10.3 - Integral Estocástica para Martingales

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O objetivo principal desta seção é ampliar a definição de integral estocástica. Anteriormente, definimos a integral com respeito ao movimento Browniano e o integrando $ f $ como sendo um processo adaptado e satisfazendo a condição

\[\mathbb{E}\left[\int_a^b\left|f(t)\right|^2dt\right] \ \textless \ \infty \ \text{q.c}.\]

Agora, o objetivo será definir a integral estocástica com respeito a um martingale $ M $ adaptado a filtragem do Movimento Browniano, isto é, uma integral do tipo

\[\int_a^bf(t)dM_t\]

em que $ M_t $ é uma martingale quadrado integrável e adaptado a filtragem do movimento Browniano. Para mostrar isso, vamos necessitar de alguns resultados técnico. Como $ M_t $ é um martingale adaptado a filtragem do Movimento Browniano, do teorema da representação martigale, existe um processo previsível $ H $ tal que 

\[M_t = \int_a^bH(s)dB_s\]

Do teorema 10.2.6 da seção Integral de Itô, caso $ H(s)\in L_{ad}([a,b]\times\Omega) $, $ M_t $ é um martingale contínuo.

Intuitivamente, o "diferencial" $ dM_t $ de $ M_t $ pode ser definido por

\[dM_t = H(t)dB_t\]

e, desta forma, é razoável definir a integral estocástica com respeito a $ M_t $ por

\[\int_a^bf(t)dM_t = \int_a^bf(t)H(t)dB_t. \qquad (2)\]

Vamos mostrar que de fato, isto acontece. Mais do que isso, vamos definir a integral para todo martingale $ M_t $ adaptado a filtragem do Movimento Browniano e quadrado integrável.

Obs: nem todo martingale pode ser escrito como uma integral como mostrado acima. Um exemplo simples é o processo de poisson compensado.

Notação 10.3.1: 

Seja $ \left\{\mathcal{F}_t; \ a\leq t\leq b\right\} $ a filtragem do Movimento Browniano, em que assumimos que todas as $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F}_t $ são completas. Denotamos por $ \mathbb{L} $ a coleção dos processos estocásticos conjuntamente mensuráveis $ X_t $ que satisfaz a seguinte condição:

1. $ X_t $ é adaptado a $ \left\{\mathcal{F}_t\right\} $.

Exemplo 10.3.1:

 Seja $ B_t $ o Movimento Browniano. e tome $ M_t=B^{2}_t-t $. Então $ M_t\in\mathbb{L} $.  

Teorema 10.3.1: (Decomposição de Doob-Meyer) 

Seja $ X_t $ um submartingale com respeito a uma filtragem contínua a direita $ \left\{\mathcal{F}_t; \ a\leq t\leq b\right\} $. Então podemos decompor $ X_t $, de forma única, da forma

\[X_t=M_t+C_t, \quad a\leq t\leq b\]

em que $ M_t $ é um martingale com respeito a $ \left\{\mathcal{F}_t; \ a\leq t\leq b\right\} $ e $ C_t $ é um processo previsível, contínuo à direita e crescente quase certamente com $ \mathbb{E}\left[C_t\right] \ \textless \ \infty $ para todo $ t\in [a,b] $ com $ C_a = 0 $.

A demonstração deste fato para o caso discreto pode ser encontrada aqui. Para o caso contínuo, a demonstração é um pouco mais complicada e será omitida.

Definição 10.3.1:

O processo estocástico previsível $ C_t $ obtido da decomposição de Doob-Meyer é chamado de compensador do submartingale $ X_t $.

É importante observar que, se $ M_t $ é um martingale quadrado integrável, então $ \mathbb{E}\left[M_t^2\right] \ \textless \ \infty $ e, então, podemos aplicar a desigualdade condicional de Jensen para verificar que $ M^2_t $ é um submartingale. Apresentamos, a seguir, um caso especial da Decomposição de Doob-Meyer para o submartingale $ M^2_t $.

Teorema 10.3.2:

Seja $ M_t, \ a\leq t\leq b $ um martingale adaptado a filtragem do movimento browniano e quadrado integrável. Então, existe uma única decomposição da forma

\[M^2_t = L_t + A_t, \ a\leq t\leq b,\]

em que $ L_t $ é um martingale contínuo e $ A_t $ é um processo previsível, contínuo à direita e crescente tal que $ A_a = 0 $ e $ \mathbb{E}\left[A_t\right] \ \textless \ \infty $ para todo $ t\in [a,b] $.

Notação 10.3.2:

A fim de facilitar a notação, utilizaremos $ \langle M\rangle_t $ para denotar o compensador $ A_t $ de $ M^2_t $ na decomposição de Dobb-Meyer do submartingale $ M^2_t $.

Para um martingale $ M_t $, como mostrado no teorema, podemos mostrar que o seguinte limite existe

\[\left[M\right]_t = \lim_{\|\mathcal{P}_n\|\rightarrow0}\sum_{i=1}^n\left(M_{t_i}-M_{t_{i-1}}\right)^2 \ \text{em probabilidade}\]

em que $ \mathcal{P}_n = \left\{t_0,t_1,\ldots,t_{n-1},t_n\right\} $ é uma partição do intervalo $ [a,t] $ e $ \|\mathcal{P}_n\| = \max_{1\leq i\leq n}(t_i-t_{i-1}) $. O limite $ \left[M\right]_t $ é chamado de processo de variação quadrática de $ M_t $. Podemos mostrar que $ M^2_t-\left[M\right]_t $ é um martingale.

Observação 10.3.1:

Em geral, o processo de variação quadrática $ \left[M\right]_t $ de $ M_t $ não é igual ao compensador $ \langle M\rangle_t $ de $ M^2_t $. Entretanto, pela decomposição de Doob-Meyer, $ M^2_t-\langle M\rangle_t $ é um martingale. Portanto, $ \left[M\right]_t-\langle M\rangle_t $ é, também, um martingale. Além disso, $ \langle M\rangle_t $ é o único compensador previsível do processo estocástico $ \left[M\right]_t $.

Exemplo 10.3.3:

Considere um movimento Browniano $ B_t $ e seja $ a = 0 $ e $ b = t $. Considerando o Teorema 10.2.1, temos que a variação quadrática de $ B_t $ é dada por $ \left[B\right]_t = t $. Além disso, temos que $ B^2_t - t $ é um martingale. Portanto, da decomposição de Doob-Meyer, temos que

\[B^2_t = \left(B^2_t-t\right) + t.\]

Portanto, o compensador de $ B^2_t $ é dado por $ \langle B\rangle_t = t $. Note, neste caso, que $ \left[B\right]_t = \langle B\rangle_t $.

Exemplo 10.3.4:

Considere o martingale $ M_t = B^2_t - t $ e seja $ \left\{\mathcal{F}_t\right\} $ a filtragem definida de forma que $ B_t $ seja $ \mathcal{F}_t $-mensurável e $ B_t-B_s $ seja independente de $ \mathcal{F}_s $ para todo $ 0\leq s \ \textless \ t $. Então, para qualquer $ s \ \textless \ t $,

\[\mathbb{E}\left[B^4_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = B^4_s+6(t-s)B^2_s+3(t-s)^2 \quad (3)\]

e

\[\mathbb{E}\left[B^2_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = B^2_s + (t-s). \quad (4)\]

Como $ M_t = B^4_t - 2tB^2_t + t^2 $, obtemos que

\[\mathbb{E}\left[M^2_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = B^4_s + (4t-6s)B^2_s + 2(t-s)^2 + s^2. \quad (5)\]

Reciprocamente, seja $ M^2_t = L_t + A_t $ a decompsição de Doob-Meyer de $ M^2_t $. Então, temos que

\[\mathbb{E}\left[M^2_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = L_s + \mathbb{E}\left[A_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = B^4_s - 2sB^2_s + s^2 + \mathbb{E}\left[A_t-A_s\Big|\mathcal{F}_s\right]. \quad (6)\]

Das equações $ (5) $ e $ (6) $, concluímos que

\[\mathbb{E}\left[A_t-A_s\Big|\mathcal{F}_s\right] = 4(t-s)B^2_s + 2(t-s)^2. \quad (7)\]

Agora, vemos da equação $ (4) $ que

\[\mathbb{E}\left[\int_s^tB^2_udu\Big|\mathcal{F}_s\right] = \int_s^t\mathbb{E}\left[B^2_u\Big|\mathcal{F}_s\right]du = \int_s^t\left(B^2_s+u-s\right)du = (t-s)B^2_s+\frac{1}{2}(t-s)^2. \quad (8)\]

Comparando as equações $ (7) $ e $ (8) $, é fácil verificar que

\[A_t = 4\int_0^tB^2_udu \quad (9)\]

e, portanto, o compensador de $ M^2_t = \left(B^2_t-t\right)^2 $ é dado por

\[\langle M\rangle_t = 4\int_0^tB^2_udu. \quad (10)\]

Isto implica que o processo estocástico 

\[\left(B^2_t - t\right)^2 - 4\int_0^tB^2_udu\]

é um martingale. Também podemos verificar que o processo de variação quadrática de $ M_t $ é dado por $ 4\int_0^tB^2_udu $. Portanto, $ \left[M\right]_t = \langle M\rangle_t $.

 

 

Um martingale como integrando.

Lema 10.3.2: 

Para qualquer $ s\textless t $ temos que

$$E[(M(t)-M(s))^2|\mathcal{F}_s]=E[\langle M\rangle_t- \langle M\rangle_s |\mathcal{F}_s]$$

Dem:

Seja $ M^2(t)=L(t)+A(t) $ a decomposição de Doob-Meyer de $ M^2(t) $. Então

$$E[(M(t)-M(s))^2|\mathcal{F}_s]=E[M^2(t)-2M(t)-M^2(s)|\mathcal{F}_s]=$$

$$E[M^2(t)|\mathcal{F}_s]-M^2(s)=E[L(t)+A(t)|\mathcal{F}_s]-L(s)-A(s)$$

$$E[A(t)-A(s)|\mathcal{F}_s]$$

Como $ A(t)=\langle M\rangle_{t} $.

Agora vamos especificar o integrando pois o caso geral que usamos no inicio desta seção não poderá ser usado, vamos ter que restringir para $ f\in L^2_{pred}([a,b]_{<M>}\times \Omega) $, o qual é o espaço de todas os processos todos os processos $ f(t,\omega), ~~ a\leq t \leq b,~~ \omega \in \Omega $ satisfazendo a condição

$$\displaystyle E\left[\int_{a}^{b}|f(t)|^2 d\langle M\rangle_t\right]\textless \infty$$

É importante notar que como $ \langle M\rangle_t $ é um processo previsível então a integral está bem definida no intervalo fechado, ou seja, é uma integral de Riemann-Stieltjes.

Para isso, vamos definir finalmente a integral desejada, é importante notar que os métodos usados são exatamente os mesmos.

Definição 10.3.5:

Defina

$$\int_{a}^{b}f(t)dM(t)$$

para $ f\in L^2_{pred}([a,b]_{\langle M\rangle}\times \Omega) $. Primeiramente definimos f um processo estocástico do tipo escada.

$$f(t,\omega)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\xi_{i-1}(\omega)1\!\!1_{(t_{i-1},t_i]}$$

Neste caso nossa integral será definida como

$$I(f)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\xi_{i-1}(M(t_i)-M(t_{i-1}))$$

Note que a nossa definição de integral claramente é linear para funções do tipo escada, ou seja, $ I(\alpha f+\beta g)=\alpha I(f)+\beta I(g) $ para qualquer $ \alpha, \beta \in\mathbb{R} $ e $ f,g \in L^2_{pred}([a,b]_{\langle M\rangle}\times \Omega) $ para f e g funções do tipo escada.

Lema 10.3.3:

Seja I(f) definida acima então

$$\displaystyle E[|I(f)|^2]=E\left[\int_{a}^{b}|f(t)|^2d\langle M\rangle_t\right]$$

Dem: 

Note que para $ i\neq j $, dizemos que $ i\textless j $ temos que

$$E[\xi_{i-1}\xi_{j-1}(M(t_i)-M(t_{i-1}))(M(t_j)-M(t_{j-1}))]=$$

$$E[E[\xi_{i-1}\xi_{j-1}(M(t_i)-M(t_{i-1}))(M(t_j)-M(t_{j-1}))|\mathcal{F}_{t_{j-1}}]]=$$

$$E[\xi_{i-1}\xi_{j-1}(M(t_i)-M(t_{i-1}))]E[(M(t_j)-M(t_{j-1}))|\mathcal{F}_{t_{j-1}}]=0$$

Portanto,

$$E[|I(f)|^2]=\displaystyle \sum_{i,j=1}^{n}E[\xi_{i-1}\xi_{j-1}(M(t_i)-M(t_{i-1}))(M(t_j)-M(t_{j-1}))]=$$

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}E[\xi^2_{i-1}(M(t_i)-M(t_{i-1}))^2]=$$

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}E[\xi^2_{i-1}E[(M(t_i)-M(t_{i-1}))^2|\mathcal{F}_{t_{i-1}}]]$$

Então pelo lema 10.3.2 temos que

$$E[|I(f)|^2 ]=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}E[\xi^2_{i-1}E[\langle M\rangle_{t_i}-\langle M\rangle_{t_{i-1}}|\mathcal{F}_{t_{i-1}}]]=$$

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}E[\xi^2_{i-1}(\langle M\rangle_{t_i}-\langle M\rangle_{t_{i-1}})]=$$

$$\displaystyle E\left[\sum_{i=1}^n \xi^2_{i-1}(\langle M\rangle_{t_i}-\langle M\rangle_{t_{i-1}})\right]=$$

$$\displaystyle E\left[\int_{a}^{b}|f(t)|^2d\langle M\rangle_t\right].$$

Com esses lemas em mãos vamos generalizar o nosso conceito de integral para $ f\in L^2_{pred}([a,b]_{\langle M\rangle}\times \Omega) $ agora não só para funções escadas mas para qualquer função presente nesse espaço.

Nesse ponto iremos fazer a seguinte afirmação:

Se $ f\in L^2_{pred}([a,b]_{\rangle M\rangle}\times \Omega) $ então existe uma sequência de funções $ \{f_n\} $ escadas com $ f_n\in L^2_{pred}([a,b]_{\langle M\rangle}\times \Omega) $ para todo n, tal que

$$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}E\left[\int_{a}^{b}|f(t)-f_n(t)|^2d\langle M\rangle_t\right]=0.$$

Então pelo Lema 10.3.2 temos que $ \{I(f_n)\} $ é de Cauchy em $ L^2(\Omega) $. Defina então

$$\displaystyle I(f)=\lim_{n\rightarrow \infty}I(f_n)$$

O qual é independente da sequência $ \{f_n\} $. Note que de fato, está bem definido pelo fato da sequência $ \{I(f_n)\} $ é de Cauchy em $ L^2(\Omega) $. Portanto denotamos por

$$I(f)=\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)dM(t)$$

Teorema 10.3.2:

Seja $ f\in L^2_{pred}([a,b]_{\langle M\rangle}\times \Omega) $. Então o processo estocástico

$$X_t=\displaystyle \int_{a}^{t}f(s)dM(s), a\leq t\leq b$$

é um martingale e a seguinte igualdade é verdadeira

$$\displaystyle E[|X(t)|^2]=E\left[\int_{a}^{t}|f(s)|^2d\langle M\rangle_s\right]$$

Dem:

A prova deste teorema é similar a do lema anterior.

Teorema 10.3.3:

Seja $ f\in L^2_{pred}([a,b]_{\langle M\rangle}\times \Omega) $. Então o processo estocástico

$$X_t=\displaystyle \int_{a}^{t}f(s)dM(s), a\leq t \leq b,$$

é contínuo a direita com limite a esquerda quase certamente, além disso, o compensador de $ X_t^2 $ é dado por

$$\langle X\rangle_t=\displaystyle \int_{a}^{t}|f(s)|^2d\langle M\rangle_s .$$

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