10.8 - Representação Martingale

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Seja $ W(t) $ o movimento browniano e $ \mathcal{F} $ a $ \sigma- $álgebra gerada pelo mesmo. Se $ \nu\in L^2(\Omega, [0,T]) $ então como já visto na seção Integral de Itô,

\[X_t=X_0+\int_0^t\nu dW(s)\]

é um martingale com respeito a filtragem gerada pelo movimento browniano. 

Nosso interesse, é saber se podemos representar qualquer martingale com respeito a filtragem $ \mathcal{F} $ como uma média mais uma integral de Itô. O resultado que garante tal representação é conhecido como Teorema de Representação de Martingales. O objetivo desta seção e provar o teorema de representação de martingales. 

Primeiro, vamos apresentar alguns resultados auxiliares.

Lema 10.8.1: 

Seja $ T\textgreater 0 $ fixo. O conjunto das variáveis aleatórias

 t_i\in[0,T], \phi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n), n=1,2,\dots\}\]

é denso em $ L^2(\mathcal{F},\mathbb{P}) $.

Prova:

Seja $ \{t_i\}_{i=1}^{\infty} $ subconjunto denso em $ [0,T] $, e para cada $ n=1,2,\dots $  seja $ \mathcal{H}_n $ a $ \sigma- $álgebra gerada por $ B_{t_1},\dots, B_{t_n} $.

\[\mathcal{H}_n\subset \mathcal{H}_{n+1}.\]

E $ \mathcal{F}_T $ é a menor $ \sigma- $álgebra contendo $ \mathcal{H}_n $ para todo $ n $. Escolha $ g\in L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P}) $. Pelo teorema da convergência martingale, temos que

\[g=\mathbb{E}[g|\mathcal{F}_T]=\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[g|\mathcal{H}_n].\]

Pelo Lema de Doob-Dynkin, podemos escrever, para cada $ n $,

\[\mathbb{E}[g|\mathcal{H}_n]=g_n(B_{t_1},\dots,B_{t_n})\]

para alguma função de Borel mensurável \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} $. Cada $ g_n(B_{t_1},\dots,B_{t_n}) $ pode ser aproximada em $ L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P} ) $ por funções $ \phi_n(B_{t_1},\dots,B_{t_n}) $ com $ \phi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n). $

$ \square $

Lema 10.8.2:

O conjunto $ \mathcal{A} $, dado por 

\[\mathcal{A}=\left\{\exp\left\{\int_0^Th(t)dW(t,\omega)-\frac{1}{2}\int_0^Th^2(t)dt\right\};\ \ \ \ h\inL^2([0,T])\right\},\]

é denso em $ L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P}). $

Prova: 

Suponha $ g\in L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P}) $ ortogonal em $ L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P}) $ a todas as funções do conjunto $ \mathcal{A} $. Então, em particular

=\int_{\Omega}\exp\{\lambda_1B_{t_1}(\omega)+\dots+\lambda_nB_{t_n}(\omega)\}g(\omega)d\mathbb{P}(\omega)=0\]

para todo $ \lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\mathbb{R}^n $ e todo $ t_1,\dots,t_n\in[0,T] $. A função $ G(\lambda) $ é analítica real em $ \lambda\in\mathbb{R}^n $. Então, $ G $ tem uma extensão analítica para o espaço complexo $ \mathbb{C}^n $, dada por

\[G(z)=\int_{\omega}\exp\{z_1B_{t_1}(\omega)+\dots+z_nB_{t_n}(\omega)\}g(\omega)d\mathbb{P}(\omega)\]

para todo $ z\in\mathbb{C}^n $. Desde que $ G=0 $ sobre $ \mathbb{R}^n $ e $ G $ é analítica, $ G=0 $ sobre $ \mathbb{C}^n $. Em particular $ G(iy_1,\dots,iy_n)=0 $ para todo $ y\in\mathbb{R}^n $.   

Tome $ \phi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n) $

\[\int_{\Omega}\phi(B_{t_1},\dots,B_{t_n})g(\omega)d\mathbb{P}(\omega)=\int_{\Omega}(2\pi)^{-n/2}\left(\int_{\mathbb{R}^n}\hat{\phi}(y)e^{i(y_1B_{t_1}+\dots+y_nB_{t_n})}dy\right)g(\omega)d\mathbb{P}(\omega)\]
\[=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}\hat{\phi}(y)\left(\int_{\Omega}e^{i(y_1B_{t_1}+\dots+y_nB_{t_n})}g(\omega)d\mathbb{P}(\omega)\right)dy=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}\hat{\phi}(y)G(iy)dy=0.\]

No qual

\[\hat{\phi}(y)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}\phi(x)e^{-ixy}dx\]

é a transformada de Fourier de $ \phi $ e usando o teorema da transformada inversa de Fourier, temos que

\[\phi(x)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}\hat{\phi}(y)e^{ixy}dy.\]

Assim, se $ g $ é ortogonal ao conjunto $ \mathcal{A} $, temos que $ g $ é ortogonal a um subconjunto denso de $ L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P}) $, e portanto concluímos que $ g=0 $. Então o conjunto $ \mathcal{A} $ é denso em $ L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P}) $.

$ \square $ 

Teorema 10.8.1:(Teorema da Representação de Itô)

Seja $ F\in L^2(\mathcal{F}_T, \mathbb{P}) $ uma variável aleatória. Então existe um único processo estocástico $ f(t,\omega)\in\Nu(0,T) $ tal que

\[F(\omega)=\mathbb{E}[F]+\int_0^Tf(t,\omega)dW(t,\omega).\]

Prova:

Primeiro assuma que $ F $ tenha a seguinte forma

\[F(\omega)=\exp\left\{\int_0^Th(t)dW(t,\omega)-\frac{1}{2}\int_0^Th^2(t)dt\right\}\]

para alguma função $ h\in L^2[0,T] $.

Defina

\[Y(t,\omega)= \exp\left\{\int_0^th(t)dW(s,\omega)-\frac{1}{2}\int_0^th^2(s)ds\right\}\ \ \ \ 0\leq t\leq T.\]

Aplicando a fórmula de no processo $ Y $, temos que

\[dY(t,\omega)=Y(t,\omega)h(t)dW(t,\omega)\]

então

\[Y(t)=1+\int_0^tY(s)h(s)dW(s)\ \ \ \forall t\in[0,T]\]

e assim, $ \mathbb{E}[F]=1 $. Se $ F\in L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P}) $ é arbitrária, pelo lema 10.8.2 podemos aproximar $ F $ por combinações lineares de funções $ F_n $ tal que

\[F_n(\omega)=\exp\left\{\int_0^Tf_n(t)dW(t)-\frac{1}{2}\int_0^Tf_n^2(t)dt\right\}\]

 

 

 

 

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