10.5.1 - Teorema da existência e unicidade

Seja $\sigma(t,x)$ e $f(t,x)$ funções mensurável de $t\in [a,b]$ e $x\in \mathbb{R}$. Considere uma equação diferencial estocástica

$$dX_t=\sigma(t,X_t)dB(t)+f(t,X_t)dt, \quad \quad X_a=\xi,$$
o qual deve ser interpretada na verdade como

$$X_t=\xi+\int_a^t\sigma(s,X_s)dB(s)+\int_a^tf(s,X_s)ds, \quad \quad a\leq t\leq b$$

Primeiramente, precisamos definir o que significa o processo estocástico $X_t$ acima ser solução da equação
$$X_t=\xi+\int_a^t\sigma(s,X_s)dB(s)+\int_a^tf(s,X_s)ds, \quad \quad a\leq t\leq b$$

Definição 10.5.1.1: Um processo estocástico conjuntamente mensurável $X_t, \quad a\leq t\leq b$, é chamado da solução de equação acima, se satisfaz as seguintes condições:
1)  O processo estocástico $\sigma(t,X_t)$ pertence $\mathcal{L}_{ad}(\Omega, L^2[a,b])$, então
  $$\int_a^t\sigma(s,X_s)dB(s)$$
  é uma integral de Itô para cada $t\in [a,b]$;
2)  Quase todos os caminhos do processo estocástico $f(t,X_t)$ pertence a $L^1[a,b]$;
3) Para cada $t\in [a,b]$, a equação acima, segue quase certamente.
 

Como vimos em exemplos na seção 10.5.1 precisamos impor condições sobre as funções $\sigma(t,x)$ e $f(t,x)$ para garantir as existência de uma única solução não explosiva da integral estocástica.
Então definimos as seguintes condições

Definição 10.5.1.2: Um função mensurável $g(t,x)$ em  $[a,b]\times \mathbb{R}$ é dito satisfazer a condições de Lipschitz em $x$ se existe uma constante $K\textgreater 0$ tal que
$$|g(t,x)-g(t,y)|\leq K|x-y|, \quad \quad \forall a\leq t\leq b, \quad x, y \in \mathbb{R}$$

 

Definição 10.5.1.3:  Uma função mensurável $g(t,x)$ em $[a,b]\times \mathbb{R}$ é dita satisfazer um condição de crescimento linear $x$ se existe uma constante $K\textgreater 0$ tal que
$$|g(t,x)|\leq K(1+|x|), \quad \quad \forall a\leq t\leq b, \quad x\in \mathbb{R}.$$
 

Observe as seguintes desigualdades para todo $x\geq 0$:
$$1+x^2\leq (1+x)^2\leq 2(1+x^2).$$
Portando a condição de crescimento linear é equivalente a existência de uma constante $C>0$, tal que
$$|g(t,x)|^2\leq C(1+x^2), \quad \quad \forall a\leq t\leq b, \quad \quad x \in \mathbb{R}.$$

Lema 10.5.1.1: Seja $\sigma(t,x)$ e $f(t,x)$ uma função mensurável em $[a,b]\times \mathbb{R}$ satisfazendo a condição de Lipschitz em $x$. Suponha que $\xi$ é uma variável aleatória $\mathcal{F}_a$-mensurável com $\mathbb{E}(\xi^2)\textless \infty$. Então a integral estocástica, tem no máximo um solução contínua em $X_t$.
Demonstração: Seja $X_t$ e $Y_t$ duas soluções contínuas da integral estocástica. Seja $Z_t=X_t-Y_t$. Então $Z_t$ é um processo estocástico contínuo e
$$Z_t=\int_a^t (\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s))dB(s)+\int_a^t(f(s,X_s)-f(s,Y_s))ds$$
Usando a desigualdade $(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)$ junto com
$$Z_t^2\leq 2\left[\left(\int_a^t (\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s))dB(s)\right)^2 + \left(\int_a^t (f(s,X_s)-f(s,Y_s))ds\right)^2\right]$$
Pelo condição de Lipschitz na em $\sigma(t,x)$ temos
$$\mathbb{E}\left(\int_a^t (\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s))dB(s)\right)^2=\int_a^t \mathbb{E}\left[(\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s))^2\right]ds\leq K^2 \int_a^t \mathbb{E}(Z_s^2)ds.$$
Por outro lado, pela condição de Lipschitz a função $f(t,x)$,
$$\left(\int_a^t (f(s,X_s)-f(s,Y_s))ds\right)^2\leq (t-a)\int_a^t(f(s,X_s)-f(s,X_s))^2ds\leq (b-a)K^2\int_a^tZ^2_sds$$
Por essas duas desigualdades temos que

$$\mathbb{E}(Z_t^2)\leq K^2 \int_a^t \mathbb{E}(Z_s^2)ds+ (b-a)K^2\int_a^t \mathbb{E}(Z^2_s)ds=2K^2(1+b-a)\int_a^t \mathbb{E}(Z^2_s)ds$$
Pela desigualdade de Bellman-Gronwall, temos que $\mathbb{E}(Z_t^2)=0$, para todo $t\in[a,b]$. Portanto, $Z_t=0$ quase certamente para cada $t\in[a,b]$. Seja $\{r_1,r_2,\dots\}$ um conjunto enumerável de racionais no intervalo $[a,b]$. Então para cada $r_n$, existe um conjunto $\Omega_n$ tal que $\mathbb{P}(\Omega_n)=1$ e $Z_{r_n}(\omega)=0$ para cada $\omega \in \Omega_n$. Seja
$$\Omega^\prime =\bigcap_{n=1}^\infty \Omega_n$$
Então $\mathbb{P}(\Omega^\prime)=1$ e para cada $\omega \in \Omega^\prime$ temos que $Z_{r_n}(\omega)=0$ para todo $n$. Desde que $Z_t$ é um processo estocástico contínuo temos que existe um $\Omega^\star$ tal que $\mathbb{P}(\Omega^\star)=1$ e para cada $\omega \in \Omega^\star$, a função $Z_t(\omega)$ é uma função contínua em t.

Finalmente, seja $\Omega_0=\Omega^\prime \cap \Omega^\star$. Então $\mathbb{P}(\Omega_0)=1$ e para cada $\omega \in \Omega_0$, a função $Z_t(\omega)$ é uma função contínua que é nula em todos os números racionais que pertence a $[a,b]$. Se segue para $\omega \in \Omega_0$ $Z_t(\omega)$ é nula para todo $t$ já que $Z$ é contínua. Isto implica que $X_t$ e $Y_t$ são os mesmos processos contínuos quase certamente.
 

Teorema 10.5.1.1:Seja $\sigma(t,x)$ e $f(t,x)$ um função mensurável em $[a,b]\times \mathbb{R}$ satisfazendo a condição de Lipschitz e de crescimento linear em $x$. Suponha que $\xi$ é uma variável aleatória $\mathcal{F}_a$-mensurável com $\mathbb{E}(\xi^2)\textless \infty$. Então, a integral estocástica descrita na equação acima tem uma única solução em $X_t$.
Demonstração: A unicidade da solução contínua vem do Lema 10.5.1.1. Resta-nos mostrar a existência de uma solução.

Pela afirmação, existe uma constante $C\textgreater 0$ tal que a seguinte desigualdade segue, para todo $t\in [a,b]$ e $x,y\in \mathbb{R}$:
$$|\sigma(t,x)-\sigma(t,y)|\leq C|x-y|,$$
$$|f(t,x)-f(t,y)|\leq C|x-y|,$$
$$|\sigma(t,x)|^2\leq C(1+x^2),$$
$$|f(t,x)|^2\leq C(1+x^2).$$
Defina uma sequência $\{X_t^{(n)}\}_{n=1}^\infty$  de um processos estocástico contínuos indutivamente, definindo $X_t^{(1)}=\xi$ e para $n\geq 1$,
$$X_t^{(n+1)}=\xi+\in_a^t \sigma(s,X_s^{(n)})dB(s)+\int_a^t f(s,X_s^{(n)})ds.$$
Obviamente, $X_1^{(1)}$ pertence a $L_{ad}^2([a,b]\times \Omega)$. Assumimos que por indução que o processo estocástico $X^(n)_t$ pertence a $L^2_{ad}([a,b]\times \Omega)$. Então pelo condição crescimento linear, temos que
$$\mathbb{E}\left(\int_a^b\sigma(t,X_t^{(n)})^2dt\right)\leq C(b-a)+C\mathbb{E}\left(\int_a^b|X_t^{(n)}|dt\right)\textless \infty$$
$$\int_a^t|f(s,X_s^{(n)})|ds\leq \sqrt{C(b-a)}\left(\int_a^b(1+|X_t^{(n)}|^2)dt\right)^{1/2}\textless \infty, \quad \quad a.s.$$
Consequentemente
$$\in_a^t \sigma(s,X_s^{(n)})dB(s)$$
é um integral de Itô, enquanto
$$\int_a^t f(s,X_s^{(n)})ds$$
é um integral de Lebesgue em $t$ para quase todo $\omega \in\Omega$. Então $X_t^{(n+1)}$ é um processo estocástico contínuo e é adaptado a filtragem $\{\mathcal{F}_t\}$. Além disso, desde que $|a+b+c|^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$, temos que
$$|X^{(n+1)}_t|^2\leq 3\left[\xi^2+\left(\int_a^t \sigma(s,X_s^{(n)})dB(s)\right)^2+\left(\int_a^tf(s,X_s^{(n)})ds\right)^2\right],$$
juntando com a condição do crescimento linear implica que
$$\mathbb{E}\left(\int_a^b |X_t^{(n+1)}|^2\right)dt\textless \infty$$
o que mostra que o processo $X^{(n+1)}_t$ pertence $L^2_{ad}([a,b]\times \Omega)$. Então pela indução temos que a sequência $\displaystyle \{X_t^{(n)}\}^\infty_{n=1}$ é um processo contínuo no espaço $L^2_{ad}([a,b]\times\Omega)$.
A seguir, vamos estimar $\mathbb{E}(|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|^2)$. Para isso, defina
$$Y^{n+1}_t=\int_a^t\sigma(s,X^{(n)}_s)dB(s)$$
e
$$Z^{(n+1)}_t=\int_a^t f(s,X_s^{(n)})ds$$
Então, $X_t^{(n+1)}=\xi+Y_t^{(n+1)}+Z_t^{(n+1)}$; Desde que $(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)$, definimos
$$\mathbb{E}(|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|^2)\leq 2\left\{\mathbb{E}\left(|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|^2\right) +\mathbb{E}\left(|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|^2\right)\right\}$$
Pela condição de Lipschitz temos que
$$\mathbb{E}\left(|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|^2\right)=\int_a^t\mathbb{E}(|\sigma(s,X_s^{(n)})-\sigma(s,X_s^{(n-1)})|^2)ds$$
$$\leq C^2 \int_a^t\mathbb{E}(|X_s^{(n)}-X_s^{(n-1)}|^2)ds.$$
Similarmente, usando a condição de Lipschitz segue que
$$|Z_t^{n+1}-Z_t^{(n)}|^2\leq (b-c)C^2\int_a^t |X_s^{(n)}-X_s^{(n-1)}|^2ds.$$
Com isso, obtemos que
$$\mathbb{E}\left(|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|^2\right)\leq 2 C^2(1+b-a)\int_a^t\mathbb{E}(|X_s^{(n)}-X_s^{(n-1)}|^2)ds.$$
Por outro lado, a condição de crescimento
$$|\sigma(t,x)|^2\leq C(1+x^2),$$
$$|f(t,x)|^2\leq C(1+x^2).$$
temos que,
$$\mathbb{E}(|X_t^{(2)}-X_t^{(1)}|^2)\leq 2C^2(1+b-a)\int_a^t (1+\mathbb{E}(\xi^2))ds.$$
Então pelo Lema 10.2.4, temos que
$$\mathbb{E}(|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|^2)\leq \rho \frac{\beta^n(t-a)^n}{n!}$$
no qual $\rho=1+\mathbb{E}(\xi^2)$ e $\beta=2C^2(1+b-a)$. Agora observe que para qualquer $t\in [a,b]$,
$$|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|\leq |Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|+|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|.$$
Portanto temos que
$$\sup_{a\leq t\leq b}|X_t^{(n+1)}-X^{(n)}|\leq \sup_{a\leq t\leq b}|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|+\sup_{a\leq t\leq b}|Z_t^{n+1}-Z_t^{n}|,$$
o que implica que
$$\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{n^2}\right\}\subset \left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}\bigcup \left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}$$
Portanto,
$$\mathbb{P}\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{n^2}\right\}\leq \mathbb{P} \left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}+ \mathbb{P}\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}$$
Aplicando a desigualdade de submartingale de Doob do Teorema 10.2.4 e então usando a equação EQ005 obtemos que

$$\mathbb{P}\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}\leq 4n^4\mathbb{E}(|Y_b^{(n+1)}-Y_b^{(n)}|^2)$$
$$\leq 4n^4C^2\int_a^b \mathbb{E}(|X_t^{(n)}-X_t^{(n-1)}|^2)dt\leq 4n^4C^2\rho \frac{\beta^{n-1}(b-a)^n}{n!}$$
Por outro lado usando a condição de Lipschitz da função $f$, obtemos que
$$|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|^2\leq C^2(b-a)\int_a^t|X_s^{(n)}-X_s^{(n-1)}|^2ds,$$
o que implica
$$sup_{a\leq t\leq b}|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|^2\leq C^2(b-a)\int_a^b |X_t^{(n)}-X_t^{(n-1)}|^2ds$$
por essa desigualdade de pela desigualdade
$$\mathbb{E}(|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|^2)\leq \rho \frac{\beta^n(t-a)^n}{n!}$$
obtemos que
$$\mathbb{P}\left(\sup_{a\leq t\leq b}|Z_t^{(n+1)}-Z^{(n)}_t|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right)\leq 4n^4\mathbb{E}\left[\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Z^{n+1}_t-Z^{n}_t|\right\}^2\right]\leq 4n^4C^2(b-a)\rho \frac{\beta^{n-1}(b-a)^n}{n!}$$
Juntando as equações acima obtemos
$$\mathbb{P}\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{n^2}\right\}\leq \mathbb{P} \left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}+ \mathbb{P}\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}$$
$$\leq 4n^4C^2\rho \frac{\beta^{n-1}(b-a)^n}{n!}+ 4n^4C^2(b-a)\rho \frac{\beta^{n-1}(b-a)^n}{n!}\leq 2\rho \frac{n^4\beta^n(b-a)^n}{n!}$$
Pelo teste da razão podemos ver que
$$2\rho\sum_{n=1}^\infty \frac{n^4\beta^n(b-a)^n}{n!}$$
é convergente, pois
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{rightarrow \infty}\frac{\beta(n+1)^3(b-a)}{n^4}=0,$$
com $a_n=\frac{n^4\beta^n(b-a)^n}{n!}$
Portanto, pelo Lema de Borel-Cantelli Lema 7.1.1.1
$$\mathbb{P}\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{n^2}\quad \quad i.o.\right\}=0$$
Mas isso implica que
$$\xi+\sum_{n=1}^\infty (X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)})$$
converge uniformemente em $[a,b]$ com probabilidade 1, ou seja, converge para um elemento que vamos chamar de $X_t$. Observe que a soma parcial
$$\xi+\sum_{n=1}^m (X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)})=X_t^{(m+1)}$$
Portanto, com probabilidade 1, temos que
$$\lim_{n\rightarrow \infty} X_t^{(n)}=X_t$$
uniformemente para $t\in [a,b]$. Claro que, o processo estocástico $X_t$ é contínuo e adaptado a filtragem a $\{\mathcal{F}_t;  a\leq t\leq b\}$. Além do mais, temos que a equação
$$\mathbb{E}(|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|^2)\leq \rho \frac{\beta^n(t-a)^n}{n!}$$
implica que
$$\|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}\|\leq \sqrt{\rho} \frac{\beta^{n/2}(t-a)^{n/2}}{\sqrt{n!}}$$
como $\|\cdot\|$ sendo a norma de $L^2(\Omega)$. Essa desigualdade implica que para cada t, a serie
$$\xi+\sum_{n=1}^\infty (X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)})$$
converge em $L^2(\Omega)$ e ainda, temos que
$$\|X_t\|\leq \|\xi\|+\sum_{n=1}^\infty\sqrt{\rho} \frac{\beta^{n/2}(t-a)^{n/2}}{\sqrt{n!}}$$
Isto segue que
$$\mathbb{E}\int_a^b|X_t|^2dt\textless \infty$$
Portanto, o processo estocástico $X_t$ pertence ao espaço $L^2_{ad}([a,b]\times\Omega)\subset \mathcal{L}_{ad}(\Omega,L^2[a,b])$. Com isso, podemos observar que satisfaz a Definição 10.5.1.1 e ainda podemos passar o $\lim_{n\rightarrow \infty}$ para dentro da integral e então obtemos que $X_t$ é solução da integral estocástica e portanto, o resultado segue.

 

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