10.9.1 - Polinômio de Hermite

A ideia dessa seção é explicar melhor o Polinômio de Hermite, pois iremos necessitar de algumas de suas propriedades nas seções seguintes.
Assim, seja $ \mu $ uma medida Gaussiana com média 0 e variância $ \sigma\textgreater 0 $,

$$d\mu(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{1}{2\sigma}x^2}$$

Considere a sequência $ 1,x,x^2,\cdots, x^n,\cdots $ pertencentes ao espaço de Hilbert real $ L^2(\mu) $. Assim, aplicando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt(processo muito comum na Algebra Linear) para essa sequência, em ordem crescente de potência, para obter polinômios ortogonais $ P_0(x),P_1(x),\dots,P_n(x),\dots $ no espaço de Hilbert $ L^2(\mu) $ onde $ P_0(x)=1 $ e $ P_n(x) $ é um polinômio de grau n, com $ n\geq 1 $.

Seria possível definirmos os polinômios $ P_n $ de forma explicita ?

Seja $ \theta(t,x)=e^{tx} $. A esperança de $ \theta(t,\cdot) $ com respeito a medida $ \mu $ é dada por

$$\mathbb{E}_{\mu}(\theta(t,\cdot))=\int_{-\infty}^\infty e^{tx}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{1}{2\sigma}x^2}=e^{-\frac{1}{2\sigma}t^2}$$

A renormalização multiplicativa $ \psi(t,x) $ de $ \theta(t,x) $ é definida por

$$\psi(t,x)=\frac{\theta(t,x)}{\mathbb{E}_{\mu}(\theta(t,\cdot))}=e^{tx-\frac{1}{2\sigma}t^2}$$

Podemos expandir a função $ \psi $ por series de potência em t. Note que coeficiente de $ t^n $ na serie depende de $ n $ $ x $ e $ \sigma $.

$$e^{tx-\frac{1}{2\sigma}t^2}=\sum_n^\infty \frac{H_n(x,\sigma)}{n!}t^n$$

no qual, $ H_n(x,\sigma)/n! $ é o coeficiente da serie. Por outro lado temos que a serie de potência

$$e^s=\sum_{n=0}^\infty s^n/n!$$

assim podemos usar essa igualdade para encontrar os coeficientes os coeficientes de $ t^n $. Assim escrevendo $ e^{tx-\frac{1}{2\sigma}x^2}=e^{tx}e^{\frac{1}{2\sigma}t^2} $ temos

$$e^{tx-\frac{1}{2\sigma}t^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(xt)^n}{n!}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-\sigma t)^n}{n!2^n}$$

Desta forma, encontramos os coeficientes de $ t^n $, $ H_n(x,\sigma) $ é dado por

$$H_n(x,\sigma)=n!\left(\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n-2}(-\sigma)}{(n-2)!2}+\dots+\frac{x^{n-2k}(-\sigma)^k}{(n-2k)!2^k}+\dots\right)$$

$$=x^n+\frac{n!}{(n-2)!2}(-\sigma)x^{n-2}+\dots+\frac{n!}{(n-2k)!k!2^k}(-\sigma)^k x^{n-2k}+\dots$$

Observe que

$$\frac{n!}{(n-2k)!k!2^k}=\binom{n}{2k}(2k-1)!!$$

no qual $ (2k-1)!!=(2k-1)(2k-3)\dots 3\cdot 1 $. O que implica que

$$H_n(x,\sigma)=\sum_{k=0}^{[n/2]}\binom{n}{2k}(2k-1)!!(-\sigma)^kx^{n-2k},$$

com $ [x] $ sendo a parte inteira de $ x $. Observe que $ H_n(x,\sigma) $ é um polinômio em x de grau n.

Definição 10.9.1.1:
O polinômio $ H_n(x,\sigma) $ dado acima é chamado de polinômio de Hermite de grau $ n $ com parâmetro $ \sigma $.
 

Teorema 10.9.1.1:

Seja $ H_n(x,\sigma) $ um polinômio de Hermite de grau n, definido acima. Então

$$H_{n}(x,\sigma)=(-\sigma)^n e^{x^2/2\sigma}D_x^ne^{-x^2/2\sigma},$$

no qual $ D_x $ é o operador diferencial na variável x.
Demonstração:

O expoente do lado esquerdo da equação pode ser reescrito como

$$-\frac{1}{2}\sigma(t-\frac{x}{\sigma})^2+\frac{x^2}{2\sigma}$$

Portanto temos que

$$e^{\frac{x^2}{2\sigma}}e^{-\frac{1}{2}\sigma(t-\frac{x}{\sigma})^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x,\sigma)}{n!}t^n$$

Derivando de ambos os lados n vezes na variável t e então tomando t=0 temos

$$H_n(x,\sigma)=e^{\frac{x^2}{2\sigma}}\left(D_t^ne^{-\frac{1}{2}\sigma\left(t-\frac{x}{\sigma}\right)^2}\right)\left|_{t=0}\right.$$

Note que $ D_x^ne^{-\frac{1}{2}\sigma\left(t-\frac{x}{\sigma}\right)^2} $. Portanto,

$$H_n(x,\sigma)=e^{\frac{x^2}{2\sigma}}\left((-\sigma)^n D_x^ne^{-\frac{1}{2}\sigma\left(t-\frac{x}{\sigma}\right)^2}\right)\left|_{t=0}\right.$$

$$(-\sigma)^ne^{\frac{x^2}{2\sigma}}D^n_x e^{-\frac{x^2}{2\sigma}},$$

o que prova o resultado.
 

Teorema 10.9.1.2:
\begin{theorem}Seja $ \mu $ uma medida Gaussiana com média 0 e variância $ \sigma $. Então, o polinômio de Hermite $ H_n(x,\sigma) $, $ n\geq 0, $ são ortogonais em $ L^2(\mu) $. Além disso, temos que

$$\int_{-\infty}^{\infty} H_n(x,\sigma)^2d\mu(x)=n!\sigma^n, \quad\quad n\geq 0.$$

Demonstração:
Para qualquer $ t,s\in \mathbb{R} $, temos

$$e^{(t+s)x-\frac{1}{2}\sigma(t^2+s^2)}=\sum_{n,m=0}^{\infty}\frac{t^n s^m}{n!m!}H_n(x,\sigma)H_m(x,\sigma).$$

Pela equação

$$\int_{-\infty}^\infty e^{tx}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{1}{2\sigma}x^2}dx=e^{-\frac{1}{2\sigma}t^2}$$

Temos que

$$\int_{-\infty}^\infty e^{(t+s)x-\frac{1}{2}\sigma (t^2+s^2)}dx=e^{-\frac{1}{2}\sigma (t^2+s^2)}e^{\frac{1}{2}\sigma(t+s)^2}=e^{\sigma ts}.$$

Portanto, ao integrar ambos os lados da equação

$$e^{(t+s)x-\frac{1}{2}\sigma(t^2+s^2)}=\sum_{n,m=0}^{\infty}\frac{t^n s^m}{n!m!}H_n(x,\sigma)H_m(x,\sigma).$$

Temos que,

$$e^{\sigma ts}= \sum_{n,m=0}^\infty \frac{t^n s^m}{n!m!}\int_{-\infty}^\infty H_n(x,\sigma)H_m(x,\sigma)d\mu(x).$$

Desde que o lado esquerdo é uma função produto de $ ts $, os coeficientes de $ t^n $ e $ s^m $ do lado direito são zeros quando $ n\neq m $ o que implica que

$$\int_{-\infty}^\infty H_n(x,\sigma)H_m(x,\sigma)d\mu(x)=0$$

para qualquer $ n\neq m $. E portanto, temos que os polinômios de Hermite são ortogonais em $ L^2(\mu) $. E então temos que

$$e^{\sigma ts}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(ts)^n}{(n!)^2}\int_{-\infty}^\infty H_n(x,\sigma)^2d\mu(x)$$

Mas pela expansão em serie da função $ e^{\sigma ts} $ temos

$$e^{\sigma ts}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\sigma^n}{n!}(ts)^n$$

Portanto, o resultado segue.

Teorema 10.9.1.3:
Seja $ \mu $ uma medida Gaussiana com média 0 e variância $ \sigma $. Então para toda função $ f\in L^2(\mu) $ existe uma única expansão em serie dada por

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \alpha_n \frac{H_n(x,\sigma)}{\sqrt{n!\sigma^n}}$$

no qual os coeficientes $ \alpha_n $ são dados por

$$\alpha_n=\frac{1}{\sqrt{n!\sigma^n}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)H_n(x,\sigma)d\mu(x),\quad\quad\quad n\geq 0.$$

Além disso, temos que

$$\|f\|^2=\sum_{n=0}^\infty \alpha_n^2.$$

 

Abaixo temos algumas propriedades muito importante dos polinômios de Hermite:

1- Função Geradora: $ \displaystyle e^{tx-\frac{1}{2}\sigma t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}H_n(x,\sigma) $.

2- Monômios:  $ x^n=\displaystyle \sum_{k=0}^{[n/2]}\binom{n}{2k}(2k-1)!! \sigma^k H_{n-2k}(x,\sigma) $

3- Formula recursiva: $ \displaystyle H_{n+1}(x,\sigma)=xH_{n}(x,\sigma)-\sigma n H_{n-1}(x,\sigma) $

4- Derivadas: $ D_x H_{n}(x,\sigma)=nH_{n-1}(x,\sigma) $

5- Autofunção: $ (-\sigma D_x^2+xD_x)H_{n}(x,\sigma)=nH_{n}(x,\sigma) $

6- Produto:  $ \displaystyle H_{n}(x,\sigma)H_{m}(x,\sigma)=\sum_{k=0}^{n\wedge m} k!\binom{n}{k}\binom{m}{k}\sigma^k H_{n+m-2k}(x,\sigma) $

7- Derivadas Parciais: $ \displaystyle \frac{\partial}{\partial \sigma}H_{n}(x,\sigma)=\frac{1}{2}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}H_{n}(x,\sigma). $
 

Processo Estocástico

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