10.9 - Integrais Multiplas

Nossa meta é definir a integral múltiplas de Wiener-Itô como

$$\int_a^b\dots\int_a^b f(t,s)dB(t)s\dots dB(s), \quad f\in L^2([a,b]^2)$$

Para isso vamos começar com a Integral dupla e em seguida vamos extender para o caso de integrais múltiplas.

Integrais Duplas

Nossa meta é definir a integral dupla de Wiener-Itô como

$$\int_a^b\int_a^b f(t,s)dB(t)sdB(s), \quad f\in L^2([a,b]^2)$$

Seja $D=\{(t,s)\in [a,b]^2; t=s\}$ denotamos a diagonal do quadrado $[a,b]^2$. Chamaremos de retângulo nessa seção um subconjunto de $[a,b]^2$ da forma $[t_1,t_2)\times[s_1,s_2)$.

Definição 10.9.1: Um função escada é uma função fora da diagonal no quadrado $[a,b]^2$ é definida pela função da forma
$$f=\sum_{i\neq j} a_{ij}\mathds{1}_{[t_{i-1},t_i)\times[t_{j-1},t_j)},$$
com $a=t_0\textless t_1\textless t_2\textless \cdots \textless t_{n-1}\textless t_n=b$.
 

Observe que a função escada fora da diagonal desaparece na diagonal D. Portanto temos que a função $f\equiv 1$ em $[a,b]^2$ não é uma função escada fora da diagonal. Se $A=[t_1,t_2)\times [s_1,s_2)$ é um retângulo disjuntos da diagonal D, então $\mathds{1}_A$ pode ser escrito da forma da definição, tomando $\{t_1,t_2,s_1,s_2\}$ como pontos da partição de $[a,b]$. Assim temos que a função $\mathds{1}_A$ é uma função escada fora da diagonal e isso é valido para qualquer conjunto de retângulos disjuntos de D. Assim, temos que
$$f=\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i \mathds{1}_{A_i}$$
é uma função diagonal desde que $A_i\bigcap D=\emptyset$. Para uma função escada fora da diagonal, temos que a integral de Wiener-Itô múltipla dada por
$$I(f)=\sum_{i\neq j}a_{ij}(B(t_i)-B(t_{i+1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))$$
Mas uma função escada não diagonal não tem representação única, porém $I(f)$ é unicamente definido. Além disso, é fácil ver que
$$I(\alpha f+\beta g)=\alpha I(f)+\beta I(g)$$
para quaisquer funções escadas fora da diagonal e $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.

A simetrização $\bar{f}(t,s)$ da função $f(t,s)$ é dada por
$$\bar{f}(t,s)=\frac{1}{2}(f(t,s)+f(s,t))$$
Claro que $\bar{f}$ é uma função simétrica. Se $f$ é uma função simétrica então $\bar{f}=f$. Para a função $f(t,s)=t$ em $[0,1]^2$, temos que $\bar{f}(t,s)=\frac{1}{2}(t+s)$
 

Lema 10.9.1: Seja f uma função escada fora da diagonal, então $I(f)=I(\bar{f})$.
Demonstração
Desde que $I$ e a operação de simetrização são lineares. Sendo assim vamos considerar a função $\mathds{1}_{[t_1,t_2)\times [s_1,s_2)}$ com $[t_1,t_2)\bigcap[s_1,s_2)=\emptyset$. A simetrização $\bar{f}$ de $f$ é dada por
$$\bar{f}=\frac{1}{2}\left(\mathds{1}_{[t_1,t_2)\times [s_1,s_2)}+ \mathds{1}_{[s_1,s_2)\times [t_1,t_2)}\right)$$
Portanto, pela definição de $I$ temos que
$$I(f)=\left(B(t_2)-B(t_1)\right)\left(B(s_2)-B(s_1)\right)$$
$$I(\bar{f})=\frac{1}{2}\left\{\left(B(t_2)-B(t_1)\right)\left(B(s_2)-B(s_1)\right)+\left(B(s_2)-B(s_1)\right)\left(B(t_2)-B(t_1)\right)\right\}$$
$$=\left(B(t_2)-B(t_1)\right)\left(B(s_2)-B(s_1)\right)$$
Portanto, $I(f)=I(\bar{f})$ e o resultado segue.
 

Lema 10.9.2: Se $f$ é uma função escada fora da diagonal, então $\mathbb{E}(I(f))=0$ e
$$\mathbb{E}\left(I(f)^2\right)=2\int_a^b\int_a^b \bar{f}^2(t,s)dtds$$
Demonstração:
Suponha que $f$ tenha a seguinte representação
$$f=\sum_{i\neq j} a_{ij}\mathds{1}_{[t_{i-1},t_i)\times[t_{j-1},t_j)}.$$
Então, temos que
$$I(f)=\sum_{i\neq j}a_{ij}(B(t_i)-B(t_{i-1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))$$
a esperança $\mathbb{E}(I(f))$ é a soma de cada termo, e portanto $\mathbb{E}(I(f))=0$
Para provar a equação
$$\mathbb{E}\left(I(f)^2\right)=2\int_a^b\int_a^b \bar{f}^2(t,s)dtds$$
primeiramente vamos assumir que $f$ é simétrica. E neste caso temos que $a_{ij}=a_{ji}$ para $i\neq j$. Para facilitar a notação vamos definir
$B_i=B(t_i)-B(t_{i-1})$. Então
$$I(f)=\sum_{i\neq j}a_{ij}B_iB_j=2\sum_{i\textless j}a_{ij}B_iB_j$$
Portanto, temos que
$$\mathbb{E}(I^2(f))=4\sum_{i\textless j}\sum_{p\textless q}a_{ij}a_{pq}\mathbb{E}(B_iB_jB_pB_q)$$
Seja $i\textless j$ fixado. Observando a posição dos intervalos, podemos ver a seguinte implicação
$$p\neq i\Rightarrow \mathbb{E}(B_iB_jB_pB_q)=0 \quad \quad \forall q \textgreater p,$$
$$q\neq j\Rightarrow \mathbb{E}(B_iB_jB_pB_q)=0 \quad \quad \forall p \textless q.$$

Portanto para $i\textless j,$ a soma sobre $p\textless q$
$$\mathbb{E}(I^2(f))=4\sum_{i\textless j}a^2_{ij}\mathbb{E}(B^2_iB^2_j)$$
$$=4\sum_{i\textless j}a^2_{ij}\mathbb{E}(B^2_iB^2_j)$$
$$=4\sum_{i\textless j}a^2_{ij}(t_i-t_{i-1})(t_j-t_{j-1})$$
$$=2\sum_{i\neq j}a^2_{ij}(t_i-t_{i-1})(t_j-t_{j-1})$$
$$=2\int_{a}^b\int_a^b f^2(t,s)dtds.$$
Finalmente, para qualquer escada função fora da diagonal f, temos que $I(f)=I(\bar{f})$ pelo Lema anterior, portanto
$$\mathbb{E}(I^2(f))=\mathbb{E}(I^2(\bar{f}))=2\int_a^b\int_a^b \bar{f}^2(t,s)dtds$$
Portanto o resultado segue.

O proximo passo iremos fazer aproximação por função escada fora da diagonal para funções gerais.

Pelo Lema 10.9.2, temos que $\mathbb{E}(I(f)^2)=2\|\bar{f}\|^2$, como $\|\bar{f}\|\leq \|f\|$ e portanto, $\mathbb{E}(I(f)^2)\leq 2\|f\|^2$ para qualquer função escada fora da diagonal. Com essa desigualdade podemos extender essa integral para funções $f\in L^2([a,b]^2)$, basta uma aproximação pela por funções escadas fora da diagonal.

Suponha que $f\in L^2([a,b]^2)$. Seja $D_{\delta}$ o conjunto dos pontos em $[a,b]^2$ tendo a distancia $\textless \delta$ da diagonal $D$. Para cada $\epsilon\textgreater 0$, podemos escolher $\delta \textgreater 0$ pequeno o bastante para o qual
$$\int\int_{D_\delta}f^2(t,s)dtds \textless \frac{\epsilon}{2}.$$
Por outro lado temos que se $D_{\delta}^c=[a,b]^2\ D_\delta$ e considere a restrição de $f$ para $D_\delta^c$. Então existe uma função $g$ da forma
$$g=\sum_{i=1}^n a_i \mathds{1}_{A_i}$$
com os retângulos $A_i\subset D_\delta^c$ para todo $1\leq i\leq n$ tal que
$$\int\int_{D_\delta^c}|f(t,s)-g(t,s)|^2dtds\textless \frac{\epsilon}{2}$$

Com isso, podemos resumir a integrais e temos que
$$\int_a^b\int_a^b |f(t,s)-g(t,s)|^2dtds \textless \epsilon$$

Observando que a função g desaparece no conjunto $D_{\delta}$. Portanto a função $g$ é uma função escada fora da diagonal, com isso obtemos o Lema abaixo:

Lema 10.9.3 Seja $f$ uma função $L^2([a,b]^2)$. Então existe uma sequência $\{f_n\}$ de funções escadas fora da diagonal tal que
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\int_a^b\int_a^b |f(t,s)-f_n(t,s)|^2dtds=0$$
 

Com isso podemos extender a integral dupla para funções $f\in L^2([a,b]^2)$. Para cada $f \in L^2([a,b]^2)$, podemos escolher uma sequência $\{f_n\}$ de funções escadas foras da diagonal, convergindo para $f \in L^2([a,b]^2)$. A existência desta sequência é garantida pelo Lema acima. Então pela linearidade da integral $I$ e do Lema 10.9.2.
$$\mathbb{E}\left[(I(f_n)-I(f_m))^2\right]=2\|\bar{f}_n-\bar{f}_m\|^2\leq 2\|f_n-f_m\|^2\rightarrow 0,$$
como $n,m\rightarrow \infty$. Portanto a sequência $\{I(f_n)\}$ é uma sequência de Cauchy em $L^2(\Omega)$. Definir
$$I(f)=\lim_{n\rightarrow \infty} I(f_n), \quad em \quad L^2(\Omega).$$
Com isso, temos que $I$ é bem definida, ou seja, não depende da escolha de $\{f_n\}$.

Definição 10.9.2: Seja $f\in L^2([a,b]^2)$. O limite
$$I(f)=\lim_{n\rightarrow \infty} I(f_n), \quad em \quad L^2(\Omega).$$
É chamada de integral dupla de Wiener-Itô de f. Iremos usar
$$\int_a^b\int_a^b f(t,s)dB(t)dB(s)$$
para denotar a integral dupla de Wiener-Itô.
 

Exemplo 10.9.1: Note que a função $f\equiv 1$ em $[0,1]^2$ é uma função escada fora da diagonal. Portanto, a integral dupla de Wiener-Itô não está bem definida. Porém, definimos
$$f_n=\sum_{i\neq j} \mathds{1}_{[t_{i-1},t_i)\times[t_{j-1},t_j)},$$
e ainda
$$I(f_n)=\sum_{i\neq j}(B(t_i)-B(t_{i+1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))$$
Temos que
$$I(f_n)=\sum_{i,j=1}^n(B(t_i)-B(t_{i+1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))-\sum_{i=1}^n \left(B(t_i)-B(t_{i-1})^2\right)$$
$$=B^2(1)-\sum_{i=1}^n \left(B(t_i)-B(t_{i-1})\right)^2.$$
Com isso, temos que
$$I(f)=\lim_{n \rightarrow \infty} I(f_n)=B^2(1)-1,$$
Portanto, temos que
$$\int_0^1\int_0^1 1dB(t)dB(s)=B^2(1)-1,$$
 

Com isso, temos o seguinte teorema

Teorema 10.9.1: Seja $f(t,s)\in L^2([a,b]^2)$. Então, temos que
(a)$I(f)=I(\bar{f})$. Na qual, $\bar{f}$ é a simetrização de f.
(b)$\mathbb{E}(I(f))=0$
(c)$\mathbb{E}(I(f)^2)=2\|\bar{f}\|^2$. No qual, $\|\cdot\|$ é uma norma em $L^2([a,b]^2)$.
 

Existe uma importante relação entre a integral dupla de Wiener-Itô e a integral de Itô.

Teorema 10.9.2: Seja $f(t,s)\in L^2([a,b]^2)$. Então,
$$\int_a^b\int_a^b f(t,s)dB(t)dB(s)=2\int_a^b\left(\int_a^t \bar{f}(t,s)dB(s)\right)dB(t),$$
na qual $\bar{t}$ é a simetrização de f.
Demonstração:
Primeiramente considere o caso em que $\mathds{1}_{[t_1,t_2)\times[s_1,s_2)}$ com $[t_1,t_2)\cap[s_1,s_2)=\emptyset$. Então a simetrização de f é dada por
$$\bar{f}=\frac{1}{2}\left(\mathds{1}_{[t_1,t_2)\times[s_1,s_2)}+\mathds{1}_{[s_1,s_2)\times [t_1,t_2)}\right)$$
Podemos assumir sem perda de generalidade que $s_1\textless s_2\textless t_1 \textless t_2$. Pela definição de $I(f)$ temos que
$$\int_a^b\int_a^b f(t,s)dB(t)dB(s)=(B(t_2)-B(t_1))(B(s_2)-B(s_1)).$$
Por outro lado temos que
$$\int_a^b \left[\int_a^t \bar{f}(t,s)dB(s)\right]dB(t)=\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}\left[\int_{s_1}^{s_2} 1 dB(s)\right]dB(t)$$
$$=\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}\left(B(s_2)-B(s_1)\right)dB(t)$$
$$=\frac{1}{2}\left(B(s_2)-B(s_1)\left(B(t_2)-B(t_1)\right)\right)$$
Portanto o resultado é válido. Agora usando a linearidade da integral e usando a aproximação, obtemos que o resultado é válido para $f(t,s)\in L^2([a,b]^2)$.
 

Para fazermos uma generalização para funções mais gerais, vamos necessitar de algumas ferramentas que serão descritas abaixo, como o polinômio de Hermite bases ortogonais entre outros.

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