10.9.2 - Homogeneidade no Caos

Seja $ \mu $ uma medida gaussiana com média zero e variância $ \sigma $, pelo Teorema 10.9.1.3, toda função no espaço de Hilbert $ L^2(\mu) $ tem representação única em séries de polinômio de Hermite.

O espaço de Wiener $ C(\mathbb{R},[0,1]) $ é um espaço de Banach de funções contínua a valores reais no [0,1] que se anula em zero, seja $ \mathbb{P} $ a medida de Wiener no espaço das $ C(\mathbb{R},[0,1]) $, o qual para facilitar a notação denotaremos apenas por $ C $. Agora será que existe uma versão análoga ao Teorema 10.9.1.3 funções em $ L^2(\mathbb{P}) $ no espaço de probabilidade $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $, no qual, $ \mathbb{F} $ é a $ \sigma $-algebra gerada pelo movimento Browniano.

Seja $ I(f)=\displaystyle \int_a^b f(t)dB(t) $ a integral de Wiener para $ f\in L^2[a,b] $. O produto $ I(f_1)I(f_2)\dots I(f_k) $ com $ f_1,f_2,\dots, f_k \in L^2[a,b] $ é chamada de polinômio caos de ordem k.

Seja $ J_0=\mathbb{R} $ e para $ n\geq 1 $, definimos $ J_n $ como sendo o fecho linear de $ L^2(\Omega) $ e adicionando as funções constante e polinômios caóticos de grau menor ou igual a $ n $. Então temos que

$$J_0\subset J_1\subset \dots \subset J_n \subset \dots \subset L^2(\Omega)$$

Teorema 10.9.2.1:

A união =\bigcup_{n=0}^\infty $ é denso em $ L^2(\Omega) $.
Demonstração:
Seja $ \{e_n\}_{n=1}^\infty $ uma base ortogonal de $ L^2([a,b]) $ e seja $ \mathcal{G}_n $ a $ \sigma $-álgebra gerada por $ I(e_1),I(e_2),\dots,I(e_n) $. Então, $ \{\mathcal{G}_n\} $ é uma filtragem e ainda temos que $ \sigma\{\cup_n \mathcal{G}_n\}=\mathcal{F} $.
Seja $ \phi\in L^2(\Omega) $ ortogonal em $ \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty J_n $. Então,  para cada n fixado temos

$$\mathbb{E}\left[\phi I^{k_1}(e_1)I^{k_2}(e_2)\dots I^{k_n}(e_n)\right]=0, \quad \quad \forall k_1, k_2, \dots, k_n \geq 0.$$

Observe que $ I^{k_1}(e_1)I^{k_2}(e_2)\dots I^{k_n}(e_n) $ é $ \mathcal{G}_n $-mensurável. Portanto,

$$\mathbb{E}\left[\phi I^{k_1}(e_1)I^{k_2}(e_2)\dots I^{k_n}(e_n)\right]=\mathbb{E}(I^{k_1}(e_1)I^{k_2}(e_2)\dots I^{k_n}(e_n))\mathbb{E}(\phi| \mathcal{G}_n).$$

Portanto, para todo inteiro $ k_1, k_2, \dots, k_n \geq 0 $,

$$\mathbb{E}(I^{k_1}(e_1)I^{k_2}(e_2)\dots I^{k_n}(e_n))\mathbb{E}(\phi| \mathcal{G}_n)=0.$$

Mas as variáveis $ I(e_1),I(e_2),\dots,I(e_n) $ são independentes com mesma distribuição normal. Além do mais,

$$\mathbb{E}(\phi|\mathcal{G}_n)=\theta_n (I(e_1),I(e_2),\dots,I(e_n))$$

para alguma função $ \theta_n $ em $ \mathbb{R}^n $. Então, para todo $ k_1,k_2,\dots,k_n\geq 0 $,

$$\displaystyle \int_{\mathbb{R}^n}x_1^k x_2^{k_2}\dots x_n^{k_n}\theta_n(x_1,x_2,\dots, x_n)d\mu(x)=0$$

na qual, $ \mu $ é uma medida Gaussiana em $ \mathbb{R}^n $. Da equação do $ H_n(x,\sigma) $, temos que implica que

$$\displaystyle \int_{\mathbb{R}^n}H_{k_1}(x_1,1)H_{k_2}(x_2,1)\dots H_{k_n}(x_n,1)\theta_n(x_1,x_2,\dots, x_n)d\mu(x)=0$$

Mas, do Teorema 10.9.1.3 a coleção

$$\{H_{k_1}(x_1,1)H_{k_2}(x_2,1)\dots H_{k_n}(x_n,1);k_1,k_2,\dots,k_n\geq 0\}$$

é uma base ortogonal de $ L^2(\mathbb{R}^n,\mu) $. Portanto, $ \theta_n=0 $ quase certamente com respeito a $ \mu $. Então, pela equação acima, temos que

$$\mathbb{E}(\phi|\mathcal{G}_n)=0$$

para qualquer $ n\geq 1 $. Por outro lado, como $ \mathbb{E}(\phi|\mathcal{G}_n) $ converge para $ \phi $ em $ L^2(\Omega) $ quando $ n\rightarrow \infty $. Portanto, $ \phi=0 $ quase certamente. Portanto, o resultado segue.

 

Agora lembramos a sequência $ \{J_n\} $ é um subespaço de $ L^2(\Omega) $. Seja $ K_0=\mathbb{R} $ e para cada $ n\geq 1 $ definimos $ K_n $ o complemento ortogonal de $ J_{n-1} $ em $ J_n $, temos

$$J_n=J_{n-1}\oplus K_n $$

Então, obtemos a seguinte sequência de subespaços ortogonais

$$K_0, K_1,K_2,\dots , K_n, \dots$$

Definição 10.9.2.1:

Seja $ n $ um número inteiro não negativo. Os elementos do espaço de Hilbert no espaço $ K_n $ são chamados de caos homogêneos de ordem n.
 

O espaço $ K_n, n\geq 1 $, são todos infinito dimensional. O caos homogêneos de ordem 1 são variáveis homogêneas Gaussianas.

Teorema 10.9.2.2:

O espaço $ L^2(\Omega) $ é soma ortogonal direta dos espaços $ K_n $, ou seja,

$$L^2(\Omega)=\displaystyle \bigoplus_{j=0}^{\infty} K_j.$$

Para cada função $ \phi \in L^2(\Omega) $ existe uma única expansão em serie de caos homogênos

$$\phi =\displaystyle  \sum_{n=0}^\infty \phi_n$$

Além disso,

$$\|\phi\|^2=\sum_{n=0}^\infty \|\phi_n\|^2$$

no qual, $ \|\cdot\| $ é a norma de $ L^2(\Omega) $.

Exemplo 10.9.2.1:
Seja $ f\in L^2([a,b]) $ e $ I(f)=\displaystyle \int_a^b f(t)dB(t) $. Temos

$$I^2(f)=\|f\|^2+(I^2(f)-\|f\|^2).$$

Podemos mostrar que $ I^2(f)-\|f\|^2 $ é ortogonal a $ K_0 $ e $ K_1 $. Portanto, $ I^2(f)-\|f\|^2 $ pertence a $ K_2 $. Por outro lado, considere a integral dupla de Wiener-Itô

$$\displaystyle \int_a^b\int_a^b f(t)f(s)dB(t)dB(s)$$

Pelo Teorema 10.9.2

$$\displaystyle \int_a^b\int_a^b f(t)f(s)dB(t)dB(s)=2\int_a^b f(t)\left[\int_a^t f(s)\right]dB(t)$$

$$2\int_a^b f(t)X_tdB(t)$$

no qual $ X_t=\displaystyle \int_a^b f(s)dB(s) $. Então $ dX_t=f(t)dB(t) $. Usando a formula de Itô é dada por

$$d(X^2_t)=2X_tdX_s+(dX_t)^2=2f(t)X_tdB(t)+f^2(t)dt,$$

o qual nos fornece a integral estocástica

$$\displaystyle 2 \int_a^bf(t)X_tdB(t)=X^2_b-X_a^2-\int_a^b f^2(t)dt=I^2(f)-\|f\|^2.$$

Das equações acima e da integral dupla de Itô-Wiener temos,

$$\displaystyle \int_a^b\int_a^b f(t)f(s)dB(t)dB(s)=I^2(f)-\|f\|^2$$

Essa igualdade nos mostra que o caos homogêneo $ I^2(f)-\|f\|^2 $ é uma integral dupla de Itô-Wiener.
 

Teorema 10.9.2.3:

Seja $ \mathbb{P}_n $ denota a projeção ortogonal de $ L^2(\Omega) $ em $ K_n $. Se $ f_1,\dots, f_k $ funções ortogonais não negativa em $ L^2([a,b]) $ e $ n_1,\dots,n_k $ são inteiros não negativos. Então,

$$\mathbb{P}_n(I(f_1)^{n_1},\dots,I(f_k)^{n_k})=H_{n_1}(I(f_1),\|f_1\|^2)\dots H_{n_k}(I(f_k),\|f_k\|^2)$$

no qual $ n=n_1+\dots+n_k $. Em particular temos que

$$\mathbb{P}_n(I(f)^n)=H_n(I(f),\|f\|^2)$$

para qualquer função não nula $ f\in L^2[a,b] $.
Demonstração:

Afim de evitar uma notação complicada vamos provar apenas a segunda equação. Primeiro use a segunda identidade dos polinômios de Hermite, temos que

$$\displaystyle I^n(f)=H_n(I(f);\|f\|^2)+\frac{n(n-1)}{2}\|f\|^2 H_{n-2}(I(f);\|f\|^2)+\cdots.$$

Observe que todos os termos do lado direito, exceto o primeiro deles é ortogonal em $ K_n $, por que tem grau menor que n. Portanto para provar

$$\mathbb{P}_n(I(f)^n)=H_n(I(f),\|f\|^2)$$

é suficiente provar que

$$H_n(I(f),\|f\|^2)\perp J_{n-1}.$$

ou equivalentemente, para qualquer não negativa $ g_1,\dots,g_m\in L^2([a,b]) $ e $ 0\leq m\leq n-1 $,

$$\mathbb{E}\left\{H_n(I(f),\|f\|^2)I(g_1)I(g_2)\dots I(g_m)\right\}=0$$

Claro que podemos assumir que $ g_1,\dots,g_m $ são ortogonais. Além disso, para cada $ g_i $, podemos escrever $ g_i=c_if+h_i $ com $ c_i\in \mathbb{R} $ e $ h_i\perp f $. Portanto, afim de provar que

$$\mathbb{E}\left\{H_n(I(f),\|f\|^2)I(g_1)I(g_2)\dots I(g_m)\right\}=0$$

é suficiente para provar que para qualquer $ h_i,\cdots,h_m $ ortogonais a $ f $ e $ p+q_1+\dots+q_m\leq n-1, $

$$\mathbb{E}\left\{H_n(I(f),\|f\|^2)I^p(f)I^{q_1}(h_1)\dots I^{q_m}(h_m)\right\}=0$$

Finalmente usando que

$$\displaystyle I^n(f)=H_n(I(f);\|f\|^2)+\frac{n(n-1)}{2}\|f\|^2 H_{n-2}(I(f);\|f\|^2)+\cdots.$$

vemos que é suficiente provar que para qualquer $ 0\leq r+r_1+\dots +r_m\leq n-1, $

$$\mathbb{E}\left\{H_n(I(f),\|f\|^2)H_r(I(f),\|f\|^2)\right\}=0$$

Mas isso é verdade pelo Teorema 10.9.1.3

Exemplo 10.9.2.2:

 Seja $ f\in L^2([a,b]) $ uma função não negativa. Na função geradora (equação da seção anterior), colocando $ x=I(f) $ e $ \rho=\|f\|^2 $ e obtemos

$$e^{tI(f)-\frac{1}{2}\|f\|^2 t^2}=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}H_n(I(f),\|f\|^2).$$

pelo Teorema 10.9.2.3, $ H_n(I(f),\|f\|^2)\in K_n $ para cada $ n\geq 0 $. Portanto, pela equação acima temos uma expansão para a função $ \phi=e^{tI(f)-\frac{1}{2}\|f\|^2 t^2} $.

 

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