10.5.2 - Solução de Equações Diferenciais Estocásticas

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Nessa seção vamos estudar algumas propriedades da solução das equações diferenciais. Seja
$$X_t=\xi+\int_a^t \sigma(s,X_s)dB(s)+\int_a^t f(s,X_s)ds, \quad \quad a\leq t\leq b,$$
com $\sigma$ e $f$ satisfazendo as condições de crescimento linear e de Lipschitz. Primeiramente vamos provar que a solução de $X_t$ é um processo de Markov.

Seja $\{\mathcal{F}_t,\quad a\leq t\leq b\}$ a filtragem dada pelo movimento Browniano $B(t)$, definida por $\mathcal{F}_t=\sigma\{B(s); s\leq t\}$. Claro que, a solução de $X_t$ é adaptado a filtragem .

Seja $s\in [a,b]$ e $x\in \mathbb{R}$ fixado e considere o seguinte

$$X_t=x+\int_s^t \sigma(u,X_u)dB(s)+\int_s^t f(u,X_u)du, s\leq t\leq b.$$

Para evitar confusão com a solução $X_t$, usaremos $X_t^{s,x}$ para denotar a solução da equação acima. Desde que a condição inicial $x$ é uma constante, o qual vemos na prova do Teorema 10.5.1.1 a solução é independente de $\mathcal{F}_s$ para $t\in [s,b]$. Isso implica que para qualquer variável $Z$ é $\mathcal{F}_s$-mensurável temos a seguinte igualdade

$$\mathbb{P}(X^{s,Z}_t\leq y|\mathcal{F}_s)=\mathbb{P}(X_t^{s,x}\leq y)\bigg|_{x=Z}, \forall y\in \mathbb{R}.$$

Em particular, $Z=X_s$, temos
$$\mathbb{P}(X^{s,X_s}_t\leq y|\mathcal{F}_s)=\mathbb{P}(X_t^{s,x}\leq y)\bigg|_{x=X_s}, \forall y\in \mathbb{R}.$$

Agora, desde que $X_t$ é uma solução da equação, temos
$$X_t=X_s+\int_s^t \sigma(u,X_u)dB(u)+\int_s^t f(u,X_u)du, \quad \quad s\leq t\leq b.$$

Mas $X_t^{s,X_s}$ é também solução. Portanto, pela unicidade da solução temos que $X_t=X_t^{s,X_s}$. Então, temos que

$$\mathbb{P}(X_t\leq y|\mathcal{F}_s)=\mathbb{P}(X_t^{s,x}\leq y)\bigg|_{x=X_s}, \forall y\in \mathbb{R}.$$
o qual é mensurável com respeito a $\sigma$-álgebra gerada por $X_s$. Portanto concluímos que
$$\mathbb{P}(X_t\leq y|X_s)=\mathbb{E}[\mathbb{P}(X_t\leq y| \mathcal{F}_s)|X_s]=\mathbb{P}(X_t\leq y|\mathbb{F}_s)\quad \quad \forall s\textless t,y\in \mathbb{R}.$$

Então pela

$$\mathbb{P}(X_t\leq x|\mathcal{F}_s)=\mathbb{P}(X_t\leq x|X_s), \quad \forall s\textless t, x\in mathbb{R}$$

o processo estocástico $X_t$ é um processo de Markov. Portanto, temos que a prova do teorema a seguir

Teorema 10.5.2.1: Seja $\sigma(t,x)$ e $f(t,x)$ uma função mensurável em $[a,b]\times \mathbb{R}$, satisfazendo as condições de crescimento linear e Lipschitz em x. Suponha que $\xi$ seja uma variável $\mathcal{F}_a$-mensurável com $\mathbb{E}(\xi^2)\textless \infty$. Então, a única solução contínua da equação estocástica
$$X_t=\xi+\int_s^t \sigma(u,X_u)dB(u)+\int_s^t f(u,X_u)du, \quad \quad s\leq t\leq b.$$
é um processo de Markov.
 

Observe que a solução de $X_t$ satisfaz
$$\mathbb{P}(X_t\leq y|X_s)=\mathbb{E}[\mathbb{P}(X_t\leq y| \mathcal{F}_s)|X_s]=\mathbb{P}(X_t\leq y|\mathbb{F}_s)\quad \quad \forall s\textless t,y\in \mathbb{R}.$$
a qual é mais forte sobre do que a propriedade de Markov de $X_t$. Na verdade a solução de $X_t$ satisfaz propriedades ainda mais forte, a qual utiliza o conceito de tempos de parada introduzido anteriormente. Seja $\tau$ um tempo de parada com respeito a filtragem $\{\mathcal{F}_t, a\leq t\leq b\}$ dado um movimento Browniano $B(t)$. A $\sigma$-algebra $\mathcal{F}_\tau$ associada com $\tau$ é definida por

$$\mathcal{F}_\tau=\{A,A\cap \{\tau\textless t\}\in \mathcal{F}_t, \forall t\in [a,b]\}.$$

Então, podemos provar que para qualquer tempo de parada $\tau$ com respeito a filtragem $\{\mathcal{F}_t\}$, o processo estocástico $X_t$ satisfaz a seguinte igualdade
$$\mathbb{P}(X_{\tau+v}\leq y|\mathcal{F}_\tau)=\mathbb{P}(X_{\tau+v}\leq y| X_\tau), \quad \forall v\geq 0, y\in \mathbb{R},$$
o que pode ser entendido como $X_{\tau(\omega)+v}(\omega)=X_b(\omega)$ se $\tau(\omega)+v\geq b$. A equação acima é chamada de propriedade forte de Markov de $X_t$. Note que quando $\tau=s$ e $v-t-s$ a equação acima se reduz novamente a
$$\mathbb{P}(X_t\leq y|X_s)=\mathbb{E}[\mathbb{P}(X_t\leq y| \mathcal{F}_s)|X_s]=\mathbb{P}(X_t\leq y|\mathbb{F}_s)\quad \quad \forall s\textless t,y\in \mathbb{R}.$$
Então, a propriedade forte de Markov implica na equação acima a qual implica na propriedade de Markov.

Em seguida considere a integral estocástica com funções $\sigma$ e $f$ dependendo apenas de $x$. Neste caso, observe que a condição de Lipschitz
$$|g(x)|\leq |g(x)-g(0)|+|g(0)|\leq K|x|+|g(0)|\leq C(1+|x|),$$
no qual $C=\max\{K,|g(0)|\}$. Portanto a condição de crescimento linear decorre da condição de Lipschitz.

Teorema 10.5.2: Assumindo que $\sigma(x)$ e $f(x)$ são funções que satisfaz a condição de Lipschitz e seja $x_0\in \mathbb{R}$. Então a única solução contínua da integral estocástica
$$X_t=x_0+\int_0^t\sigma(X_s)dB(s)+\int_0^t f(X_s)ds, \quad t\geq 0,$$
é um processo de Markov estacionário.
Demonstração: Seja $s\geq 0$ e $x\in \mathbb{R}$ fixado e considere o seguinte equação
$$X_t=x+\int_s^t \sigma(X_u)dB(u)+\int_s^t f(X_u)du, t\geq s.$$
Seja $X_t^{s,x}$ denotando a única solução contínua da equação acima. Então
$$X_t^{s,x}=x+\int_s^t\sigma(X^{s,x}_u)dB(u)+\int_s^t f(X_u^{s,x})du$$
Fazendo uma mudança de variável $u=s+v$ temos
$$X_t^{s,x}=x+\int_0^{t-s}\sigma(X^{s,x}_{s+v})dB(s+v)+\int_0^{t-s}f(X^{s,x}_{s+v})dv.$$
Seja $\tilde{B}_s(t)=B(s+t)-B(s)$. Pela Proposição 8.1 $\tilde{B}_s(t)$ é m movimento Browniano para cada s fixado. Além disso, os incrementos de $\tilde{B}_s(t)$ e $B(t)$ são relacionado por $\tilde{B}_s(t_2)-\tilde{B}_s(t_1)=B(s+t_2)-B(s+t_1)$. Então a equação
$$X_t^{s,x}=x+\int_0^{t-s}\sigma(X^{s,x}_{s+v})dB(s+v)+\int_0^{t-s}f(X^{s,x}_{s+v})dv.$$
pode ser reescrita como
$$X_t^{s,x}=x+\int_0^{t-s}\sigma(X^{s,x}_{s+v})d\tilde{B}_s(v)+\int_0^{t-s}f(X^{s,x}_{s+v})dv$$
Fazendo mudança de variáveis $t=s+w$ temos
$$X_{s+w}^{s,x}=x+\int_0^w \sigma(X^{s,x}_{s+v})d\tilde{B}_s(v)+\int_0^w f(X^{s,x}_{s+v})dv$$

Então, substituindo a variável w por t:
$$X^{s,x}_{s+t}=x+\int_0^t \sigma(X^{s,x}_{s+v})d\tilde{B}_s(v)+\int_0^t f(X^{s,x}_{s+v})dv, \quad t\geq 0.$$
o que significa que para qualquer $s\textgreater 0$ fixado, o processo estocástico $X^{s,x}_{s+t}$, $t\geq 0$, é uma solução de
$$Y_{t}=x+\int_0^t \sigma(Y_u)d\tilde{B}_s(v)+\int_0^w f(Y_u)du, \quad t\geq 0.$$
Do procedimento procedimento de aproximação da prova do Teorema 10.5.1 vemos então que a distribuição da solução de $X^{s,x}_{s+t}$ é independente de s. Portanto,
$$\mathbb{P}(X^{s,x}_{s+t}\in A)=\mathbb{P}(X_t^{0,x}\in A), \quad \forall A\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$$
Seja $\mathbb{P}_{s,x}(t,\cdot)$ denota a probabilidade de transição da solução $X_t$ dada por
$$X_t=x_0+\int_0^t\sigma(X_s)dB(s)+\int_0^t f(X_s)ds, \quad t\geq 0,$$
Então, podemos reescrever
$$\mathbb{P}(X^{s,x}_{s+t}\in A)=\mathbb{P}(X_t^{0,x}\in A), \quad \forall A\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$$
como sendo
$$\mathbb{P}_{s,x}(s+t,A)=\mathbb{P}_{0,x}(t,A),\quad \forall A\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$$
Isto significa que para qualquer $t\geq 0$ e $x\in \mathbb{R}$, a medida de probabilidade $\mathbb{P}_{s,x}(s+t,\cdot)$ é independente de $s\geq 0$. Então o processo estocástico $X_t$ é estacionário.
 

Exemplo 10.5.2.1: Considere uma equação diferencial simples
$$dX_t=X_tdB(t)+dt,\quad \quad X_0=x.$$
Pelo teorema anterior, a solução desta SDE (sigla em inglês para Equação Diferencial Estocástica) é um processo de Markov estacionário. Por outro lado, podemos resolver explicitamente a equação acima. Aplicando a formula de Itô, temos
$$d(e^{-B(t)+\frac{1}{2}t}X_t)=e^{-B(t)+\frac{1}{2}t}(dX_t-X_tdB(t))=e^{-B(t)+\frac{1}{2}t}dt$$
Integrando ambos os lados de s a t, temos
$$X_t=e^{(-B(t)-B(s))-\frac{1}{2}(t-s)}X_s+\int_s^t e^{(B(t)-B(u))-\frac{1}{2}(t-u)}du$$
Em particular
$$X_t=xe^{B(t)-\frac{1}{2}t}+\int_0^t e^{(B(t)-B(u))-\frac{1}{2}(t-u)}du$$
Além do mais,
$$X^{s,x}_{s+t}=xe^{B(s+t)-B(s)-\frac{1}{2}t}+\int_s^{s+t} e^{(B(s+t)-B(u))-\frac{1}{2}(s+t-u)}du$$
o qual, após fazer uma mudança de variável $u=s+v$, temos
$$X^{s,x}_{s+t}=xe^{B(s+t)-B(s)-\frac{1}{2}t}+\int_0^{t} e^{(B(s+t)-B(u))-\frac{1}{2}(s+t-u)}du$$
Note que $B(s+t)-B(s)$ é um movimento Browniano para qualquer $s\geq 0$ fixado. Portanto, a distribuição de $X^{s,x}_{s+t}$ é independente de s. O que mostra que o processo $X_t$ é um processo de Markov estacionário.
 

A seguir considere a dependência de uma solução de um equação diferencial estocástica em sua condição inicial. É dado pelo próximo teorema.

Teorema 10.5.2.3: Seja $\sigma$ e $f$ e satisfazendo a condição de Lipschitz em x, existe uma constante $K\textgreater 0$, tal que
$$|\sigma(t,x)-\sigma(t,y)|\leq K|x-y|,  \quad \quad |f(t,x)-f(t,y)|\leq K|x-y|,$$
para todo $t\in [a,b]$ e $x,y \in \mathbb{R}$. Seja $\xi,\eta \in L^2(\Omega)$ funções em $\mathcal{F}_a$-mensurável. Assumindo que $X^{\xi}_t$ e $X^\eta_t$ são duas soluções para a equação diferencial estocástica
$$dX_t=\sigma(t,X_t)dB(t)+f(t,X_t)dt$$
com condição inicial $\xi$ e $\eta$, respectivamente. Então
$$\mathbb{E}(|X^{\xi}_t-X^{\eta}_t|^2)\leq 3 \mathbb{E}(|\xi-\eta|^2)e^{2K^2(1+b-1)(t-a)}, \quad \forall a\leq t\leq b.$$
Demonstração:
Temos que
$$X_t^\xi=\xi+\int_a^t\sigma(s,X_s^\xi)dB(s)+\int_a^t f(s,X^\xi_s)ds$$

$$X_t^\eta=\eta+\int_a^t\sigma(s,X_s^\eta)dB(s)+\int_a^t f(s,X^\eta_s)ds$$
 

Observação: Existe outra parte da desigualdade de Doob's para submartingale, afirma que se $Y_t$, $a\leq t\leq b$ é um submartingale contínua a direita, então
$$\mathbb{E}\left(\left[\sup_{a\leq t\leq b}|Y_t|\right]^p\right)\leq q^p\mathbb{E}(|Y_b|^p),$$
no qual $p\textgreater 1$ e $p^{-1}+q^{-1}=1$. Usando essa desigualdade com $p=2$ e argumentos similares a prova acima, podemos obter uma estimativa mais forte para qualquer $a\leq t\leq b$:

$$\mathbb{E}\left(\left[\sup_{a\leq t\leq b}|X^\xi_t-X^\eta_s|\right]^2\right)\leq 3\mathbb{E}(|\xi-\eta|^2)e^{3K^2(4+b-a)(t-a)},$$
Portanto,
$$|X^\xi_t-X^\eta_t|\leq |\xi-\eta|+\Big|\int_a^t(\sigma(s,X_s^\xi)-\sigma(s,X^\eta_s))dB(s)\Big|$$
$$+\Big|\int_a^t (f(s,X^\xi_s)-f(s,X^\eta_s))ds\Big|.$$
Usando a desigualdade $(|a|+|b|+|c|)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$, temos que
$$|X^\xi_t-X^\eta_t|^2\leq 3\left\{|\xi-\eta|^2+\Big|\int_a^t (\sigma(s,X^\xi_s)-\sigma(s,X^\eta_s))dB(s)\Big|^2+\Big|\int_a^t (f(s,X^\xi_s)-f(s,X^\eta_s))ds\Big|^2\right\}$$
$$3\left\{|\xi-\eta|^2+\Big|\int_a^t (\sigma(s,X^\xi_s)-\sigma(s,X^\eta_s))dB(s)\Big|^2+(b-a)\int_a^t |f(s,X^\xi_s)-f(s,X^\eta_s)|^2ds\right\}$$
Então, tomando a esperança em ambos os lados

$$\mathbb{E}(|X^\xi_t-X^\eta_t|^2)\leq 3\left\{\mathbb{E}(|\xi-\eta|^2)+\mathbb{E}\left(\int_a^t |\sigma(s,X^\xi_s)-\sigma(s,X^\eta_s)|^2dB(s)\right)+\mathbb{E}\left(\int_a^t |f(s,X^\xi_s)-f(s,X^\eta_s)|^2ds\right)\right\}$$
$$3\mathbb{E}(|\xi-\eta|^2)+3K^2(1+b-a)\int_a^t \mathbb{E}(|X^\xi_s-X^\eta_s|^2)ds$$
No qual a última desigualdade decorre da desigualdade de Bellman-Gronwall.
E portanto o resultado segue.
 

Algumas estimativas de soluções

 

Nesta seção, iremos provar algumas estimativas para a integral Itô e para as soluções de equações diferenciais estocásticas.

Lema 10.5.2.1: Suponha que $h(t)$ e um processo estocástico adaptado satisfazendo
$$\displaystyle \int_a^b\mathbb{E}\left(|h(s)|^4\right)ds \textless \infty$$
e seja
$$\displaystyle Y_t=\int_a^t h(s) dB(s),\quad \quad a\leq t\leq b \textless \infty$$
Então,
$$\displaystyle \mathbb{E}(|Y_t|^4)\leq 2(17+4\sqrt{17})(t-a)\int_a^t\mathbb{E}(|h(s)|^4)ds, a\leq t\leq b.$$
Demonstração:
Aplicando a formula de Itô, temos
$$Y_t^2=2\displaystyle \int_a^t Y_sh(s)dB(s)+\int_a^th(s)^2ds.$$
A hipótese em $h(t)$ implica que $Y_th(t)$ pertence que $L^2_{ad}([a,b]\times \Omega)$. Pela desigualdade $(a+b)^2\leq 2a^2+2b^2$,
$$Y_t^4\leq 8\left(\displaystyle \int_a^t Y_sh(s)dB(s)\right)^2+2\left(\displaystyle \int_a^t h^2(s)dB(s)\right)^2$$
Então usando o Teorema 10.2.3 
$$\mathbb{E}(Y_t^4)\leq 8 \displaystyle \int_a^t \mathbb{E}(Y^2_sh(s)^2)ds+2\mathbb{E}\left(\int_a^th(s)^2ds\right)^2$$
$$\leq 8 \displaystyle \left[\int_a^t \mathbb{E}(Y^4_s)ds\right]^{1/2}\left[\int_a^t\mathbb{E}\left(h(s)^4\right)ds\right]^{1/2}+2(t-a)\int_a^t\mathbb{E}(h(s)^4)ds.$$
Integrando ambos os lados e usando desigualdade de Schwarz temos
$$\displaystyle \int_a^t\mathbb{E}\left(Y^4_s\right)ds \leq 8 \displaystyle \left[\int_a^t \int_a^s \mathbb{E}(Y^4_u)duds\right]^{1/2}\left[\int_a^t\int_a^s\mathbb{E}\left(h(u)^4\right)duds\right]^{1/2}+2\int_a^t(s-a)\int_a^s\mathbb{E}(h(u)^4)duds.$$
Mudando a ordem da integração temos que
$$\displaystyle \int_a^t\int_a^s\mathbb{E}\left(Y^4_s\right)duds = \displaystyle \int_a^t (t-u)\mathbb{E}(Y^4_u)du\leq (t-a)\int_a^t\mathbb{E}\left(Y_u^4\right)du$$
Similarmente, temos que
$$\displaystyle \int_a^t\int_a^s \mathbb{E}(h(u)^4)duds\leq (t-a)\int_a^t\mathbb{E}(h(u)^4)du$$
$$\displaystyle \int_a^t(s-a)\int_a^s \mathbb{E}(h(u)^4)duds\leq \frac{1}{2}(t-a)^2\int_a^t\mathbb{E}(h(u)^4)du$$
Agora usando as desigualdades acima e fazendo uma mudança de variável, temos que
$$\int_a^t \mathbb{E}(Y_s^4)ds \leq 8(t-a)\left[\int_a^t\mathbb{E}(Y^4_s)ds\right]^{1/2}\left[\int_a^t\mathbb{E}(h(s)^4)ds\right]^{1/2}+(t-a)^2\int_a^t\mathbb{E}(h(s)^4)ds.$$
Seja $x=\displaystyle \int_a^t \mathbb{E}(Y^4_s)ds$ e $y=\displaystyle \int_a^t \mathbb{E}(h(s)^4)ds$. Podemos assumir $y\neq 0$, por caso ele seja igual a zero, o Lema já válido. Então seja $w=\sqrt{x}/\sqrt{y}$. Então, temos que $w^2\leq 8(t-a)w+(t-a)^2$, o qual temos que $w\leq (4+|sqrt{17})(t-a)$. Segue que
$$\int_a^t\mathbb{E}(Y_s^4)ds\leq (4+\sqrt{17})^2(t-a)^2\int_a^t\mathbb{E}(h(s)^4)ds.$$
Então, o resultado segue.
 

Teorema 10.5.2.4: Seja $\sigma(t,x)$ e $f(t,x)$ satisfazendo a condição de Lipschitz em x e seguindo a condição de crescimento
$$|\sigma(t,x)|^2\leq C(1+x^2), \quad \quad \quad \quad |f(t,x)|^2\leq C(1+x^2)$$
Suponha $\xi$ é uma variável aleatória $\mathcal{F}_a$-mensurável com $\mathbb{E}(\xi^4)\textless \infty$. Então a solução de $X_t$ da equação estocástica
$$X_t=\xi+ \int_a^t \sigma(s,X_s)dB(s)+\int_a^t f(s,X_s)ds, \quad \quad a\leq t\leq b,$$
satisfaz a desigualdades
$$\mathbb{E}(|X_t|^4)\leq \{27\mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)\}e^{C_1(t-a)},$$
$$\mathbb{E}(|X_t-\xi|^4)\leq C_2\{1+27\mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)\}(t-a)^2e^{C_1(t-a)}$$
com $C_1$ e $C_2$ são dados por
$$C_1=54\{2(17+4\sqrt{17})+(b-a)^2\}(b-a)C^2$$
$$C_2=16\{2(17+4\sqrt{17})+(b-a)^2\}C^2.$$
Demonstração: Usando a desigualdades $(a+b+c)^4\leq 27(a^4+b^4+c^4)$, Lema 10.5.2.1 e desigualdades de Holder obtemos
$$\mathbb{E}(|X_t|^4)\leq 27\mathbb{E}(\xi^4)+27\tilde{C}(t-a)\int_a^t\mathbb{E}(\sigma(s,X_s)^4)ds+ 27(t-a)^3 \int_a^t \mathbb{E}(f(s,X_s)^4)ds$$
$$\leq 27\mathbb{E}(xi^4)+27\tilde{C}(b-a)\int_a^t\mathbb{E}(\sigma(s,X_s)^4)ds+27(b-a)^3\int_a^t\mathbb{E}(f(s,X_s)^4)ds,$$
no qual $\tilde{C}=2(17+4\sqrt{17})$ é uma constante do Lema 10.5.2.1. Então usando a condição de crescimento e a desigualdade
$$(1+x^2)^2\leq 2(1+x^4)$$
para obter que
$$\mathbb{E}(|X_t|^4)\leq 27 \mathbb{E}(\xi^4)+C_1\int_a^t[1+\mathbb{E}(|X_s|^4)]ds,$$
no qual $C_1=54\{\tilde{C}+(b-a)^2\}(b-a)C^2$. Assim sendo, temo que
$$\mathbb{E}(|X_t|^4)\leq 27 \mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)+C_1\int_a^t \mathbb{E}(|X_s|^4)ds,$$
o que implica que a equação acima pela desigualdade de Bellman-Gronwall.
Agora usando a desigualdade $(a+b)^4\leq 8(a^4+b^4)$, Lema 10.5.2.1 e a desigualdade de Holder obtemos que
$$\mathbb{E}(|X_t-\xi|^4)\leq 8\tilde{C}(t-a)\int_a^t \mathbb{E}(\sigma(s,X_s)^4)ds+8(t-a)^3\int_a^t \mathbb{E}(f(s,X_s)^4)ds$$
$$ 8(t-a)\left(\tilde{C}\int_a^t \mathbb{E}(\sigma(s,X_s)^4)ds+(b-a)^2\int_a^t \mathbb{E}(f(s,X_s)^4)ds\right)$$
Portanto, pela equação acima e a desigualdade $(1+x^2)^2\leq 2(1+x^4)$,
$$\mathbb{E}(|X_t-\xi|^4)\leq 16\{\tilde{C}+(b-a)^2\}C^2(t-a)\int_a^t (1+\mathbb{E}(|X_s|^4))ds.$$
Além disso, pela equação acima e pela desigualdade $e^x-1\leq xe^x$ para $x\geq 0$,
$$\int_a^t \mathbb{E}(|X_s|^4)ds\leq \{27 \mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)\}(t-a)e^{C_1(t-a)}.$$
Finalmente, colocando a equação

$$\int_a^t \mathbb{E}(|X_s|^4)ds\leq \{27 \mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)\}(t-a)e^{C_1(t-a)}.$$

na equação

$$\int_a^t \mathbb{E}(|X_s|^4)ds\leq \{27 \mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)\}(t-a)e^{C_1(t-a)}.$$

junto com a desigualdade

$$\mathbb{E}(|X_t-\xi|^4)\leq C_2\{1+27\mathbb{E}(\xi^4)+C_1(b-a)\}(t-a)^2e^{C_1(t-a)}$$

o resultado segue.
 

Processo Estocástico

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