10.9.5 - Teorema de Wiener-Itô e Representação Martingale Browniana

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Denotamos por $ L^2_{sym}(T^n) $ o espaço de Hilbert das funções simétricas reais quadrado integráveis de $ T^n $. Para facilitar vamos resumir os resultados mais importantes obtidos anteriormente:
1- Pelo Teorema 10.9.2.2 temos que o espaço $ L^2(\Omega) $ pode ser decomposto como soma direta ortogonais,

$$L^2(\Omega)=K_0\oplus K_1\oplus \dots \oplus K_n\oplus \cdots.$$

2- Pelo Teorema 10.9.3.2 a coleção $ \{\mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots};n_1+n_2+\dots=n\} $ é uma base ortogonal para $ K_n $.

3- Pelo Teorema 10.9.4.1 $ \mathbb{E}(I_n(f)^2)=n!\|f\|^2 $ para qualquer $ f\in L^2_{sym}(T^n) $. Portanto a aplicação

L^2_{sym}(T^n)\rightarrow L^2(\Omega)$$

é uma isometria.

4- Pelo Teorema 10.9.4.3 a integral múltipla de Wiener-Itô estão relacionadas com a integral de Wiener do polinômio de Hermite.

Teorema 10.9.5.1:

Seja $ n\geq 1 $. Se $ f\in L^2(T^n) $, então $ I_n(f)\in K_n $. Inversamente, se $ \phi \in K_n $, então existe uma única função $ f\in L^2_{sym}(T^n) $, tal que $ \phi=I_n(f) $.
Demonstração:
Seja $ f_1^{\otimes_{n_1}}\hat{\otimes}f_2^{\otimes_{n_2}}\hat{\otimes}\dots \hat{\otimes} f_k^{\otimes_{n_k}} $ a qual é a função simetrização da função $ f_1^{\otimes_{n_1}} {\otimes}f_2^{\otimes_{n_2}}{\otimes}\dots {\otimes} f_k^{\otimes_{n_k}} $ definido anteriormente. Seja $ \{e_k\}_{k=1}^\infty $ uma base ortogonal para $ L^2(T) $, $ T=[a,b] $. É de fato uma coleção de funções

$$\displaystyle \left\{\frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{n_1!n_2!\dots}}e^{\otimes_{n_1}}_1\hat{\otimes}e^{\otimes_{n_2}}_2\hat{\otimes} \dots ; n_1+n_2+\dots=n\right\}$$

forma uma base ortogonal para $ L^2_{sym}(T^n) $.

Para provar a primeira afirmação, podemos assumir que $ f\in L^2(T^n) $ é uma função simétrica desde que $ I_n(f)=I_n(\hat{f}) $ pelo Teorema 10.9.4.1. Então, $ f $ pode ser escrita como

$$f=\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}a_{n_1,n_2, \dots}\frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{n_1!n_2!\dots}}e^{\otimes_{n_1}}_1\hat{\otimes} e^{\otimes_{n_2}}_2\hat{\otimes} \dots$$

aonde o coeficiente satisfaz a condição de que

$$\|f\|^2=\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}a_{n_1,n_2, \dots}\textless \infty.$$

Então, usando as equação  $ \mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots} $ e o Teorema 10.9.4.3, temos que

$$I_n(f)=\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}a_{n_1,n_2, \dots}\frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{n_1!n_2!\dots}}\prod_j H_{n_j}(\tilde{e}_j,1)$$

$$=\sqrt{n!}\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}a_{n_1,n_2, \dots} \mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots}.$$

Portanto, pelo Teorema 10.9.3.2, temos que

$$\|I_n(f)\|=n!\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}a^2_{n_1,n_2, \dots}=n!\|f\|^2\textless \infty.$$

Segue que $ I_n(f)\in K_n $.
Inversamente, suponha que $ \phi\in K_n $. Pelo Teorema 10.9.3.2 $ \phi $ pode ser expandido como

$$\phi=\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}b_{n_1,n_2, \dots}\mathcal{H}_{n_1,n_2, \dots}.$$

Defina a função $ f $ em $ T^n $ por

$$f=\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}b_{n_1,n_2, \dots}\frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{n_1!n_2!\dots}}e^{\otimes_{n_1}}_1\hat{\otimes} e^{\otimes_{n_2}}_2\hat{\otimes} \dots.$$

Então pelos argumentos acima temos que

$$\|f\|^2=\frac{1}{n!}\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}b_{n_1,n_2, \dots}=\frac{1}{n!}\|\phi\|^2\textless \infty.$$

Isto mostra que $ f \in L^2_{sym}(T^n) $. Além disso, podemos ver a partir dos argumentos acima temos que $ I_n(f)=\phi $. Para mostrar a unicidade, suponha que $ f,g\in L^2_{sym}(T^n) $ e $ \phi=I_n(f)=I_n(g) $. Então,

$$\|f-g\|=\frac{1}{\sqrt{n!}}\|I_n(f-g)\|=\frac{1}{\sqrt{n!}}\|I_n(f)-I_n(g)\|=0,$$

o que implica que $ f=g $.

 

Teorema 10.9.5.2 (Teorema de Wiener-Itô)

O espaço $ L^2(\Omega) $ pode ser decomposto em soma direta ortogonal

$$L^2(\Omega)=K_0\oplus K_1\oplus \dots \oplus K_n\oplus \dots ,$$

no qual, $ K_n $ consiste na integral múltipla de Wiener-Itô de ordem n. Cada função $ \phi\in L^2(\Omega) $ tem única representação como

$$\phi=\sum_{n=0}^\infty I_n(f_n), \quad \quad f_n\in L^2_{sym}(T^n),$$

e então, temos que

$$\|\phi\|^2=\sum_{n=0}^\infty n!\|f_n\|^2$$

 

O que nos leva a seguinte questão, $ \phi\in L^2(\Omega) $, como podemos derivar a função $ f_n,~~n\geq 0 $?
Para responder essa questão, precisamos da ideia da teoria de derivada do ruido branco. Vamos explorar esse conceito de uma forma mais informal por enquanto.

Definição 10.9.5.1: 

Seja $ \phi=I_n(f) $, $ f\in L^2_{sym}(T^n) $. A derivada variacional de $ \phi $ é definida como sendo

$$\frac{\delta}{\delta t}\phi=nI_{n-1}(f_n(t,\cdot)),$$

no qual, o lado direito pode ser visto como sendo 0 quando $ n=0 $. Em particular,

$$\frac{\delta}{\delta t} I(f)=f(t).$$

 

Suponha que $ \phi \in L^2(\Omega) $ é representado pela equação acima dada por 

$$\phi=\sum_{n=0}^\infty I_n(f_n), \quad \quad f_n\in L^2_{sym}(T^n),$$

Aplicando o operador $ \frac{\delta}{\delta t} $ informalmente n vezes, temos

$$\frac{\delta^n}{\delta t_1 \delta t_2 \dots \delta t_n}\phi=n! f_n(t_1,t_2,\dots, t_n)+(n+1)!I_1(f_{n+1}(t_1,t_2,\dots, t_n,\cdot))+\cdots$$

Lembrando que $ \mathbb{E}(I_n(f))=0 $ para todo $ n\geq 1 $. Portanto, temos que tomando a esperança de ambos os lados da equação acima, obtemos o seguinte teorema.

Teorema 10.9.5.3:

Seja $ \phi \in L^2(\Omega) $. Assumindo que todas as derivadas variacionais existem e que a esperança também existe. Temos

$$f_n(t_1,t_2,\dots, t_n)=\frac{1}{n!}\mathbb{E}\left(\frac{\delta^n}{\delta t_1 \delta t_2 \dots \delta t_n}\phi\right).$$

Então, a expansão de Wiener-Itô de $ \phi $ é dada por $ \phi =\displaystyle \sum_{n=0}^\infty I_n(f_n) $.
 

Exemplo 10.9.5.1:

Seja $ \phi=e^{B(1)^2} $. Claro que, $ \phi \in L^2(\Omega) $. Iremos encontrar os três primeiro termos não nulos da expansão de Wiener-Itô de $ \phi $. Primeiro temos que

$$\mathbb{E}\left(e^{-B(1)^2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Escrevendo $ \phi $ como $ \phi=\displaystyle e^{-\left(\int_0^1 1 dB(s)\right)^2} $ e usando a equação acima obtemos

$$\frac{\delta}{\delta t_1}\phi=\phi \cdot \left\{-2 \int_0^1 1 dB(s)\cdot 1\right\}= -2 B(1)e^{-B(1)^2}$$

Portanto,

$$f_1(t_1)=\mathbb{E}\left[\frac{\delta}{\delta t_1}\phi\right]=0, \quad \quad \forall 0 \leq t_1 \leq 1.$$

Diferenciando mais uma vez obtemos

$$\frac{\delta^2}{\delta t_1\delta t_2}\phi=-2(1-2B(1)^2)e^{-B(1)^2},$$

A qual, tem a seguinte esperança

$$f_2(t_1,t_2)=\mathbb{E}\left[\frac{\delta^2}{\delta t_1 \delta t_2}\phi\right]=-\frac{2}{3\sqrt{3}}$$

As próximas duas derivadas variacionais de $ \phi $ são dadas por

$$\frac{\delta^3}{\delta t_1\delta t_2\delta t_3}\phi=4(3B(1)-2B(1)^3)e^{-B(1)^2}$$

$$\frac{\delta^4}{\delta t_1\delta t_2\delta t_3\delta t_4}\phi=4(3-12B(1)^2+4B(1)^4)e^{-B(1)^2}$$

Claro que, $ f_3=0 $. Pelo calculo direto, temos que

$$f(t_1,t_2,t_3,t_4)=\mathbb{E}\left(\frac{\delta^4}{\delta t_1\delta t_2\delta t_3\delta t_4}\phi\right)=\frac{4}{3\sqrt{3}}.$$

Então, temos que os três primeiro termos não negativos da expansão de Wiener-Itô temos que

$$e^{-B(1)^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{2}{3\sqrt{3}}I_2(1)+ \frac{4}{3\sqrt{3}}I_4(1)+\cdots.$$

 

 

Representação Martingale Browniana

Seja $ B(t) $ o movimento Browniano e seja $ T=[a,b] $ um intervalo fixado. Suponha que $ f(t) $ seja um processo estocástico em $ L^2_{ad}([a,b]\times \Omega) $. Então, pelo Teorema 10.2.5 e Teorema 10.2.6, o processo estocástico $ X_t=\displaystyle \int_a^t f(s)dB(s) $ para todo $ t\in [a,b] $. Além do mais, pelo Teorema 10.2.3 temos que $ \mathbb{E}(X^2_t)=\int_a^t \mathbb{E}(f^2(s))dt\textless \infty $ para $ t\in [a,b] $.

Seja $ n\geq 1 $ e considere a integral múltipla de Wiener-Itô

$$X=\int_{T^n} f(t_1,t_2,\dots, t_n)dB(t_1)dB(t_2)\dots dB(t_n)$$

no qual $ f\in L^2_{sym}(T^n) $. Pelo Teorema 10.9.4.2, X pode ser reescrito como

$$X=n!\int_a^b \int_a^{t_1}\dots \left[\int_a^{t_{n-1}}f(t_1,t_2,\dots, t_n)dB(t_n)\right]\dots dB(t_2)dB(t_1).$$

Definimos o processo estocástico $ \theta(t) $ por

$$\theta(t)=n!\int_a^t\dots \left[\int_a^{t_{n-1}}f(t_1,t_2,\dots, t_n)dB(t_n)\right]\dots dB(t_2), \quad \quad a\leq t\leq b.$$

Então, podemos escrever X como uma integral estocástica

$$X=\int_a^b \theta(t)dB(t).$$

Note que o processo estocástico $ \theta(t) $ é adaptado com respeito a filtragem $ \{\mathcal{F}_t\} $. Além disso, podemos usar novamente Teorema 10.9.4.2 para reescrever $ \theta(t) $ como uma integral múltipla de Wiener-Itô

$$\theta(t)=n(n-1)!\int_a^t\dots \left[\int_a^{t_{n-1}}f(t_1,t_2,\dots, t_n)dB(t_n)\right]\dots dB(t_2)$$

$$=n\int_{[a,t]^{n-1}} f(t_1,t_2,\dots, t_n)dB(t_2)\dots dB(t_n).$$

Então, aplicando o teorema 9.6.6 para obter

$$\mathbb{E}(\theta(t)^2)=n^2(n-1)!\int_{[a,t]^{n-1}}f(t,t_2,\dots,t_n)^2dt_2\dots dt_n$$

$$\leq n n! \int_{[a,b]^{n-1}}f(t,t_2,\dots,t_n)^2dt_2\dots dt_n,$$

o que implica que

$$\int_a^b \mathbb{E}(\theta(t)^2)dt\leq n n! \int_{[a,b]^n}f(t_1,t_2,\dots,t_n)^2dt_1dt_2\dots dt_n=n\mathbb{E}(X^2)\textless \infty.$$

Então, para $ \theta \in L^2_{ad}([a,b]\times \Omega) $ e a integral estocástica

$$X=\int_a^b \theta(t)dB(t).$$

é uma integral de Itô.

Com isso obtemos o seguinte Teorema

Teorema 10.9.5.4:

Seja $ X\in L^2(\Omega) $ e $ \mathbb{E}(X)=0 $. Então, existe uma processo estocástico $ \theta \in L^2([a,b]\times \Omega) $ tal que

$$X=\int_a^b \theta(t)dB(t).$$

Demonstração:

Pelo Teorema de Wiener-Itô, X tem uma expansão $ X=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} I_n(f_n) $ com $ f_n\in L^2_{sym}(T^n) $. Mas $ f_0=\mathbb{E}(X)=0 $. Portanto, temos que

$$X=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty I_n(f_n), \quad \quad \|X\|^2=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n!\|f_n\|^2.$$

Para cada $ n\geq 1 $, definimos um processo estocástico

$$\theta_n(t)=n! \int_a^t \cdots \left[\int_a^{t_{n-1}}f_n(t,t_2,\dots,t_n)dB(t_n)\right]\dots dB(t_2).$$

Pela equação acima , podemos reescrever $ \theta_n(t) $ como integrais múltiplas de Wiener-Itô

$$\theta_n(t)=n\displaystyle \int_{[a,t]^{n-1}}f_n(t,t_2,\dots,t_n)dB(t_2)\dots dB(t_n).$$

Portanto pelo Teorema 10.9.4.4, os $ \theta_n $'s são ortogonais. Definimos

$$S_n(t)=\displaystyle \sum_{k=1}^n \theta_k(t), \quad a \leq t \leq b. $$

Note que para $ I_n(f_n)=\displaystyle \int_a^b\theta_n(t) dB(t) $. Portanto, $ \mathbb{E}(I_n(f_n)^2)=\displaystyle \int_a^b\mathbb{E}(\theta_n(t)^2)dt $. Então, para qualquer $ n\textgreater m, $

$$\displaystyle \int_a^b\mathbb{E}(|S_n(t)-S_m(t)|^2)dt=\displaystyle \sum_{k=m+1}^n \int_a^b \mathbb{E}(\theta_k(t)^2)dt=\sum_{k=m+1}^n \mathbb{E}(I_k(f_k)^2)$$

o qual converge para $ 0 $ quando $ n\textgreater m \rightarrow \infty $. E isto mostra que $ \theta=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} S_n $ existe um espaço $ L^2_{ad}([a,b]\times \Omega) $. Então por

$$X=\sum_{n=1}^\infty \int_a^b \theta_n(t)dB(t)$$

temos que

$$X=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \int_a^b \theta_k(t)d B(t)=\lim_{n\rightarrow \infty}\int_a^b S_n(t)dB(t)=\int_a^b \theta(t)dB(t).$$

O que completa o teorema.

Teorema 10.9.5.5 (Teorema de Representação Martingale) :

Seja $ M_t $, $ a\leq t \leq b $, um martingale quadrado integrável com respeito $ \{ \mathcal{F}_t, a\leq t\leq b \} $ e $ M_a=0 $. Então, $ M_t $ tem uma versão continua $ \tilde{M}(t) $ dado por

$$\tilde{M}(t)=\displaystyle \int_a^t \theta(s)dB(s), \quad \quad a\leq t\leq b,$$

no qual $ \theta \in L^2_{ad}([a,b]\times \Omega) $.
Demonstração:

Pela hipótese $ M_b\in L^2_B(\Omega) $ e $ \mathbb{E}(M_b)=\mathbb{E}(M_b)=0 $. Portanto, podemos aplicar o Teorema 10.9.5.4 para uma variável aleatória $ M_b $ para obtermos o processo estocástico $ \theta(t)\in L^2_{ad}([a,b]\times \Omega) $ tal que

$$M_b=\int_a^b \theta(s)dB(s)$$

Definimos um processo estocástico $ \tilde{M}(t) $ por

$$\tilde{M}(t)=\displaystyle \int_a^t \theta(s)dB(s), \quad \quad a\leq t\leq b.$$

Pelo Teorema 10.2.5 e  Teorema 10.2.6, $ \tilde{M}(t) $ é um martingale contínuo com respeito a filtragem $ \{\mathcal{F}_t\} $. Além disso, para cada $ t\in [a,b] $,

$$M_t=\mathbb{E}\left(M_b\bigg| \mathcal{F}_t\right)=\mathbb{E}\left(\tilde{M}_b\bigg| \mathcal{F}_t\right)=\tilde{M}(t)\quad \quad a.s.$$

Portanto $ \tilde{M}(t) $ é uma versão de $ M_t $ e o resultado segue.

 

Processo Estocástico

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