10.5.3 - Equações Diferenciais Estocástica Lineares

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Nessa seção nossa meta é mostrar explicitamente a solução da equação diferencial estocástica linear.

Considere uma equação diferencial linear de primeira ordem

$$\frac{dx_t}{dt}=f(t)x_t+g(t), \quad \quad a\leq t\leq b, \quad \quad x_a=x,$$

no qual $ f(t) $ é uma função contínua. Para resolver essa equação diferencial,

$$\left(\frac{dx_t}{dt}-f(t)x_t\right)=g(t), \quad \quad a\leq t\leq b, \quad \quad x_a=x,$$

definimos

$$h(t)=e^{-\int_a^tf(s)ds}$$

multiplicando $ h(t) $ em ambos os lados obtemos

$$h(t)\left(\frac{dx_t}{dt}-f(t)x_t\right)=h(t)g(t)$$

Agora, note que

$$\frac{d}{dt}(h(t)x_t)=h(t)\left(\frac{dx_t}{dt}-f(t)x_t\right)$$

então obtemos que

$$\frac{d}{dt}(h(t)x_t)=h(t)g(t),$$

o qual a solução é dada por

$$h(t)x_t=x+\int_a^th(s)g(s)ds$$

Portanto, a solução de $ x_t $ é dada por

$$x_t=xh(t)^{-1}+\int_a^th(t)^{-1}h(s)g(s)ds=xe^{\int_a^t f(s)ds}+\int_a^t g(s)e^{\int_s^t f(u)du}ds.$$

Vamos utilizar as ideias acima para explorar como resolver uma equação estocástica diferencial linear, a qual é definida da forma

$$dX_t=\left\{\phi(t)X_t+\theta(t)\right\}dB(t)+\left\{f(t)X_t+g(t)\right\}dt, \quad \quad X_a=x,$$

o qual é uma expressão simbólica para

$$X_t=x+\int_a^t\left\{\phi(s)X_s+\theta(s)\right\}dB(s)+\int_a^t\left\{f(s)X_s+g(s)\right\}ds, $$

para $ a\leq t\leq b $. No mesmo mesmo espírito da equação diferencial linear, podemos ter como palpite o processo exponencial,

$$H_t=e^{-Y_t}, \quad \quad Y_t=\int_a^t f(s)ds+\int_a^t \phi(s)dB(s)-\frac{1}{2}\int_a^t \phi(s)^2ds.$$

Precisamos encontrar $ d(H_t X_t) $, pela formula de Itô para o produto, temos

$$d(H_t X_t)=H_tdX_t+X_tdH_t+(dH_t)(dX_t)$$

Aplicando a formula de Itô para encontrar $ dH_t $ como segue

$$dH_t=-H_tdY_t+\frac{1}{2}H_t(dY_t)^2$$

$$=H_t\left(-f(t)dt-\phi(t)dB(t)+\frac{1}{2}\phi^2(t)dt\right)+\frac{1}{2}H_t\phi^2(t)$$

$$=H_t\left(-f(t)dt-\phi(t)dB(t)+\phi^2(t)dt\right).$$

Assim, da equação acima e de

$$dX_t=\left\{\phi(t)X_t+\theta(t)\right\}dB(t)+\left\{f(t)X_t+g(t)\right\}dt, \quad \quad X_a=x,$$

temos que

$$(dH_t)(dX_t)=-H_t\phi(t)\left(\phi(t)X_t+\theta(t)\right)dt$$

Juntando tudo, temos que

$$d(H_tX_t)=H_t\left\{dX_t-f(t)X_tdt-\phi(t)X_tdB(t)-\theta(t)\phi(t)dt\right\}.$$

observe que $ \left\{dX_t-f(t)X_tdt-\phi(t)X_tdB(t)-\theta(t)\phi(t)dt\right\} $ não é exatamente o que obteríamos movendo os termos envolvendo $ X_t $, tem um termo extra $ -\theta\phi(t) $. Mas podemos cuidar deste termo extra de forma simples, o que implica que

$$d(H_tX_t)=H_t\left\{dX_t-f(t)X_tdt-\phi(t)X_tdB(t)-\theta(t)\phi(t)dt\right\}.$$

o que produz que

$$H_tX_t=x+\int_a^tH_s\theta(s)dB(s)+\int_a^t H_s\left(g(s)-\theta(s)\phi(s)\right)ds$$

Assim, dividindo ambos os lados por $ H_t $, obtemos as solução de $ X_t $. Desta forma, obtemos o seguinte teorema.

Teorema 10.5.3.1 - A solução da equação diferencial estocástica linear

$$dX_t=\{\phi(t)X_t+\theta(t)\}dB(t)+\{f(t)X_t+g(t)\}dt, \quad \quad X_a=x,$$

dada por

$$X_t=xe^{Y_t}+\int_a^t e^{Y_t-Y_s}\theta(s)dB(s)+\int_a^t e^{Y_t-Y_s}\{g(s)-\theta(s)\phi(s)\}ds,$$

no qual,

$$Y_t=\displaystyle \int_a^t\phi(s)dB(s)+\int_a^t\{f(s)-\frac{1}{2}\phi(s)^2\}ds.$$

 

Podemos generalizar um pouco mais o Teorema acima. Para isso, suponha que $ Z_t $ é um processo de Itô e considere a equação diferencial estocástica linear

$$dX_t=\{\phi(t)X_t+\theta(t)\}dZ(t)+\{f(t)X_t+g(t)\}dt, \quad \quad X_a=x,$$

para resolver essa equação, temos duas opções a primeira delas é usando a formula de Itô para reescrever a equação acima e então usar o teorema e obter a solução em função de $ B(t) $.
A segunda opção é encontrar a formula em termo do processo $ Z_t $, para isso podemos simplesmente passar por cada etapa da derivação acima modificando os cálculos. A solução é dada por

$$X_t=xe^{Y_t}+\int_a^t e^{Y_t-Y_s}\theta(s)dZ_s+\int_a^t e^{Y_t-Y_s}g(s)ds-\int_a^t e^{Y_t-Y_s}\theta(s)\phi(s)d\langle Z\rangle_s$$

no qual $ d\langle Z\rangle_s $ é dado pelo Teorema 10.3.3 e

$$Y_t=\displaystyle \int_a^t \phi(s)dZ_s+\int_a^t f(s)ds-\frac{1}{2}\int_a^t \phi(s)^2d\langle Z\rangle_s$$

Desta forma, obtemos o seguinte corolário

Corolário 10.5.3.1: A solução da equação diferencial estocástica linear

$$dX_t=\{\phi(t)X_t+\theta(t)\}dZ(t)+\{f(t)X_t+g(t)\}dt, \quad \quad X_a=x,$$

dada por

$$X_t=xe^{Y_t}+\int_a^t e^{Y_t-Y_s}\theta(s)dZ_s+\int_a^t e^{Y_t-Y_s}g(s)ds-\int_a^t e^{Y_t-Y_s}\theta(s)\phi(s)d\langle Z\rangle_s$$

no qual,

$$Y_t=\displaystyle \int_a^t \phi(s)dZ_s+\int_a^t f(s)ds-\frac{1}{2}\int_a^t \phi(s)^2d\langle Z\rangle_s$$

com $ Z_t $ sendo um processos de Itô.

Exemplo 10.5.3.1: Seja $ dZ_t=\alpha dB(t)-\beta Z_t dt $ um processo Ornstein-Uhlenbeck e considere a equação diferencial estocástica

$$dX_t=(X_t+1)dZ_t+X_tdt, \quad \quad X_0=x$$

Podemos aplicar a formula do corolário, neste caso como $ d\langle Z\rangle_s = \alpha^2 ds $ obtemos

$$X_t=xe^{Z_t+\left(1-\frac{\alpha^2}{2}\right)}+\int_a^t e^{Z_t-Z_s+(1-\frac{1}{2}\alpha^2)(t-s)}dZ_s-\alpha^2\int_a^t e^{Z_t-Z_s+(1-\frac{1}{2}\alpha^2)(t-s)}ds$$

Processo Estocástico

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