10.9.2 - Homogeneidade no Caos

Seja $\mu$ uma medida gaussiana com média zero e variância $\sigma$, pelo Teorema 10.9.1.3, toda função no espaço de Hilbert $L^2(\mu)$ tem representação única em séries de polinômio de Hermite.

O espaço de Wiener $C(\mathbb{R},[0,1])$ é um espaço de Banach de funções contínua a valores reais no [0,1] que se anula em zero, seja $\mathbb{P}$ a medida de Wiener no espaço das $C(\mathbb{R},[0,1])$, o qual para facilitar a notação denotaremos apenas por $C$. Agora será que existe uma versão análoga ao Teorema 10.9.1.3 funções em $L^2(\mathbb{P})$ no espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, no qual, $\mathbb{F}$ é a $\sigma$-algebra gerada pelo movimento Browniano.

Seja $I(f)=\displaystyle \int_a^b f(t)dB(t)$ a integral de Wiener para $f\in L^2[a,b]$. O produto $I(f_1)I(f_2)\dots I(f_k)$ com $f_1,f_2,\dots, f_k \in L^2[a,b]$ é chamada de polinômio caos de ordem k.

Seja $J_0=\mathbb{R}$ e para $n\geq 1$, definimos $J_n$ como sendo o fecho linear de $L^2(\Omega)$ e adicionando as funções constante e polinômios caóticos de grau menor ou igual a $n$. Então temos que
$$J_0\subset J_1\subset \dots \subset J_n \subset \dots \subset L^2(\Omega)$$

Teorema 10.9.2.1:

A união $\displaystyle J:=\bigcup_{n=0}^\infty$ é denso em $L^2(\Omega)$.
Demonstração:
Seja $\{e_n\}_{n=1}^\infty$ uma base ortogonal de $L^2([a,b])$ e seja $\mathcal{G}_n$ a $\sigma$-álgebra gerada por $I(e_1),I(e_2),\dots,I(e_n)$. Então, $\{\mathcal{G}_n\}$ é uma filtragem e ainda temos que $\sigma\{\cup_n \mathcal{G}_n\}=\mathcal{F}$.
Seja $\phi\in L^2(\Omega)$ ortogonal em $\displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty J_n$. Então,  para cada n fixado temos
$$\mathbb{E}\left[\phi I^{k_1}(e_1)I^{k_2}(e_2)\dots I^{k_n}(e_n)\right]=0, \quad \quad \forall k_1, k_2, \dots, k_n \geq 0.$$
Observe que $I^{k_1}(e_1)I^{k_2}(e_2)\dots I^{k_n}(e_n)$ é $\mathcal{G}_n$-mensurável. Portanto,
$$\mathbb{E}\left[\phi I^{k_1}(e_1)I^{k_2}(e_2)\dots I^{k_n}(e_n)\right]=\mathbb{E}(I^{k_1}(e_1)I^{k_2}(e_2)\dots I^{k_n}(e_n))\mathbb{E}(\phi| \mathcal{G}_n).$$
Portanto, para todo inteiro $k_1, k_2, \dots, k_n \geq 0$,
$$\mathbb{E}(I^{k_1}(e_1)I^{k_2}(e_2)\dots I^{k_n}(e_n))\mathbb{E}(\phi| \mathcal{G}_n)=0.$$
Mas as variáveis $I(e_1),I(e_2),\dots,I(e_n)$ são independentes com mesma distribuição normal. Além do mais,
$$\mathbb{E}(\phi|\mathcal{G}_n)=\theta_n (I(e_1),I(e_2),\dots,I(e_n))$$
para alguma função $\theta_n$ em $\mathbb{R}^n$. Então, para todo $k_1,k_2,\dots,k_n\geq 0$,
$$\displaystyle \int_{\mathbb{R}^n}x_1^k x_2^{k_2}\dots x_n^{k_n}\theta_n(x_1,x_2,\dots, x_n)d\mu(x)=0$$
na qual, $\mu$ é uma medida Gaussiana em $\mathbb{R}^n$. Da equação do $H_n(x,\sigma)$, temos que implica que
$$\displaystyle \int_{\mathbb{R}^n}H_{k_1}(x_1,1)H_{k_2}(x_2,1)\dots H_{k_n}(x_n,1)\theta_n(x_1,x_2,\dots, x_n)d\mu(x)=0$$
Mas, do Teorema 10.9.1.3 a coleção
$$\{H_{k_1}(x_1,1)H_{k_2}(x_2,1)\dots H_{k_n}(x_n,1);k_1,k_2,\dots,k_n\geq 0\}$$
é uma base ortogonal de $L^2(\mathbb{R}^n,\mu)$. Portanto, $\theta_n=0$ quase certamente com respeito a $\mu$. Então, pela equação acima, temos que
$$\mathbb{E}(\phi|\mathcal{G}_n)=0$$
para qualquer $n\geq 1$. Por outro lado, como $\mathbb{E}(\phi|\mathcal{G}_n)$ converge para $\phi$ em $L^2(\Omega)$ quando $n\rightarrow \infty$. Portanto, $\phi=0$ quase certamente. Portanto, o resultado segue.

 

Agora lembramos a sequência $\{J_n\}$ é um subespaço de $L^2(\Omega)$. Seja $K_0=\mathbb{R}$ e para cada $n\geq 1$ definimos $K_n$ o complemento ortogonal de $J_{n-1}$ em $J_n$, temos
$$J_n=J_{n-1}\oplus K_n $$

Então, obtemos a seguinte sequência de subespaços ortogonais
$$K_0, K_1,K_2,\dots , K_n, \dots$$

Definição 10.9.2.1:

Seja $n$ um número inteiro não negativo. Os elementos do espaço de Hilbert no espaço $K_n$ são chamados de caos homogêneos de ordem n.
 

O espaço $K_n, n\geq 1$, são todos infinito dimensional. O caos homogêneos de ordem 1 são variáveis homogêneas Gaussianas.

Teorema 10.9.2.2:

O espaço $L^2(\Omega)$ é soma ortogonal direta dos espaços $K_n$, ou seja,
$$L^2(\Omega)=\displaystyle \bigoplus_{j=0}^{\infty} K_j.$$
Para cada função $\phi \in L^2(\Omega)$ existe uma única expansão em serie de caos homogênos
$$\phi =\displaystyle  \sum_{n=0}^\infty \phi_n$$
Além disso,
$$\|\phi\|^2=\sum_{n=0}^\infty \|\phi_n\|^2$$
no qual, $\|\cdot\|$ é a norma de $L^2(\Omega)$.

Exemplo 10.9.2.1:
Seja $f\in L^2([a,b])$ e $I(f)=\displaystyle \int_a^b f(t)dB(t)$. Temos
$$I^2(f)=\|f\|^2+(I^2(f)-\|f\|^2).$$
Podemos mostrar que $I^2(f)-\|f\|^2$ é ortogonal a $K_0$ e $K_1$. Portanto, $I^2(f)-\|f\|^2$ pertence a $K_2$. Por outro lado, considere a integral dupla de Wiener-Itô
$$\displaystyle \int_a^b\int_a^b f(t)f(s)dB(t)dB(s)$$
Pelo Teorema 10.9.2
$$\displaystyle \int_a^b\int_a^b f(t)f(s)dB(t)dB(s)=2\int_a^b f(t)\left[\int_a^t f(s)\right]dB(t)$$
$$2\int_a^b f(t)X_tdB(t)$$
no qual $X_t=\displaystyle \int_a^b f(s)dB(s)$. Então $dX_t=f(t)dB(t)$. Usando a formula de Itô é dada por
$$d(X^2_t)=2X_tdX_s+(dX_t)^2=2f(t)X_tdB(t)+f^2(t)dt,$$
o qual nos fornece a integral estocástica
$$\displaystyle 2 \int_a^bf(t)X_tdB(t)=X^2_b-X_a^2-\int_a^b f^2(t)dt=I^2(f)-\|f\|^2.$$
Das equações acima e da integral dupla de Itô-Wiener temos,
$$\displaystyle \int_a^b\int_a^b f(t)f(s)dB(t)dB(s)=I^2(f)-\|f\|^2$$
Essa igualdade nos mostra que o caos homogêneo $I^2(f)-\|f\|^2$ é uma integral dupla de Itô-Wiener.
 

Teorema 10.9.2.3:

Seja $\mathbb{P}_n$ denota a projeção ortogonal de $L^2(\Omega)$ em $K_n$. Se $f_1,\dots, f_k$ funções ortogonais não negativa em $L^2([a,b])$ e $n_1,\dots,n_k$ são inteiros não negativos. Então,
$$\mathbb{P}_n(I(f_1)^{n_1},\dots,I(f_k)^{n_k})=H_{n_1}(I(f_1),\|f_1\|^2)\dots H_{n_k}(I(f_k),\|f_k\|^2)$$
no qual $n=n_1+\dots+n_k$. Em particular temos que
$$\mathbb{P}_n(I(f)^n)=H_n(I(f),\|f\|^2)$$
para qualquer função não nula $f\in L^2[a,b]$.
Demonstração:

Afim de evitar uma notação complicada vamos provar apenas a segunda equação. Primeiro use a segunda identidade dos polinômios de Hermite, temos que
$$\displaystyle I^n(f)=H_n(I(f);\|f\|^2)+\frac{n(n-1)}{2}\|f\|^2 H_{n-2}(I(f);\|f\|^2)+\cdots.$$
Observe que todos os termos do lado direito, exceto o primeiro deles é ortogonal em $K_n$, por que tem grau menor que n. Portanto para provar
$$\mathbb{P}_n(I(f)^n)=H_n(I(f),\|f\|^2)$$
é suficiente provar que
$$H_n(I(f),\|f\|^2)\perp J_{n-1}.$$
ou equivalentemente, para qualquer não negativa $g_1,\dots,g_m\in L^2([a,b])$ e $0\leq m\leq n-1$,
$$\mathbb{E}\left\{H_n(I(f),\|f\|^2)I(g_1)I(g_2)\dots I(g_m)\right\}=0$$
Claro que podemos assumir que $g_1,\dots,g_m$ são ortogonais. Além disso, para cada $g_i$, podemos escrever $g_i=c_if+h_i$ com $c_i\in \mathbb{R}$ e $h_i\perp f$. Portanto, afim de provar que
$$\mathbb{E}\left\{H_n(I(f),\|f\|^2)I(g_1)I(g_2)\dots I(g_m)\right\}=0$$
é suficiente para provar que para qualquer $h_i,\cdots,h_m$ ortogonais a $f$ e $p+q_1+\dots+q_m\leq n-1,$
$$\mathbb{E}\left\{H_n(I(f),\|f\|^2)I^p(f)I^{q_1}(h_1)\dots I^{q_m}(h_m)\right\}=0$$
Finalmente usando que
$$\displaystyle I^n(f)=H_n(I(f);\|f\|^2)+\frac{n(n-1)}{2}\|f\|^2 H_{n-2}(I(f);\|f\|^2)+\cdots.$$
vemos que é suficiente provar que para qualquer $0\leq r+r_1+\dots +r_m\leq n-1,$
$$\mathbb{E}\left\{H_n(I(f),\|f\|^2)H_r(I(f),\|f\|^2)\right\}=0$$
Mas isso é verdade pelo Teorema 10.9.1.3

Exemplo 10.9.2.2:

 Seja $f\in L^2([a,b])$ uma função não negativa. Na função geradora (equação da seção anterior), colocando $x=I(f)$ e $\rho=\|f\|^2$ e obtemos
$$e^{tI(f)-\frac{1}{2}\|f\|^2 t^2}=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}H_n(I(f),\|f\|^2).$$
pelo Teorema 10.9.2.3, $H_n(I(f),\|f\|^2)\in K_n$ para cada $n\geq 0$. Portanto, pela equação acima temos uma expansão para a função $\phi=e^{tI(f)-\frac{1}{2}\|f\|^2 t^2}$.

 

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