10.9.3 - Base ortogonais para o caos homogêneo

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Observe que o espaço $K_n, n\geq 1$ é um espaço de Hilbert infinito dimensional. Iremos fixar uma base ortogonal $\{e_k\}^\infty_{k=1}$ para o espaço $L^2[a,b]$. Assim, para uma sequência $\{n_k\}_{k=1}^\infty$ de inteiros não negativos com soma finita, definimos

$$\mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots}=\prod_{k}\frac{1}{\sqrt{n_k!}}H_{n_k}(\tilde{e}_k;1)$$
$$=\frac{1}{\sqrt{n_1!n_2!\dots}}H_{n_1}(\tilde{e}_1;1)H_{n_2}(\tilde{e}_2;1)\cdots.$$

Com $H_0(x;1)=1$ e existe somente um numero finito não nulos de $n_k$'s. Portanto, o produto dessa equação é apenas um produto finito de fatores.

Lema 10.9.3.1:
Para qualquer inteiro fixo $n\geq 1$, a coleção de funções
$$\{\mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots; n_1+n_2+\dots =n}\}$$
é um subconjunto de $K_n$. Além disso, o espaço linear expandido por essa coleção de funções é denso em $K_n$.

Teorema 10.9.3.1:

 Para qualquer inteiro fixo $n\geq 1$, a coleção de funções
$$\{\mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots};n_1+n_2+\dots=n\}$$
é uma base ortogonal para o espaço $K_n$ de classes homogéneos caos de ordem n.
\end{theorem}

Exemplo 10.9.3.1:
Suponha que $f\in L^2([a,b])$ que tenha expansão $f=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_ne_n$, onde $a_n=\langle f,e_n\rangle$. Então a expansão de $I(f)\in K_1\in L^2(\Omega)$ é dado por
$$I(f)=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n I(e_n).$$
Essa expansão é um caso especial do Teorema 10.9.3.1 quando $n=1$. Mas isso também segue do fato que a aplicação
$$I:L^2([a,b])\rightarrow L^2(\Omega)$$
é uma isometria (VER O TEOREMA 10.1.1) 

Teorema 10.9.3.2

A coleção de funções
$$\{\mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots};n_1+n_2+\dots=n,n=0,1,2,\dots\}$$
é uma base ortogonal para o espaço de Hilbert $L^2(\Omega)$. Todo $\phi\in L^2(\Omega)$ tem uma única expansão em serie
$$\phi=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \sum_{n_1+n_2+\dots=n} a_{n_1,n_2,\dots}\mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots}$$
no qual, $a_{n_1,n_2,\dots}=\displaystyle\int_{\Omega}\phi \mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots} d\mathbb{P}.$

 

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