10.9 - Integrais Multiplas

Nossa meta é definir a integral múltiplas de Wiener-Itô como

$$\int_a^b\dots\int_a^b f(t,s)dB(t)s\dots dB(s), \quad f\in L^2([a,b]^2)$$

Para isso vamos começar com a Integral dupla e em seguida vamos extender para o caso de integrais múltiplas.

Integrais Duplas

Nossa meta é definir a integral dupla de Wiener-Itô como

$$\int_a^b\int_a^b f(t,s)dB(t)sdB(s), \quad f\in L^2([a,b]^2)$$

Seja $ D=\{(t,s)\in [a,b]^2; t=s\} $ denotamos a diagonal do quadrado $ [a,b]^2 $. Chamaremos de retângulo nessa seção um subconjunto de $ [a,b]^2 $ da forma $ [t_1,t_2)\times[s_1,s_2) $.

Definição 10.9.1: Um função escada é uma função fora da diagonal no quadrado $ [a,b]^2 $ é definida pela função da forma

$$f=\sum_{i\neq j} a_{ij}\mathds{1}_{[t_{i-1},t_i)\times[t_{j-1},t_j)},$$

com $ a=t_0\textless t_1\textless t_2\textless \cdots \textless t_{n-1}\textless t_n=b $.
 

Observe que a função escada fora da diagonal desaparece na diagonal D. Portanto temos que a função $ f\equiv 1 $ em $ [a,b]^2 $ não é uma função escada fora da diagonal. Se $ A=[t_1,t_2)\times [s_1,s_2) $ é um retângulo disjuntos da diagonal D, então $ \mathds{1}_A $ pode ser escrito da forma da definição, tomando $ \{t_1,t_2,s_1,s_2\} $ como pontos da partição de $ [a,b] $. Assim temos que a função $ \mathds{1}_A $ é uma função escada fora da diagonal e isso é valido para qualquer conjunto de retângulos disjuntos de D. Assim, temos que

$$f=\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i \mathds{1}_{A_i}$$

é uma função diagonal desde que $ A_i\bigcap D=\emptyset $. Para uma função escada fora da diagonal, temos que a integral de Wiener-Itô múltipla dada por

$$I(f)=\sum_{i\neq j}a_{ij}(B(t_i)-B(t_{i+1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))$$

Mas uma função escada não diagonal não tem representação única, porém $ I(f) $ é unicamente definido. Além disso, é fácil ver que

$$I(\alpha f+\beta g)=\alpha I(f)+\beta I(g)$$

para quaisquer funções escadas fora da diagonal e $ \alpha, \beta \in \mathbb{R} $.

A simetrização $ \bar{f}(t,s) $ da função $ f(t,s) $ é dada por

$$\bar{f}(t,s)=\frac{1}{2}(f(t,s)+f(s,t))$$

Claro que $ \bar{f} $ é uma função simétrica. Se $ f $ é uma função simétrica então $ \bar{f}=f $. Para a função $ f(t,s)=t $ em $ [0,1]^2 $, temos que $ \bar{f}(t,s)=\frac{1}{2}(t+s) $
 

Lema 10.9.1: Seja f uma função escada fora da diagonal, então $ I(f)=I(\bar{f}) $.
Demonstração
Desde que $ I $ e a operação de simetrização são lineares. Sendo assim vamos considerar a função $ \mathds{1}_{[t_1,t_2)\times [s_1,s_2)} $ com $ [t_1,t_2)\bigcap[s_1,s_2)=\emptyset $. A simetrização $ \bar{f} $ de $ f $ é dada por

$$\bar{f}=\frac{1}{2}\left(\mathds{1}_{[t_1,t_2)\times [s_1,s_2)}+ \mathds{1}_{[s_1,s_2)\times [t_1,t_2)}\right)$$

Portanto, pela definição de $ I $ temos que

$$I(f)=\left(B(t_2)-B(t_1)\right)\left(B(s_2)-B(s_1)\right)$$

$$I(\bar{f})=\frac{1}{2}\left\{\left(B(t_2)-B(t_1)\right)\left(B(s_2)-B(s_1)\right)+\left(B(s_2)-B(s_1)\right)\left(B(t_2)-B(t_1)\right)\right\}$$

$$=\left(B(t_2)-B(t_1)\right)\left(B(s_2)-B(s_1)\right)$$

Portanto, $ I(f)=I(\bar{f}) $ e o resultado segue.
 

Lema 10.9.2: Se $ f $ é uma função escada fora da diagonal, então $ \mathbb{E}(I(f))=0 $ e

$$\mathbb{E}\left(I(f)^2\right)=2\int_a^b\int_a^b \bar{f}^2(t,s)dtds$$

Demonstração:
Suponha que $ f $ tenha a seguinte representação

$$f=\sum_{i\neq j} a_{ij}\mathds{1}_{[t_{i-1},t_i)\times[t_{j-1},t_j)}.$$

Então, temos que

$$I(f)=\sum_{i\neq j}a_{ij}(B(t_i)-B(t_{i-1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))$$

a esperança $ \mathbb{E}(I(f)) $ é a soma de cada termo, e portanto $ \mathbb{E}(I(f))=0 $
Para provar a equação

$$\mathbb{E}\left(I(f)^2\right)=2\int_a^b\int_a^b \bar{f}^2(t,s)dtds$$

primeiramente vamos assumir que $ f $ é simétrica. E neste caso temos que $ a_{ij}=a_{ji} $ para $ i\neq j $. Para facilitar a notação vamos definir
$ B_i=B(t_i)-B(t_{i-1}) $. Então

$$I(f)=\sum_{i\neq j}a_{ij}B_iB_j=2\sum_{i\textless j}a_{ij}B_iB_j$$

Portanto, temos que

$$\mathbb{E}(I^2(f))=4\sum_{i\textless j}\sum_{p\textless q}a_{ij}a_{pq}\mathbb{E}(B_iB_jB_pB_q)$$

Seja $ i\textless j $ fixado. Observando a posição dos intervalos, podemos ver a seguinte implicação

$$p\neq i\Rightarrow \mathbb{E}(B_iB_jB_pB_q)=0 \quad \quad \forall q \textgreater p,$$

$$q\neq j\Rightarrow \mathbb{E}(B_iB_jB_pB_q)=0 \quad \quad \forall p \textless q.$$

Portanto para $ i\textless j, $ a soma sobre $ p\textless q $

$$\mathbb{E}(I^2(f))=4\sum_{i\textless j}a^2_{ij}\mathbb{E}(B^2_iB^2_j)$$

$$=4\sum_{i\textless j}a^2_{ij}\mathbb{E}(B^2_iB^2_j)$$

$$=4\sum_{i\textless j}a^2_{ij}(t_i-t_{i-1})(t_j-t_{j-1})$$

$$=2\sum_{i\neq j}a^2_{ij}(t_i-t_{i-1})(t_j-t_{j-1})$$

$$=2\int_{a}^b\int_a^b f^2(t,s)dtds.$$

Finalmente, para qualquer escada função fora da diagonal f, temos que $ I(f)=I(\bar{f}) $ pelo Lema anterior, portanto

$$\mathbb{E}(I^2(f))=\mathbb{E}(I^2(\bar{f}))=2\int_a^b\int_a^b \bar{f}^2(t,s)dtds$$

Portanto o resultado segue.

O proximo passo iremos fazer aproximação por função escada fora da diagonal para funções gerais.

Pelo Lema 10.9.2, temos que $ \mathbb{E}(I(f)^2)=2\|\bar{f}\|^2 $, como $ \|\bar{f}\|\leq \|f\| $ e portanto, $ \mathbb{E}(I(f)^2)\leq 2\|f\|^2 $ para qualquer função escada fora da diagonal. Com essa desigualdade podemos extender essa integral para funções $ f\in L^2([a,b]^2) $, basta uma aproximação pela por funções escadas fora da diagonal.

Suponha que $ f\in L^2([a,b]^2) $. Seja $ D_{\delta} $ o conjunto dos pontos em $ [a,b]^2 $ tendo a distancia $ \textless \delta $ da diagonal $ D $. Para cada $ \epsilon\textgreater 0 $, podemos escolher $ \delta \textgreater 0 $ pequeno o bastante para o qual

$$\int\int_{D_\delta}f^2(t,s)dtds \textless \frac{\epsilon}{2}.$$

Por outro lado temos que se $ D_{\delta}^c=[a,b]^2\ D_\delta $ e considere a restrição de $ f $ para $ D_\delta^c $. Então existe uma função $ g $ da forma

$$g=\sum_{i=1}^n a_i \mathds{1}_{A_i}$$

com os retângulos $ A_i\subset D_\delta^c $ para todo $ 1\leq i\leq n $ tal que

$$\int\int_{D_\delta^c}|f(t,s)-g(t,s)|^2dtds\textless \frac{\epsilon}{2}$$

Com isso, podemos resumir a integrais e temos que

$$\int_a^b\int_a^b |f(t,s)-g(t,s)|^2dtds \textless \epsilon$$

Observando que a função g desaparece no conjunto $ D_{\delta} $. Portanto a função $ g $ é uma função escada fora da diagonal, com isso obtemos o Lema abaixo:

Lema 10.9.3 Seja $ f $ uma função $ L^2([a,b]^2) $. Então existe uma sequência $ \{f_n\} $ de funções escadas fora da diagonal tal que

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\int_a^b\int_a^b |f(t,s)-f_n(t,s)|^2dtds=0$$

 

Com isso podemos extender a integral dupla para funções $ f\in L^2([a,b]^2) $. Para cada $ f \in L^2([a,b]^2) $, podemos escolher uma sequência $ \{f_n\} $ de funções escadas foras da diagonal, convergindo para $ f \in L^2([a,b]^2) $. A existência desta sequência é garantida pelo Lema acima. Então pela linearidade da integral $ I $ e do Lema 10.9.2.

$$\mathbb{E}\left[(I(f_n)-I(f_m))^2\right]=2\|\bar{f}_n-\bar{f}_m\|^2\leq 2\|f_n-f_m\|^2\rightarrow 0,$$

como $ n,m\rightarrow \infty $. Portanto a sequência $ \{I(f_n)\} $ é uma sequência de Cauchy em $ L^2(\Omega) $. Definir

$$I(f)=\lim_{n\rightarrow \infty} I(f_n), \quad em \quad L^2(\Omega).$$

Com isso, temos que $ I $ é bem definida, ou seja, não depende da escolha de $ \{f_n\} $.

Definição 10.9.2: Seja $ f\in L^2([a,b]^2) $. O limite

$$I(f)=\lim_{n\rightarrow \infty} I(f_n), \quad em \quad L^2(\Omega).$$

É chamada de integral dupla de Wiener-Itô de f. Iremos usar

$$\int_a^b\int_a^b f(t,s)dB(t)dB(s)$$

para denotar a integral dupla de Wiener-Itô.
 

Exemplo 10.9.1: Note que a função $ f\equiv 1 $ em $ [0,1]^2 $ é uma função escada fora da diagonal. Portanto, a integral dupla de Wiener-Itô não está bem definida. Porém, definimos

$$f_n=\sum_{i\neq j} \mathds{1}_{[t_{i-1},t_i)\times[t_{j-1},t_j)},$$

e ainda

$$I(f_n)=\sum_{i\neq j}(B(t_i)-B(t_{i+1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))$$

Temos que

$$I(f_n)=\sum_{i,j=1}^n(B(t_i)-B(t_{i+1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))-\sum_{i=1}^n \left(B(t_i)-B(t_{i-1})^2\right)$$

$$=B^2(1)-\sum_{i=1}^n \left(B(t_i)-B(t_{i-1})\right)^2.$$

Com isso, temos que

$$I(f)=\lim_{n \rightarrow \infty} I(f_n)=B^2(1)-1,$$

Portanto, temos que

$$\int_0^1\int_0^1 1dB(t)dB(s)=B^2(1)-1,$$

 

Com isso, temos o seguinte teorema

Teorema 10.9.1: Seja $ f(t,s)\in L^2([a,b]^2) $. Então, temos que
(a)$ I(f)=I(\bar{f}) $. Na qual, $ \bar{f} $ é a simetrização de f.
(b)$ \mathbb{E}(I(f))=0 $
(c)$ \mathbb{E}(I(f)^2)=2\|\bar{f}\|^2 $. No qual, $ \|\cdot\| $ é uma norma em $ L^2([a,b]^2) $.
 

Existe uma importante relação entre a integral dupla de Wiener-Itô e a integral de Itô.

Teorema 10.9.2: Seja $ f(t,s)\in L^2([a,b]^2) $. Então,

$$\int_a^b\int_a^b f(t,s)dB(t)dB(s)=2\int_a^b\left(\int_a^t \bar{f}(t,s)dB(s)\right)dB(t),$$

na qual $ \bar{t} $ é a simetrização de f.
Demonstração:
Primeiramente considere o caso em que $ \mathds{1}_{[t_1,t_2)\times[s_1,s_2)} $ com $ [t_1,t_2)\cap[s_1,s_2)=\emptyset $. Então a simetrização de f é dada por

$$\bar{f}=\frac{1}{2}\left(\mathds{1}_{[t_1,t_2)\times[s_1,s_2)}+\mathds{1}_{[s_1,s_2)\times [t_1,t_2)}\right)$$

Podemos assumir sem perda de generalidade que $ s_1\textless s_2\textless t_1 \textless t_2 $. Pela definição de $ I(f) $ temos que

$$\int_a^b\int_a^b f(t,s)dB(t)dB(s)=(B(t_2)-B(t_1))(B(s_2)-B(s_1)).$$

Por outro lado temos que

$$\int_a^b \left[\int_a^t \bar{f}(t,s)dB(s)\right]dB(t)=\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}\left[\int_{s_1}^{s_2} 1 dB(s)\right]dB(t)$$

$$=\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}\left(B(s_2)-B(s_1)\right)dB(t)$$

$$=\frac{1}{2}\left(B(s_2)-B(s_1)\left(B(t_2)-B(t_1)\right)\right)$$

Portanto o resultado é válido. Agora usando a linearidade da integral e usando a aproximação, obtemos que o resultado é válido para $ f(t,s)\in L^2([a,b]^2) $.
 

Para fazermos uma generalização para funções mais gerais, vamos necessitar de algumas ferramentas que serão descritas abaixo, como o polinômio de Hermite bases ortogonais entre outros.

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