)\right|^2\right]dt\leq \frac{1}{n}. \qquad (4)\]

Então, das equações (3) e (4), concluímos a demonstração do resultado.

$\square$

Ressaltamos que o Teorema 10.2.2 é de fundamental importância para a definição de integral de Itô. De fato, aplicamos o Teorema 10.2.2 para obter uma sequência $\{f_n(t,\omega)\}_n$ de processos estocásticos simples adaptados tal que

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)-f_n(t)\right|^2\right]dt = 0.\]

Para cada $n$, $I(f_n)$ está definida, já que $f_n$ é um processo estocástico simples. Além disso, do Lema 10.2.1, temos que

\[\mathbb{E}\left[\left|I(f_n)-I(f_m)\right|^2\right] = \int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f_n(t)-f_m(t)\right|^2\right]dt \rightarrow 0 \ \text{quando} \ n,m\rightarrow\infty\]

de modo que a sequência $\{I(f_n)\}_n$ é uma sequência de Cauchy em $L^2(\Omega)$. Desta forma, definimos a integral estocástica com respeito a $f\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$ por

\[I(f):=\lim_{n\rightarrow\infty}I(f_n) \ \text{em} \ L^2(\Omega).\]

Utilizando argumentos similares apresentados na integral de Wiener, a integral estocástica $I(f)$ está bem definida.

Definição 10.2.1:

O limite $I(f)$ definido acima é chamada de integral de Itô de $f$ e denotada por

\[\int_a^bf(t)dB_t.\]

Assim, a integral de Itô está bem definida para $f\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$ e é uma aplicação linear.

O teorema a seguir é uma extensão imediada to Lema 10.2.1 e sua demonstração sera omitida.

Teorema 10.2.3:

Seja $f\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$. Então a integral de Itô

\[I(f) = \int_a^bf(t)dB_t\]

é uma variável aleatória com $\mathbb{E}\left[I(f)\right] = 0$ e

\[\mathbb{E}\left[\left|I(f)\right|^2\right] = \int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)\right|^2\right]dt.\]

Deste teorema, temos que a integral de Itô $I:L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)\rightarrow L^2(\Omega)$ é uma isometria, já que

\[\left\|\int_a^bf(t)dB_t\right\|^2_{L^2(\Omega)} = \|I(t)\|^2_{L^2(\Omega)} = \langle I(f),I(f)\rangle = \mathbb{E}\left[\left|I(f)\right|^2\right] = \int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)\right|^2\right]dt = \|f(t)\|^2_{L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)}.\]

Um corolário imediato é o seguinte.

Corolário 10.2.1:

Para quaisquer $f,g\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$, a seguinte igualdade ocorre

\[\mathbb{E}\left[\int_a^bf(t)dB_t\int_a^bg(t)dB_t\right] = \int_a^b\mathbb{E}\left[f(t)g(t)\right]dt.\]

Exemplo 10.2.3:

Vamos verificar que

\[\int_a^bB_tdB_t = \frac{1}{2}\left(B^2_b - B^2_a - (b-a)\right)\]

Já tentamos definir esta integral. Quando utilizamos o ponto extremo à esquerda dos subintervalos de uma partição de $[a,b]$ para o integrando, chegamos na soma $L_n$ dada por

\[L_n = \sum_{i=1}^nB_{t_{i-1}}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right).\]

Se tomamos a integral como o limite de $L_n$ quando $n\rightarrow \infty$, temos que

\[\int_a^bB_tdB_t = \frac{1}{2}\left(B^2_b-B^2_a-(b-a)\right)\]

De fato, observamos que $\mathbb{E}\left[B_tB_s\right] = \min\{s,t\}$ que é uma função contínua de $t$ e $s$. Então, podemos aplicar o caso 1 do Teorema 10.2.2 ao integrando $f(t) = B_t$, ou seja, para uma partição $\Delta_n = \{a = t_0 \ \textless \ t_1 \ \textless \ \ldots \ \textless \ t_{n-1} \ \textless \ t_n = b\}$ de $[a,b]$ definimos o processo estocástico $f_n(t)$ por

\[f_n(t) = B_{t_{i-1}} \ \text{para} \ t_{i-1} \ \textless \ t \leq t_i.\]

Então, da definição da integral para processos simples, temos que a integral de Itô $\int_a^bB_tdB_t$ é dada por

\[\int_a^bB_tdB_t = \lim_{n\rightarrow\infty}I(f_n) \ \text{em} \ L^2(\Omega)\]

em que

\[I(f_n) = \sum_{i=1}^nB_{t_{i-1}}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)\]

que é igual a $L_n$. Portanto

\[\int_a^bB_tdB_t = \frac{1}{2}\left(B^2_b-B^2_a-(b-a)\right).\]

Exemplo 10.2.4:

Calcular a integral

\[\int_a^bB^2_tdB_t = \frac{1}{3}\left(B^3_b-B^3_a\right)-\int_a^bB_tdt.\]

De fato, suponha que $s \ \textless \ t$. Temos que

\[\mathbb{E}\left[B^2_tB^2_s\right] = \mathbb{E}\left[\left(B_t-B_s+B_s\right)^2B^2_s\right]=\mathbb{E}\left[\left(\left(B_t-B_s\right)^2 + 2B_s\left(B_t-B_s\right) + B^2_s\right)B^2_s\right] = (t-s)s + 3s^2\]

o que mostra que $\mathbb{E}\left[B^2_tB^2_s\right]$ é uma função contínua de $t$ e $s$. Então, aplicamos o caso 1 para a função $f(t) = B^2_t$.

Para uma partição $\Delta_n = \{a = t_0 \ \textless \ t_1 \ \textless \ \ldots \ \textless \ t_{n-1} \ \textless \ t_n = b\}$ de $[a,b]$, definimos o processo estocástico $f_n(t) := B^2_{t_{i-1}}$ se $t_{i-1} \ \textless \ t \leq t_i$. Portanto, a integral de Itô é dada por

\[\int_a^bB^2_tdB_t = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nB^2_{t_{i-1}}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right) \ \text{em} \ L^2(\Omega)\]

em que a série converge em $L^2(\Omega)$. Também podemos verificar que

\[3\sum_{i=1}^nB^2_{t_{i-1}}\left(B_{t_1}-B_{t_{i-1}}\right) = B^3_b - B^3_a - \sum_{i=1}^n\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^3 - 3\sum_{i=1}^nB_{t_{i-1}}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^2.\]

Utilizando o fato de que $\mathbb{E}\left[\left|B_t-B_s\right|^6\right] = 15\left|t-s|^3$ (verifique!), temos que

\[\mathbb{E}\left[\left|\sum_{i=1}^n\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^3\left|^2\right] = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n\left|B_{t_i}-B_{t-{i-1}}\right|^6\right] = 15\sum_{i=1}^n\left(t_i-t_{i-1}\right)^3\leq 15\|\Delta_n\|^2(b-a)\stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0.\]

Em contrapartida, para o segundo somatório, temos que (verificar)

\[\mathbb{E}\left[\left|\sum_{i=1}^nB_{t_{i-1}}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^2 - \sum_{i=1}^nB_{t_{i-1}}(t_i-t_{i-1})\right|^2\right] = 2\sum_{i=1}^n2t_{i-1}(t_i-t_{i-1})^2\leq 2b(b-a)\|\Delta_n\|\stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\]

de forma que $\sum_{i=1}^nB_{t_i}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)^2$ converge para $\sum_{i=1}^nB_{t_{i-1}}(t_i-t_{i-1}) = \int_a^bB_tdt$ em $L^2(\Omega)$. Portanto, concluímos que

\[\int_a^bB^2_tdB_t = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nB^2_{t_{i-1}}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right) = \frac{1}{3}\left(B^3_b-B^3_a\right)-\int_a^bB_tdt\]

Exemplo 10.2.5:

O processo

\[X_t = \int_0^tB^2_udB_u = \frac{1}{3}B^3_t - \int_0^tB_udu\]

é um martingale.

De fato, seja $0\leq s\leq t$. Inicialmente, seja $B^3_t$ escrito como

\[B^3_t = \left(B_t-B_s\right)^3 + 3\left(B_t-B_s\right)^2B_s + 3\left(B_t-B_s\right)B^2_s + B^3_s\]

e então, tomando a esperança condicional, temos que

\[\mathbb{E}\left[B^3_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = \mathbb{E}\left[\left(B_t-B_s\right)^3\Big|\mathcal{F}_s\right] + 3\mathbb{E}\left[\left(B_t-B_s\right)^2B_s\Big|\mathcal{F}_s\right] + 3\mathbb{E}\left[\left(B_t-B_s\right)B^2_s\Big|\mathcal{F}_s\right]+\mathbb{E}\left[B^3_s\Big|\mathcal{F}_s\right] = 3(t-s)B_s + B^3_s.\]

Além disso, temos que

\[\mathbb{E}\left[\int_0^tB_udu\Big|\mathcal{F}_s\right]= \mathbb{E}\left[\int_0^sB_udu\Big|\mathcal{F}_s\right] + \mathbb{E}\left[\int_s^tB_ud_u\Big|\mathcal{F}_s\right] = \int_0^sB_udu + \int_s^t\mathbb{E}\left[B_u|\mathcal{F}_s\right]du = \int_0^sB_udu + B_s(t-s).\]

Portanto,

\[\mathbb{E}\left[X_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = (t-s)B_s + \frac{1}{3}B^3_s - \int_0^sB_ud_u - B_s(t-s) = \frac{1}{3}B^3_s - \int_0^sB_udu = X_s\]

o que mostra que $X_t$ é um martingale.

Considere agora $X_t$ com $a\leq t\leq b$ um martingale e $\phi$ uma função convexa tal que $\phi(X_t)$ é integrável para cada $t\in[a,b]$. Então $\phi(X_t)$ é um submartingale a partir da desigualdade de Jensen. Por exemplo, com a função $\phi(x) = |x|$, temos o submartingale $|X_t|$.

Definição 10.2.2:

Um processo estocástico $X_t$ com $a\leq t\leq b$ é chamado contínuo à direita se quase todas as suas trajetórias são funções contínuas à direita em $[a,b]$, isto é,

\[\mathbb{P}\left[\left\{\omega; X_t(\omega) \ \text{é contínuo à direita em} \ [a,b]\right\}\right] = 1.\]

Teorema 10.2.4: (Desigualdade submartingale de Doob)

Seja $X_t$ com $a\leq t\leq b$ um submartingale contínuo à direita. Então, para todo $\varepsilon \ \textgreater \ 0$, temos que

\[\mathbb{P}\left[\left\{\sup_{0\leq t\leq b}X_t\geq\varepsilon\right\}\right] \leq \frac{1}{\varepsilon}\mathbb{E}\left[X_b^{+}\right]\]

em que $X_b^{+}$ é a parte positiva de $X_b$, isto é, $X_b^{+} = \max_{\omega}\{X_b,0\}$. Em particular, se $X_t$ é um martingale contínuo à direita, então, para todo $\varepsilon \ \textgreater \ 0$,

\[\mathbb{P}\left[\left\{\sup_{0\leq t\leq b}|X_t|\geq\varepsilon\right\}\right] \leq \frac{1}{\varepsilon}\mathbb{E}\left[\left|X_b\right|\right].\]

Demonstração: Seja $\mathbb{Q}= \{r_1,r_2,\ldots\}$ uma enumeração dos números racionais em $[a,b]$. Então, da continuidade à direita de $X_t$, temos que

\[\sup_{a\leq t\leq b}X_t = \sup_{r\in\mathbb{Q}}X_r \ \mathbb{P}-q.c. \qquad (5)\]

Para cada $k$, organizamos os números no conjunto $\{r_1,r_2,\ldots,r_k\}$ em ordem crescente $\{r^{(k)}_1 \ \textless \ r^{(k)}_2 \ \textless \ r^{(k)}_k\}$. Então, para todo $\varepsilon \ \textgreater \ 0$, temos que

\[\left\{\sup_{r\in\mathbb{Q}}X_r \geq \varepsilon\right\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=1}^{\infty}\left\{\max_{1\leq v\leq k}X_{r^{(k)}_v} \geq \varepsilon - \frac{1}{n}\right\}. \qquad (6)\]

De $(5)$ e $(6)$, segue que

\[\mathbb{P}\left[\left\{\sup_{a\leq t\leq b}X_t \geq \varepsilon\right\}\right] = \mathbb{P}\left[\left\{\sup_{r\in\mathbb{Q}}X_t\geq\varepsilon\right\}\right] = \lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{k\rightarrow\infty}\mathbb{P}\left[\left\{\max_{1\leq v\leq k}X_{r^{(k)}_v}\geq \varepsilon - \frac{1}{n}\right\}\right] \qquad (7)\]

Observamos agora que $\left\{X_{r^{(k)}_j}\right\}_{j\geq 1}$ é um submartingale discreto. Então, pela desigualdade submartingalde de Doob discreta, temos que

\[\mathbb{P}\left[\left\{\max_{1\leq v\leq k}X_{r^{(k)}_v} \geq \varepsilon - \frac{1}{n}\right\}\right] \leq \frac{1}{\varepsilon - \frac{1}{n}}\mathbb{E}\left[X_{r^{(k)}_v}\right]. \qquad (8)\]

Também observamos que $\left\{X^{+}_{r^{(k)}_j}\right\}_j$ é um submartingale. Portanto,

\[\mathbb{E}\left[X_b^{+}\Big|\mathcal{F}_{r^{(k)}_k}\right]\geq X_{r^{(k)}_k}^{+} \ \text{q.c}\]

e, aplicando o valor esperado, segue que

\[\mathbb{E}\left[X_{r^{(k)}_k}^{+}\right]\leq \mathbb{E}\left[X_b^{+}\right]. \qquad (9)\]

Juntando $(7)$, $(8)$ e $(9)$, temos

\[\mathbb{P}\left[\left\{\sup_{a\leq t\leq b}X_t\geq \varepsilon\right\}\right] \leq \frac{1}{\varepsilon}\mathbb{E}\left[X_{r^{(k)}_v}^{+}\right]\leq\frac{1}{\varepsilon}\mathbb{E}\left[X_b^{+}\right]\]

como queríamos demonstrar.

$\square$

Processos estocásticos definidos por integrais de Itô

Seja $B_t$ um movimento Browniano fixo e $\{\mathcal{F}_t; \ a\leq t\leq b\}$ uma filtragem tal que $B_t$ é $\mathcal{F}_t$-mensurável e, para todo $a\leq s \ \textless \ t\leq b$, $B_t-B_s$ é independente de $\mathcal{F}_s$. Então, temos que, para todo $t\in[a,b]$ e $f\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$,

\[\int_a^t\mathbb{E}\left[\left|f^2(s)\right|\right]ds \leq \int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f^2(s)\right|\right]ds \ \textless \ \infty.\]

Então, $f\in L^2_{\text{ad}}([a,t]\times\Omega)$, o que implica que, para cada $t\in[a,b]$, a integral estocástica $\int_a^tf_sdB_s$ está definida. Considere um processo estocástico dado por

\[X_t = \int_a^tf_sdB_s; \ a\leq t\leq b.\]

A partir da isometria entre os espaços $L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$ e $L^2(\Omega)$, temos que

\[\mathbb{E}\left[\left|X_t\right|^2\right] = \mathbb{E}\left[\left|\int_a^tf(s)dB_s\right|^2\right] = \int_a^t\mathbb{E}\left[\left|f(s)\right|^2\right]ds \ \textless \ \infty\]

e, como $\mathbb{E}\left[|X_t|\right] \leq \left[\mathbb{E}\left[\left|X_t^2\right|\right]\right]^{\frac{1}{2}} \ \textless \ infty$, a variável aleatória $X_t$ é integrável para cada $t$. Logo, podemos tomar a esperança condicional de $X_t$ com respeito a uma $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}_s$.

Teorema 10.2.5: (Propriedade martingale)

Suponha que $f\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$. Então, o processo estocástico

\[X_t=\int_a^tf(s)dB_s, \ a\leq t\leq b\]

é um martingale com respeito à filtragem $\{\mathcal{F}_t; \ a\leq t\leq b\}$.

Demonstração: Inicialmente, considere o caso em que $f$ é um processo estocástico simples. Precisamos mostrar que, para todo $a\leq s \ \textless \ t\leq b$,

\[\mathbb{E}\left[X_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = X_s.\]

Porém, temos que

\[X_t = \int_a^tf(s)dB_s = \int_a^sf(u)dB_u + \int_s^tf(u)dB_u = X_s + \int_s^tf(u)dB_u\]

e então, basta mostrar que $\int_s^tf(u)dB_u = 0$. Suponha, inicialmente, que $f$ é uma função simples dada por

\[f(u,\omega) = \sum_{i=1}^n\xi_{i-1}(\omega)\mathds{1}_{(t_{i-1},t_i]}(u)\]

em que $s = t_0 \ \textless \ t_1 \ \textless \ \ldots \ \textless t_n = t$ e $\xi_{i-1}$ é $\mathcal{F}_{t_{i-1}}$-mensurável e pertence a $L^2(\Omega)$. Então

\[\int_s^tf(u)dB_u = \sum_{i=1}^n\xi_{i-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right).\]

Para todo $i = 1,2,\ldots,n$, temos que

\[\mathbb{E}\left[\xi_{i-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\rght)\Big|\mathcal{F}_s\right] = \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\xi_{i-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\Big|\mathcal{F}_{t_{i-1}}\right]\Big| \mathcal{F}_s \right] = \mathbb{E}\left[\xi_{i-1}\mathbb{E}\left[B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\Big|\mathcal{F}_{t_{i-1}}\right]\Big|\mathcal{F}_s\right] = 0.\]

Considere agora o caso geral. Seja $f\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$. Tome uma sequência $\{f_n\}$ de processos simples em $L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$ tal que

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f_n(u)-f(u)\right|^2\right]du = 0.\]

Para cada $n$, definimos o processo estocástico

\[X^n_t = \int_a^tf_n(u)dB_u.\]

Neste caso, $X^n_t$ é um martingale. De fato, para $s \ \textless \ t$, escrevemos

\[X_t - X_s = (X_t - X^n_t) + (X^n_t - X^n_s) + (X^n_s - X_s)\]

e, então

\[\mathbb{E}\left[X_t-X_s\Big|\mathcal{F}_s\right] = \mathbb{E}\left[X_t-X^n_t\Big|\mathcal{F}_s\right] + \mathbb{E}\left[X^n_s - X_s\Big|\mathcal{F}_s\right]. \qquad (10)\]

Observamos que

\[\mathbb{E}\left[\left(\left|\mathbb{E}\left[X_t-X^n_t\Big|\mathcal{F}_s\right]\right|^2\right] \leq \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\left|X_t-X^n_t\right|^2\Big|\mathcal{F}_s\right]\right] = \mathbb{E}\left[\left|X_t-X^n_t\right|^2\right].\]

Então,

\[\mathbb{E}\left[\left|\mathbb{E}\left[X_t-X^n_t\Big|\mathcal{F}_s\right]\right|^2\right]\leq \int_a^t\mathbb{E}\left[\left|f_n(u)-f(u)\right|^2\right]du \leq\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f_n(u)-f(u)\right|^2\right]du \rightarrow 0 \ \text{quando} \ n\rightarrow\infty.\]

Portanto, tomando uma subsequência, se necessário, vemos que $\mathbb{E}\left[X_t-X^n_t\Big|\mathcal{F}_s\right]$ converge quase certamente para 0. Analogamente, $\mathbb{E}\left[X^n_s-X^s\Big|\mathcal{F}_s\right]$ converge quase certamente para 0. Então $\mathbb{E}\left[X_t-X_s\Big|\mathcal{F}_s\right] = 0$ q.c e $\mathbb{E}\left[X_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = X_s$, de forma que $X_t$ é um martingale, concluindo a demonstração.

$\square$

Teorema 10.2.6: (Propriedade da continuidade)

Suponha que $f\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$. Então o processo estocástico

\[X_t = \int_a^tf(s)dB_s, \quad a\leq t\leq b\]

é contínuo, isto é, quase todas as trajetórias são funções contínuas no intervalo $[a,b]$.

Demonstração: Inicialmente, considere o caso em que $f$ é um processo estocástico simples, digamos

\[f(s,\omega) = \sum_{i=1}^n\xi_{i-1}(\omega)\mathds{1}_{(t_{i-1},t_i]}(s)\]

em que $\xi_{i-1}$ é $\mathcal{F}_{t_{i-1}}$-mensurável. Neste caso, para cada $\omega\in\Omega$ fixo, a trajetória de $X_t$ é dada por

\[X_t(\omega) = \sum_{i=1}^{k-1}\xi_{i-1}(\omega)\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right) + \xi_{k-1}(\omega)\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)\]

para $t_{k-1} \leq t \ \textless \ t_k$. Observe que, para quase todo $\omega$, a trajetória do movimento Browniano $B_t$ é contínua. Então, para quase todo $\omega$, a trajetória $X_t(\omega)$ é contínua em $[a,b]$.

Considere agora o caso geral. Seja $\{f_n\}$ uma sequência de processos estocásticos simples em $L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$ tal que

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b\mathbb{E}\left[|f_n(s)-f(s)|^2\right]ds = 0.\]

Podemos escolher uma subsequência, se necessário, tal que

\[\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f_n(s)-f(s)\right|^2\right]ds\leq \frac{1}{n^6}, \ \text{para todo} \ n\geq 1.\]

Para cada $n$, definimos um processo estocástico

\[X^n_t = \int_a^tf_n(s)dB_s, \quad a\leq t\leq b\]

e então, quase todas as trajetórias de $X^n_t$ são contínuas. Além disso, do Teorema 10.2.5, $X_t$ e $X^n_t$ são martingales. Então, pela Desigualdade submartingalde de Doob, temos que

\[\mathbb{P}\left[\left\{\omega:\sup_{a\leq t\leq b}|X_t-X^n_t|\geq\frac{1}{n}\right\}\right]\leq n\mathbb{E}\left[\left|X_b-X_b^n\right|\right].\]

Da desigualdade de Schwartz,

\[\mathbb{E}\left[\left|X_b-X^n_b\right|\right]\leq\left(\mathbb{E}\left[\left|X_b-X^n_b\right|^2\right]\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\int_a^b\left|f(s)-f_n(s)\right|^2ds\right)^{\frac{1}{2}}\leq \frac{1}{n^3}.\]

Portanto, para todo $n\geq 1$,

\[\mathbb{P}\left[\left\{\omega:\sup_{a\leq t\leq b}\left|X_t-X^n_t\right|\geq\frac{1}{n}\right\}\right]\leq \frac{1}{n^2}.\]

Como $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \ \textless \ \infty$, pelo teorema de Borel-Cantelli, temos que

\[\mathbb{P}\left[\limsup_{n\rightarrow\infty}\left\{\omega:\sup_{a\leq t\leq b}\left|X_t-X^n_t\right|\geq\frac{1}{n}\right\}\right] = 0\]

e, tomando o complementar do evento $\{A_n \ \text{ocorre infinitas vezes}\}$ temos que

\[\mathbb{P}\left[\left\{\omega:\sup_{a\leq t\leq b}\left|X_t-X^n_t\right|\geq\frac{1}{n} \ \text{ocorre um número finito de vezes}\right\}\right] = 1.\]

Portanto, existe um evento $\Omega_0$ tal que $\mathbb{P}\left[\Omega_0\right] = 1$ e, para cada $\omega\in\Omega_0$, existe um inteiro positivo $N(\omega)$ tal que

\[\sup_{a\leq t\leq b}\left|X_t(\omega)-X^n_t(\omega)\right| \ \textless \ \frac{1}{n}, \ \text{para todo} \ n\geq N(\omega).\]

Assim, para cada $\omega\in\Omega_0$, a sequência de funções $X^n_t(\omega)$, com $n\geq 1$, converge uniformemente para $X_t(\omega)$ em $[a,b]$. mas, para cada $n$, o processo estocástico $X^n_t$ é contínuo e, então existe um evento $\Omega_n$ com $\mathbb{P}(\Omega_n) = 1$ e, para qualquer $\omega\in\Omega_n$, a função $X^n(\omega)$ é contínua.

Finalmente, seja $\tilde{\Omega} = \cap_{n=0}^{\infty}\Omega_n$. Então, temos que $\mathbb{P}\left[\tilde{\Omega_n}\right] = 1$ e, para cada $\omega\in\tilde{\Omega}$, a sequência

\[X^n_{\cdot}(\omega), \quad n = 1,2,3,\ldots\]

é uma sequência de funções contínuas que converge uniformemente para $X_{\cdot}(\omega)$ em $[a,b]$. Segue que $X_{\cdot}(\omega)$ é uma função contínua para cada $\omega\in\tilde{\Omega}$. Então, quase todas as trajetórias dos processos estocásticos $X_t$ são funções contínuas em $[a,b]$. Desta forma, mostramos que $X_t$ é um processo estocástico contínuo.

$\square$

Extensão de integrais estocásticas

A integral de Itô foi definida para processos estocásticos $f(t)$ que são $\mathcal{F}_t$-adaptados e que satisfazem a condição $\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)\right|^2\right]dt \ \textless \ \infty$. Desta forma, vimos que a integral estocástica $I(f)$ pertence a $L^2(\Omega)$ e, portanto, é integrável. Além disso, $X_t = \int_a^tf(s)dB_s$ com $a\leq t\leq b$ é um martingale. A ideia agora é estender o conceito da integral de Itô $I(f)$ para processos estocásticos $f(t)$ que sejam $\mathcal{F}_t$-adaptados e que satisfazem a condição $\int_a^b\left|f(t)\right|^2dt \ \textless \ \infty$ quase certamente. Neste caso, a integral $I(f)$ é uma variável aleatória, em geral, não integrável. A falta de integrabilidade de um processo estocástico leva ao conceito de martingale local.

A fim de estender o conceito de integral para esta classe maior de integrandos, fixamos um movimento Browniano $B_t$ e uma filtragem $\left\{\mathcal{F}_t\right\}_t$ com $a\leq t\leq b$ tal que

  1. para cada $t$, $B_t$ é $\mathcal{F}_t$-mensurável.
  2. para qualquer $s\leq t$, a variável aleatória $B_t - B_s$ é independente da $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}_s$.

Vamos definir a integral estocástica $\int_a^bf(t)dB_t$ para um processo estocástico $f(t,\omega)$ que satisfaz as seguintes condições

  1. $f(t)$ é adaptado à filtragem $\mathcal{F}_t$.
  2. $\int_a^b\left|f(t)\right|^2dt \ \textless \ \infty$ q.c.

Notação 10.2.2:

Usaremos a notação $\mathcal{L}_{\text{ad}}(\Omega,L^2([a,b]))$ para denotar o espaço dos processos estocásticos $f(t,\omega)$ que satisfazem as condições definidas acima.

Se $f(t)\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$, então $\mathbb{E}\left[\left|f(t)\right|^2\right] \ \textless \ \infty$ e, pelo teorema de Fubini, temos que

\[\mathbb{E}\left[\int_a^b\left|f(t)\right|^2dt\right] = \int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)\right|^2\right]dt \ \textless \ \infty\]

de onde concluímos que $L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)\subset\mathcal{L}_{\text{ad}}(\Omega,L^2([a,b]))$. Desta forma temos uma classe efetivamente maior de integrandos $f(t,\omega)$ para a integral estocástica $\int_a^bf(t)dB_t$. A diferença crucial é a possível falta de integrabilidade do integrando $f(t,\omega)$ com respeito à variável $\omega$.

Exemplo 10.2.6:

Considere o processo estocástico $f(t) = e^{B^2_t}$. Temos que

\[\mathbb{E}\left[\left|f(t)\right|^2\right] = \mathbb{E}\left[e^{2B^2_t}\right] = \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1-4t}}, \ \text{se} \ 0\leq t \ \textless \ \frac{1}{4}\\\infty, \ \text{se} \ t\geq \frac{1}{4}\end{array}\right.\]

É claro que $\int_0^1\mathbb{E}\left[\left|f(t)\right|^2\right]dt = \infty$ e então $f\notin L^2_{\text{ad}}([0,1]\times\Omega)$. Então, $\int_0^1e^{B^2_t}dB_t$ não é uma integral estocástica como definido anteriormente. Porém, como $f(t)$ é uma função contínua de $t$, $\int_0^1\left|f(t)\right|^2dt \ \textless \ \infty$ q.c. Ou seja, $f\in\mathcal{L}_{\text{ad}}(\Omega,L^2([0,1]))$.

Exemplo 10.2.7:

Considere o processo estocástico $f(t) = e^{B^k_t}$. Para qualquer inteiro $k\geq 3$, temos que

\[\mathbb{E}\left[\left|f(t)\right|^2\right] = \mathbb{E}\left[e^{2B^k_t}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}e^{2x^k}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}dx = \infty.\]

Então, $f\notin L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$. Reciprocamente, observamos que quase todas as trajetórias de $f(t)$ são funções contínuas e, portanto, pertencem a $L^2([a,b])$. Assim, temos que $f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,L^2([a,b]))$.

Observação 10.2.2:

É importante observar que, em geral, são necessárias muitas contas para verificar se um processo estocástico $\mathcal{F}_t$-adaptado pertence a $L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$, porém é fácil verificar se o processo pertence a $\mathcal{L}_{\text{ad}}(\Omega,L^2([a,b]))$.

Lema 10.2.2:

Seja $f\in\mathcal{L}_{\text{ad}}(\Omega,L^2([a,b]))$. Então existe uma sequência $\{f_n\}_n$ em $L^2([a,b]\times\Omega)$ tal que

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b\left|f_n(t)-f(t)\right|^2dt = 0 \ \text{q.c}\]

e, portanto, também em probabilidade.

Demonstração: Para cada $n$ definimos

\[f_n(t,\omega) = \left\{\begin{array}{l}f(t,\omega), \ \text{se} \ \int_a^t\left|f(s,\omega)\right|^2ds \leq n\\0, \ \text{caso contrário}\end{array}\right.\]

Então, $f_n$ é adaptado à filtragem $\{\mathcal{F}_t\}_t$. Além disso,

\[\int_a^b\left|f_n(t)\right|^2dt = \int_a^{\tau_n(\omega)}\left|f(t)\right|^2dt \ \text{q.c}\]

em que $\tau_n(\omega) = \sup\{t; \int_a^t\left|f(s)\right|^2ds\leq n\}$. Portanto, temos que

\[\int_a^b\left|f_n(t)\right|^2dt \leq n \ \text{q.c}\]

o que implica que $\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f(t)\right|^2\right]dt\leq n$ e, portanto, $f_n\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$. Seja $\omega$ fixo. Assim que $n$ torna-se suficientemente grande de forma que $\int_a^b\left|f(t)\right|^2dt \ \textless \ n$, temos que

\[f_n(t) = f(t) \ \text{para todo} \ t\in[a,b]\]

o que implica que

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b\left|f_n(t)-f(t)\right|^2dt = 0.\]

Como $\int_a^b\left|f(t)\right|^2dt \ \textless \ \infty$ q.c, a convergência ocorre quase certamente. Além disso, a convergência quase certa implica a convergência em probabilidade.

$\square$

A seguir, apresentamos um lema fundamental para a definição de integral estocástica para funções $f\in\mathcal{L}_{\text{ad}}(\Omega,L^2([a,b]))$.

Lema 10.2.3:

Seja $f(t)$ um processo estocástico simples em $L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$. Então a desigualdade

\[\mathbb{P}\left[\left\{\left|\int_a^bf(t)dB_t\right| \ \textless \ \varepsilon\right\}\right]\leq\frac{c}{\varepsilon^2}+\mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ c\right\}\right]\]

ocorre para quaisquer constantes positivas $\varepsilon$ e $c$.

Demonstração: Para cada constante positiva $c$, definimos um processo estocástico $f_c(t)$ dado por

\[f_c(t) = \left\{\begin{array}{l}f(t), \ \text{se} \ \int_a^t\left|f(s)\right|^2ds\leq c\\0, \ \text{caso contrário}\end{array}\right..\]

Observamos que

\[\left\{\left|\int_a^bf(t)dB_t\right| \ \textgreater \ \varepsilon\right\}\subset\left\{\left|\int_a^bf_c(t)dB_t\right| \ \textgreater \ \varepsilon\right\}\bigcup\left\{\int_a^bf(t)dB_t\neq\int_a^bf_c(t)dB_t\right\}.\]

Então, temos que

\[\mathbb{P}\left[\left\{\left|\omt_a^bf(t)dB_t\right| \ \textgreater \ \varepsilon\right\}\right]\leq \mathbb{P}\left[\left\{\left|\int_a^bf_c(t)dB_t\right| \ \textgreater \ \varepsilon\right\} + \mathbb{P}\left[\left\{\int_a^bf(t)dB_t\neq\int_a^bf_c(t)dB_t\right\}\right].\]

Como $f$ é um processo estocástico simples, temos que

\[\left\{\int_a^bf(t)dB_t\neq\int_a^bf_c(t)dB_t\right\}\subset\left\{\int_a^b\left|f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ c\right\}.\]

Portanto,

\[\mathbb{P}\left[\left\{\left|\int_a^bf(t)dB_t\right\right| \ \textgreater \ \varepsilon\right\} \right]\leq \mathbb{P}\left[\left\{\left|\int_a^bf_c(t)dB_t\right| \ \textgreater \ \varepsilon\right\}\right] + \mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ c\right\}\right].\]

Da definição de $f_c$, temos que $\int_a^b\left|f_c(t)\right|^2dt\leq c$ q.c. Então $\mathbb{E}\left[\int_a^b\left|f_c(t)\right|^2dt\right]\leq c$ e, então, podemos aplicar a desigualdade de Chebyschev ao primeiro termo da última desigualdade e

\[\mathbb{P}\left[\left\{\left|\int_a^bf(t)dB_t\right| \ \textgreater \ \varepsilon\right\}\right] \leq \frac{1}{\varepsilon^2}\mathbb{E}\left[\left|\int_a^bf_c(t)dB_t\right|^2\right]+\mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ c\right\}\right]\]

e, portanto

\[\mathbb{P}\left[\left\{\left|\int_a^bf(t)dB_t\right| \ \textgreater \ \varepsilon\right\}\right]\leq \frac{1}{\varepsilon^2}\int_a^b\mathbb{E}\left[\left|f_c(t)\right|^2\right]dt+\mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ c\right\}\right] \leq\frac{c}{\varepsilon^2}+\mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ c\right\}\right].\]

provando o resultado.

$\square$

Lema 10.2.4:

Seja $f\in\mathcal{L}_{\text{ad}}(\Omega,L^2([a,b]))$. Então, existe uma sequência $\{f_n(t)\}$ de processos estocásticos simples em $L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$ tal que

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b\left|f_n(t)-f(t)\right|^2dt = 0\]

em probabilidade.

Demonstração: Inicialmente, utilizando o Lema 10.2.2, existe uma sequência $\{g_n\}$ em $L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$ tal que

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b\left|g_n(t)-f(t)\right|^2dt = 0 \qquad (11)\]

em probabilidade. Agora, para cada $g_n(t)$, existe um processo simples $f_n(t)$ em $L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$ tal que

\[\mathbb{E}\left[\int_a^b\left|f_n(t)-g_n(t)\right|^2dt\right] \ \textless \ \frac{1}{n}. \qquad (12)\]

Pela desigualdade de Young, temos que, para todo $\varepsilon \ \textgreater \ 0$,

\[\left\{\int_a^b\left|f_n(t)-f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \varepsilon\right\} \subset \left\{\int_a^b\left|f_n(t)-g_n(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon}{4}\right\}\bigcup\left\{\int_a^b\left|g_n(t)-f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon}{4}\right\}\]

e, então

\[\mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f_n(t)-f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \varepsilon\}\right] \leq \mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f_n(t)-g_n(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon}{4}\right\}\right] + \mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|g_n(t)-f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon}{4}\right\}\right].\]

E, da desigualdade de Chebyshev, juntamente com $(12)$, temos que

\[\mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f_n(t)-f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \varepsilon\right\}\right] \leq\frac{4}{\varepsilon n} + \mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|g_n(t)-f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon}{4}\right\}\right].\]

Da equação $(11)$, segue que, para todo $\varepsilon \ \textgreater \ 0$,

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f_n(t)-f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \varepsilon\right\}\right] = 0\]

como queríamos.

$\square$

Desta forma, estamos em condições de definir a integral

\[\int_a^bf(t)dB_t\]

para $f\in\mathcal{L}_{\text{ad}}(\Omega,L^2([a,b]))$. A partir do Lema 10.2.4, podemos escolher uma sequência $\{f_n\}$ de processos estocásticos simples em $L^2([a,b]\times\Omega)$ tal que

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b\left|f_n(t)-f(t)\right|^2dt = 0 \qquad (13)\]

em probabilidade. Para cada $n$, a integral estocástica

\[I(f_n) = \int_a^bf_n(t)dB_t\]

está bem definida. Aplicado o Lema 10.2.3 para $f = f_n-f_m$ com $\varepsion \ \textgreater \ 0$ e $c = \frac{\varepsilon^3}{2}$, temos

\[\mathbb{P}\left[\left\{I(f_n)-I(f_m)\right| \ \textgreater \ \varepsilon\right\}\right] = \mathbb{P}\left[\left\{\left|\int_a^bf_n(t)dB_t - \int_a^bf_m(t)dB_t\right| \ \textgreater \ \varepsilon\right\}\right]\leq\frac{\varepsilon}{2}+\mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f_n(t)-f_m(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon^3}{2}\right\}\right]. \qquad (14)\]

Também é importante observar que

\[\left\{\int_a^b\left|f_n(t)-f_m(t)\right|dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon^3}{2}\right\}\subset\left\{\int_a^b\left|f_n(t)-f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon^3}{8}\right\}\bigcup\left\{\int_a^b\left|f_m(t)-f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon^3}{8}\right\}\]

de onde temos a desigualdade

\[\mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f_n(t)-f_m(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon^3}{2}\right\}\right]\leq \mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f_n(t)-f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon^3}{8}\right\}\right] + \mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f_m(t)-f(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon^3}{8}\right\}\right].\]

De $(13)$, temos que

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f_n(t)-f_m(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon^3}{2}\right\}\right] = 0\]

e então, existe $N \ \textgreater \ 1$, tal que

\[\mathbb{P}\left[\left\{\int_a^b\left|f_n(t)-f_m(t)\right|^2dt \ \textgreater \ \frac{\varepsilon^3}{2}\right\}\right] \ \textless \ \frac{\varepsilon}{2} \ \text{para todo} \ n,m\geq N. \qquad (15)\]

De $(14)$ e $(15)$, segue que

\[\mathbb{P}\left[\left\{\left|I(f_n)-I(f_m)\right| \ \textgreater \ \varepsilon\right\}\right] \ \textless \ \varepsilon \ \text{para todo} \ n, m\geq N\]

o que mostra que a sequência $\{I(f_n)\}$ de variáveis aleatórias converge em probabilidade. Desta forma, definimos

\[I(f) = \int_a^bf(t)dB_t = \lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^bf_n(t)dB_t = \lim_{n\rightarrow\infty}I(f_n) \ \text{em probabilidade}\]

Observação 10.2.3:

É importante observar que o limite é independente da escolha da sequência $\{f_n\}$ de forma que a integral $\int_a^bf(t)dB_t$ está bem definida. Além disso, a integral estocástica $\int_a^bf(t)dB_t$ estende o conceito de integral estocástica de funções $f\in L^2_{\text{ad}}([a,b]\times\Omega)$ para $\mathcal{L}_{\text{ad}}(\Omega,L^2([a,b]))$. Outra importante observação é que, se $f\in L^2_{\text{ad}}([a,b],\Omega)$ então $\int_a^bf(t)dB_t$ pertence a $L^2(\Omega)$. No entanto, se $f\in\mathcal{L}_{\text{ad}}(\Omega,L^2([a,b]))$, então $\int_a^bf(t)dB_t$ é uma variável aleat[oria e, em geral, não possui valor esperado finito.

Teorema 10.2.7:

Suponha que $f$ é um processo estocástico $\{\mathcal{F}_t\}$-adaptado contínuo. Então $f\in\mathcal{L}_{\text{ad}}(\Omega,L^2([a,b]))$ e

\[\int_a^bf(t)dB_t = \lim_{\|\mathcal{P}_n\|\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf(t_{i-1})\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right) \ \text{em probabilidade}.\]

Demonstração: De fato, observamos que, se $\theta\in\mathcal{L}_{\text{ad}}(\Omega,L^2([a,b]))$ é dado por

\[\theta(t,\omega) = \sum_{i=1}^n\xi_{i-1}(\omega)\mathds{1}_{[t_{i-1},t_i)}(t)\]

em que $\xi_{i-1}$ é $\mathcal{F}_{t_{i-1}}$-mensurável. Então, temos que

\[\int_a^b\theta(t)dB_t = \sum_{i=1}^n\xi_{i-1}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right). \qquad (16)\]

Para $f$ dada no teorema, definimos $f_n(t) = \sum_{i=1}^mf(t_{i-1})\mathds{1}_{[t_{i-1},t_i)}(t)$ para uma partição $\mathcal{P}_n$. Então a continuidade de $f$ implica que

\[\int_a^b\left|f_n(t)-f(t)\right|^2dt \rightarrow 0\]

quase certamente e, então, em probabilidade, quando $n\rightarrow\infty$. Utilizando a definição, temos que

\[\int_a^bf(t)dB_t = \lim_{\mathcal{P}_n}\int_a^bf_n(t)dB_t\]

em probabilidade. Podemos utilizar $(16)$ com $\theta = f_n$ e então

\[\int_a^bf_ndB_t = \sum_{i=1}^nf(t_{i-1})\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right)\]

de onde concluímos o teorema.

 

Processo estocástico Associado e Martingale Local.

 

Seja $f\in \mathcal{L}_{ad}(\Omega,L^2[a,b])$. Então $f\in \mathcal{L}_{ad}(\Omega,L^2[a,t])$, para todo $a\leq t\leq b$ temos então o processo estocástico associado dado por
$$X_t=\int_a^tf(s)dB(s), a\leq t\leq b.$$

$X_t$ não tem necessariamente esperança finita e por isso não faz sentido dizer que $X_t$ é um martingale. Para isso, necessitamos generalizar o conceito de martingale. Pois, desta forma seremos capaz de cobrir a situação em que $X_t$ não tem esperança finita. Vamos usar o conceito de tempo de parada.
Note que
$$X_t=\int_a^tf(s)dB(s)=\int_a^b\mathds{1}_{[a,t]}f(s)dB(s), a\leq t\leq b.$$
no qual, $\mathds{1}_{[a,t]}f(s)\in \mathcal{L}_{ad}(\Omega,L^2[a,b])$ para qualquer $a\leq t\leq b$
Para cada $n$, definimos o processo estocástico $f_n$
$$f_n(t,\omega)=\left\{\begin{array}{l}(t,\omega),\quad se\quad \int_{a}^t|f(s,\omega)|^2ds\leq n\\0, \text{ caso contrário }\\\end{array}\right.$$

Seja $\tau_n$ um tempo de parada definido por
$$\tau_n(\omega)=\left\{\begin{array}{l}\inf\left\{\int_{a}^t|f(s,\omega)|^2ds\textgreater n\right\}, \quad se \quad \{t,\dots\}\neq \emptyset\\ b, \quad se \quad \{t,\dots\}= \emptyset\\\end{array}\right.$$

Temos que $\tau_n$ é um tempo de parada para cada $n$. Assim temos que
$$X_{t\wedge \tau_n}=\int_a^{t\wedge \tau_n}(s)f(s)dB(s)=\int_a^b\mathds{1}_{[a,t\wedge \tau_n]}(s)f(s)dB(s), a\leq t\leq b.$$
Observe que pela definição do tempo de parada $\tau_n$ e da função $f_n$ temos que

$$\mathds{1}_{[a,t\wedge \tau_n]}(s)f(s)=\mathds{1}_{[a,t]}(s)f_n(s)$$
para quase todo $\omega$. Portanto,
$$X_{t\wedge \tau_n}=\int_a^{t\wedge \tau_n}(s)f(s)dB(s)=\int_a^tf_n(s)dB(s), a\leq t\leq b.$$
Então, temos que
$$\int_a^b\mathbb{E}(|f_n(t)|^2)dt\leq n$$
O que implica que $f_n\in L^2_{ad}([a,b],\Omega)$. Mais isso implica que $X_{t\wedge \tau_n}$ é um martingale para cada $n$.
Temos que $\tau_n$ é uma sequência monótona e crescente para $b$ quando $n\rightarrow \infty$. Com isso, vamos fazer a seguinte definição

Definição 10.2.3: (Martingale Local)

Seja $X_t$ um processo $\mathcal{F}_t$ adaptado, $a\leq t\leq b$ é chamado de um martingale Local  com respeito a $\mathcal{F}_t$ se existe uma sequência de tempos de parada $\tau_n$, $n\in \mathbb{N}$, tal que $\tau_n$ é monotonamente crescente para b quase certamente quando $n\rightarrow \infty$. E para cada $n$ temos que $X_{t\wedge\tau_n}$ é um martingale com respeito a $\{\mathcal{F}_t;a\leq t\leq b\}$.

 

Claro que todo martingale é um martingale local, para isso basta tomar  $\tau_n=b$ para todo $n$. Entretanto, temos que nem todo martingale local é um martingale como o exemplo pudemos ver para o caso de
$$X_t=\int_a^tf(s)dB(s), a\leq t\leq b.$$
Desta forma, obtemos o seguinte teorema

 

Teorema 10.2.8:

Seja $f\in \mathcal{L}_{ad}(\Omega,L^2[a,b])$. Então, o processo estocástico
$$X_t=\int_a^tf(s)dB(s), a\leq t\leq b.$$
é um martingale local com respeito a filtragem $\mathcal{F}_t$ gerada pelo movimento Browniano.

Exemplo 10.2.8:

Seja $f(t)=e^{B(t)^2}$, sabemos que $f\in \mathcal{L}_{ad}(\Omega,L^2[a,b])$. Portanto, pelo teorema acima temos que
$$X_t=\int_a^tf(s)dB(s), a\leq t\leq b.$$
é um martingale local. Por outro lado considere o processo estocástico
$$Y_t=\int_0^t e^{B(s)^2}dB(s), 0\leq t\textless \frac{1}{4}.$$
é um martingale, pois
$$\mathbb{E}(|e^{B(s)^2}|^2)=\mathbb{E}(e^{2B(s)^2})=\frac{1}{\sqrt{1-4t}}, 0\leq t\textless 1/4$$

 

Lema 10.2.5:

Suponha que $f\in L^2_{ad}([a,b]\times \Omega)$. Seja
$$C=\{\omega;f(t,\omega)=0, \forall t\in [a,b]\}$$
Então temos que
$$\int_a^bf(t)dB(t)=0$$
quase certamente em C.

Demonstração:

Defina
$$\tau(\omega)=\left\{\begin{array}{l}\inf\left\{t,f(s,\omega)\neq 0\right\}, \quad se \quad \{t,\dots\}\neq \emptyset\\ b, \quad se \quad \{t,\dots\}= \emptyset\\ \end{array}\right.$$
Então $\tau$  é um tempo de parada, considere então a variável aleatória
$$Y(\tau)=\int_a^\tau f(s)dB(s)=\int_a^b \mathds{1}_{[a,\tau]}(s)f(s)dB(s).$$
Temos que $\mathds{1}_{[a,\tau]}(s)f(s)\in L^2_{ad}([a,b]\times \Omega)$, o que mostra que a integral estocástica está bem definida. Além disso, para cada $\omega$ temos que
$$\mathds{1}_{[a,\tau(\omega)]}(s)|f(s,\omega)|^2=\mathds{1}_{\{\tau(\omega)\}}(s)|f(\tau(\omega),\omega)|^2$$
Então temos que
$$\int_a^b \mathds{1}_{[a,\tau]}(t)|f(t)|^2dt=0$$
O que implica que
$$\mathbb{E}(|Y(\tau)|^2)=0$$
e $Y(\tau)=0$ quase certamente. Mas se $\omega\in C$ então temos que $\tau(\omega)=b$ e portanto temos que
$$Y(\tau(\omega))=\int_a^b f(s)dB(s)$$
O que mostra que $\int_a^b f(s)dB(s)=0$ para quase todo $\omega\in A$.

Teorema 10.2.9:

Seja $f\in \mathcal{L}_{ad}(\Omega,L^2[a,b])$. Então o processo estocástico
$$X_t=\int_a^t f(s)dB(s),\quad a\leq t\leq b$$
tem realização contínua.

Demonstração:

Para cada $n$, seja $f_n$ um processo estocástico definida por 

$$f_n(t,\omega)=\left\{\begin{array}{l}f(t,\omega),\quad se\quad \int_{a}^t|f(s,\omega)|^2ds\leq n\\ 0, \text{ caso contrário }\\\end{array}\right.$$

e seja 
$$X_t^{(n)}=\int_a^t f_n(s)dB(s), \quad a\leq t \leq b. $$
Então pelo Teorema 10.2.6 é um processo estocástico contínuo. Seja
$$A_n=\{\omega, \int_a^b |f(t,\omega)|^2 dt \leq n\}$$
A sequência $\{A\}_n$ é crescente. Seja $A=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$. Então $\mathbb{P}(A)=1$ desde que $\int_a^b |f(t)|^2dt\textless \infty$ quase certamente. Note que se $\omega\in A_n$, então
$$f_n(t,\omega)=f_m(t,\omega),\quad \forall m\geq n \quad e \quad \forall t\in [a,b]$$
Portanto, pelo Lemma acima temos que $\forall n\in A_n$, 
$$X_t^{(m)}(\omega)=X_t^{(n)}(\omega), \forall m\geq n$$
e qualquer $t\in [a,b]$. Desde que $A=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$, a igualdade acima implica que para todo $\omega\in A$ o seguinte limite existe para todo $t\in [a,b]$:
$$\lim_{m\rightarrow \infty}X_t^{(m)}(\omega)$$
Agora definimos o processo estocástico $Y_t(\omega)$ por 

$$Y_t(\omega)=\left\{\begin{array}{l}\lim_{m\rightarrow \infty} X_t^{(m)}(\omega),\quad se\quad \omega \in A\\0, \text{ se } \omega \notin A.\\ \end{array}\right.$$

Então $Y_t(\omega)$ é um processo estocástico contínuo. Por outro lado, da definição de integral estocástica dada pela equação acima da Observação 10.2.3 . Temos que 
$$X_t=\lim_{m\rightarrow \infty}X_t^{(m)}$$
em probabilidade. Portanto, para cada $t\in [a,b]$, $X_t=Y_t$ quase certamente. Portanto $Y_t$ é uma realização contínua de $X_t$.

Processo Estocástico

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