10.8 - Representação Martingale

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Seja $W(t)$ o movimento browniano e $\mathcal{F}$ a $\sigma-$álgebra gerada pelo mesmo. Se $\nu\in L^2(\Omega, [0,T])$ então como já visto na seção Integral de Itô,\[X_t=X_0+\int_0^t\nu dW(s)\]é um martingale com respeito a filtragem gerada pelo movimento browniano. 

Nosso interesse, é saber se podemos representar qualquer martingale com respeito a filtragem $\mathcal{F}$ como uma média mais uma integral de Itô. O resultado que garante tal representação é conhecido como Teorema de Representação de Martingales. O objetivo desta seção e provar o teorema de representação de martingales. 

Primeiro, vamos apresentar alguns resultados auxiliares.

Lema 10.8.1: 

Seja $T\textgreater 0$ fixo. O conjunto das variáveis aleatórias\[\{\phi(B_{t_1}, \dots ,B_{t_n}): t_i\in[0,T], \phi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n), n=1,2,\dots\}\]é denso em $L^2(\mathcal{F},\mathbb{P})$.

Prova:

Seja $\{t_i\}_{i=1}^{\infty}$ subconjunto denso em $[0,T]$, e para cada $n=1,2,\dots$  seja $\mathcal{H}_n$ a $\sigma-$álgebra gerada por $B_{t_1},\dots, B_{t_n}$.\[\mathcal{H}_n\subset \mathcal{H}_{n+1}.\]

E $\mathcal{F}_T$ é a menor $\sigma-$álgebra contendo $\mathcal{H}_n$ para todo $n$. Escolha $g\in L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P})$. Pelo teorema da convergência martingale, temos que\[g=\mathbb{E}[g|\mathcal{F}_T]=\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[g|\mathcal{H}_n].\]Pelo Lema de Doob-Dynkin, podemos escrever, para cada $n$,\[\mathbb{E}[g|\mathcal{H}_n]=g_n(B_{t_1},\dots,B_{t_n})\]

para alguma função de Borel mensurável $g_n:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$. Cada $g_n(B_{t_1},\dots,B_{t_n})$ pode ser aproximada em $L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P} )$ por funções $\phi_n(B_{t_1},\dots,B_{t_n})$ com $\phi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n).$

$\square$

Lema 10.8.2:

O conjunto $\mathcal{A}$, dado por \[\mathcal{A}=\left\{\exp\left\{\int_0^Th(t)dW(t,\omega)-\frac{1}{2}\int_0^Th^2(t)dt\right\};\ \ \ \ h\inL^2([0,T])\right\},\] é denso em $L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P}).$

Prova: 

Suponha $g\in L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P})$ ortogonal em $L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P})$ a todas as funções do conjunto $\mathcal{A}$. Então, em particular\[G(\lambda):=\int_{\Omega}\exp\{\lambda_1B_{t_1}(\omega)+\dots+\lambda_nB_{t_n}(\omega)\}g(\omega)d\mathbb{P}(\omega)=0\]para todo $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\mathbb{R}^n$ e todo $t_1,\dots,t_n\in[0,T]$. A função $G(\lambda)$ é analítica real em $\lambda\in\mathbb{R}^n$. Então, $G$ tem uma extensão analítica para o espaço complexo $\mathbb{C}^n$, dada por\[G(z)=\int_{\omega}\exp\{z_1B_{t_1}(\omega)+\dots+z_nB_{t_n}(\omega)\}g(\omega)d\mathbb{P}(\omega)\]para todo $z\in\mathbb{C}^n$. Desde que $G=0$ sobre $\mathbb{R}^n$ e $G$ é analítica, $G=0$ sobre $\mathbb{C}^n$. Em particular $G(iy_1,\dots,iy_n)=0$ para todo $y\in\mathbb{R}^n$.   

Tome $\phi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$\[\int_{\Omega}\phi(B_{t_1},\dots,B_{t_n})g(\omega)d\mathbb{P}(\omega)=\int_{\Omega}(2\pi)^{-n/2}\left(\int_{\mathbb{R}^n}\hat{\phi}(y)e^{i(y_1B_{t_1}+\dots+y_nB_{t_n})}dy\right)g(\omega)d\mathbb{P}(\omega)\]\[=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}\hat{\phi}(y)\left(\int_{\Omega}e^{i(y_1B_{t_1}+\dots+y_nB_{t_n})}g(\omega)d\mathbb{P}(\omega)\right)dy=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}\hat{\phi}(y)G(iy)dy=0.\]No qual \[\hat{\phi}(y)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}\phi(x)e^{-ixy}dx\]é a transformada de Fourier de $\phi$ e usando o teorema da transformada inversa de Fourier, temos que\[\phi(x)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}\hat{\phi}(y)e^{ixy}dy.\]

Assim, se $g$ é ortogonal ao conjunto $\mathcal{A}$, temos que $g$ é ortogonal a um subconjunto denso de $L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P})$, e portanto concluímos que $g=0$. Então o conjunto $\mathcal{A}$ é denso em $L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P})$.

$\square$ 

Teorema 10.8.1:(Teorema da Representação de Itô)

Seja $F\in L^2(\mathcal{F}_T, \mathbb{P})$ uma variável aleatória. Então existe um único processo estocástico $f(t,\omega)\in\Nu(0,T)$ tal que\[F(\omega)=\mathbb{E}[F]+\int_0^Tf(t,\omega)dW(t,\omega).\]

Prova:

Primeiro assuma que $F$ tenha a seguinte forma\[F(\omega)=\exp\left\{\int_0^Th(t)dW(t,\omega)-\frac{1}{2}\int_0^Th^2(t)dt\right\}\]para alguma função $h\in L^2[0,T]$.

Defina\[Y(t,\omega)= \exp\left\{\int_0^th(t)dW(s,\omega)-\frac{1}{2}\int_0^th^2(s)ds\right\}\ \ \ \ 0\leq t\leq T.\]

Aplicando a fórmula de no processo $Y$, temos que\[dY(t,\omega)=Y(t,\omega)h(t)dW(t,\omega)\]

então\[Y(t)=1+\int_0^tY(s)h(s)dW(s)\ \ \ \forall t\in[0,T]\]e assim, $\mathbb{E}[F]=1$. Se $F\in L^2(\mathcal{F}_T,\mathbb{P})$ é arbitrária, pelo lema 10.8.2 podemos aproximar $F$ por combinações lineares de funções $F_n$ tal que\[F_n(\omega)=\exp\left\{\int_0^Tf_n(t)dW(t)-\frac{1}{2}\int_0^Tf_n^2(t)dt\right\}\] 

 

 

 

Processo Estocástico

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