1.1 - Tempos de Parada

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Considere $T$ uma variável aleatória que pode ser interpretada como o tempo de ocorrência de um fenômeno que depende "casualmente" da evolução do sistema. Aqui, casualidade significa que, para cada tempo $t \geq 0$,  a resposta à questão: o fenômeno já ocorreu? depende somente da informação acumulada sobre o sistema até o tempo $t \geq 0$. Assim, o conjunto $\{ T \leq t \}$ deve ser um elemento da $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}_t$. Seja $\mathfrak{B}=(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{F},\mathbb{P})$ a base estocástica que carrega toda a informação acumulada sobre o sistema ao longo do tempo.

Definição 1.1.1:

Seja $T$ uma  variável aleatória, tal que $T:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+$, com $\overline{\mathbb{R}}_+=[0,\infty]$, a parte dos positivos da reta estendida (incluindo o $\infty$). Então dizemos que $T$ é um $\mathbb{F}$-tempo de parada se, e somente se, $$\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t, \quad t \geq 0.$$

 

Observação:

Note que $T$ é um tempo de parada segundo alguma filtragem, ou seja, se mudarmos a filtragem pode ser que ele deixe de ser um tempo de parada. Além disso, usamos frequentemente o termo tempo de parada ao invés de $\mathbb{F}$-tempo de parada, quando não houver dúvidas em relação a qual filtragem estamos nos referindo, ressaltamos também que $\{T\leq t\}=\{\omega\in \Omega:T(\omega)\leq t\}$.

Proposição 1.1.1:

Algumas propriedades de tempos de parada.

i) Se $T$ é um tempo de parada com respeito à filtragem $\mathbb{F}$, então $\{T\textless t\}\in \mathcal{F}_t$ para todo $t\geq 0$

ii) Se $T(\omega)=a, ~\forall \omega \in \Omega$, para qualquer constante $a\in \overline{\mathbb{R}}_+$. Então, $T$ é um tempo de parada.

iii) Se $T$ é um tempo de parada e $a\in \overline{\mathbb{R}}_+$ uma constante, então T+a também é um tempo de parada.

iv) Se $T$ e $S$ são tempos de parada sobre a mesma filtragem, então $S+T$ também é um tempo de parada.

v) Se $T$ e $S$ são tempos de parada com respeito a mesma filtragem, então $\min\{S,T\}$ e $\max\{S,T\}$ também são tempos de parada.

vi) Se $T$ é um tempo de parada e $a\in \overline{\mathbb{R}}_+$ uma constante, então $\min\{T,a\}$ é um $\mathcal{F}_a$- tempo de parada.

Demonstração: 

i) Note que $\{T\textless t\}\in \mathcal{F}_t$, é equivalente a $\{T\leq t-1/n\}\in \mathcal{F}_t$.

  De fato, note que $\{T\leq t-1/n\}\in \mathcal{F}_{t-1/n}\subset\mathcal{F}_{t}$ e portanto

  $$\{T\textless t \}=\displaystyle \bigcup_{n\geq 1}\{T\leq t-1/n\}\in \mathcal{F}_t,$$ para todo $t \geq 0$. Observe que entretanto $\{T\textless t\}\in \mathcal{F}_t$ não implica $\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t$, a menos que a filtragem seja contínua a direita. Neste caso, as definições são equivalentes.

ii) De fato, note que se $T(\omega)=a, \forall \omega \in \Omega$ então para $t\textless a$ temos que $$\{T\leq t\}=\emptyset \in \mathcal{F}_t, \forall t\textless a,$$ pois $\mathcal{F}_t$ é $\sigma$-álgebra. Agora se $t\geq a$ então $$\{T\leq t\}=\Omega \in \mathcal{F}_t,$$ para todo $t \geq 0$.  Portanto $T$ é um tempo parada.

iii) Temos que $T$ é um tempo de parada logo, $\{T\leq k\}\in \mathcal{F}_k$. Vamos mostrar que $S=T+t$ também é um tempo de parada, ou seja, $\{S\leq k\}\in\mathcal{F}_k$. Basta notar que se $k\textless t$ então $$\{S\leq k\}=\emptyset\Rightarrow \{S\leq k\}\in \mathcal{F}_k,~~~\forall k\textless t.$$ Agora suponha que $k\geq t$, então temos que $$\{S\leq k\}=\{T+t\leq k\}=\{T\leq k-t\}\in\mathcal{F}_{k-t}\Rightarrow\{S\leq k\}\in \mathcal{F}_k,$$ pois $\mathcal{F}_{k-t}\subset \mathcal{F}_k,~~~~\forall k\geq t.$ E o resultado segue.

iv) Seja $t\textgreater 0$, então $$\{T+S\textgreater t\}=\{T=0, S\textgreater t\}\cup \{0\textless T\textless t, T+S\textgreater t\}\cup \{T\textgreater t, S=0 \}\cup\{T\geq t, S \textgreater 0\}.$$ Como da um desses eventos pertence a $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}_t$, então temos que a união também pertence e portanto $S$ é tempo de parada e o resultado segue.

v) Note que, $\{\max\{T,S\}\leq t\}=\{S\leq t\}\cap\{T\leq t\}$ e como $\{S\leq t\}\in\mathcal{F}_t$ e $\{S\leq t\}\in\mathcal{F}_t$, pois são tempos de parada e como $\mathcal{F}_t$ é $\sigma$-álgebra temos que $$\{\max\{T,S\}\leq t\}=\{S\leq t\}\cap\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t,$$ para todo $t \geq 0$. Para o mínimo basta observar que $\{\min\{T,S\}\leq t\}=\{S\leq t\}\cup\{T\leq t\}$ e o resultado segue de forma análoga.

vi) De fato, basta notar que se $t\leq a $ temos que $$\{\min\{T,a\}\leq t\}=\{T\leq t\}\in\mathcal{F}_t\subset\mathcal{F}_a.$$ Por outro lado, se $t\geq a$ então: $$\{\min\{T,a\}\leq t\}=\Omega \in \mathcal{F}_a.$$ Portanto o resultado segue.

Teorema 1.1.1:

Seja $\{T_n,n\geq 1\}$ uma familia de $\mathbb{F}$ tempos de parada. Então $\sup_{n}T_n$ é um $\mathbb{F}$ tempo de parada, e ainda $\inf_n T_n$ é um $\{\mathcal{F}_{t+}\}$ tempo de parada.

Demonstração:

De fato, basta notar que

$$\displaystyle \{\sup_{n}T_n \leq t\}=\bigcap_n \{T_n\leq t\}\in\mathcal{F}_t$$

$$\displaystyle \{\inf_{n}T_n \leq t\}=\bigcup_{m\leq 1}\bigcap_{n\geq 1}\{T_n\textless t+\frac{1}{m}\}\in\bigcap_{m\leq 1}\mathcal{F}_{t+\frac{1}{m}}=\mathcal{F}_{t+}$$

 

Observação:

Em particular podemos notar que se $\mathcal{F}_t$ é contínua a direita, então o $\limsup T_n$ e $\liminf T_n$ e o $\lim T_n$ (caso existe) são $\mathbb{F}$ tempos de parada.

Exemplo 1.1.1:

Se $X: \Omega \times [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ é um processo estocástico com trajetórias contínuas à direita (ou contínuas à esquerda) e $\mathbb{F}$ uma filtragem contínua à direita. Também admitimos que $X(t)$ é $\mathcal{F}_t$-mensurável para todo $t \geq 0$. Neste caso, dizemos que $X$ é adaptado à filtragem $\mathbb{F}$. Definimos $T$ por:

$$T=\left\{ \begin{array}{l} \inf{\{t:X_t\leq c\}}~~ se ~~\{X_t\leq c\}\neq \emptyset \\ \infty ~~~~~~~~~~~~~~~~ c.c. \\ \end{array}\right.$$ Então $T$ é um tempo de parada.

Demonstração: 

Temos que $\{T\textgreater t\}=\{X(s)\textless c ~~\forall s\in [0,t]\}$. Como $X$ é contínuo à direita (ou contínuo  à esquerda) obtemos que:

$$\bigcap_{s \in [0,t]}~\displaystyle \{X(s)\textless c\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=0}^{2^n}\{X(kt/2^n)\textless c\}\in \mathcal{F}_t,$$ para todo $t \geq 0$. Portanto o resultado segue.

$\Box$

Considere $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ um espaço de probabilidade,  $\mathbb{F}$ uma filtragem e $T$ um tempo de parada. Na sequência, vamos definir a $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}_T$ que representa as informações até o tempo $T$.  

 

Definição 1.1.2: 

 i) Se $T$ é um tempo de parada denotamos por $\mathcal{F}_T=\{A\in \mathcal{F}:A\cap \{T\leq t\}\in\mathcal{F}_t, \forall t\in\mathbb{R}_+\}$.

ii) Se $T$ é um tempo de parada denotamos por $\mathcal{F}_{T^-}$ a $\sigma$-álgebra gerada por $\mathcal{F}_0$ e todos os conjuntos da forma $A\cap \{t\textless T\}$, com $A \in \mathcal{F}_t$ e $t \geq 0$.

A $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}_{T^-}$ representas os eventos anteriores ao tempo de parada $T$. Observe que $\mathcal{F}_{T^-}$ também é a $\sigma$-álgebra gerada pela seguinte família de subconjuntos de $\mathcal{F}$, $$\{F \cap \{t \leq T\}: F \in \mathcal{F}_{t^-}, t \geq 0\}.$$ Note que a definição (i) acima apresenta algumas sutilezas, como por exemplo, será que de fato, $\mathcal{F}_T$ é uma $\sigma$-álgebra. Além disso, se tomarmos $T=t$ para alguma constante $t \geq 0$, devemos obter que $\mathcal{F}_T=\mathcal{F}_t$. 

Proposição 1.1.2:

A definição 1.1.2 (i) está bem definida.

Demonstração:

Primeiramente mostremos que $\mathcal{F}_T$ é de fato uma $\sigma$-álgebra. De fato, $\emptyset\in \mathcal{F}_T$, pois $\emptyset \cap\{T\leq t\}=\emptyset \in \mathcal{F}_t, \forall t \in \mathbb{R}_+$. Mostremos que se $A\in \mathcal{F}_T$ então $A^c \in \mathcal{F}_T$. De fato, se $$A\in \mathcal{F}_T\Rightarrow A\cap \{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t,\forall t \in \mathcal{R}_+.$$ Mas isso implica que $(A\cap\{T\leq t\})^c\in \mathcal{F}_t, \forall t \in \mathbb{R}_+$, pois $\mathcal{F}_t$ é $\sigma$-álgebra. Além disso, como $$\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t, \forall t\in \mathbb{R}_+,$$ obtemos que $$(A\cap\{T\leq t\})^c\cap \{T\leq t\}=A^c\cap\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t, \forall t\in \mathbb{R}_+.$$ Portanto temos que $A^c\in \mathcal{F}_T.$

A seguir, tomamos $A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{F}_T$ uma sequência de conjuntos disjuntos, mostremos que $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in \mathcal{F}_T$. De fato, basta notar que $A_i\cap \{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t,\forall t\in \mathbb{R}_+ ~~e~~ \forall i\in \mathbb{N}.$ Assim, obtemos que $$\displaystyle \left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)\cap\{T\leq t\}=\bigcup_{i=1}^{\infty}\left(A_i\cap\{T\leq t\}\right)\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in \mathcal{F}_T.$$ Como consequência, obtemos que $\mathcal{F}_T$ é uma $\sigma$-álgebra.

Agora mostremos que se $T=t$ para alguma constante $t \geq 0$, então $\mathcal{F}_T=\mathcal{F}_t$. Na realidade, basta notarmos que se $k\textless t$, então o conjunto $\{T\leq k\}=\emptyset$ e se $k\geq t$, então o conjunto $\{T\leq k\}=\Omega$. Assim, obtemos que $$A\cap\emptyset=\emptyset\in \mathcal{F}_k,\forall k\textless t$$ e $$A\cap \Omega=A\in \mathcal{F}_k, \forall k\geq t \Leftrightarrow A\in\mathcal{F}_t.$$ Como consequência, concluímos que $\mathcal{F}_T=\mathcal{F}_t$, e portanto não existe ambiguidade na notação.

$\Box$

Teorema 1.1.2:

Se $T$ é um $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_t: t \geq 0\}$ tempo de parada, então $\mathcal{F}_{T-}\subset \mathcal{F}_T$ e T é $\mathcal{F}_{T-}$-mensurável e portanto $\mathcal{F}_T$-mensurável

Demonstração:

Para mostramos que $\mathcal{F}_{T-}\subset \mathcal{F}_T$, basta mostramos que o geradores de $\mathcal{F}_{T-}$ pertencem a $\mathcal{F}_T$. De fato, note que $$\mathcal{F}_0\subset \mathcal{F}_t$$ para todo $t \geq 0$ e, ainda que $$A_s \cap\{s\textless T\}\cap\{T\leq t\}=A_s\cap\{s\textless T\leq t \}\in \mathcal{F}_t,~~ \forall s,t\in [0,\infty)$$ com $A_s\in\mathcal{F}_s$. Com isso concluimos que $\mathcal{F}_{T-}\subset \mathcal{F}_T$. Agora para mostrar que T é $\mathcal{F}_{T-}$-mensurável basta mostar que $\{T\textgreater a\}\in\mathcal{F}_{T-}, ~~\forall a \geq 0$ e que $\{T=0\}\in\mathcal{F}_{T-}$, o que de fato ocorre por que esses conjuntos são alguns dos geradores de $\mathcal{F}_{T-}$.

$\Box$

Teorema 1.1.3:

Seja $T$ um $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_t:t\geq 0\}$ tempo de parada e $S:\Omega\rightarrow [0,\infty]$ uma variável aleatória $\mathcal{F}_T$-mensurável tal que $S\geq T$, então S é um tempo de parada.

Demonstração:

De fato, basta notar que

$$\{S\leq t\}=\{S\leq t\}\cap\{T\leq t\}\cup \{S\leq t \}\cap\{T\textgreater t\}$$

 

Entretanto como $S\geq T$ temos que $\{S\leq t \}\cap\{T\textgreater t\}=\emptyset$. Além disso, como $S$ é $\mathcal{F}_T$-mensurável, temos que $\{S\leq t\}\in \mathcal{F}_T$ e portanto por definição temos que $\{S\leq t \}\cap\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t$

$\Box$

Uma consequência do teorema 1.1.3: acima é o corolário abaixo

Corolário 1.1.1:

Qualquer tempo de parada pode ser aproximado por uma sequência decrescente $(S_n,n\geq 1)$ de $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_t:t \geq 0\}$ tempos de parada assumindo um número enumerável de valores.

Demonstração:

Basta tomarmos $$\displaystyle S_n=\infty 1\!\!1_{\{T=\infty\}}+\sum_{k=1}^n\frac{k}{2^n}1\!\!1_{\{k-1\leq 2^n T\textless k\}}.$$

$\Box$

Teorema 1.1.4:

Sejam $S$ e $T$ dois $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_t: t \geq 0\}$ tempos de parada. Para todo $A\in \mathcal{F}_S$ temos que $A\cap\{S\leq T\}\in \mathcal{F}_T$ e $A\cap \{S\textless T\}\in \mathcal{F}_{T-}$.

Demonstração:

Para todo $t\geq 0$,

$$A\cap \{S\leq T\}\cap \{T\leq t\}=A\cap \{S\leq t\}\cap \{T\leq t \}\cap\{\min{(S, t)}\leq \min{(T,t)}\}$$

 

Agora $\{\min{(S, t)}\leq \min{(T,t)}\}\in\mathcal{F}_t$, desde que $\min{(S, t)}$ e $\min{(T,t)}$ são $\mathcal{F}_t$-mensurável, além disso $A\cap \{S\leq t\}\in \mathcal{F}_t$, pois $A\in\mathcal{F}_s\subset\mathcal{F}_t$ e claro como $\{T\leq t\}$ é tempo de parada temos que $\{T\leq t\}\in\mathcal{F}_t$, desta forma temos que $A\cap \{S\leq T\}\cap \{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t, ~~\forall t\geq 0$. Portanto concluímos que $A\cap\{S\leq T\}\in \mathcal{F}_T$.

A segunda implicação deve-se ao fato de

$$A\cap \{S\textless T\}=\displaystyle \bigcup_{r\in \mathbb{Q}}A\cap \{S\leq r\}\cap\{r\leq T\}\in\mathcal{F}_{T-}$$

 

pois $A\cap \{S\leq r\}\in \mathcal{F}_{r}$ e portanto $A\cap \{S\leq r\}\cap\{r\leq T\}$ é um gerador de $\mathcal{F}_{T-}$.

$\Box$

Teorema 1.1.5:

Sejam $S$ e $T$ dois $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_t:t\geq 0\}$ tempos de parada tal que $S\leq T$. Então $\mathcal{F}_S\subset\mathcal{F}_T$ e $\mathcal{F}_{S-}\subset\mathcal{F}_{T-}$

Demonstração:

Para concluirmos esse teorema, basta observarmos que $A\cap\{S\leq T\}\in\mathcal{F}_S$, para todo $A\in \mathcal{F}_S$, por que $\{S\leq T\}=\Omega$, logo $\mathcal{F}_S\subset \mathcal{F}_T$. Agora $\mathcal{F}_{S-}\subset\mathcal{F}_{T-}$, pois todos os geradores de $\mathcal{F}_{S-}$ também são geradores de $\mathcal{F}_{T-}$, pois se $A\in\mathcal{F}_t$

$$A\cap\{t\textless S\}=A\cap\{t\textless S\}\cap\{t\textless T\}=B\cap\{t\textless T\}$$

 

com $B\in\mathcal{F}_t$. Portanto o resultado segue.

$\Box$

Teorema 1.1.6:

Seja $(T_n,n\geq 1)$ uma sequência monótona de $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_t:t\geq 0\}$ tempos de parada, no qual $\mathbb{F}$ contínua a direita. Então

i) Se $(T_n, n\geq 1)$ é descrescente $\mathcal{F}_T=\displaystyle \bigcap_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n}$

ii) Se $(T_n, n\geq 1)$ é crescente $\mathcal{F}_{T-}=\displaystyle \bigvee_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n-}$

Demonstração:

Primeiramente note que $T=\displaystyle \lim_n T_n$ é um tempo de parada, como demonstrado no teorema 1.1.1.

i) Pelo teorema 1.1.5 temos que $\mathcal{F}_T\subset\mathcal{F}_{T_n},~~\forall n\geq 1$, portanto $\mathcal{F}_T\subset\displaystyle \bigcap_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n}$.

      Inversamente seja $A\in\mathcal{F}_{T_n}~~\forall n\geq 1$, logo para todo n temos que

      $$A\cap \{T_n\textless t\}\in \mathcal{F}_t, ~~\forall t\geq 0$$

 

      Portanto temos que $A\cap \{T\textless t\}\in \mathcal{F}_t, ~~\forall t\geq 0$, como $\mathcal{F}_t$ é uma filtragem contínua a direita, temos que $A\cap \{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t, ~~\forall t\geq 0$, o que implica que $A\in \mathcal{F}_T$.

ii) Pelo teorema 1.1.5 temos que $\mathcal{F}_{T_n-}\subset \mathcal{F}_{T-},~~\forall n\geq 1$ e portanto

  $$\displaystyle \bigvee_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n-}\subset\mathcal{F}_{T-}$$

 

  Inversamente seja $A_s \cap \{s\textless T\}$ um gerador de $\mathcal{F}_{T-}$, com $A_s \in \mathcal{F}_s$. Note que $A_s \cap\{s\textless T\}$, também está contido em $\displaystyle \bigvee_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n-}$, pois $A_s \cap \{s\textless T\}=\displaystyle \lim_n A_s \cap\{s\textless T_n\}$. E portanto o resultado segue.

$\Box$

Proposição 1.1.3:

Se $A\in\mathcal{F}_T$, então

  $$\displaystyle T_A(\omega)\left\{ \begin{array}{c} T(\omega),~~ se~~ \omega\in A \\ \infty ,~~ se~~ \omega\notin A.\end{array} \right,$$ é um $\mathbb{F}$-tempo de parada.

Demonstração:

Vamos mostrar que $\{T_A\leq t\}\in \mathcal{F}_t$. Basta notar que se $A\in\mathcal{F}_T$, então $A\cap\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t, ~~ \forall t$. Assim temos que $$\{T_A\leq t\}=A\cap\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t,\forall t.$$ Portanto o resultado segue.

$\Box$

Teorema 1.1.7:

Se $T$ é um $\mathcal{F}_t$ tempo de parada e $A\in\mathcal{F}_\infty=\mathcal{F}=\displaystyle \bigvee_{t\geq 0}\mathcal{F}_t$ o evento $A\cap\{T=\infty\}\in \mathcal{F}_{T-}$

Demonstração:

Primeiramente defina $G=\{B\in\mathcal{F}:B\cap\{T=\infty\}\in \mathcal{F}_{T-}\}$, note que $G$ é $\sigma$-álgebra. De fato,

$\emptyset \in G$, pois $\emptyset\cap\{T=\infty\}=\emptyset\in\mathcal{F}_{T-}$. Da mesma forma temos que 

$\Omega \cap \{T=\infty\}=\{T=\infty\}\in \mathcal{F}_{T-}$. Além disso, se $A_0,A_1,A_2,\cdots \in G$ então 

$A_i\cap\{T=\infty\}\in \mathcal{F}_{T-},~~\forall i\geq 0$. Assim, como $\mathcal{F}_{T-}$ é $\sigma$-álgebra, obtemos que $\bigcap_{n\geq 0}A_n\{T=\infty\}\in\mathcal{F}_{T-}$ e portanto $\bigcap_{n\geq 0}A_n$, logo $G$ é $\sigma$-álgebra.

Assim precisamos mostrar que $\mathcal{F}_n\subset G, \forall \mathcal{F}_n$,e, como consequência $\mathcal{F}_\infty\subset G$ e o resultado segue.

Então seja $A\in\mathcal{F}_n$. Temos que $A\cap\{T=\infty\}=\displaystyle \bigcap_{m\geq n}(A\cap\{m\textless T\})\in \mathcal{F}_{T-}$, pois $A\cap\{m\textless T\}$ é um gerador de $\mathcal{F}_{T-}$, sempre que $m\geq n$. Finalizando a prova.

$\Box$

Teorema 1.1.8:

Sejam $S$ e $T$ dois $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_t:t\geq 0\}$ tempos de parada satisfazendo $S\leq T$. Se além disso, $S\textless T$ quando $\{0\textless T\textless \infty\}$, então $\mathcal{F}_S\subset \mathcal{F}_{T-}$

Demonstração:

Para todo $A\in \mathcal{F}_S$, podemos escrever o conjunto $A$ da seguinte forma, $(A\cap\{S=0\})\cup\{S\textless T\}\cup(A\cap\{T=\infty\})$.

Mas note que $A\cap \{S=0\}\in \mathcal{F}_0$, pela definição de $\mathcal{F}_S$ e ainda temos que $\{S\textless T\}\in \mathcal{T-}$ pelo Teorema 1.1.4. e por fim temos que $A\cap\{T=\infty\}\in \mathcal{F}_{T-}$ pelo teorema anterior. Portanto o resultado segue.

$\Box$

Corolário 1.1.2:

Seja $(T_n,n\geq 1)$ uma sequência monótona de $\mathbb{F}$ tempos de parada, com $\mathbb{F}$ contínua a direita. Então

i) Se $(T_n,n\geq 1)$ e decrescente e se para todo $n\geq 1$ temos que $T\textless T_n$ quando $\{0\textless T_n\textless \infty\}$, então $\mathcal{F}_T=\displaystyle \bigcap_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n-}$

ii) Se $(T_n,n\geq 1)$ e crescente e se para todo $n\geq 1$ temos que $T_n\textless T$ quando $\{0\textless T\textless \infty\}$, então

  $\mathcal{F}_{T-}=\displaystyle \bigvee_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n}$

Demonstração:

É consequência imediata do teorema 1.1.6 e dos teoremas 1.1.7 e teorema 1.1.8.

$\Box$

Processo Estocástico

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