10.9.3 - Base ortogonais para o caos homogêneo

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Observe que o espaço $ K_n, n\geq 1 $ é um espaço de Hilbert infinito dimensional. Iremos fixar uma base ortogonal $ \{e_k\}^\infty_{k=1} $ para o espaço $ L^2[a,b] $. Assim, para uma sequência $ \{n_k\}_{k=1}^\infty $ de inteiros não negativos com soma finita, definimos

$$\mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots}=\prod_{k}\frac{1}{\sqrt{n_k!}}H_{n_k}(\tilde{e}_k;1)$$

$$=\frac{1}{\sqrt{n_1!n_2!\dots}}H_{n_1}(\tilde{e}_1;1)H_{n_2}(\tilde{e}_2;1)\cdots.$$

Com $ H_0(x;1)=1 $ e existe somente um numero finito não nulos de $ n_k $'s. Portanto, o produto dessa equação é apenas um produto finito de fatores.

Lema 10.9.3.1:
Para qualquer inteiro fixo $ n\geq 1 $, a coleção de funções

$$\{\mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots; n_1+n_2+\dots =n}\}$$

é um subconjunto de $ K_n $. Além disso, o espaço linear expandido por essa coleção de funções é denso em $ K_n $.

Teorema 10.9.3.1:

 Para qualquer inteiro fixo $ n\geq 1 $, a coleção de funções

$$\{\mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots};n_1+n_2+\dots=n\}$$

é uma base ortogonal para o espaço $ K_n $ de classes homogéneos caos de ordem n.
\end{theorem}

Exemplo 10.9.3.1:
Suponha que $ f\in L^2([a,b]) $ que tenha expansão $ f=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_ne_n $, onde $ a_n=\langle f,e_n\rangle $. Então a expansão de $ I(f)\in K_1\in L^2(\Omega) $ é dado por

$$I(f)=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n I(e_n).$$

Essa expansão é um caso especial do Teorema 10.9.3.1 quando $ n=1 $. Mas isso também segue do fato que a aplicação

L^2([a,b])\rightarrow L^2(\Omega)$$

é uma isometria (VER O TEOREMA 10.1.1) 

Teorema 10.9.3.2

A coleção de funções

$$\{\mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots};n_1+n_2+\dots=n,n=0,1,2,\dots\}$$

é uma base ortogonal para o espaço de Hilbert $ L^2(\Omega) $. Todo $ \phi\in L^2(\Omega) $ tem uma única expansão em serie

$$\phi=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \sum_{n_1+n_2+\dots=n} a_{n_1,n_2,\dots}\mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots}$$

no qual, $ a_{n_1,n_2,\dots}=\displaystyle\int_{\Omega}\phi \mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots} d\mathbb{P}. $

 

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