10.3 - Integral Estocástica para Martingales

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O objetivo principal desta seção é ampliar a definição de integral estocástica. Anteriormente, definimos a integral com respeito ao movimento Browniano e o integrando $f$ como sendo um processo adaptado e satisfazendo a condição

\[\mathbb{E}\left[\int_a^b\left|f(t)\right|^2dt\right] \ \textless \ \infty \ \text{q.c}.\]

Agora, o objetivo será definir a integral estocástica com respeito a um martingale $M$ adaptado a filtragem do Movimento Browniano, isto é, uma integral do tipo

\[\int_a^bf(t)dM_t\]

em que $M_t$ é uma martingale quadrado integrável e adaptado a filtragem do movimento Browniano. Para mostrar isso, vamos necessitar de alguns resultados técnico. Como $M_t$ é um martingale adaptado a filtragem do Movimento Browniano, do teorema da representação martigale, existe um processo previsível $H$ tal que 

\[M_t = \int_a^bH(s)dB_s\]

Do teorema 10.2.6 da seção Integral de Itô, caso $H(s)\in L_{ad}([a,b]\times\Omega)$, $M_t$ é um martingale contínuo.

Intuitivamente, o "diferencial" $dM_t$ de $M_t$ pode ser definido por

\[dM_t = H(t)dB_t\]

e, desta forma, é razoável definir a integral estocástica com respeito a $M_t$ por

\[\int_a^bf(t)dM_t = \int_a^bf(t)H(t)dB_t. \qquad (2)\]

Vamos mostrar que de fato, isto acontece. Mais do que isso, vamos definir a integral para todo martingale $M_t$ adaptado a filtragem do Movimento Browniano e quadrado integrável.

Obs: nem todo martingale pode ser escrito como uma integral como mostrado acima. Um exemplo simples é o processo de poisson compensado.

Notação 10.3.1: 

Seja $\left\{\mathcal{F}_t; \ a\leq t\leq b\right\}$ a filtragem do Movimento Browniano, em que assumimos que todas as $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}_t$ são completas. Denotamos por $\mathbb{L}$ a coleção dos processos estocásticos conjuntamente mensuráveis $X_t$ que satisfaz a seguinte condição:

1. $X_t$ é adaptado a $\left\{\mathcal{F}_t\right\}$.

Exemplo 10.3.1:

 Seja $B_t$ o Movimento Browniano. e tome $M_t=B^{2}_t-t$. Então $M_t\in\mathbb{L}$.  

Teorema 10.3.1: (Decomposição de Doob-Meyer) 

Seja $X_t$ um submartingale com respeito a uma filtragem contínua a direita $\left\{\mathcal{F}_t; \ a\leq t\leq b\right\}$. Então podemos decompor $X_t$, de forma única, da forma

\[X_t=M_t+C_t, \quad a\leq t\leq b\]

em que $M_t$ é um martingale com respeito a $\left\{\mathcal{F}_t; \ a\leq t\leq b\right\}$ e $C_t$ é um processo previsível, contínuo à direita e crescente quase certamente com $\mathbb{E}\left[C_t\right] \ \textless \ \infty$ para todo $t\in [a,b]$ com $C_a = 0$.

A demonstração deste fato para o caso discreto pode ser encontrada aqui. Para o caso contínuo, a demonstração é um pouco mais complicada e será omitida.

Definição 10.3.1:

O processo estocástico previsível $C_t$ obtido da decomposição de Doob-Meyer é chamado de compensador do submartingale $X_t$.

É importante observar que, se $M_t$ é um martingale quadrado integrável, então $\mathbb{E}\left[M_t^2\right] \ \textless \ \infty$ e, então, podemos aplicar a desigualdade condicional de Jensen para verificar que $M^2_t$ é um submartingale. Apresentamos, a seguir, um caso especial da Decomposição de Doob-Meyer para o submartingale $M^2_t$.

Teorema 10.3.2:

Seja $M_t, \ a\leq t\leq b$ um martingale adaptado a filtragem do movimento browniano e quadrado integrável. Então, existe uma única decomposição da forma

\[M^2_t = L_t + A_t, \ a\leq t\leq b,\]

em que $L_t$ é um martingale contínuo e $A_t$ é um processo previsível, contínuo à direita e crescente tal que $A_a = 0$ e $\mathbb{E}\left[A_t\right] \ \textless \ \infty$ para todo $t\in [a,b]$.

Notação 10.3.2:

A fim de facilitar a notação, utilizaremos $\langle M\rangle_t$ para denotar o compensador $A_t$ de $M^2_t$ na decomposição de Dobb-Meyer do submartingale $M^2_t$.

Para um martingale $M_t$, como mostrado no teorema, podemos mostrar que o seguinte limite existe

\[\left[M\right]_t = \lim_{\|\mathcal{P}_n\|\rightarrow0}\sum_{i=1}^n\left(M_{t_i}-M_{t_{i-1}}\right)^2 \ \text{em probabilidade}\]

em que $\mathcal{P}_n = \left\{t_0,t_1,\ldots,t_{n-1},t_n\right\}$ é uma partição do intervalo $[a,t]$ e $\|\mathcal{P}_n\| = \max_{1\leq i\leq n}(t_i-t_{i-1})$. O limite $\left[M\right]_t$ é chamado de processo de variação quadrática de $M_t$. Podemos mostrar que $M^2_t-\left[M\right]_t$ é um martingale.

Observação 10.3.1:

Em geral, o processo de variação quadrática $\left[M\right]_t$ de $M_t$ não é igual ao compensador $\langle M\rangle_t$ de $M^2_t$. Entretanto, pela decomposição de Doob-Meyer, $M^2_t-\langle M\rangle_t$ é um martingale. Portanto, $\left[M\right]_t-\langle M\rangle_t$ é, também, um martingale. Além disso, $\langle M\rangle_t$ é o único compensador previsível do processo estocástico $\left[M\right]_t$.

Exemplo 10.3.3:

Considere um movimento Browniano $B_t$ e seja $a = 0$ e $b = t$. Considerando o Teorema 10.2.1, temos que a variação quadrática de $B_t$ é dada por $\left[B\right]_t = t$. Além disso, temos que $B^2_t - t$ é um martingale. Portanto, da decomposição de Doob-Meyer, temos que

\[B^2_t = \left(B^2_t-t\right) + t.\]

Portanto, o compensador de $B^2_t$ é dado por $\langle B\rangle_t = t$. Note, neste caso, que $\left[B\right]_t = \langle B\rangle_t$.

Exemplo 10.3.4:

Considere o martingale $M_t = B^2_t - t$ e seja $\left\{\mathcal{F}_t\right\}$ a filtragem definida de forma que $B_t$ seja $\mathcal{F}_t$-mensurável e $B_t-B_s$ seja independente de $\mathcal{F}_s$ para todo $0\leq s \ \textless \ t$. Então, para qualquer $s \ \textless \ t$,

\[\mathbb{E}\left[B^4_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = B^4_s+6(t-s)B^2_s+3(t-s)^2 \quad (3)\]

e

\[\mathbb{E}\left[B^2_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = B^2_s + (t-s). \quad (4)\]

Como $M_t = B^4_t - 2tB^2_t + t^2$, obtemos que

\[\mathbb{E}\left[M^2_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = B^4_s + (4t-6s)B^2_s + 2(t-s)^2 + s^2. \quad (5)\]

Reciprocamente, seja $M^2_t = L_t + A_t$ a decompsição de Doob-Meyer de $M^2_t$. Então, temos que

\[\mathbb{E}\left[M^2_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = L_s + \mathbb{E}\left[A_t\Big|\mathcal{F}_s\right] = B^4_s - 2sB^2_s + s^2 + \mathbb{E}\left[A_t-A_s\Big|\mathcal{F}_s\right]. \quad (6)\]

Das equações $(5)$ e $(6)$, concluímos que

\[\mathbb{E}\left[A_t-A_s\Big|\mathcal{F}_s\right] = 4(t-s)B^2_s + 2(t-s)^2. \quad (7)\]

Agora, vemos da equação $(4)$ que

\[\mathbb{E}\left[\int_s^tB^2_udu\Big|\mathcal{F}_s\right] = \int_s^t\mathbb{E}\left[B^2_u\Big|\mathcal{F}_s\right]du = \int_s^t\left(B^2_s+u-s\right)du = (t-s)B^2_s+\frac{1}{2}(t-s)^2. \quad (8)\]

Comparando as equações $(7)$ e $(8)$, é fácil verificar que

\[A_t = 4\int_0^tB^2_udu \quad (9)\]

e, portanto, o compensador de $M^2_t = \left(B^2_t-t\right)^2$ é dado por

\[\langle M\rangle_t = 4\int_0^tB^2_udu. \quad (10)\]

Isto implica que o processo estocástico 

\[\left(B^2_t - t\right)^2 - 4\int_0^tB^2_udu\]

é um martingale. Também podemos verificar que o processo de variação quadrática de $M_t$ é dado por $4\int_0^tB^2_udu$. Portanto, $\left[M\right]_t = \langle M\rangle_t$.

 

 

Um martingale como integrando.

Lema 10.3.2: 

Para qualquer $s\textless t$ temos que

$$E[(M(t)-M(s))^2|\mathcal{F}_s]=E[\langle M\rangle_t- \langle M\rangle_s |\mathcal{F}_s]$$

Dem:

Seja $M^2(t)=L(t)+A(t)$ a decomposição de Doob-Meyer de $M^2(t)$. Então

$$E[(M(t)-M(s))^2|\mathcal{F}_s]=E[M^2(t)-2M(t)-M^2(s)|\mathcal{F}_s]=$$

$$E[M^2(t)|\mathcal{F}_s]-M^2(s)=E[L(t)+A(t)|\mathcal{F}_s]-L(s)-A(s)$$

$$E[A(t)-A(s)|\mathcal{F}_s]$$

Como $A(t)=\langle M\rangle_{t}$.

Agora vamos especificar o integrando pois o caso geral que usamos no inicio desta seção não poderá ser usado, vamos ter que restringir para $f\in L^2_{pred}([a,b]_{<M>}\times \Omega)$, o qual é o espaço de todas os processos todos os processos $f(t,\omega), ~~ a\leq t \leq b,~~ \omega \in \Omega$ satisfazendo a condição

$$\displaystyle E\left[\int_{a}^{b}|f(t)|^2 d\langle M\rangle_t\right]\textless \infty$$

É importante notar que como $\langle M\rangle_t$ é um processo previsível então a integral está bem definida no intervalo fechado, ou seja, é uma integral de Riemann-Stieltjes.

Para isso, vamos definir finalmente a integral desejada, é importante notar que os métodos usados são exatamente os mesmos.

Definição 10.3.5:

Defina

$$\int_{a}^{b}f(t)dM(t)$$

para $f\in L^2_{pred}([a,b]_{\langle M\rangle}\times \Omega)$. Primeiramente definimos f um processo estocástico do tipo escada.

$$f(t,\omega)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\xi_{i-1}(\omega)1\!\!1_{(t_{i-1},t_i]}$$

Neste caso nossa integral será definida como

$$I(f)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\xi_{i-1}(M(t_i)-M(t_{i-1}))$$

Note que a nossa definição de integral claramente é linear para funções do tipo escada, ou seja, $I(\alpha f+\beta g)=\alpha I(f)+\beta I(g)$ para qualquer $\alpha, \beta \in\mathbb{R}$ e $f,g \in L^2_{pred}([a,b]_{\langle M\rangle}\times \Omega)$ para f e g funções do tipo escada.

Lema 10.3.3:

Seja I(f) definida acima então

$$\displaystyle E[|I(f)|^2]=E\left[\int_{a}^{b}|f(t)|^2d\langle M\rangle_t\right]$$

Dem: 

Note que para $i\neq j$, dizemos que $i\textless j$ temos que

$$E[\xi_{i-1}\xi_{j-1}(M(t_i)-M(t_{i-1}))(M(t_j)-M(t_{j-1}))]=$$

$$E[E[\xi_{i-1}\xi_{j-1}(M(t_i)-M(t_{i-1}))(M(t_j)-M(t_{j-1}))|\mathcal{F}_{t_{j-1}}]]=$$

$$E[\xi_{i-1}\xi_{j-1}(M(t_i)-M(t_{i-1}))]E[(M(t_j)-M(t_{j-1}))|\mathcal{F}_{t_{j-1}}]=0$$

Portanto,

$$E[|I(f)|^2]=\displaystyle \sum_{i,j=1}^{n}E[\xi_{i-1}\xi_{j-1}(M(t_i)-M(t_{i-1}))(M(t_j)-M(t_{j-1}))]=$$

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}E[\xi^2_{i-1}(M(t_i)-M(t_{i-1}))^2]=$$

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}E[\xi^2_{i-1}E[(M(t_i)-M(t_{i-1}))^2|\mathcal{F}_{t_{i-1}}]]$$

Então pelo lema 10.3.2 temos que

$$E[|I(f)|^2 ]=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}E[\xi^2_{i-1}E[\langle M\rangle_{t_i}-\langle M\rangle_{t_{i-1}}|\mathcal{F}_{t_{i-1}}]]=$$

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}E[\xi^2_{i-1}(\langle M\rangle_{t_i}-\langle M\rangle_{t_{i-1}})]=$$

$$\displaystyle E\left[\sum_{i=1}^n \xi^2_{i-1}(\langle M\rangle_{t_i}-\langle M\rangle_{t_{i-1}})\right]=$$

$$\displaystyle E\left[\int_{a}^{b}|f(t)|^2d\langle M\rangle_t\right].$$

Com esses lemas em mãos vamos generalizar o nosso conceito de integral para $f\in L^2_{pred}([a,b]_{\langle M\rangle}\times \Omega)$ agora não só para funções escadas mas para qualquer função presente nesse espaço.

Nesse ponto iremos fazer a seguinte afirmação:

Se $f\in L^2_{pred}([a,b]_{\rangle M\rangle}\times \Omega)$ então existe uma sequência de funções $\{f_n\}$ escadas com $f_n\in L^2_{pred}([a,b]_{\langle M\rangle}\times \Omega)$ para todo n, tal que

$$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}E\left[\int_{a}^{b}|f(t)-f_n(t)|^2d\langle M\rangle_t\right]=0.$$

Então pelo Lema 10.3.2 temos que $\{I(f_n)\}$ é de Cauchy em $L^2(\Omega)$. Defina então

$$\displaystyle I(f)=\lim_{n\rightarrow \infty}I(f_n)$$

O qual é independente da sequência $\{f_n\}$. Note que de fato, está bem definido pelo fato da sequência $\{I(f_n)\}$ é de Cauchy em $L^2(\Omega)$. Portanto denotamos por

$$I(f)=\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)dM(t)$$

Teorema 10.3.2:

Seja $f\in L^2_{pred}([a,b]_{\langle M\rangle}\times \Omega)$. Então o processo estocástico

$$X_t=\displaystyle \int_{a}^{t}f(s)dM(s), a\leq t\leq b$$

é um martingale e a seguinte igualdade é verdadeira

$$\displaystyle E[|X(t)|^2]=E\left[\int_{a}^{t}|f(s)|^2d\langle M\rangle_s\right]$$

Dem:

A prova deste teorema é similar a do lema anterior.

Teorema 10.3.3:

Seja $f\in L^2_{pred}([a,b]_{\langle M\rangle}\times \Omega)$. Então o processo estocástico

$$X_t=\displaystyle \int_{a}^{t}f(s)dM(s), a\leq t \leq b,$$

é contínuo a direita com limite a esquerda quase certamente, além disso, o compensador de $X_t^2$ é dado por

$$\langle X\rangle_t=\displaystyle \int_{a}^{t}|f(s)|^2d\langle M\rangle_s .$$

Processo Estocástico

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