10.9.4 - Integrais múltiplas de Itô-Wiener

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Quando olhamos Exemplo 10.9.2.1 o caos homogêneo é $ I^2(f)-\|f\|^2 $ para $ f\in L^2([a,b]) $ é dado por uma integral dupla de Wiener-Itô. Assim, é razoável esperar que exista uma relação biunívoca, do caos homogêneo de ordem 2 e a integral dupla. O que nos leva a questão. Todas as funções de caos homogêneo é dado por algum tipo integral de ordem $ n\geq 2 $ ?

Essa questões foram consideradas pelo Itô em 1951. Usando essas ideias vamos mostrar essa relação biunívoca.

Por simplicidade, Seja $ T\equiv [a,b] $. O objetivo desta seção é definir uma integral múltipla de Wiener-Itô

$$\displaystyle \int_{T^n}f(t_1,t_2,\dots,t_n)dB(t_1)dB(t_2)\dots dB(t_n)$$

para $ f\in L^2(T^n) $. Já temos a ideia inicial para o caso $ n=2 $ para a integral Wiener-Itô. Iremos modificar os argumentos para o o caso $ n\geq 3 $.
Seja $ D=\{(t_1,t_2,\dots, t_n)\in T^n, \exists i\neq j \text{ tal que } t_i=t_j\} $ sendo a diagonal do conjunto de $ T^n $. Um subconjunto de $ T^n $ da forma

$$[t_1^{(1)},t_1^{(2)})\times [t_2^{(1)},t_2^{(2)})\times \dots \times [t_n^{(1)},t_n^{(2)})$$

é chamado de retângulo

O primeiro passo: Função escada fora da diagonal

A primeira função escada $ T^n $ é uma função da forma

$$f=\displaystyle \sum_{1\leq i_1,i_2,\dots, i_n\leq k}a_{i_1,i_2,\dots, i_n}\mathds{1}_{[\tau_{i_1-1},\tau_{i_1})\times [\tau_{i_2-1},\tau_{i_2})\times \dots \times [\tau_{i_n-1},\tau_{i_n})},$$

no qual, $ a=\tau_0\textless \tau_1 \textless\dots \textless t_k=b $. Uma função escada fora da diagonal é uma função com coeficiente satisfazendo a condição

$$a_{i_1,i_2,\dots, i_n}=0,\quad if \quad i_{p}=i_q$$

para qualquer $ p\neq q $. A condição na equação acima significa a função f desaparece no conjunto $ D $. A coleção de funções escadas fora da diagonal fora da diagonal é um espaço de vetor.
Para um função escada fora da diagonal f dada pela equação acima é dada por

$$I_n(f)=\displaystyle \sum_{1\leq i_1,i_2,\dots, i_n\leq k}a_{i_1,i_2,\dots, i_n}\xi_{i_1}\xi_{i_2}\dots \xi_{i_n}$$

no qual $ xi_{i_p}=B(\tau_{i_p})-B(\tau_{i_p-1}) $, $ 1\leq p \leq n $. O valor $ I_n(f) $ é bem definido, isto é, isto não depende da representação de f. Além disso, a aplicação $ I_n $ é linear no espaço de vetores de funções escadas fora da diagonal.

A simetrização de $ \hat{f}(t_1,t_2,\dots, t_n) $ da função $ f(t_1,t_2,\dots, t_n) $ é definida por

$$\hat{f}(t_1,t_2,\dots, t_n)=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma}f(t_{\sigma(1)},t_{\sigma(2)},\dots, t_{\sigma(n)}),$$

no qual a somatório é sobre o conjunto de todas as permutações $ \sigma $ sobre o conjunto $ \{1,2,\dots,n\} $. Desde que a medida de Lebesgue é simétrica, temos

$$\displaystyle \int_{T^n}|f(t_{\sigma(1)},\dots,t_{\sigma(n)})|^2dt_1\dots dt_n=\int_{T^n}|f(t_1,\dots,t_n)|^2dt_1\dots dt_n$$

para qualquer permutação $ \sigma $. Portanto, pela desigualdade triangular temos que

$$\|\hat{f}\|\leq \frac{1}{n!}\displaystyle \sum_{\sigma}\|f\|=\frac{1}{n!}\|f\|=\|f\|.$$

Então, temos pela desigualdade triangular temos $ \|\hat{f}\|\leq \|f\| $. Em geral, a desigualdade restrita ocorre como mostramos anteriormente. Se $ f $ é uma função escada fora da diagonal, então $ \hat{f} $ é também uma função escada fora da diagonal.

Lema 10.9.4.1:

Se $ f $ é uma função escada fora da diagonal, então $ I_n(f)=I_n(\hat{f}) $.
Demonstração:

Note que $ I_n $ e o operador de simetrização são linear. Portanto, é suficiente provar o lema para o caso

$$f=\mathds{1}_{[t_1^{(1)},t_1^{(2)})\times [t_2^{(1)},t_2^{(2)})\times \dots \times [t_n^{(1)},t_n^{(2)})}$$

no qual o intervalos $ [t_i^{(1)},t_i^{(2)}) $, $ 1\leq i\leq n $, são disjuntos. Então, temos que

$$I_n(f)=\prod_{i=1}^n (B(t_i^{(2)})-B(t_i^{(2)}))$$

Por outro lado, a simetrização $ \hat{f} $ de $ f $ é dado por

$$\displaystyle \hat{f}=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma}\mathds{1}_{[t_{\sigma(1)}^{(1)},t_{\sigma(1)}^{(2)})\times [t_{\sigma(2)}^{(1)},t_{\sigma(2)}^{(2)})\times \dots \times [t_{\sigma(n)}^{(1)},t_{\sigma(n)}^{(2)})}$$

Portanto,

$$I_n(\hat{f})=\frac{1}{n!}\displaystyle \sum_{\sigma}\prod_{i=1}^n(B(t_{\sigma(i)}^{(2)})-B(t_{\sigma(i)}^{(2)}))$$

Observe que $ \displaystyle \prod_{i=1}^n (B(t_i^{(2)})-B(t_i^{(2)}))= \prod_{i=1}^n (B(t_{\sigma(i)}^{(2)})-B(t_{\sigma(i)}^{(2)})) $ para qualquer permutação $ \sigma $. Além disso, existem $ n! $ permutações do conjunto $ \{1,2,\dots,n\} $. Segue que

$$I_n(\hat{f})=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma}\prod_{i=1}^n (B(t_i^{(2)})-B(t_i^{(2)}))=\prod_{i=1}^n (B(t_i^{(2)})-B(t_i^{(2)}))$$

Portanto o resultado segue.
 

Lema 10.9.4.2:

Se $ f $ é uma função escada fora da diagonal então $ \mathbb{E}(I_n(f))=0 $ e

$$\mathbb{E}(I_n(f))=n!\displaystyle \int_{T^n}|\hat{f}(t_1,t_2,\dots,t_n)|^2dt_1dt_2\dots dt_n.$$

O segundo passo: Aproximação por funções escadas fora da diagonal.

Seja $ D=\{(t_1,t_2,\dots, t_n)\in [a,b]^n; t_i=t_j, i\neq j\} $ o conjunto diagonal, o qual pode ser reescrito como $ D=\displaystyle \bigcup_{i\neq j}[\{t_i=t_j\}\cap D] $, o que significa que $ D $ é uma união finita de intersecções de hiperplano $ (n-1) $-dimensional com o conjunto D. Portanto, a medida de Lebesgue de D é zero. Esse fato, nos permite adotar os mesmos argumentos da integral dupla.

Lemma 10.9.4.3:

Seja $ f $ uma função de $ L^2(T^n) $. Então existe uma sequência de funções escadas fora da diagonal $ \{f_k\} $ tal que

$$\displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty}\int_{T^n}|f(t_1,t_2,\dots,t_n)-f_k(t_1,t_2,\dots,t_n)|^2 dt_1dt_2\dots dt_n=0$$

 

Agora suponha que $ f\in L^2(T^n) $. Escolha uma sequência $ \{f_k\} $ de funções escadas fora da diagonal convergindo para $ f\in L^(T^n)  $. Pelo Lema acima essa sequência existe. Então pela linearidade e pelo Lema 10.9.4.2

$$\mathbb{E}[(I_n(f_k)-I_n(f_\ell))^2]=n!\|\hat{f}_k-\hat{f}_\ell\|^2\leq n!\|f_k-f_\ell\|^2\rightarrow 0,$$

quando $ k,\ell \rightarrow \infty $. Portanto, a sequência $ \{I_n(f_k)\}_{k=1}^\infty $ é de Cauchy em $ L^2(\Omega) $. Defina

$$I(f)=\lim_{k\rightarrow} I(f_k),$$

em $ L^2(\Omega) $. O valor $ I_n(f) $ está bem definido, isto é, não depende da escolha da sequência $ \{f_k\} $ usada na equação.

Definição 10.9.4.1:
Seja $ f\in L^2(T^n) $. O limite $ I(f) $ é chamado de integral múltipla de Wiener-Itô da função $ f $ e é denotado por

$$\int_{T^n}f(t_1,t_2,\cdots, t_n)dB(t_1)dB(t_2)\dots dB(t_n)$$

No caso em que $ n=1 $, temos a integral de Wiener da função $ f $ e para o caso de $ n=2 $ a integral dupla.

Teorema 10.9.4.1: Seja $ f\in L^2(T^n) $, $ n\geq 1 $. Então, temos que
(1) $ I_n(f)=I_n(\bar{f}) $. No qual, $ \bar{f} $ é a simetrização de $ f $.
(2)$ \mathbb{E}(I_n(f))=0 $.
(3) $ \mathbb{E}(I(f)^2)=n!\|\bar{f}\|^2 $. Aqui, $ \|\cdots\| $ é a norma de $ L^2(T^n) $.
 

O teorema a seguir nos fornece uma igualdade para escrever a integral múltipla de Wiener-Itô como sendo uma integral interativa da integral de Itô. A qual é muito útil para calcular.

Teorema 10.9.4.2:

Seja $ f\in L^2(T^n) $, $ n\geq 2 $. Então,

$$\displaystyle \int_{T^n}f(t_1,t_2,\dots,t_n)dB(t_1)dB(t_2)\dots dB(t_n)=n!\displaystyle \int_{a}^b\dots\int_a^{t_{n-2}}\left[\int_a^{t_{n-1}}\bar{f}(t_1,t_2,\dots,t_n)dB(t_n)\right]dB(t_{n-1})\dots dB(t_{1}),$$

no qual $ \bar{f} $ é a simetrização de $ f $.
Demonstração:

 É suficiente provar o teorema para o caso em que $ f $ é uma função caracterizada por retângulos disjuntos no conjunto $ D $. Pelo Lema 10.9.4.1 podemos assumir que $ f $ é da seguinte forma

$$f=\mathds{1}_{[t_1^{(1)},t_1^{(2)})\times [t_2^{(1)},t_2^{(2)})\times \dots \times [t_n^{(1)},t_n^{(2)})}$$

no qual, $ t_n^{(1)}\textless t_n^{(2)}\leq t_{n-1}^{(2)}\leq \dots \leq t_2^{(1)}\textless t_2^{(2)}\textless t_1^{(1)}\textless t_1^{(2)} $. Então a integral múltipla de Wiener-Itô de $ f $ é dada por

$$\displaystyle \int_{T^n}f(t_1,\dots, t_n)dB(t_1)\dots dB(t_n)=\prod_{i=1}^n(B(t_{i}^{(2)})-B(t_i^{(1)})).$$

Por outro lado temos que $ \hat{f}=\frac{1}{n!}f $ na região $ t_n\textless t_{n-1}\textless \dots \textless t_1 $. Portanto, temos que

$$\displaystyle \int_{a}^{t_{n-1}}\hat{f}(t_1,t_2,\dots, t_n)dB(t_n)=\frac{1}{n!}\mathds{1}_{[t_1^{(1)},t_1^{(2)})\times [t_2^{(1)},t_2^{(2)})\times \dots \times [t_n^{(1)},t_n^{(2)})}(B(t_n^{(2)})-B(t_n^{(1)}))$$

A qual é $ \mathcal{F}_{t_{n-1}^{(2)}} $-mensurável e pode ser considerada um processo estocástico constante para a integral no intervalo $ [t_{n-1}^{(1)},t_{n-1}^{(2)}] $ com respeito a $ dB(t_{n-1}) $. Portanto, podemos repetir o argumento e obtemos

$$\displaystyle \displaystyle \int_{a}^b\dots\int_a^{t_{n-2}}\left[\int_a^{t_{n-1}}\bar{f}(t_1,t_2,\dots,t_n)dB(t_n)\right]dB(t_{n-1})\dots dB(t_{1})=\frac{1}{n!}\prod_{i=1}^n (B(t_i^{(2)})-B(t_i^{(1)})).$$

Portanto, o resultado segue.

Definição 10.9.4.2:

Seja $ g_1, \dots, g_n \in L^2[a,b] $. O produto tensorial $ g_1\otimes\dots \otimes g_n $ é definido como sendo uma função

$$g_1\otimes \dots \otimes g_n(t_1,t_2,\dots,t_n)=g_1(t_1)\dots g_n(t_n).$$

O produto tensorial $ f_1^{\otimes_{n_1}}\otimes \dots \otimes f_k^{\otimes n_k} $ o que significa que $ f_j $ é repetir $ n_j $ vezes, $ 1\leq j\leq k $.
 

Teorema 10.9.4.3:

Seja $ f_1,f_2,\dots,f_k $ funções não negativas ortogonais em $  L^2[a,b] $ e seja $ n_1,\dots, n_k $ inteiros positivos. Então,

$$I\left(f_1^{\otimes_{n_1}}\otimes \dots \otimes f_k^{\otimes n_k}\right)=\prod_{j=1}^{k}H_{n_j}(I(f_j);\|f_j\|^2),$$

no qual $ n=n_1+\dots+ n_k. $ Em particular, para qualquer função não nula $ f\in L^2[a,b] $,

$$I_n(f^{\otimes n})=H_n(I(f);\|f\|^2).$$

Demonstração:
Primeiramente vamos provar que

$$I_n(f^{\otimes n})=H_n(I(f);\|f\|^2).$$

O caso em que $ n=1 $ é óbvio. O caso para $ n=2 $ já foi provado. Assim vamos provar por indução, assumir que é válido para $ n $ e mostrar para $ n+1 $. Então, pelo Teorema 10.9.4.2 temos que

$$\displaystyle \int_{T^{n+1}}f(t_1)\dots f(t_{n+1})dB(t_1)\dots dB(t_{n+1})=(n+1)!\int_{a}^b f(t_1)X_{t_1}dB(t_1)$$

no qual, $ X_t $ é dado por

$$X_t=\int_a^t\dots \left[\int_a^{t_n}f(t_2)\dots f(t_{n+1})dB(t_{n+1})\right]\dots dB(t_2).$$

Pela Teorema 10.9.4.2 e pela indução em $ n $,

$$X_t=\displaystyle \frac{1}{n!}\int_{[a,t]^n}f(t_2)\dots f(t_{n+1})dB(t_2)\dots dB(t_{n+1})$$

$$=\frac{1}{n!}H_n\left(\displaystyle \int_a^t f(s)dB(s); \int_a^t f^2(s)ds\right).$$

Portanto, temos a seguinte igualdade

$$\displaystyle \int_{T^{n+1}}f(t_1)\dots f(t_{n+1})dB(t_1)\dots dB(t_{n+1})$$

$$=(n+1)\int_{a}^b f(t_1)H_n\left(\displaystyle \int_a^t f(s)dB(s); \int_a^t f^2(s)ds\right)dB(t_1)$$

Por outro lado, podemos aplicar a formula de Itô para $ H_{n+1}(x;\sigma) $ e obtemos que

$$dH_{n+1}\left(\displaystyle \int_a^t f(s)dB(s); \int_a^t f^2(s)ds\right)$$

$$\left(\frac{\partial}{\partial x}H_{n+1}\right)f(t)dB(t)+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}H_{n+1}\right)f^2(t)dt+\left(\frac{\partial}{\partial \sigma}H_{n+1}\right)f^2(t)dt$$

Usando as identidades do polinômino de hermite temos

$$\frac{\partial}{\partial x}H_{n+1}(x,\sigma)=(n+1)H_{n}(x,\sigma)$$

$$\frac{\partial}{\partial \sigma}H_{n+1}(x,\sigma)=-\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}H_{n+1}(x,\sigma)$$

Desta forma, obtemos

$$dH_{n+1}\left(\int_a^t f(s)dB(s),\int_a^t f^2(s)ds\right)$$

$$=(n+1)f(t)H_n\left(\int_a^t f(s)dB(s),\int_a^t f^2(s)ds\right)dB(t)$$

a qual, sobre a integração sobre $ [a,b] $, o que nos fornece a seguinte igualdade

$$H_{n+1}(I(f);\|f\|^2)=(n+1)\int_a^b f(t)H_n\left(\int_a^t f(s)dB(s),\int_a^t f^2(s)ds\right)dB(t)$$

O que mostra que é valido para $ n+1 $. Portanto, por indução o resultado segue para qualquer inteiro positivo $ n $ e então a equação

$$I_n(f^{\otimes n})=H_n(I(f);\|f\|^2)$$

é valida. Seja $ \tilde{f}=I(f) $. Para qualquer numero real $ r_1,r_2,\dots, r_k $, temos

$$e^{\sum_{i=1}^kr_i \tilde{f}_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k r_i^2\|f_i\|^2}=\prod_{i=1}^k e^{r_i\tilde{f}_i-\frac{1}{2}r^2_i\|f_i\|^2}$$

$$\displaystyle =\prod_{i=1}^k\sum_{n_i=0}^\infty \frac{r_i^{n_i}}{n_i!}H_{n_i}(\tilde{f}_i;\|f_i\|^2)$$

Por outro lado, temos que pela equação acima com $ t=1 $ e $ \displaystyle \sum_{i=1}^k r_i^2\|f_i\|^2 $,

$$e^{\sum_{i=1}^kr_i \tilde{f}_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k r_i^2\|f_i\|^2}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}H_m\left(\sum_{i=1}^k r_i\tilde{f}_i;\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k r_i^2 \|f_i\|^2\right).$$

Então aplicando a equação

$$I_n(f^{\otimes n})=H_n(I(f);\|f\|^2).$$

para $ H_m $ do lado direito, temos que

$$e^{\sum_{i=1}^kr_i \tilde{f}_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k r_i^2\|f_i\|^2}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}\int_{T^m}\prod_{j=1}^m\left[\sum_{i=1}^k r_if_i(t_j)\right]dB(t_1)\dots dB(t_m)$$

Portanto o resultado segue comprando os coeficientes $ r_1^{n_1}r_2^{n_2}\cdots r_k^{n_k} $ no lado direito da equação.
 

Teorema 10.9.4.4

Seja $ n\neq m $. Então $ \mathbb{E}(I_n(f)I_m(g))=0 $ para qualquer $ f\in L^2(T^n) $ e $ g\in L^2(T^m) $.
Demonstração
É suficiente provar o teorema para $ f $ e $ g $ da seguinte forma

$$f=\mathds{1}_{[t_1^{(1)},t_1^{(2)})\times [t_2^{(1)},t_2^{(2)})\times \dots \times [t_n^{(1)},t_n^{(2)})}$$

$$g=\mathds{1}_{[s_1^{(1)},s_1^{(2)})\times [s_2^{(1)},s_2^{(2)})\times \dots \times [s_m^{(1)},s_m^{(2)})}$$

No qual, o intervalo satisfaz a seguinte condição

$$t_n^{(1)}\textless t_n^{(2)}\leq t_{n-1}^{(2)}\leq \cdots \leq t_2^{(1)}\textless t_2^{(2)}\leq t_1^{(1)}\textless t_1^{(2)}$$

$$s_m^{(1)}\textless s_m^{(2)}\leq s_{m-1}^{(2)}\leq \cdots \leq s_2^{(1)}\textless s_2^{(2)}\leq s_1^{(1)}\textless s_1^{(2)}$$

Então, $ I_n(f)I_m(g) $ é dado por

$$I_n(f)I_m(g)=\left[\prod_{i=1}^n \left(B(t_i^{(2)})-B(t_i^{(1)})\right)\right]\left[\prod_{j=1}^m \left(B(s_j^{(2)})-B(s_j^{(1)})\right)\right]$$

Agora colocando os pontos $ t $ e $ s $ juntos formando uma sequência crescente de pontos $ \tau_1\textless \tau_2 \textless \cdots\textless \tau_r $ com $ r\leq n+m $. Então cada fator do primeiro produto da equação acima pode ser escrito como soma de incrementos de $ B(t) $ nos $ \tau $-intervalos. Portanto, após multiplicarmos os n fatores, cada termo do primeiro produto é descrito como

$$\left(B(\tau_{i_1})-B(\tau_{i_1-1})\right)\cdots \left(B(\tau_{i_n})-B(\tau_{i_n-1})\right)$$

no qual $ \tau_{i_1}\textless \cdots \textless \tau_{i_n} $. Similarmente, cada termo do segundo produto é  dado por

$$\left(B(\tau_{j_1})-B(\tau_{j_1-1})\right)\cdots \left(B(\tau_{j_m})-B(\tau_{j_m-1})\right)$$

no qual $ \tau_{j_1}\textless \cdots \textless \tau_{j_m} $.

Podemos ver que a esperança do produto é zero. Pois, $ n\neq m $ e portanto o resultado segue.

 

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