10.7 - Teorema de Girsanov

Um resultado fundamental do cálculo estocástico é o teorema de Cameron-Martin-Girsanov. Este resltado nos diz que se mudarmos a média de um processo de Itô, provocamos uma mudança não muio radical na distribuição de probabilidade do processo. 

Considere $ (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade. Podemos introduzir outra probabilidade sobre $ (\Omega, \mathcal{F}) $ de forma que obtemos outro espaço de probabilidade com o mesmo espaço amostral e a mesma $ \sigma- $álgebra de eventos.

Uma maneira fácil de se fazer isso, é considerar uma variável aleatória $ \Theta $ sobre $ (\Omega,\mathcal{F}) $ tal que

\[\Theta\geq 0\ \ e\ \ \mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\Theta]=1,\]

 no qual $ \mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\cdot] $ denota a esperança associada a probabilidade $ \mathbb{P} $. Podemos obter uma probabilidade $ \mathbb{Q} $ sobre $ (\Omega, \mathcal{F}) $ na forma 

\[\mathbb{Q}(A)=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\theta 1\!\!1_A]\ \ \forall A\in\mathcal{F}.\]

Neste caso, temos que$ \mathbb{Q} $ é uma probabilidade tal que 

\[\mathbb{Q}(A)=0\ \text{sempre que}\ \ \mathbb{P}(A)=0.\]

Se duas probabilidades satisfazem a condição acima, dizemos que $ \mathbb{Q} $ é absolutamente contínua com respeito a $ \mathbb{P} $ e denotamos por

\[\mathbb{Q}\ll \mathbb{P}.\]

  De fato, o teorema de Radon-Nikodym afirma  que a construção acima é a única maneira de se obter uma probabilidade $ \mathbb{Q} $, que é absolutamente contínua com respeito a $ \mathbb{P} $. Se $ \mathbb{Q} $ é uma probabilidade sobre $ (\Omega, \mathcal{F}) $ e $ \mathbb{Q}\ll\mathbb{P} $, então existe uma única variável aleatória $ \Theta $ sobre $ (\Omega, \mathcal{F}) $ tal que

\[\mathbb{Q}(A)=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\Theta 1\!\!1_A]\ \ \ \forall A\in\mathcal{F}.\]

 

A variável aleatória $ \Theta $ é denominada derivada de Radon-Nikodym de $ \mathbb{Q} $  com respeito a $ \mathbb{P} $. Simbolicamente, denotamos

\[\Theta=\frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{Q}}.\]

Se $ \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\cdot] $ é a esperança definida com relação a probabilidade $ \mathbb{Q} $, sabemos que

\[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[1\!\!1_A]=\mathbb{Q}(A)=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\Theta 1\!\!1_A]\ \ \forall A\in\mathcal{F}.\]

Portanto, temos que

\[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[X]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\Theta X]\]

 para qualquer variável aleatória $ X $ sobre $ (\Omega, \mathcal{F}). $

A seguir relacionamos a esperança condicional com respeito a probabilidade $ \mathbb{Q} $ em termos da esperança condicional da probabilidade $ \mathbb{P} $.

Proposição 10.6.1:

Seja $ \mathcal{B} $ uma sigma-álgebra tal que $ \mathcal{B}\subset\mathcal{F} $. Então

\[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[X|\mathcal{B}]=\frac{\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\Theta X|\mathcal{B}]}{\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\Theta|\mathcal{B}]}.\]

Prova:

Por conveniência, denotamos 

=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\Theta|\mathcal{B}].\]

A variável $ \psi\geq 0\ \mathbb{P}-a.s $, $ \psi $ é $ \mathcal{B} $-mensurável e

\[\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\psi]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\Theta|\mathcal{B}]]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\Theta]=1.\]

Assim, podemos definir outra probabilidade sobre $ (\Omega, \mathcal{F}) $ tal que

=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\psi 1\!\!1_A].\]

 Note que, para $ A\in \mathcal{B} $, temos que

\[\mathbb{Q}(A)=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\Theta 1\!\!1_A]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\Theta 1\!\!1_A|\mathcal{B}]]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[1\!\!1_A\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\Theta|\mathcal{B}]]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\psi 1\!\!1_A].\]

Desta forma, concluímos que 

\[\mathbb{Q}(A)=\tilde{\mathbb{Q}}(A)\ \ \ \forall A\in\mathcal{B},\]

 o que implica que

\[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[X]=\mathbb{E}_{\tilde{\mathbb{Q}}}[X],\]

 para toda variável aleatoria X $ \mathcal{B}- $mensurável.

Definimos 

=\psi\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[X|\mathcal{B}]\]

Provarmos a proposição é equivalente a provarmos que

\[Y_1=Y_2\ \ \mathbb{Q}-a.s.\]

 Assim, é suficiente mostrarmos que

\[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[Y_1 1\!\!1_A]=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[Y_2 1\!\!1_A]\ \ \ \forall A\in\mathcal{B}\]

Então

\[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[Y_11\!\!1_A]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\psi Y_11\!\!1_A]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\psi\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\Theta X|\mathcal{B}]1\!\!1_A]\]

\[=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\psi\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\psi \Theta X1\!\!1_A|\mathcal{B}]]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\psi \Theta X1\!\!1_A]=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\psi X 1\!\!1_A]\]

 

\[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[Y_21\!\!1_A]=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\psi\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[X|\mathcal{B}]1\!\!1_A]=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\psi X1\!\!1_A|\mathcal{B}]]\]

\[=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\psi X1\!\!1_A|\mathcal{B}]]=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\psi X 1\!\!1_A]\]

$ \square $

Por que precisamos considerar mais do que uma probabilidade? Por exemplo na negociação de um derivativo, quem está vendendo pode ter uma medida de preço justo diferente da medida de preço justo da pessoa que quer comprar.

Uma variável aleatória $ X $ é uma função $ \mathcal{F}- $mensurável \Omega\rightarrow \mathbb{R} $. A variável $ X $ depende de $ \Omega $ e $ \mathcal{F} $, mas não da probabilidade considerada sobre $ (\Omega, \mathcal{F}) $. Porém, a distribuição de $ X $  depende da probabilidade. Se $ \mathbb{P} $ e $ \mathbb{Q} $ são probabilidades sobre $ (\Omega, \mathcal{F}) $, então a função de distribuição de $ X $ com respeito a $ \mathbb{P} $ e $ \mathbb{Q} $ são respectivamente

\[F_{\mathbb{P}}(x)=\mathbb{P}(X\leq x)\ \ \ e\ \ \ F_{\mathbb{Q}}(x)=\mathbb{Q}(X\leq x).\]

Em geral, temos que $ F_{\mathbb{P}}(x)\neq F_{\mathbb{Q}}(x) $. Então a frase $ \emph{X é uma variavel aleatória normal} $, pode ser equivocada se trabalharmos com mais de uma probabilidade.

Exemplo 10.6.2:

Considere $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade e uma variável aleatória $ Z $ sobre este espaço de probabilidade, no qual

\[\mathbb{P}(Z\leq x)=\Phi(x)=\int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}dy\ \ \ x\in\mathbb{R}.\]

Claro que existe muitas variáveis aleatórias sobre $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ tendo distribuição normal padrão. 

Relacionado a variável aleatória $ Z $, sabemos que

\[\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z]=0\ \ \ e\ \ \ Var_{\mathbb{P}}(Z)=1.\]

e também que

\[\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[e^{\mu Z}]=e^{\mu^2/2}.\]

Então

\[\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[e^{\mu Z-\mu^2/2}]=1\]

Portanto podemos introduzir a probabilidade $ \mathbb{Q} $ definida por

\[\mathbb{Q}(A)=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[e^{\mu Z-\mu^2/2}1\!\!1_A]\ \ \ A\in\mathcal{F}.\]

Uma questão de interesse é: qual a distribuição da variável aleatória $ Z $ com respeito a probabilidade $ \mathbb{Q} $?

Temos que

\[\mahhbb{Q}(Z\leq x)=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[e^{\mu Z-\mu^2/2}1\!\!1_{\{Z\leq x\}}]=\int_{-\infty}^xe^{\mu z-\mu^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}dz=\int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(z-\mu)^2/2}dz\]

Isto é, com respeito a probabilidade $ \mathbb{Q} $, a variável aleatória $ Z $ tem distribuição normal com média $ \mu $ e variância $ 1 $

 

Considere um espaço de probabilidade $ (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}) $ e um movimento browniano $ \{B_t\}_{t\geq 0} $ com a filtragem usual denotada por $ \{\mathcal{F}_t\}_{t\geq 0} $. Seja $ \{X_t\}_{t\geq 0} $ um processo estocástico real adaptado a filtragem $ \{\mathcal{F}_t\}_{t\geq 0} $. Vamos assumir que

\[\int_0^T X^2_t dt\textless \infty\ \ \ \mathbb{P}-a.s.\]

Defina

=-\frac{1}{2}\int_0^tX^2_sds+\int_0^tX_sdB_s.\]

Aplicando a fórmula de Itô em $ M_t $, temos que

\[M_t=1+\int_0^tM_sX_sdB_s.\]

Segue então que $ M_t $ é um $ \mathcal{F}_t- $martingale.   

Em particular

\[\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[M_t]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[M_0]=1\ \ \text{para todo}\ t\in [0,T].\]

A partir do martingale $ M $, introduzimos uma nova probabilidade $ \mathbb{Q} $ sobre $ (\Omega, \mathcal{F}) $ definida por

\[\mathbb{Q}(A)=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[M_T1\!\!1_A]\ \ \e \ \ \ \mathbb{Q}_t(A)=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[M_t1\!\!1_A].\]

 

Observe que

\[\mathbb{Q}_t(A)=\mathbb{Q}(A)\ \ \forall A\in\mathcal{F}_t.\]

Teorema 10.6.2:(Teorema de Cameron-Martin-Girsanov)  

Seja $ (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade, $ B_t $ movimento browniano e $ X_t $ como definido acima. Defina

=B_t-\int_0^tX_sds\ \ \ t\in[0,T].\]

Então, para qualquer $ T\geq 0 $ fixado, o processo $ W_t,\ 0\leq t\leq T $ é um $ \mathcal{F}_t- $movimento browniano em $ \mathbb{R} $ com respeito a probabilidade $ \mathbb{Q} $.

Prova:

Vamos provar o teorema com o auxílio da caracterização de Levy do movimento browniano.

Um processo estocástico contínuo $ W=\{W_t\} $ em uum espaço de probabilidade $ (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}) $ é um movimento browniano se, e somente se:

  • $ W_t $ é um martingale com respeito a $ \mathcal{F}_t^{W} $
  • $ W^2_t-t $ é um martingale com respeito a $ \mathcal{F}_t^{W} $ 

Defina

=M_tW_t\]

Aplicando a regra do produto para o calculo de Itô,

\[dK_t=W_tdM_t+M_tdW_t+dW_tdM_t\]

$$=W_tM_tX_tdB_t+M_t(dB_t-X_tdt)+M_tX_tdt$$

$$=\left[W_tM_tX_t+M_t\right]dB_t$$

O que implica que $ K_t=M_tW_t $ é um $ \mathcal{F}_t- $martingale co respeito a $ \mathbb{P} $.

\[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[W_t|\mathcal{F}_s]=\frac{\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[M_tW_t|\mathcal{F}_s]}{\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[M_t|\mathcal{F}_s]}=\frac{M_sW_s}{M_s}=W_s\ \ \mathbb{Q}-a.s\]

 

Vamos utilizar a mesma estratégia para provar que $ W_t^2-t $ é um martingale.

Seja

\[Z_t=g(W_t,t)=W_t^2-t.\]

 

$ W_t $ é um processo de Itô. Aplicando a fórmula de Itô na função $ g(W_t,t) $, temos que

\[dZ_t=2W_tdB_t-2W_tX_tdt\]

A regra do produto para o cálculo de Itô garante que

\[d(Z_tM_t)=dZ_tM_t+Z_tdM_t+dZ_tdM_t\]

\[=2W_tM_tdB_t-2W_tX_tM_tdt+Z_tX_tM_tdB_t+W_tX_tM_tdt\]

\[=(2W_tM_t+Z_tX_tM_t)dB_t\]

Ou seja, o processo $ Z_tM_t $ é um $ \mathcal{F}_t- $martingale com respeito a probabilidade $ \mathbb{P} $.

Aplicando a proposição 10.6.2, temos que

\[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[Z_t|\mathcal{F}_s]=\frac{\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[M_tZ_t|\mathcal{F}_s]}{\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[M_t|\mathcal{F}_s]}=\frac{M_sZ_s}{M_s}=Z_s\ \ \mathbb{Q}-a.s\]

E portanto $ W_t $ é um $ \mathcal{F}_t- $movimento browniano com respeito a probabilidade $ \mathbb{Q} $.

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