10.5 - Equações Diferenciais Estocásticas

Nesta seção, vamos estudar a existência e unicidade da solução de uma equação diferencial estocástica. A seguir, mostramos que diferente da equação diferencial ordinária, a equação diferencial estocástica é apenas uma representação simbólica.

No cálculo de Newton, fornecer a equação diferencial ordinária

$$df(t)=\alpha(t)dt\ \ \ \text{com}\ \ \ f(0) = \beta$$

é equivalente a  fornecer a equação integral 

$$f(t)=\beta + \int_0^t\alpha(u)du.$$

A representação diferencial é válida se a função $f(t)$ for diferenciável.

Já no cálculo de Itô, uma equação diferencial estocástica da forma

$$dX(t)=\sigma(t,X)dB(t)+f(t,X)dt$$

é uma representação simbólica da equação

$$X(t)=X(a)+\int_a^t\sigma(s,X(s))dB(s)+\int_a^tf(s,X(s))ds. \ \ \ \text{e}\ \ \ X(0)=x_0.$$

A representação diferencial é simbólica pelo fato de que o movimento browniano não é diferenciável, e portanto a equação  

$$\frac{dX(t)}{dt}=\sigma(t,X)\frac{dB(t)}{dt}+f(t,X)$$

não faz sentido. A razão de utilizarmos a representação diferencial está na facilidade da escrita. 

As equações diferencias estocástica(SDE, sigla em ingles), antes da Teoria de Itô de integração estocástica para o movimento Browniano, o método de estudo SDE era baseado em estudar seus semigrupos de transição. Isto equivalia a estudar os geradores infinitesimais de seus semigrupos, que são operadores diferenciais parciais. Assim, os estudos do Feller por exemplo foram na verdade estudos de equações diferenciais parciais, inspiradas em difusões, a qual pode ser pensada como um processo forte de Markov em $\mathbb{R}^n$ com caminhos contínuos. Assim, na época as principais ferramentas para estudar as difusões foi as equações diferenciais de Kolmogorov e as extensões de Feller. Mas essa abordagem não permitia um estudo mas detalhado de suas propriedades.

Foi então, que Itô estudou casos em que a difusão poderia ser vista como solução de equações diferencias da forma representada acima.

Nessa seção vamos buscar resolver equações estocástica e buscar descrever a estabilidade das soluções e relacionar a solução com processos de difusão.
 

Exemplo 10.5.1:(Movimento Browniano Geométrico)

$$dS(t)= \mu S(t)dt+\sigma S(t)dB(t).$$

A única solução para a equação diferencial estocástica é

$$S(t)=S(0)\exp\left\{\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma B(t)\right\}.$$

Prova:

Para provarmos este resultado, vamos utilizar um resultado fundamental do cálculo estocástico, conhecido como Fórmula de Itô.  

Tome a função $f$ como

$$f(t,x) = S_0\exp\left\{\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma x\right\}$$

então,

$$\frac{df(t,x)}{dt} = \left(\mu - \frac{\sigma^2 }{2}\right) f(t, x),\ \ \frac{df(t,x)}{dx} = \sigma f(t, x)\ e \ \frac{d^2f}{dx^2 } = \sigma^2 f(t, x)$$

Aplicando a fórmula de Itô, temos que 

$$f(t, W_t) = f(0,W_0 ) + \int_0^t \left[\left(\mu - \frac{\sigma^2 }{2}\right) f(s,W_s ) + \frac{\sigma^2}{2}f(s, W_s)\right] ds+ \int_0^t \sigma f(s, W_s) dW_s$$

simplificando a equação temos que 

$$f(T, W_T ) = f(0,W_0 ) + \int_0^T \mu f(t,W_t ) dt + \int_0^T \sigma f(t, W_t) dW_t$$

e substituindo $S_t$ por $f(t,W_t)$ temos 

$$\bar{S}_T = S_0 + \int_0^T \mu \bar{S}_t dt + \int_0^T \sigma \bar{S}_t dW_t$$

ou na forma de diferencial 

$$d\bar{S}_t = \mu \bar{S}_t dt + \sigma \bar{S}_t dW_t$$

$\square$

No Modelo de Black e Scholes, o movimento browniano geométrico é utilizada para modelar o comportamento de um ativo de risco.

Exemplo 10.5.2:(Equação de Langevin)

$$dX(t)=-\alpha X(t)dt+\beta dB(t),$$ com $\alpha$ e $\beta$ constantes positivas.

A única solução da equação acima é

$$X(t)=e^{-\beta t}x_0+\alpha\int_0^te^{-\beta(t-u)}dB(u).$$

Prova:

Considere a função $g(t,x)=e^{\alpha t}x$.

$$\frac{dg(t,x)}{dx}=e^{\alpha t}\ \ \ \frac{d^2g(t,x)}{dx^2}=0\ \ \ \ \frac{dg(t,x)}{dt}=\alpha;e^{\alpha t}x$$

Aplicando a Fórmula de Itô, temos

$$X(t)e^{\alpha t}=X(0)+\int_0^t\beta e^{\alpha u}dB(u)+\int_0^t\alpha e^{\alpha u}X(u)du-\alpha e^{\alpha u}X(u)du$$

então,

$$X(t)=e^{-\alpha t}X(0)+\int_0^t\beta e^{-\alpha(t-u)}dB(u)$$

$\square$

Este processo é conhecido como processo de Ornstein-Uhlenbeck.

Para provarmos a existência e unicidade da solução de equações diferenciais estocásticas, primeiro vamos enunciar e provar dois lemas fundamentais. Os dois lemas consistem em desigualdades. A primeira desigualdade cobre a seguinte situação. Suponha que uma função $\phi\in L^1[a,b]$ satisfaça a desigualdade

$$\phi(t)\leq f(t)+\beta\int_a^t\phi(s)ds, \ \ \ \forall t\in[a,b]$$

com $f\in L^1[a,b]$ e $\beta$ constante positiva.

Levantamos a seguinte questão. Dado a desigualdade anterior, como podemos limitar a função $\phi(t)$ em termos de $f(t)$ e $\beta$?

Defina 

$$g(t)=\int_a^t\phi(s)ds$$

Do teorema fundamental do cálculo

$$\frac{d}{dt}g(t)=\phi(t)\leq f(t)+\beta g(t)$$

Assim,

$$\frac{d}{dt}g(t)-\beta g(t)\leq f(t)$$

então,

$$\frac{d}{dt}\left(e^{-\beta t}g(t)\right)=e^{-\beta t}\left(\frac{d}{dt}g(t)-\beta g(t)\right)\leq e^{-\beta t}f(t)$$

Integrando no intervalo $[a,t]$, temos que

$$e^{-\beta t}g(t)\leq\int_a^te^{-\beta s}f(s)ds$$

e portanto 

$$g(t)\leq \int_a^t f(s)e^{\beta (t-s)}ds.$$

Assim, vale a desigualdade a seguir:

$$\phi(t)\leq f(t)+\beta g(t)\leq f(t)+\beta\int_a^tf(s)e^{\beta(t-s)}ds.$$

Lema 10.5.1:(Desigualdade de Bellman-Gronwall)

Suponha que $\phi\in L^1[a,t]$ e que satisfaça 

$$\phi(t)\leq f(t)+\beta\int_a^t\phi(s)ds, \ \ \ \forall t\in[a,b].$$

Então, 

$$\phi(t)\leq f(t)+\beta\int_a^tf(s)e^{\beta(t-s)}ds.$$ 

Em particular, quando $f(t)$ é uma constante $\alpha$, temos que 

$$\phi(t)\leq \alpha e^{\beta(t-a)}.$$

Para a segunda desigualdade, considere uma sequência de funções $\{\theta_n\}_{n=1}^{\infty}$ em $L^1[a,b]$, satisfazendo

$$\theta_{n+1}(t)\leq f(t)+\beta\int_a^t\theta_n(s)ds, \ \ \ \forall t\in [a,b]$$

com $f\in L^1[a,b]$ e $\beta$ constante positiva.

Será possível, limitar $\theta_{n+1}$ em termos de $f(t), \beta, n$ e $\theta_1$?

Para $n=1$, temos que

$$\theta_2(t)\leq f(t)+\beta\int_a^t\theta_1(s)ds.$$

Para $n=2$, temos que 

$$\theta_3(t)\leq f(t)+\beta\int_a^t\theta_2(s)ds $$

$$\leq f(t)+\beta\int_a^tf(s)ds+\beta^2\int_a^t\int_a^s\theta_1(u)du ds$$

$$\leq f(t)+\beta\int_a^tf(s)ds+\beta^2\int_a^t(t-u)\theta_1(u)du$$

Por indução, temos que 

$$\theta_{n+1}(t)\leq +\beta\int_a^tf(s)ds+\beta^2\int_a^t(t-s)f(s)ds+\dots+\beta^{n-1}\int_a^t\frac{(t-s)}{(n-2)!}^{n-2}f(s)ds+\beta^n\int_a^t\frac{(t-s)}{(n-1)!}^{n-1}\theta_1(s)ds.$$

Como

$$\sum_{k=0}^{n-2}\beta^k\frac{(t-u)}{k!}^k\leq e^{\beta(t-u)},$$

podemos simplificar $\theta_{n+1}(t)$ por

$$\theta_{n+1}(t)\leq f(t)+\beta\int_a^tf(s)e^{\beta(t-s)}ds+\beta^n\int_a^t\frac{(t-s)}{(n-1)!}^{n-1}\theta_1(s)ds$$

Lema 10.5.2:

Seja $\{\theta_n\}_{n=1}^{\infty}$ sequência de funções em $L^1[a,b]$ satisfazendo

$$\theta_{n+1}(t)\leq f(t)+\beta\int_a^t\theta_n(s)ds, \ \ \ \forall t\in [a,b]$$

Então, 

$$\theta_{n+1}(t)\leq f(t)+\beta\int_a^tf(s)e^{\beta(t-s)}ds+\beta^n\int_a^t\frac{(t-s)}{(n-1)!}^{n-1}\theta_1(s)ds$$

Em particular, quando $f(t)=\alpha$ e $\theta_1(t)=c$, vale a seguinte desigualdade para todo $n\geq 1$

$$\theta_{n+1}(t)\leq \alpha e^{\beta(t-a)}+\frac{c\beta^n(t-a^n)}{n!}.$$

Vamos considerar equações diferenciais estocásticas do tipo 

$$dX(t)=\sigma(t,X(t))dB(t)+f(t,X(t))dt,\ \ \ X(a)=\xi.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Antes de provarmos o teorema de existência e unicidade da solução de uma equação diferencial estocástica (EDE), primeiro precisamos entender o que significa um processo estocástico $X(t)$ ser solução de uma EDE.