10.9.5 - Teorema de Wiener-Itô e Representação Martingale Browniana

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Denotamos por $L^2_{sym}(T^n)$ o espaço de Hilbert das funções simétricas reais quadrado integráveis de $T^n$. Para facilitar vamos resumir os resultados mais importantes obtidos anteriormente:
1- Pelo Teorema 10.9.2.2 temos que o espaço $L^2(\Omega)$ pode ser decomposto como soma direta ortogonais,
$$L^2(\Omega)=K_0\oplus K_1\oplus \dots \oplus K_n\oplus \cdots.$$

2- Pelo Teorema 10.9.3.2 a coleção $\{\mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots};n_1+n_2+\dots=n\}$ é uma base ortogonal para $K_n$.

3- Pelo Teorema 10.9.4.1 $\mathbb{E}(I_n(f)^2)=n!\|f\|^2$ para qualquer $f\in L^2_{sym}(T^n)$. Portanto a aplicação
$$\frac{1}{\sqrt{n!}}I_n:L^2_{sym}(T^n)\rightarrow L^2(\Omega)$$
é uma isometria.

4- Pelo Teorema 10.9.4.3 a integral múltipla de Wiener-Itô estão relacionadas com a integral de Wiener do polinômio de Hermite.

Teorema 10.9.5.1:

Seja $n\geq 1$. Se $f\in L^2(T^n)$, então $I_n(f)\in K_n$. Inversamente, se $\phi \in K_n$, então existe uma única função $f\in L^2_{sym}(T^n)$, tal que $\phi=I_n(f)$.
Demonstração:
Seja $f_1^{\otimes_{n_1}}\hat{\otimes}f_2^{\otimes_{n_2}}\hat{\otimes}\dots \hat{\otimes} f_k^{\otimes_{n_k}}$ a qual é a função simetrização da função $f_1^{\otimes_{n_1}} {\otimes}f_2^{\otimes_{n_2}}{\otimes}\dots {\otimes} f_k^{\otimes_{n_k}}$ definido anteriormente. Seja $\{e_k\}_{k=1}^\infty$ uma base ortogonal para $L^2(T)$, $T=[a,b]$. É de fato uma coleção de funções
$$\displaystyle \left\{\frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{n_1!n_2!\dots}}e^{\otimes_{n_1}}_1\hat{\otimes}e^{\otimes_{n_2}}_2\hat{\otimes} \dots ; n_1+n_2+\dots=n\right\}$$
forma uma base ortogonal para $L^2_{sym}(T^n)$.

Para provar a primeira afirmação, podemos assumir que $f\in L^2(T^n)$ é uma função simétrica desde que $I_n(f)=I_n(\hat{f})$ pelo Teorema 10.9.4.1. Então, $f$ pode ser escrita como
$$f=\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}a_{n_1,n_2, \dots}\frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{n_1!n_2!\dots}}e^{\otimes_{n_1}}_1\hat{\otimes} e^{\otimes_{n_2}}_2\hat{\otimes} \dots$$
aonde o coeficiente satisfaz a condição de que
$$\|f\|^2=\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}a_{n_1,n_2, \dots}\textless \infty.$$
Então, usando as equação  $\mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots}$ e o Teorema 10.9.4.3, temos que
$$I_n(f)=\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}a_{n_1,n_2, \dots}\frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{n_1!n_2!\dots}}\prod_j H_{n_j}(\tilde{e}_j,1)$$
$$=\sqrt{n!}\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}a_{n_1,n_2, \dots} \mathcal{H}_{n_1,n_2,\dots}.$$

Portanto, pelo Teorema 10.9.3.2, temos que
$$\|I_n(f)\|=n!\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}a^2_{n_1,n_2, \dots}=n!\|f\|^2\textless \infty.$$

Segue que $I_n(f)\in K_n$.
Inversamente, suponha que $\phi\in K_n$. Pelo Teorema 10.9.3.2 $\phi$ pode ser expandido como
$$\phi=\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}b_{n_1,n_2, \dots}\mathcal{H}_{n_1,n_2, \dots}.$$

Defina a função $f$ em $T^n$ por
$$f=\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}b_{n_1,n_2, \dots}\frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{n_1!n_2!\dots}}e^{\otimes_{n_1}}_1\hat{\otimes} e^{\otimes_{n_2}}_2\hat{\otimes} \dots.$$

Então pelos argumentos acima temos que
$$\|f\|^2=\frac{1}{n!}\displaystyle \sum_{n_1+n_2+\dots=n}b_{n_1,n_2, \dots}=\frac{1}{n!}\|\phi\|^2\textless \infty.$$
Isto mostra que $f \in L^2_{sym}(T^n)$. Além disso, podemos ver a partir dos argumentos acima temos que $I_n(f)=\phi$. Para mostrar a unicidade, suponha que $f,g\in L^2_{sym}(T^n)$ e $\phi=I_n(f)=I_n(g)$. Então,
$$\|f-g\|=\frac{1}{\sqrt{n!}}\|I_n(f-g)\|=\frac{1}{\sqrt{n!}}\|I_n(f)-I_n(g)\|=0,$$
o que implica que $f=g$.

 

Teorema 10.9.5.2 (Teorema de Wiener-Itô)

O espaço $L^2(\Omega)$ pode ser decomposto em soma direta ortogonal
$$L^2(\Omega)=K_0\oplus K_1\oplus \dots \oplus K_n\oplus \dots ,$$
no qual, $K_n$ consiste na integral múltipla de Wiener-Itô de ordem n. Cada função $\phi\in L^2(\Omega)$ tem única representação como
$$\phi=\sum_{n=0}^\infty I_n(f_n), \quad \quad f_n\in L^2_{sym}(T^n),$$
e então, temos que
$$\|\phi\|^2=\sum_{n=0}^\infty n!\|f_n\|^2$$
 

O que nos leva a seguinte questão, $\phi\in L^2(\Omega)$, como podemos derivar a função $f_n,~~n\geq 0$?
Para responder essa questão, precisamos da ideia da teoria de derivada do ruido branco. Vamos explorar esse conceito de uma forma mais informal por enquanto.

Definição 10.9.5.1: 

Seja $\phi=I_n(f)$, $f\in L^2_{sym}(T^n)$. A derivada variacional de $\phi$ é definida como sendo
$$\frac{\delta}{\delta t}\phi=nI_{n-1}(f_n(t,\cdot)),$$
no qual, o lado direito pode ser visto como sendo 0 quando $n=0$. Em particular,
$$\frac{\delta}{\delta t} I(f)=f(t).$$
 

Suponha que $\phi \in L^2(\Omega)$ é representado pela equação acima dada por 

$$\phi=\sum_{n=0}^\infty I_n(f_n), \quad \quad f_n\in L^2_{sym}(T^n),$$

Aplicando o operador $\frac{\delta}{\delta t}$ informalmente n vezes, temos
$$\frac{\delta^n}{\delta t_1 \delta t_2 \dots \delta t_n}\phi=n! f_n(t_1,t_2,\dots, t_n)+(n+1)!I_1(f_{n+1}(t_1,t_2,\dots, t_n,\cdot))+\cdots$$

Lembrando que $\mathbb{E}(I_n(f))=0$ para todo $n\geq 1$. Portanto, temos que tomando a esperança de ambos os lados da equação acima, obtemos o seguinte teorema.

Teorema 10.9.5.3:

Seja $\phi \in L^2(\Omega)$. Assumindo que todas as derivadas variacionais existem e que a esperança também existe. Temos
$$f_n(t_1,t_2,\dots, t_n)=\frac{1}{n!}\mathbb{E}\left(\frac{\delta^n}{\delta t_1 \delta t_2 \dots \delta t_n}\phi\right).$$
Então, a expansão de Wiener-Itô de $\phi$ é dada por $\phi =\displaystyle \sum_{n=0}^\infty I_n(f_n)$.
 

Exemplo 10.9.5.1:

Seja $\phi=e^{B(1)^2}$. Claro que, $\phi \in L^2(\Omega)$. Iremos encontrar os três primeiro termos não nulos da expansão de Wiener-Itô de $\phi$. Primeiro temos que
$$\mathbb{E}\left(e^{-B(1)^2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Escrevendo $\phi$ como $\phi=\displaystyle e^{-\left(\int_0^1 1 dB(s)\right)^2}$ e usando a equação acima obtemos
$$\frac{\delta}{\delta t_1}\phi=\phi \cdot \left\{-2 \int_0^1 1 dB(s)\cdot 1\right\}= -2 B(1)e^{-B(1)^2}$$
Portanto,
$$f_1(t_1)=\mathbb{E}\left[\frac{\delta}{\delta t_1}\phi\right]=0, \quad \quad \forall 0 \leq t_1 \leq 1.$$
Diferenciando mais uma vez obtemos
$$\frac{\delta^2}{\delta t_1\delta t_2}\phi=-2(1-2B(1)^2)e^{-B(1)^2},$$
A qual, tem a seguinte esperança
$$f_2(t_1,t_2)=\mathbb{E}\left[\frac{\delta^2}{\delta t_1 \delta t_2}\phi\right]=-\frac{2}{3\sqrt{3}}$$
As próximas duas derivadas variacionais de $\phi$ são dadas por
$$\frac{\delta^3}{\delta t_1\delta t_2\delta t_3}\phi=4(3B(1)-2B(1)^3)e^{-B(1)^2}$$
$$\frac{\delta^4}{\delta t_1\delta t_2\delta t_3\delta t_4}\phi=4(3-12B(1)^2+4B(1)^4)e^{-B(1)^2}$$

Claro que, $f_3=0$. Pelo calculo direto, temos que
$$f(t_1,t_2,t_3,t_4)=\mathbb{E}\left(\frac{\delta^4}{\delta t_1\delta t_2\delta t_3\delta t_4}\phi\right)=\frac{4}{3\sqrt{3}}.$$
Então, temos que os três primeiro termos não negativos da expansão de Wiener-Itô temos que
$$e^{-B(1)^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{2}{3\sqrt{3}}I_2(1)+ \frac{4}{3\sqrt{3}}I_4(1)+\cdots.$$

 

 

Representação Martingale Browniana

Seja $B(t)$ o movimento Browniano e seja $T=[a,b]$ um intervalo fixado. Suponha que $f(t)$ seja um processo estocástico em $L^2_{ad}([a,b]\times \Omega)$. Então, pelo Teorema 10.2.5 e Teorema 10.2.6, o processo estocástico $X_t=\displaystyle \int_a^t f(s)dB(s)$ para todo $t\in [a,b]$. Além do mais, pelo Teorema 10.2.3 temos que $\mathbb{E}(X^2_t)=\int_a^t \mathbb{E}(f^2(s))dt\textless \infty$ para $t\in [a,b]$.

Seja $n\geq 1$ e considere a integral múltipla de Wiener-Itô
$$X=\int_{T^n} f(t_1,t_2,\dots, t_n)dB(t_1)dB(t_2)\dots dB(t_n)$$
no qual $f\in L^2_{sym}(T^n)$. Pelo Teorema 10.9.4.2, X pode ser reescrito como
$$X=n!\int_a^b \int_a^{t_1}\dots \left[\int_a^{t_{n-1}}f(t_1,t_2,\dots, t_n)dB(t_n)\right]\dots dB(t_2)dB(t_1).$$
Definimos o processo estocástico $\theta(t)$ por
$$\theta(t)=n!\int_a^t\dots \left[\int_a^{t_{n-1}}f(t_1,t_2,\dots, t_n)dB(t_n)\right]\dots dB(t_2), \quad \quad a\leq t\leq b.$$
Então, podemos escrever X como uma integral estocástica
$$X=\int_a^b \theta(t)dB(t).$$
Note que o processo estocástico $\theta(t)$ é adaptado com respeito a filtragem $\{\mathcal{F}_t\}$. Além disso, podemos usar novamente Teorema 10.9.4.2 para reescrever $\theta(t)$ como uma integral múltipla de Wiener-Itô
$$\theta(t)=n(n-1)!\int_a^t\dots \left[\int_a^{t_{n-1}}f(t_1,t_2,\dots, t_n)dB(t_n)\right]\dots dB(t_2)$$
$$=n\int_{[a,t]^{n-1}} f(t_1,t_2,\dots, t_n)dB(t_2)\dots dB(t_n).$$
Então, aplicando o teorema 9.6.6 para obter
$$\mathbb{E}(\theta(t)^2)=n^2(n-1)!\int_{[a,t]^{n-1}}f(t,t_2,\dots,t_n)^2dt_2\dots dt_n$$
$$\leq n n! \int_{[a,b]^{n-1}}f(t,t_2,\dots,t_n)^2dt_2\dots dt_n,$$
o que implica que
$$\int_a^b \mathbb{E}(\theta(t)^2)dt\leq n n! \int_{[a,b]^n}f(t_1,t_2,\dots,t_n)^2dt_1dt_2\dots dt_n=n\mathbb{E}(X^2)\textless \infty.$$
Então, para $\theta \in L^2_{ad}([a,b]\times \Omega)$ e a integral estocástica
$$X=\int_a^b \theta(t)dB(t).$$
é uma integral de Itô.

Com isso obtemos o seguinte Teorema

Teorema 10.9.5.4:

Seja $X\in L^2(\Omega)$ e $\mathbb{E}(X)=0$. Então, existe uma processo estocástico $\theta \in L^2([a,b]\times \Omega)$ tal que
$$X=\int_a^b \theta(t)dB(t).$$

Demonstração:

Pelo Teorema de Wiener-Itô, X tem uma expansão $X=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} I_n(f_n)$ com $f_n\in L^2_{sym}(T^n)$. Mas $f_0=\mathbb{E}(X)=0$. Portanto, temos que
$$X=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty I_n(f_n), \quad \quad \|X\|^2=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n!\|f_n\|^2.$$

Para cada $n\geq 1$, definimos um processo estocástico
$$\theta_n(t)=n! \int_a^t \cdots \left[\int_a^{t_{n-1}}f_n(t,t_2,\dots,t_n)dB(t_n)\right]\dots dB(t_2).$$

Pela equação acima , podemos reescrever $\theta_n(t)$ como integrais múltiplas de Wiener-Itô
$$\theta_n(t)=n\displaystyle \int_{[a,t]^{n-1}}f_n(t,t_2,\dots,t_n)dB(t_2)\dots dB(t_n).$$
Portanto pelo Teorema 10.9.4.4, os $\theta_n$'s são ortogonais. Definimos
$$S_n(t)=\displaystyle \sum_{k=1}^n \theta_k(t), \quad a \leq t \leq b. $$
Note que para $I_n(f_n)=\displaystyle \int_a^b\theta_n(t) dB(t)$. Portanto, $\mathbb{E}(I_n(f_n)^2)=\displaystyle \int_a^b\mathbb{E}(\theta_n(t)^2)dt$. Então, para qualquer $n\textgreater m,$
$$\displaystyle \int_a^b\mathbb{E}(|S_n(t)-S_m(t)|^2)dt=\displaystyle \sum_{k=m+1}^n \int_a^b \mathbb{E}(\theta_k(t)^2)dt=\sum_{k=m+1}^n \mathbb{E}(I_k(f_k)^2)$$
o qual converge para $0$ quando $n\textgreater m \rightarrow \infty$. E isto mostra que $\theta=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} S_n$ existe um espaço $L^2_{ad}([a,b]\times \Omega)$. Então por

$$X=\sum_{n=1}^\infty \int_a^b \theta_n(t)dB(t)$$

temos que
$$X=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \int_a^b \theta_k(t)d B(t)=\lim_{n\rightarrow \infty}\int_a^b S_n(t)dB(t)=\int_a^b \theta(t)dB(t).$$
O que completa o teorema.

Teorema 10.9.5.5 (Teorema de Representação Martingale) :

Seja $M_t$, $a\leq t \leq b$, um martingale quadrado integrável com respeito $\{ \mathcal{F}_t, a\leq t\leq b \}$ e $M_a=0$. Então, $M_t$ tem uma versão continua $\tilde{M}(t)$ dado por
$$\tilde{M}(t)=\displaystyle \int_a^t \theta(s)dB(s), \quad \quad a\leq t\leq b,$$
no qual $\theta \in L^2_{ad}([a,b]\times \Omega)$.
Demonstração:

Pela hipótese $M_b\in L^2_B(\Omega)$ e $\mathbb{E}(M_b)=\mathbb{E}(M_b)=0$. Portanto, podemos aplicar o Teorema 10.9.5.4 para uma variável aleatória $M_b$ para obtermos o processo estocástico $\theta(t)\in L^2_{ad}([a,b]\times \Omega)$ tal que
$$M_b=\int_a^b \theta(s)dB(s)$$
Definimos um processo estocástico $\tilde{M}(t)$ por
$$\tilde{M}(t)=\displaystyle \int_a^t \theta(s)dB(s), \quad \quad a\leq t\leq b.$$
Pelo Teorema 10.2.5 e  Teorema 10.2.6, $\tilde{M}(t)$ é um martingale contínuo com respeito a filtragem $\{\mathcal{F}_t\}$. Além disso, para cada $t\in [a,b]$,
$$M_t=\mathbb{E}\left(M_b\bigg| \mathcal{F}_t\right)=\mathbb{E}\left(\tilde{M}_b\bigg| \mathcal{F}_t\right)=\tilde{M}(t)\quad \quad a.s.$$
Portanto $\tilde{M}(t)$ é uma versão de $M_t$ e o resultado segue.

 

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