10.5.1 - Teorema da existência e unicidade

Seja $ \sigma(t,x) $ e $ f(t,x) $ funções mensurável de $ t\in [a,b] $ e $ x\in \mathbb{R} $. Considere uma equação diferencial estocástica

$$dX_t=\sigma(t,X_t)dB(t)+f(t,X_t)dt, \quad \quad X_a=\xi,$$

o qual deve ser interpretada na verdade como

$$X_t=\xi+\int_a^t\sigma(s,X_s)dB(s)+\int_a^tf(s,X_s)ds, \quad \quad a\leq t\leq b$$

Primeiramente, precisamos definir o que significa o processo estocástico $ X_t $ acima ser solução da equação

$$X_t=\xi+\int_a^t\sigma(s,X_s)dB(s)+\int_a^tf(s,X_s)ds, \quad \quad a\leq t\leq b$$

Definição 10.5.1.1: Um processo estocástico conjuntamente mensurável $ X_t, \quad a\leq t\leq b $, é chamado da solução de equação acima, se satisfaz as seguintes condições:
1)  O processo estocástico $ \sigma(t,X_t) $ pertence $ \mathcal{L}_{ad}(\Omega, L^2[a,b]) $, então
 

$$\int_a^t\sigma(s,X_s)dB(s)$$

  é uma integral de Itô para cada $ t\in [a,b] $;
2)  Quase todos os caminhos do processo estocástico $ f(t,X_t) $ pertence a $ L^1[a,b] $;
3) Para cada $ t\in [a,b] $, a equação acima, segue quase certamente.
 

Como vimos em exemplos na seção 10.5.1 precisamos impor condições sobre as funções $ \sigma(t,x) $ e $ f(t,x) $ para garantir as existência de uma única solução não explosiva da integral estocástica.
Então definimos as seguintes condições

Definição 10.5.1.2: Um função mensurável $ g(t,x) $ em  $ [a,b]\times \mathbb{R} $ é dito satisfazer a condições de Lipschitz em $ x $ se existe uma constante $ K\textgreater 0 $ tal que

$$|g(t,x)-g(t,y)|\leq K|x-y|, \quad \quad \forall a\leq t\leq b, \quad x, y \in \mathbb{R}$$

 

Definição 10.5.1.3:  Uma função mensurável $ g(t,x) $ em $ [a,b]\times \mathbb{R} $ é dita satisfazer um condição de crescimento linear $ x $ se existe uma constante $ K\textgreater 0 $ tal que

$$|g(t,x)|\leq K(1+|x|), \quad \quad \forall a\leq t\leq b, \quad x\in \mathbb{R}.$$

 

Observe as seguintes desigualdades para todo $ x\geq 0 $:

$$1+x^2\leq (1+x)^2\leq 2(1+x^2).$$

Portando a condição de crescimento linear é equivalente a existência de uma constante $ C>0 $, tal que

$$|g(t,x)|^2\leq C(1+x^2), \quad \quad \forall a\leq t\leq b, \quad \quad x \in \mathbb{R}.$$

Lema 10.5.1.1: Seja $ \sigma(t,x) $ e $ f(t,x) $ uma função mensurável em $ [a,b]\times \mathbb{R} $ satisfazendo a condição de Lipschitz em $ x $. Suponha que $ \xi $ é uma variável aleatória $ \mathcal{F}_a $-mensurável com $ \mathbb{E}(\xi^2)\textless \infty $. Então a integral estocástica, tem no máximo um solução contínua em $ X_t $.
Demonstração: Seja $ X_t $ e $ Y_t $ duas soluções contínuas da integral estocástica. Seja $ Z_t=X_t-Y_t $. Então $ Z_t $ é um processo estocástico contínuo e

$$Z_t=\int_a^t (\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s))dB(s)+\int_a^t(f(s,X_s)-f(s,Y_s))ds$$

Usando a desigualdade $ (a+b)^2\leq 2(a^2+b^2) $ junto com

$$Z_t^2\leq 2\left[\left(\int_a^t (\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s))dB(s)\right)^2 + \left(\int_a^t (f(s,X_s)-f(s,Y_s))ds\right)^2\right]$$

Pelo condição de Lipschitz na em $ \sigma(t,x) $ temos

$$\mathbb{E}\left(\int_a^t (\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s))dB(s)\right)^2=\int_a^t \mathbb{E}\left[(\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s))^2\right]ds\leq K^2 \int_a^t \mathbb{E}(Z_s^2)ds.$$

Por outro lado, pela condição de Lipschitz a função $ f(t,x) $,

$$\left(\int_a^t (f(s,X_s)-f(s,Y_s))ds\right)^2\leq (t-a)\int_a^t(f(s,X_s)-f(s,X_s))^2ds\leq (b-a)K^2\int_a^tZ^2_sds$$

Por essas duas desigualdades temos que

$$\mathbb{E}(Z_t^2)\leq K^2 \int_a^t \mathbb{E}(Z_s^2)ds+ (b-a)K^2\int_a^t \mathbb{E}(Z^2_s)ds=2K^2(1+b-a)\int_a^t \mathbb{E}(Z^2_s)ds$$

Pela desigualdade de Bellman-Gronwall, temos que $ \mathbb{E}(Z_t^2)=0 $, para todo $ t\in[a,b] $. Portanto, $ Z_t=0 $ quase certamente para cada $ t\in[a,b] $. Seja $ \{r_1,r_2,\dots\} $ um conjunto enumerável de racionais no intervalo $ [a,b] $. Então para cada $ r_n $, existe um conjunto $ \Omega_n $ tal que $ \mathbb{P}(\Omega_n)=1 $ e $ Z_{r_n}(\omega)=0 $ para cada $ \omega \in \Omega_n $. Seja

$$\Omega^\prime =\bigcap_{n=1}^\infty \Omega_n$$

Então $ \mathbb{P}(\Omega^\prime)=1 $ e para cada $ \omega \in \Omega^\prime $ temos que $ Z_{r_n}(\omega)=0 $ para todo $ n $. Desde que $ Z_t $ é um processo estocástico contínuo temos que existe um $ \Omega^\star $ tal que $ \mathbb{P}(\Omega^\star)=1 $ e para cada $ \omega \in \Omega^\star $, a função $ Z_t(\omega) $ é uma função contínua em t.

Finalmente, seja $ \Omega_0=\Omega^\prime \cap \Omega^\star $. Então $ \mathbb{P}(\Omega_0)=1 $ e para cada $ \omega \in \Omega_0 $, a função $ Z_t(\omega) $ é uma função contínua que é nula em todos os números racionais que pertence a $ [a,b] $. Se segue para $ \omega \in \Omega_0 $ $ Z_t(\omega) $ é nula para todo $ t $ já que $ Z $ é contínua. Isto implica que $ X_t $ e $ Y_t $ são os mesmos processos contínuos quase certamente.
 

Teorema 10.5.1.1:Seja $ \sigma(t,x) $ e $ f(t,x) $ um função mensurável em $ [a,b]\times \mathbb{R} $ satisfazendo a condição de Lipschitz e de crescimento linear em $ x $. Suponha que $ \xi $ é uma variável aleatória $ \mathcal{F}_a $-mensurável com $ \mathbb{E}(\xi^2)\textless \infty $. Então, a integral estocástica descrita na equação acima tem uma única solução em $ X_t $.
Demonstração: A unicidade da solução contínua vem do Lema 10.5.1.1. Resta-nos mostrar a existência de uma solução.

Pela afirmação, existe uma constante $ C\textgreater 0 $ tal que a seguinte desigualdade segue, para todo $ t\in [a,b] $ e $ x,y\in \mathbb{R} $:

$$|\sigma(t,x)-\sigma(t,y)|\leq C|x-y|,$$

$$|f(t,x)-f(t,y)|\leq C|x-y|,$$

$$|\sigma(t,x)|^2\leq C(1+x^2),$$

$$|f(t,x)|^2\leq C(1+x^2).$$

Defina uma sequência $ \{X_t^{(n)}\}_{n=1}^\infty $  de um processos estocástico contínuos indutivamente, definindo $ X_t^{(1)}=\xi $ e para $ n\geq 1 $,

$$X_t^{(n+1)}=\xi+\in_a^t \sigma(s,X_s^{(n)})dB(s)+\int_a^t f(s,X_s^{(n)})ds.$$

Obviamente, $ X_1^{(1)} $ pertence a $ L_{ad}^2([a,b]\times \Omega) $. Assumimos que por indução que o processo estocástico $ X^(n)_t $ pertence a $ L^2_{ad}([a,b]\times \Omega) $. Então pelo condição crescimento linear, temos que

$$\mathbb{E}\left(\int_a^b\sigma(t,X_t^{(n)})^2dt\right)\leq C(b-a)+C\mathbb{E}\left(\int_a^b|X_t^{(n)}|dt\right)\textless \infty$$

$$\int_a^t|f(s,X_s^{(n)})|ds\leq \sqrt{C(b-a)}\left(\int_a^b(1+|X_t^{(n)}|^2)dt\right)^{1/2}\textless \infty, \quad \quad a.s.$$

Consequentemente

$$\in_a^t \sigma(s,X_s^{(n)})dB(s)$$

é um integral de Itô, enquanto

$$\int_a^t f(s,X_s^{(n)})ds$$

é um integral de Lebesgue em $ t $ para quase todo $ \omega \in\Omega $. Então $ X_t^{(n+1)} $ é um processo estocástico contínuo e é adaptado a filtragem $ \{\mathcal{F}_t\} $. Além disso, desde que $ |a+b+c|^2\leq 3(a^2+b^2+c^2) $, temos que

$$|X^{(n+1)}_t|^2\leq 3\left[\xi^2+\left(\int_a^t \sigma(s,X_s^{(n)})dB(s)\right)^2+\left(\int_a^tf(s,X_s^{(n)})ds\right)^2\right],$$

juntando com a condição do crescimento linear implica que

$$\mathbb{E}\left(\int_a^b |X_t^{(n+1)}|^2\right)dt\textless \infty$$

o que mostra que o processo $ X^{(n+1)}_t $ pertence $ L^2_{ad}([a,b]\times \Omega) $. Então pela indução temos que a sequência $ \displaystyle \{X_t^{(n)}\}^\infty_{n=1} $ é um processo contínuo no espaço $ L^2_{ad}([a,b]\times\Omega) $.
A seguir, vamos estimar $ \mathbb{E}(|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|^2) $. Para isso, defina

$$Y^{n+1}_t=\int_a^t\sigma(s,X^{(n)}_s)dB(s)$$

e

$$Z^{(n+1)}_t=\int_a^t f(s,X_s^{(n)})ds$$

Então, $ X_t^{(n+1)}=\xi+Y_t^{(n+1)}+Z_t^{(n+1)} $; Desde que $ (a+b)^2\leq 2(a^2+b^2) $, definimos

$$\mathbb{E}(|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|^2)\leq 2\left\{\mathbb{E}\left(|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|^2\right) +\mathbb{E}\left(|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|^2\right)\right\}$$

Pela condição de Lipschitz temos que

$$\mathbb{E}\left(|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|^2\right)=\int_a^t\mathbb{E}(|\sigma(s,X_s^{(n)})-\sigma(s,X_s^{(n-1)})|^2)ds$$

$$\leq C^2 \int_a^t\mathbb{E}(|X_s^{(n)}-X_s^{(n-1)}|^2)ds.$$

Similarmente, usando a condição de Lipschitz segue que

$$|Z_t^{n+1}-Z_t^{(n)}|^2\leq (b-c)C^2\int_a^t |X_s^{(n)}-X_s^{(n-1)}|^2ds.$$

Com isso, obtemos que

$$\mathbb{E}\left(|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|^2\right)\leq 2 C^2(1+b-a)\int_a^t\mathbb{E}(|X_s^{(n)}-X_s^{(n-1)}|^2)ds.$$

Por outro lado, a condição de crescimento

$$|\sigma(t,x)|^2\leq C(1+x^2),$$

$$|f(t,x)|^2\leq C(1+x^2).$$

temos que,

$$\mathbb{E}(|X_t^{(2)}-X_t^{(1)}|^2)\leq 2C^2(1+b-a)\int_a^t (1+\mathbb{E}(\xi^2))ds.$$

Então pelo Lema 10.2.4, temos que

$$\mathbb{E}(|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|^2)\leq \rho \frac{\beta^n(t-a)^n}{n!}$$

no qual $ \rho=1+\mathbb{E}(\xi^2) $ e $ \beta=2C^2(1+b-a) $. Agora observe que para qualquer $ t\in [a,b] $,

$$|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|\leq |Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|+|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|.$$

Portanto temos que

$$\sup_{a\leq t\leq b}|X_t^{(n+1)}-X^{(n)}|\leq \sup_{a\leq t\leq b}|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|+\sup_{a\leq t\leq b}|Z_t^{n+1}-Z_t^{n}|,$$

o que implica que

$$\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{n^2}\right\}\subset \left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}\bigcup \left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}$$

Portanto,

$$\mathbb{P}\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{n^2}\right\}\leq \mathbb{P} \left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}+ \mathbb{P}\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}$$

Aplicando a desigualdade de submartingale de Doob do Teorema 10.2.4 e então usando a equação EQ005 obtemos que

$$\mathbb{P}\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}\leq 4n^4\mathbb{E}(|Y_b^{(n+1)}-Y_b^{(n)}|^2)$$

$$\leq 4n^4C^2\int_a^b \mathbb{E}(|X_t^{(n)}-X_t^{(n-1)}|^2)dt\leq 4n^4C^2\rho \frac{\beta^{n-1}(b-a)^n}{n!}$$

Por outro lado usando a condição de Lipschitz da função $ f $, obtemos que

$$|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|^2\leq C^2(b-a)\int_a^t|X_s^{(n)}-X_s^{(n-1)}|^2ds,$$

o que implica

$$sup_{a\leq t\leq b}|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|^2\leq C^2(b-a)\int_a^b |X_t^{(n)}-X_t^{(n-1)}|^2ds$$

por essa desigualdade de pela desigualdade

$$\mathbb{E}(|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|^2)\leq \rho \frac{\beta^n(t-a)^n}{n!}$$

obtemos que

$$\mathbb{P}\left(\sup_{a\leq t\leq b}|Z_t^{(n+1)}-Z^{(n)}_t|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right)\leq 4n^4\mathbb{E}\left[\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Z^{n+1}_t-Z^{n}_t|\right\}^2\right]\leq 4n^4C^2(b-a)\rho \frac{\beta^{n-1}(b-a)^n}{n!}$$

Juntando as equações acima obtemos

$$\mathbb{P}\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{n^2}\right\}\leq \mathbb{P} \left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Y_t^{(n+1)}-Y_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}+ \mathbb{P}\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|Z_t^{(n+1)}-Z_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{2n^2}\right\}$$

$$\leq 4n^4C^2\rho \frac{\beta^{n-1}(b-a)^n}{n!}+ 4n^4C^2(b-a)\rho \frac{\beta^{n-1}(b-a)^n}{n!}\leq 2\rho \frac{n^4\beta^n(b-a)^n}{n!}$$

Pelo teste da razão podemos ver que

$$2\rho\sum_{n=1}^\infty \frac{n^4\beta^n(b-a)^n}{n!}$$

é convergente, pois

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{rightarrow \infty}\frac{\beta(n+1)^3(b-a)}{n^4}=0,$$

com $ a_n=\frac{n^4\beta^n(b-a)^n}{n!} $
Portanto, pelo Lema de Borel-Cantelli Lema 7.1.1.1

$$\mathbb{P}\left\{\sup_{a\leq t\leq b}|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|\textgreater \frac{1}{n^2}\quad \quad i.o.\right\}=0$$

Mas isso implica que

$$\xi+\sum_{n=1}^\infty (X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)})$$

converge uniformemente em $ [a,b] $ com probabilidade 1, ou seja, converge para um elemento que vamos chamar de $ X_t $. Observe que a soma parcial

$$\xi+\sum_{n=1}^m (X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)})=X_t^{(m+1)}$$

Portanto, com probabilidade 1, temos que

$$\lim_{n\rightarrow \infty} X_t^{(n)}=X_t$$

uniformemente para $ t\in [a,b] $. Claro que, o processo estocástico $ X_t $ é contínuo e adaptado a filtragem a $ \{\mathcal{F}_t;  a\leq t\leq b\} $. Além do mais, temos que a equação

$$\mathbb{E}(|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}|^2)\leq \rho \frac{\beta^n(t-a)^n}{n!}$$

implica que

$$\|X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)}\|\leq \sqrt{\rho} \frac{\beta^{n/2}(t-a)^{n/2}}{\sqrt{n!}}$$

como $ \|\cdot\| $ sendo a norma de $ L^2(\Omega) $. Essa desigualdade implica que para cada t, a serie

$$\xi+\sum_{n=1}^\infty (X_t^{(n+1)}-X_t^{(n)})$$

converge em $ L^2(\Omega) $ e ainda, temos que

$$\|X_t\|\leq \|\xi\|+\sum_{n=1}^\infty\sqrt{\rho} \frac{\beta^{n/2}(t-a)^{n/2}}{\sqrt{n!}}$$

Isto segue que

$$\mathbb{E}\int_a^b|X_t|^2dt\textless \infty$$

Portanto, o processo estocástico $ X_t $ pertence ao espaço $ L^2_{ad}([a,b]\times\Omega)\subset \mathcal{L}_{ad}(\Omega,L^2[a,b]) $. Com isso, podemos observar que satisfaz a Definição 10.5.1.1 e ainda podemos passar o $ \lim_{n\rightarrow \infty} $ para dentro da integral e então obtemos que $ X_t $ é solução da integral estocástica e portanto, o resultado segue.

 

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