10.5.2 - Solução de Equações Diferenciais Estocásticas

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Nessa seção vamos estudar algumas propriedades da solução das equações diferenciais. Seja

$$X_t=\xi+\int_a^t \sigma(s,X_s)dB(s)+\int_a^t f(s,X_s)ds, \quad \quad a\leq t\leq b,$$

com $ \sigma $ e $ f $ satisfazendo as condições de crescimento linear e de Lipschitz. Primeiramente vamos provar que a solução de $ X_t $ é um processo de Markov.

Seja $ \{\mathcal{F}_t,\quad a\leq t\leq b\} $ a filtragem dada pelo movimento Browniano $ B(t) $, definida por $ \mathcal{F}_t=\sigma\{B(s); s\leq t\} $. Claro que, a solução de $ X_t $ é adaptado a filtragem .

Seja $ s\in [a,b] $ e $ x\in \mathbb{R} $ fixado e considere o seguinte

$$X_t=x+\int_s^t \sigma(u,X_u)dB(s)+\int_s^t f(u,X_u)du, s\leq t\leq b.$$

Para evitar confusão com a solução $ X_t $, usaremos $ X_t^{s,x} $ para denotar a solução da equação acima. Desde que a condição inicial $ x $ é uma constante, o qual vemos na prova do Teorema 10.5.1.1 a solução é independente de $ \mathcal{F}_s $ para $ t\in [s,b] $. Isso implica que para qualquer variável $ Z $ é $ \mathcal{F}_s $-mensurável temos a seguinte igualdade

$$\mathbb{P}(X^{s,Z}_t\leq y|\mathcal{F}_s)=\mathbb{P}(X_t^{s,x}\leq y)\bigg|_{x=Z}, \forall y\in \mathbb{R}.$$

Em particular, $ Z=X_s $, temos

$$\mathbb{P}(X^{s,X_s}_t\leq y|\mathcal{F}_s)=\mathbb{P}(X_t^{s,x}\leq y)\bigg|_{x=X_s}, \forall y\in \mathbb{R}.$$

Agora, desde que $ X_t $ é uma solução da equação, temos

$$X_t=X_s+\int_s^t \sigma(u,X_u)dB(u)+\int_s^t f(u,X_u)du, \quad \quad s\leq t\leq b.$$

Mas $ X_t^{s,X_s} $ é também solução. Portanto, pela unicidade da solução temos que $ X_t=X_t^{s,X_s} $. Então, temos que

$$\mathbb{P}(X_t\leq y|\mathcal{F}_s)=\mathbb{P}(X_t^{s,x}\leq y)\bigg|_{x=X_s}, \forall y\in \mathbb{R}.$$

o qual é mensurável com respeito a $ \sigma $-álgebra gerada por $ X_s $. Portanto concluímos que

$$\mathbb{P}(X_t\leq y|X_s)=\mathbb{E}[\mathbb{P}(X_t\leq y| \mathcal{F}_s)|X_s]=\mathbb{P}(X_t\leq y|\mathbb{F}_s)\quad \quad \forall s\textless t,y\in \mathbb{R}.$$

Então pela

$$\mathbb{P}(X_t\leq x|\mathcal{F}_s)=\mathbb{P}(X_t\leq x|X_s), \quad \forall s\textless t, x\in mathbb{R}$$

o processo estocástico $ X_t $ é um processo de Markov. Portanto, temos que a prova do teorema a seguir

Teorema 10.5.2.1: Seja $ \sigma(t,x) $ e $ f(t,x) $ uma função mensurável em $ [a,b]\times \mathbb{R} $, satisfazendo as condições de crescimento linear e Lipschitz em x. Suponha que $ \xi $ seja uma variável $ \mathcal{F}_a $-mensurável com $ \mathbb{E}(\xi^2)\textless \infty $. Então, a única solução contínua da equação estocástica

$$X_t=\xi+\int_s^t \sigma(u,X_u)dB(u)+\int_s^t f(u,X_u)du, \quad \quad s\leq t\leq b.$$

é um processo de Markov.
 

Observe que a solução de $ X_t $ satisfaz

$$\mathbb{P}(X_t\leq y|X_s)=\mathbb{E}[\mathbb{P}(X_t\leq y| \mathcal{F}_s)|X_s]=\mathbb{P}(X_t\leq y|\mathbb{F}_s)\quad \quad \forall s\textless t,y\in \mathbb{R}.$$

a qual é mais forte sobre do que a propriedade de Markov de $ X_t $. Na verdade a solução de $ X_t $ satisfaz propriedades ainda mais forte, a qual utiliza o conceito de tempos de parada introduzido anteriormente. Seja $ \tau $ um tempo de parada com respeito a filtragem $ \{\mathcal{F}_t, a\leq t\leq b\} $ dado um movimento Browniano $ B(t) $. A $ \sigma $-algebra $ \mathcal{F}_\tau $ associada com $ \tau $ é definida por

$$\mathcal{F}_\tau=\{A,A\cap \{\tau\textless t\}\in \mathcal{F}_t, \forall t\in [a,b]\}.$$

Então, podemos provar que para qualquer tempo de parada $ \tau $ com respeito a filtragem $ \{\mathcal{F}_t\} $, o processo estocástico $ X_t $ satisfaz a seguinte igualdade

$$\mathbb{P}(X_{\tau+v}\leq y|\mathcal{F}_\tau)=\mathbb{P}(X_{\tau+v}\leq y| X_\tau), \quad \forall v\geq 0, y\in \mathbb{R},$$

o que pode ser entendido como $ X_{\tau(\omega)+v}(\omega)=X_b(\omega) $ se $ \tau(\omega)+v\geq b $. A equação acima é chamada de propriedade forte de Markov de $ X_t $. Note que quando $ \tau=s $ e $ v-t-s $ a equação acima se reduz novamente a

$$\mathbb{P}(X_t\leq y|X_s)=\mathbb{E}[\mathbb{P}(X_t\leq y| \mathcal{F}_s)|X_s]=\mathbb{P}(X_t\leq y|\mathbb{F}_s)\quad \quad \forall s\textless t,y\in \mathbb{R}.$$

Então, a propriedade forte de Markov implica na equação acima a qual implica na propriedade de Markov.

Em seguida considere a integral estocástica com funções $ \sigma $ e $ f $ dependendo apenas de $ x $. Neste caso, observe que a condição de Lipschitz

$$|g(x)|\leq |g(x)-g(0)|+|g(0)|\leq K|x|+|g(0)|\leq C(1+|x|),$$

no qual $ C=\max\{K,|g(0)|\} $. Portanto a condição de crescimento linear decorre da condição de Lipschitz.

Teorema 10.5.2: Assumindo que $ \sigma(x) $ e $ f(x) $ são funções que satisfaz a condição de Lipschitz e seja $ x_0\in \mathbb{R} $. Então a única solução contínua da integral estocástica

$$X_t=x_0+\int_0^t\sigma(X_s)dB(s)+\int_0^t f(X_s)ds, \quad t\geq 0,$$

é um processo de Markov estacionário.
Demonstração: Seja $ s\geq 0 $ e $ x\in \mathbb{R} $ fixado e considere o seguinte equação

$$X_t=x+\int_s^t \sigma(X_u)dB(u)+\int_s^t f(X_u)du, t\geq s.$$

Seja $ X_t^{s,x} $ denotando a única solução contínua da equação acima. Então

$$X_t^{s,x}=x+\int_s^t\sigma(X^{s,x}_u)dB(u)+\int_s^t f(X_u^{s,x})du$$

Fazendo uma mudança de variável $ u=s+v $ temos

$$X_t^{s,x}=x+\int_0^{t-s}\sigma(X^{s,x}_{s+v})dB(s+v)+\int_0^{t-s}f(X^{s,x}_{s+v})dv.$$

Seja $ \tilde{B}_s(t)=B(s+t)-B(s) $. Pela Proposição 8.1 $ \tilde{B}_s(t) $ é m movimento Browniano para cada s fixado. Além disso, os incrementos de $ \tilde{B}_s(t) $ e $ B(t) $ são relacionado por $ \tilde{B}_s(t_2)-\tilde{B}_s(t_1)=B(s+t_2)-B(s+t_1) $. Então a equação

$$X_t^{s,x}=x+\int_0^{t-s}\sigma(X^{s,x}_{s+v})dB(s+v)+\int_0^{t-s}f(X^{s,x}_{s+v})dv.$$

pode ser reescrita como

$$X_t^{s,x}=x+\int_0^{t-s}\sigma(X^{s,x}_{s+v})d\tilde{B}_s(v)+\int_0^{t-s}f(X^{s,x}_{s+v})dv$$

Fazendo mudança de variáveis $ t=s+w $ temos

$$X_{s+w}^{s,x}=x+\int_0^w \sigma(X^{s,x}_{s+v})d\tilde{B}_s(v)+\int_0^w f(X^{s,x}_{s+v})dv$$

Então, substituindo a variável w por t:

$$X^{s,x}_{s+t}=x+\int_0^t \sigma(X^{s,x}_{s+v})d\tilde{B}_s(v)+\int_0^t f(X^{s,x}_{s+v})dv, \quad t\geq 0.$$

o que significa que para qualquer $ s\textgreater 0 $ fixado, o processo estocástico $ X^{s,x}_{s+t} $, $ t\geq 0 $, é uma solução de

$$Y_{t}=x+\int_0^t \sigma(Y_u)d\tilde{B}_s(v)+\int_0^w f(Y_u)du, \quad t\geq 0.$$

Do procedimento procedimento de aproximação da prova do Teorema 10.5.1 vemos então que a distribuição da solução de $ X^{s,x}_{s+t} $ é independente de s. Portanto,

$$\mathbb{P}(X^{s,x}_{s+t}\in A)=\mathbb{P}(X_t^{0,x}\in A), \quad \forall A\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$$

Seja $ \mathbb{P}_{s,x}(t,\cdot) $ denota a probabilidade de transição da solução $ X_t $ dada por

$$X_t=x_0+\int_0^t\sigma(X_s)dB(s)+\int_0^t f(X_s)ds, \quad t\geq 0,$$

Então, podemos reescrever

$$\mathbb{P}(X^{s,x}_{s+t}\in A)=\mathbb{P}(X_t^{0,x}\in A), \quad \forall A\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$$

como sendo

$$\mathbb{P}_{s,x}(s+t,A)=\mathbb{P}_{0,x}(t,A),\quad \forall A\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$$

Isto significa que para qualquer $ t\geq 0 $ e $ x\in \mathbb{R} $, a medida de probabilidade $ \mathbb{P}_{s,x}(s+t,\cdot) $ é independente de $ s\geq 0 $. Então o processo estocástico $ X_t $ é estacionário.
 

Exemplo 10.5.2.1: Considere uma equação diferencial simples

$$dX_t=X_tdB(t)+dt,\quad \quad X_0=x.$$

Pelo teorema anterior, a solução desta SDE (sigla em inglês para Equação Diferencial Estocástica) é um processo de Markov estacionário. Por outro lado, podemos resolver explicitamente a equação acima. Aplicando a formula de Itô, temos

$$d(e^{-B(t)+\frac{1}{2}t}X_t)=e^{-B(t)+\frac{1}{2}t}(dX_t-X_tdB(t))=e^{-B(t)+\frac{1}{2}t}dt$$

Integrando ambos os lados de s a t, temos

$$X_t=e^{(-B(t)-B(s))-\frac{1}{2}(t-s)}X_s+\int_s^t e^{(B(t)-B(u))-\frac{1}{2}(t-u)}du$$

Em particular

$$X_t=xe^{B(t)-\frac{1}{2}t}+\int_0^t e^{(B(t)-B(u))-\frac{1}{2}(t-u)}du$$

Além do mais,

$$X^{s,x}_{s+t}=xe^{B(s+t)-B(s)-\frac{1}{2}t}+\int_s^{s+t} e^{(B(s+t)-B(u))-\frac{1}{2}(s+t-u)}du$$

o qual, após fazer uma mudança de variável $ u=s+v $, temos

$$X^{s,x}_{s+t}=xe^{B(s+t)-B(s)-\frac{1}{2}t}+\int_0^{t} e^{(B(s+t)-B(u))-\frac{1}{2}(s+t-u)}du$$

Note que $ B(s+t)-B(s) $ é um movimento Browniano para qualquer $ s\geq 0 $ fixado. Portanto, a distribuição de $ X^{s,x}_{s+t} $ é independente de s. O que mostra que o processo $ X_t $ é um processo de Markov estacionário.
 

A seguir considere a dependência de uma solução de um equação diferencial estocástica em sua condição inicial. É dado pelo próximo teorema.

Teorema 10.5.2.3: Seja $ \sigma $ e $ f $ e satisfazendo a condição de Lipschitz em x, existe uma constante $ K\textgreater 0 $, tal que

$$|\sigma(t,x)-\sigma(t,y)|\leq K|x-y|,  \quad \quad |f(t,x)-f(t,y)|\leq K|x-y|,$$

para todo $ t\in [a,b] $ e $ x,y \in \mathbb{R} $. Seja $ \xi,\eta \in L^2(\Omega) $ funções em $ \mathcal{F}_a $-mensurável. Assumindo que $ X^{\xi}_t $ e $ X^\eta_t $ são duas soluções para a equação diferencial estocástica

$$dX_t=\sigma(t,X_t)dB(t)+f(t,X_t)dt$$

com condição inicial $ \xi $ e $ \eta $, respectivamente. Então

$$\mathbb{E}(|X^{\xi}_t-X^{\eta}_t|^2)\leq 3 \mathbb{E}(|\xi-\eta|^2)e^{2K^2(1+b-1)(t-a)}, \quad \forall a\leq t\leq b.$$

Demonstração:
Temos que

$$X_t^\xi=\xi+\int_a^t\sigma(s,X_s^\xi)dB(s)+\int_a^t f(s,X^\xi_s)ds$$

$$X_t^\eta=\eta+\int_a^t\sigma(s,X_s^\eta)dB(s)+\int_a^t f(s,X^\eta_s)ds$$

 

Observação: Existe outra parte da desigualdade de Doob's para submartingale, afirma que se $ Y_t $, $ a\leq t\leq b $ é um submartingale contínua a direita, então

$$\mathbb{E}\left(\left[\sup_{a\leq t\leq b}|Y_t|\right]^p\right)\leq q^p\mathbb{E}(|Y_b|^p),$$

no qual $ p\textgreater 1 $ e $ p^{-1}+q^{-1}=1 $. Usando essa desigualdade com $ p=2 $ e argumentos similares a prova acima, podemos obter uma estimativa mais forte para qualquer $ a\leq t\leq b $:

$$\mathbb{E}\left(\left[\sup_{a\leq t\leq b}|X^\xi_t-X^\eta_s|\right]^2\right)\leq 3\mathbb{E}(|\xi-\eta|^2)e^{3K^2(4+b-a)(t-a)},$$

Portanto,

$$|X^\xi_t-X^\eta_t|\leq |\xi-\eta|+\Big|\int_a^t(\sigma(s,X_s^\xi)-\sigma(s,X^\eta_s))dB(s)\Big|$$

$$+\Big|\int_a^t (f(s,X^\xi_s)-f(s,X^\eta_s))ds\Big|.$$

Usando a desigualdade $ (|a|+|b|+|c|)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2) $, temos que

$$|X^\xi_t-X^\eta_t|^2\leq 3\left\{|\xi-\eta|^2+\Big|\int_a^t (\sigma(s,X^\xi_s)-\sigma(s,X^\eta_s))dB(s)\Big|^2+\Big|\int_a^t (f(s,X^\xi_s)-f(s,X^\eta_s))ds\Big|^2\right\}$$

$$3\left\{|\xi-\eta|^2+\Big|\int_a^t (\sigma(s,X^\xi_s)-\sigma(s,X^\eta_s))dB(s)\Big|^2+(b-a)\int_a^t |f(s,X^\xi_s)-f(s,X^\eta_s)|^2ds\right\}$$

Então, tomando a esperança em ambos os lados

$$\mathbb{E}(|X^\xi_t-X^\eta_t|^2)\leq 3\left\{\mathbb{E}(|\xi-\eta|^2)+\mathbb{E}\left(\int_a^t |\sigma(s,X^\xi_s)-\sigma(s,X^\eta_s)|^2dB(s)\right)+\mathbb{E}\left(\int_a^t |f(s,X^\xi_s)-f(s,X^\eta_s)|^2ds\right)\right\}$$

$$3\mathbb{E}(|\xi-\eta|^2)+3K^2(1+b-a)\int_a^t \mathbb{E}(|X^\xi_s-X^\eta_s|^2)ds$$

No qual a última desigualdade decorre da desigualdade de Bellman-Gronwall.
E portanto o resultado segue.
 

Algumas estimativas de soluções

 

Nesta seção, iremos provar algumas estimativas para a integral Itô e para as soluções de equações diferenciais estocásticas.

Lema 10.5.2.1: Suponha que $ h(t) $ e um processo estocástico adaptado satisfazendo

$$\displaystyle \int_a^b\mathbb{E}\left(|h(s)|^4\right)ds \textless \infty$$

e seja

$$\displaystyle Y_t=\int_a^t h(s) dB(s),\quad \quad a\leq t\leq b \textless \infty$$

Então,

$$\displaystyle \mathbb{E}(|Y_t|^4)\leq 2(17+4\sqrt{17})(t-a)\int_a^t\mathbb{E}(|h(s)|^4)ds, a\leq t\leq b.$$

Demonstração:
Aplicando a formula de Itô, temos

$$Y_t^2=2\displaystyle \int_a^t Y_sh(s)dB(s)+\int_a^th(s)^2ds.$$

A hipótese em $ h(t) $ implica que $ Y_th(t) $ pertence que $ L^2_{ad}([a,b]\times \Omega) $. Pela desigualdade $ (a+b)^2\leq 2a^2+2b^2 $,

$$Y_t^4\leq 8\left(\displaystyle \int_a^t Y_sh(s)dB(s)\right)^2+2\left(\displaystyle \int_a^t h^2(s)dB(s)\right)^2$$

Então usando o Teorema 10.2.3 

$$\mathbb{E}(Y_t^4)\leq 8 \displaystyle \int_a^t \mathbb{E}(Y^2_sh(s)^2)ds+2\mathbb{E}\left(\int_a^th(s)^2ds\right)^2$$

$$\leq 8 \displaystyle \left[\int_a^t \mathbb{E}(Y^4_s)ds\right]^{1/2}\left[\int_a^t\mathbb{E}\left(h(s)^4\right)ds\right]^{1/2}+2(t-a)\int_a^t\mathbb{E}(h(s)^4)ds.$$

Integrando ambos os lados e usando desigualdade de Schwarz temos

$$\displaystyle \int_a^t\mathbb{E}\left(Y^4_s\right)ds \leq 8 \displaystyle \left[\int_a^t \int_a^s \mathbb{E}(Y^4_u)duds\right]^{1/2}\left[\int_a^t\int_a^s\mathbb{E}\left(h(u)^4\right)duds\right]^{1/2}+2\int_a^t(s-a)\int_a^s\mathbb{E}(h(u)^4)duds.$$

Mudando a ordem da integração temos que

$$\displaystyle \int_a^t\int_a^s\mathbb{E}\left(Y^4_s\right)duds = \displaystyle \int_a^t (t-u)\mathbb{E}(Y^4_u)du\leq (t-a)\int_a^t\mathbb{E}\left(Y_u^4\right)du$$

Similarmente, temos que

$$\displaystyle \int_a^t\int_a^s \mathbb{E}(h(u)^4)duds\leq (t-a)\int_a^t\mathbb{E}(h(u)^4)du$$

$$\displaystyle \int_a^t(s-a)\int_a^s \mathbb{E}(h(u)^4)duds\leq \frac{1}{2}(t-a)^2\int_a^t\mathbb{E}(h(u)^4)du$$

Agora usando as desigualdades acima e fazendo uma mudança de variável, temos que

$$\int_a^t \mathbb{E}(Y_s^4)ds \leq 8(t-a)\left[\int_a^t\mathbb{E}(Y^4_s)ds\right]^{1/2}\left[\int_a^t\mathbb{E}(h(s)^4)ds\right]^{1/2}+(t-a)^2\int_a^t\mathbb{E}(h(s)^4)ds.$$

Seja $ x=\displaystyle \int_a^t \mathbb{E}(Y^4_s)ds $ e $ y=\displaystyle \int_a^t \mathbb{E}(h(s)^4)ds $. Podemos assumir $ y\neq 0 $, por caso ele seja igual a zero, o Lema já válido. Então seja $ w=\sqrt{x}/\sqrt{y} $. Então, temos que $ w^2\leq 8(t-a)w+(t-a)^2 $, o qual temos que $ w\leq (4+|sqrt{17})(t-a) $. Segue que

$$\int_a^t\mathbb{E}(Y_s^4)ds\leq (4+\sqrt{17})^2(t-a)^2\int_a^t\mathbb{E}(h(s)^4)ds.$$

Então, o resultado segue.
 

Teorema 10.5.2.4: Seja $ \sigma(t,x) $ e $ f(t,x) $ satisfazendo a condição de Lipschitz em x e seguindo a condição de crescimento

$$|\sigma(t,x)|^2\leq C(1+x^2), \quad \quad \quad \quad |f(t,x)|^2\leq C(1+x^2)$$

Suponha $ \xi $ é uma variável aleatória $ \mathcal{F}_a $-mensurável com $ \mathbb{E}(\xi^4)\textless \infty $. Então a solução de $ X_t $ da equação estocástica

$$X_t=\xi+ \int_a^t \sigma(s,X_s)dB(s)+\int_a^t f(s,X_s)ds, \quad \quad a\leq t\leq b,$$

satisfaz a desigualdades

$$\mathbb{E}(|X_t|^4)\leq \{27\mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)\}e^{C_1(t-a)},$$

$$\mathbb{E}(|X_t-\xi|^4)\leq C_2\{1+27\mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)\}(t-a)^2e^{C_1(t-a)}$$

com $ C_1 $ e $ C_2 $ são dados por

$$C_1=54\{2(17+4\sqrt{17})+(b-a)^2\}(b-a)C^2$$

$$C_2=16\{2(17+4\sqrt{17})+(b-a)^2\}C^2.$$

Demonstração: Usando a desigualdades $ (a+b+c)^4\leq 27(a^4+b^4+c^4) $, Lema 10.5.2.1 e desigualdades de Holder obtemos

$$\mathbb{E}(|X_t|^4)\leq 27\mathbb{E}(\xi^4)+27\tilde{C}(t-a)\int_a^t\mathbb{E}(\sigma(s,X_s)^4)ds+ 27(t-a)^3 \int_a^t \mathbb{E}(f(s,X_s)^4)ds$$

$$\leq 27\mathbb{E}(xi^4)+27\tilde{C}(b-a)\int_a^t\mathbb{E}(\sigma(s,X_s)^4)ds+27(b-a)^3\int_a^t\mathbb{E}(f(s,X_s)^4)ds,$$

no qual $ \tilde{C}=2(17+4\sqrt{17}) $ é uma constante do Lema 10.5.2.1. Então usando a condição de crescimento e a desigualdade

$$(1+x^2)^2\leq 2(1+x^4)$$

para obter que

$$\mathbb{E}(|X_t|^4)\leq 27 \mathbb{E}(\xi^4)+C_1\int_a^t[1+\mathbb{E}(|X_s|^4)]ds,$$

no qual $ C_1=54\{\tilde{C}+(b-a)^2\}(b-a)C^2 $. Assim sendo, temo que

$$\mathbb{E}(|X_t|^4)\leq 27 \mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)+C_1\int_a^t \mathbb{E}(|X_s|^4)ds,$$

o que implica que a equação acima pela desigualdade de Bellman-Gronwall.
Agora usando a desigualdade $ (a+b)^4\leq 8(a^4+b^4) $, Lema 10.5.2.1 e a desigualdade de Holder obtemos que

$$\mathbb{E}(|X_t-\xi|^4)\leq 8\tilde{C}(t-a)\int_a^t \mathbb{E}(\sigma(s,X_s)^4)ds+8(t-a)^3\int_a^t \mathbb{E}(f(s,X_s)^4)ds$$

$$ 8(t-a)\left(\tilde{C}\int_a^t \mathbb{E}(\sigma(s,X_s)^4)ds+(b-a)^2\int_a^t \mathbb{E}(f(s,X_s)^4)ds\right)$$

Portanto, pela equação acima e a desigualdade $ (1+x^2)^2\leq 2(1+x^4) $,

$$\mathbb{E}(|X_t-\xi|^4)\leq 16\{\tilde{C}+(b-a)^2\}C^2(t-a)\int_a^t (1+\mathbb{E}(|X_s|^4))ds.$$

Além disso, pela equação acima e pela desigualdade $ e^x-1\leq xe^x $ para $ x\geq 0 $,

$$\int_a^t \mathbb{E}(|X_s|^4)ds\leq \{27 \mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)\}(t-a)e^{C_1(t-a)}.$$

Finalmente, colocando a equação

$$\int_a^t \mathbb{E}(|X_s|^4)ds\leq \{27 \mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)\}(t-a)e^{C_1(t-a)}.$$

na equação

$$\int_a^t \mathbb{E}(|X_s|^4)ds\leq \{27 \mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)\}(t-a)e^{C_1(t-a)}.$$

junto com a desigualdade

$$\mathbb{E}(|X_t-\xi|^4)\leq C_2\{1+27\mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)\}(t-a)^2e^{C_1(t-a)}$$

o resultado segue.
 

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