10.5.3 - Equações Diferenciais Estocástica Lineares

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Nessa seção nossa meta é mostrar explicitamente a solução da equação diferencial estocástica linear.

Considere uma equação diferencial linear de primeira ordem
$$\frac{dx_t}{dt}=f(t)x_t+g(t), \quad \quad a\leq t\leq b, \quad \quad x_a=x,$$
no qual $f(t)$ é uma função contínua. Para resolver essa equação diferencial,
$$\left(\frac{dx_t}{dt}-f(t)x_t\right)=g(t), \quad \quad a\leq t\leq b, \quad \quad x_a=x,$$
definimos
$$h(t)=e^{-\int_a^tf(s)ds}$$
multiplicando $h(t)$ em ambos os lados obtemos
$$h(t)\left(\frac{dx_t}{dt}-f(t)x_t\right)=h(t)g(t)$$
Agora, note que
$$\frac{d}{dt}(h(t)x_t)=h(t)\left(\frac{dx_t}{dt}-f(t)x_t\right)$$
então obtemos que
$$\frac{d}{dt}(h(t)x_t)=h(t)g(t),$$
o qual a solução é dada por
$$h(t)x_t=x+\int_a^th(s)g(s)ds$$
Portanto, a solução de $x_t$ é dada por
$$x_t=xh(t)^{-1}+\int_a^th(t)^{-1}h(s)g(s)ds=xe^{\int_a^t f(s)ds}+\int_a^t g(s)e^{\int_s^t f(u)du}ds.$$
Vamos utilizar as ideias acima para explorar como resolver uma equação estocástica diferencial linear, a qual é definida da forma
$$dX_t=\left\{\phi(t)X_t+\theta(t)\right\}dB(t)+\left\{f(t)X_t+g(t)\right\}dt, \quad \quad X_a=x,$$
o qual é uma expressão simbólica para
$$X_t=x+\int_a^t\left\{\phi(s)X_s+\theta(s)\right\}dB(s)+\int_a^t\left\{f(s)X_s+g(s)\right\}ds, $$
para $a\leq t\leq b$. No mesmo mesmo espírito da equação diferencial linear, podemos ter como palpite o processo exponencial,
$$H_t=e^{-Y_t}, \quad \quad Y_t=\int_a^t f(s)ds+\int_a^t \phi(s)dB(s)-\frac{1}{2}\int_a^t \phi(s)^2ds.$$
Precisamos encontrar $d(H_t X_t)$, pela formula de Itô para o produto, temos
$$d(H_t X_t)=H_tdX_t+X_tdH_t+(dH_t)(dX_t)$$
Aplicando a formula de Itô para encontrar $dH_t$ como segue
$$dH_t=-H_tdY_t+\frac{1}{2}H_t(dY_t)^2$$
$$=H_t\left(-f(t)dt-\phi(t)dB(t)+\frac{1}{2}\phi^2(t)dt\right)+\frac{1}{2}H_t\phi^2(t)$$
$$=H_t\left(-f(t)dt-\phi(t)dB(t)+\phi^2(t)dt\right).$$
Assim, da equação acima e de
$$dX_t=\left\{\phi(t)X_t+\theta(t)\right\}dB(t)+\left\{f(t)X_t+g(t)\right\}dt, \quad \quad X_a=x,$$
temos que
$$(dH_t)(dX_t)=-H_t\phi(t)\left(\phi(t)X_t+\theta(t)\right)dt$$
Juntando tudo, temos que
$$d(H_tX_t)=H_t\left\{dX_t-f(t)X_tdt-\phi(t)X_tdB(t)-\theta(t)\phi(t)dt\right\}.$$
observe que $\left\{dX_t-f(t)X_tdt-\phi(t)X_tdB(t)-\theta(t)\phi(t)dt\right\}$ não é exatamente o que obteríamos movendo os termos envolvendo $X_t$, tem um termo extra $-\theta\phi(t)$. Mas podemos cuidar deste termo extra de forma simples, o que implica que
$$d(H_tX_t)=H_t\left\{dX_t-f(t)X_tdt-\phi(t)X_tdB(t)-\theta(t)\phi(t)dt\right\}.$$
o que produz que
$$H_tX_t=x+\int_a^tH_s\theta(s)dB(s)+\int_a^t H_s\left(g(s)-\theta(s)\phi(s)\right)ds$$
Assim, dividindo ambos os lados por $H_t$, obtemos as solução de $X_t$. Desta forma, obtemos o seguinte teorema.

Teorema 10.5.3.1 - A solução da equação diferencial estocástica linear
$$dX_t=\{\phi(t)X_t+\theta(t)\}dB(t)+\{f(t)X_t+g(t)\}dt, \quad \quad X_a=x,$$
dada por
$$X_t=xe^{Y_t}+\int_a^t e^{Y_t-Y_s}\theta(s)dB(s)+\int_a^t e^{Y_t-Y_s}\{g(s)-\theta(s)\phi(s)\}ds,$$
no qual,
$$Y_t=\displaystyle \int_a^t\phi(s)dB(s)+\int_a^t\{f(s)-\frac{1}{2}\phi(s)^2\}ds.$$
 

Podemos generalizar um pouco mais o Teorema acima. Para isso, suponha que $Z_t$ é um processo de Itô e considere a equação diferencial estocástica linear
$$dX_t=\{\phi(t)X_t+\theta(t)\}dZ(t)+\{f(t)X_t+g(t)\}dt, \quad \quad X_a=x,$$
para resolver essa equação, temos duas opções a primeira delas é usando a formula de Itô para reescrever a equação acima e então usar o teorema e obter a solução em função de $B(t)$.
A segunda opção é encontrar a formula em termo do processo $Z_t$, para isso podemos simplesmente passar por cada etapa da derivação acima modificando os cálculos. A solução é dada por
$$X_t=xe^{Y_t}+\int_a^t e^{Y_t-Y_s}\theta(s)dZ_s+\int_a^t e^{Y_t-Y_s}g(s)ds-\int_a^t e^{Y_t-Y_s}\theta(s)\phi(s)d\langle Z\rangle_s$$
no qual $d\langle Z\rangle_s$ é dado pelo Teorema 10.3.3 e
$$Y_t=\displaystyle \int_a^t \phi(s)dZ_s+\int_a^t f(s)ds-\frac{1}{2}\int_a^t \phi(s)^2d\langle Z\rangle_s$$

Desta forma, obtemos o seguinte corolário

Corolário 10.5.3.1: A solução da equação diferencial estocástica linear
$$dX_t=\{\phi(t)X_t+\theta(t)\}dZ(t)+\{f(t)X_t+g(t)\}dt, \quad \quad X_a=x,$$
dada por
$$X_t=xe^{Y_t}+\int_a^t e^{Y_t-Y_s}\theta(s)dZ_s+\int_a^t e^{Y_t-Y_s}g(s)ds-\int_a^t e^{Y_t-Y_s}\theta(s)\phi(s)d\langle Z\rangle_s$$
no qual,
$$Y_t=\displaystyle \int_a^t \phi(s)dZ_s+\int_a^t f(s)ds-\frac{1}{2}\int_a^t \phi(s)^2d\langle Z\rangle_s$$
com $Z_t$ sendo um processos de Itô.

Exemplo 10.5.3.1: Seja $dZ_t=\alpha dB(t)-\beta Z_t dt$ um processo Ornstein-Uhlenbeck e considere a equação diferencial estocástica
$$dX_t=(X_t+1)dZ_t+X_tdt, \quad \quad X_0=x$$
Podemos aplicar a formula do corolário, neste caso como $d\langle Z\rangle_s = \alpha^2 ds$ obtemos
$$X_t=xe^{Z_t+\left(1-\frac{\alpha^2}{2}\right)}+\int_a^t e^{Z_t-Z_s+(1-\frac{1}{2}\alpha^2)(t-s)}dZ_s-\alpha^2\int_a^t e^{Z_t-Z_s+(1-\frac{1}{2}\alpha^2)(t-s)}ds$$

Processo Estocástico

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