1.1 - Tempos de Parada

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Considere $ T $ uma variável aleatória que pode ser interpretada como o tempo de ocorrência de um fenômeno que depende "casualmente" da evolução do sistema. Aqui, casualidade significa que, para cada tempo $ t \geq 0 $,  a resposta à questão: o fenômeno já ocorreu? depende somente da informação acumulada sobre o sistema até o tempo $ t \geq 0 $. Assim, o conjunto $ \{ T \leq t \} $ deve ser um elemento da $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F}_t $. Seja $ \mathfrak{B}=(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{F},\mathbb{P}) $ a base estocástica que carrega toda a informação acumulada sobre o sistema ao longo do tempo.

Definição 1.1.1:

Seja $ T $ uma  variável aleatória, tal que \Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+ $, com $ \overline{\mathbb{R}}_+=[0,\infty] $, a parte dos positivos da reta estendida (incluindo o $ \infty $). Então dizemos que $ T $ é um $ \mathbb{F} $-tempo de parada se, e somente se,

$$\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t, \quad t \geq 0.$$

 

Observação:

Note que $ T $ é um tempo de parada segundo alguma filtragem, ou seja, se mudarmos a filtragem pode ser que ele deixe de ser um tempo de parada. Além disso, usamos frequentemente o termo tempo de parada ao invés de $ \mathbb{F} $-tempo de parada, quando não houver dúvidas em relação a qual filtragem estamos nos referindo, ressaltamos também que T(\omega)\leq t\} $.

Proposição 1.1.1:

Algumas propriedades de tempos de parada.

i) Se $ T $ é um tempo de parada com respeito à filtragem $ \mathbb{F} $, então $ \{T\textless t\}\in \mathcal{F}_t $ para todo $ t\geq 0 $

ii) Se $ T(\omega)=a, ~\forall \omega \in \Omega $, para qualquer constante $ a\in \overline{\mathbb{R}}_+ $. Então, $ T $ é um tempo de parada.

iii) Se $ T $ é um tempo de parada e $ a\in \overline{\mathbb{R}}_+ $ uma constante, então T+a também é um tempo de parada.

iv) Se $ T $ e $ S $ são tempos de parada sobre a mesma filtragem, então $ S+T $ também é um tempo de parada.

v) Se $ T $ e $ S $ são tempos de parada com respeito a mesma filtragem, então $ \min\{S,T\} $ e $ \max\{S,T\} $ também são tempos de parada.

vi) Se $ T $ é um tempo de parada e $ a\in \overline{\mathbb{R}}_+ $ uma constante, então $ \min\{T,a\} $ é um $ \mathcal{F}_a $- tempo de parada.

Demonstração: 

i) Note que $ \{T\textless t\}\in \mathcal{F}_t $, é equivalente a $ \{T\leq t-1/n\}\in \mathcal{F}_t $.

  De fato, note que $ \{T\leq t-1/n\}\in \mathcal{F}_{t-1/n}\subset\mathcal{F}_{t} $ e portanto

 

$$\{T\textless t \}=\displaystyle \bigcup_{n\geq 1}\{T\leq t-1/n\}\in \mathcal{F}_t,$$

para todo $ t \geq 0 $. Observe que entretanto $ \{T\textless t\}\in \mathcal{F}_t $ não implica $ \{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t $, a menos que a filtragem seja contínua a direita. Neste caso, as definições são equivalentes.

ii) De fato, note que se $ T(\omega)=a, \forall \omega \in \Omega $ então para $ t\textless a $ temos que

$$\{T\leq t\}=\emptyset \in \mathcal{F}_t, \forall t\textless a,$$

pois $ \mathcal{F}_t $ é $ \sigma $-álgebra. Agora se $ t\geq a $ então

$$\{T\leq t\}=\Omega \in \mathcal{F}_t,$$

para todo $ t \geq 0 $.  Portanto $ T $ é um tempo parada.

iii) Temos que $ T $ é um tempo de parada logo, $ \{T\leq k\}\in \mathcal{F}_k $. Vamos mostrar que $ S=T+t $ também é um tempo de parada, ou seja, $ \{S\leq k\}\in\mathcal{F}_k $. Basta notar que se $ k\textless t $ então

$$\{S\leq k\}=\emptyset\Rightarrow \{S\leq k\}\in \mathcal{F}_k,~~~\forall k\textless t.$$

Agora suponha que $ k\geq t $, então temos que

$$\{S\leq k\}=\{T+t\leq k\}=\{T\leq k-t\}\in\mathcal{F}_{k-t}\Rightarrow\{S\leq k\}\in \mathcal{F}_k,$$

pois $ \mathcal{F}_{k-t}\subset \mathcal{F}_k,~~~~\forall k\geq t. $ E o resultado segue.

iv) Seja $ t\textgreater 0 $, então

$$\{T+S\textgreater t\}=\{T=0, S\textgreater t\}\cup \{0\textless T\textless t, T+S\textgreater t\}\cup \{T\textgreater t, S=0 \}\cup\{T\geq t, S \textgreater 0\}.$$

Como da um desses eventos pertence a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F}_t $, então temos que a união também pertence e portanto $ S $ é tempo de parada e o resultado segue.

v) Note que, $ \{\max\{T,S\}\leq t\}=\{S\leq t\}\cap\{T\leq t\} $ e como $ \{S\leq t\}\in\mathcal{F}_t $ e $ \{S\leq t\}\in\mathcal{F}_t $, pois são tempos de parada e como $ \mathcal{F}_t $ é $ \sigma $-álgebra temos que

$$\{\max\{T,S\}\leq t\}=\{S\leq t\}\cap\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t,$$

para todo $ t \geq 0 $. Para o mínimo basta observar que $ \{\min\{T,S\}\leq t\}=\{S\leq t\}\cup\{T\leq t\} $ e o resultado segue de forma análoga.

vi) De fato, basta notar que se $ t\leq a  $ temos que

$$\{\min\{T,a\}\leq t\}=\{T\leq t\}\in\mathcal{F}_t\subset\mathcal{F}_a.$$

Por outro lado, se $ t\geq a $ então:

$$\{\min\{T,a\}\leq t\}=\Omega \in \mathcal{F}_a.$$

Portanto o resultado segue.

Teorema 1.1.1:

Seja $ \{T_n,n\geq 1\} $ uma familia de $ \mathbb{F} $ tempos de parada. Então $ \sup_{n}T_n $ é um $ \mathbb{F} $ tempo de parada, e ainda $ \inf_n T_n $ é um $ \{\mathcal{F}_{t+}\} $ tempo de parada.

Demonstração:

De fato, basta notar que

$$\displaystyle \{\sup_{n}T_n \leq t\}=\bigcap_n \{T_n\leq t\}\in\mathcal{F}_t$$

$$\displaystyle \{\inf_{n}T_n \leq t\}=\bigcup_{m\leq 1}\bigcap_{n\geq 1}\{T_n\textless t+\frac{1}{m}\}\in\bigcap_{m\leq 1}\mathcal{F}_{t+\frac{1}{m}}=\mathcal{F}_{t+}$$

 

Observação:

Em particular podemos notar que se $ \mathcal{F}_t $ é contínua a direita, então o $ \limsup T_n $ e $ \liminf T_n $ e o $ \lim T_n $ (caso existe) são $ \mathbb{F} $ tempos de parada.

Exemplo 1.1.1:

Se  \Omega \times [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R} $ é um processo estocástico com trajetórias contínuas à direita (ou contínuas à esquerda) e $ \mathbb{F} $ uma filtragem contínua à direita. Também admitimos que $ X(t) $ é $ \mathcal{F}_t $-mensurável para todo $ t \geq 0 $. Neste caso, dizemos que $ X $ é adaptado à filtragem $ \mathbb{F} $. Definimos $ T $ por:

X_t\leq c\}}~~ se ~~\{X_t\leq c\}\neq \emptyset \\ \infty ~~~~~~~~~~~~~~~~ c.c. \\ \end{array}\right.$$

Então $ T $ é um tempo de parada.

Demonstração: 

Temos que $ \{T\textgreater t\}=\{X(s)\textless c ~~\forall s\in [0,t]\} $. Como $ X $ é contínuo à direita (ou contínuo  à esquerda) obtemos que:

$$\bigcap_{s \in [0,t]}~\displaystyle \{X(s)\textless c\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=0}^{2^n}\{X(kt/2^n)\textless c\}\in \mathcal{F}_t,$$

para todo $ t \geq 0 $. Portanto o resultado segue.

$ \Box $

Considere $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade,  $ \mathbb{F} $ uma filtragem e $ T $ um tempo de parada. Na sequência, vamos definir a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F}_T $ que representa as informações até o tempo $ T $.  

 

Definição 1.1.2: 

 i) Se $ T $ é um tempo de parada denotamos por A\cap \{T\leq t\}\in\mathcal{F}_t, \forall t\in\mathbb{R}_+\} $.

ii) Se $ T $ é um tempo de parada denotamos por $ \mathcal{F}_{T^-} $ a $ \sigma $-álgebra gerada por $ \mathcal{F}_0 $ e todos os conjuntos da forma $ A\cap \{t\textless T\} $, com $ A \in \mathcal{F}_t $ e $ t \geq 0 $.

A $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F}_{T^-} $ representas os eventos anteriores ao tempo de parada $ T $. Observe que $ \mathcal{F}_{T^-} $ também é a $ \sigma $-álgebra gerada pela seguinte família de subconjuntos de $ \mathcal{F} $,

 F \in \mathcal{F}_{t^-}, t \geq 0\}.$$

Note que a definição (i) acima apresenta algumas sutilezas, como por exemplo, será que de fato, $ \mathcal{F}_T $ é uma $ \sigma $-álgebra. Além disso, se tomarmos $ T=t $ para alguma constante $ t \geq 0 $, devemos obter que $ \mathcal{F}_T=\mathcal{F}_t $

Proposição 1.1.2:

A definição 1.1.2 (i) está bem definida.

Demonstração:

Primeiramente mostremos que $ \mathcal{F}_T $ é de fato uma $ \sigma $-álgebra. De fato, $ \emptyset\in \mathcal{F}_T $, pois $ \emptyset \cap\{T\leq t\}=\emptyset \in \mathcal{F}_t, \forall t \in \mathbb{R}_+ $. Mostremos que se $ A\in \mathcal{F}_T $ então $ A^c \in \mathcal{F}_T $. De fato, se

$$A\in \mathcal{F}_T\Rightarrow A\cap \{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t,\forall t \in \mathcal{R}_+.$$

Mas isso implica que $ (A\cap\{T\leq t\})^c\in \mathcal{F}_t, \forall t \in \mathbb{R}_+ $, pois $ \mathcal{F}_t $ é $ \sigma $-álgebra. Além disso, como

$$\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t, \forall t\in \mathbb{R}_+,$$

obtemos que

$$(A\cap\{T\leq t\})^c\cap \{T\leq t\}=A^c\cap\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t, \forall t\in \mathbb{R}_+.$$

Portanto temos que $ A^c\in \mathcal{F}_T. $

A seguir, tomamos $ A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{F}_T $ uma sequência de conjuntos disjuntos, mostremos que $ \displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in \mathcal{F}_T $. De fato, basta notar que $ A_i\cap \{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t,\forall t\in \mathbb{R}_+ ~~e~~ \forall i\in \mathbb{N}. $ Assim, obtemos que

$$\displaystyle \left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)\cap\{T\leq t\}=\bigcup_{i=1}^{\infty}\left(A_i\cap\{T\leq t\}\right)\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in \mathcal{F}_T.$$

Como consequência, obtemos que $ \mathcal{F}_T $ é uma $ \sigma $-álgebra.

Agora mostremos que se $ T=t $ para alguma constante $ t \geq 0 $, então $ \mathcal{F}_T=\mathcal{F}_t $. Na realidade, basta notarmos que se $ k\textless t $, então o conjunto $ \{T\leq k\}=\emptyset $ e se $ k\geq t $, então o conjunto $ \{T\leq k\}=\Omega $. Assim, obtemos que

$$A\cap\emptyset=\emptyset\in \mathcal{F}_k,\forall k\textless t$$

e

$$A\cap \Omega=A\in \mathcal{F}_k, \forall k\geq t \Leftrightarrow A\in\mathcal{F}_t.$$

Como consequência, concluímos que $ \mathcal{F}_T=\mathcal{F}_t $, e portanto não existe ambiguidade na notação.

$ \Box $

Teorema 1.1.2:

Se $ T $ é um  t \geq 0\} $ tempo de parada, então $ \mathcal{F}_{T-}\subset \mathcal{F}_T $ e T é $ \mathcal{F}_{T-} $-mensurável e portanto $ \mathcal{F}_T $-mensurável

Demonstração:

Para mostramos que $ \mathcal{F}_{T-}\subset \mathcal{F}_T $, basta mostramos que o geradores de $ \mathcal{F}_{T-} $ pertencem a $ \mathcal{F}_T $. De fato, note que

$$\mathcal{F}_0\subset \mathcal{F}_t$$

para todo $ t \geq 0 $ e, ainda que

$$A_s \cap\{s\textless T\}\cap\{T\leq t\}=A_s\cap\{s\textless T\leq t \}\in \mathcal{F}_t,~~ \forall s,t\in [0,\infty)$$

com $ A_s\in\mathcal{F}_s $. Com isso concluimos que $ \mathcal{F}_{T-}\subset \mathcal{F}_T $. Agora para mostrar que T é $ \mathcal{F}_{T-} $-mensurável basta mostar que $ \{T\textgreater a\}\in\mathcal{F}_{T-}, ~~\forall a \geq 0 $ e que $ \{T=0\}\in\mathcal{F}_{T-} $, o que de fato ocorre por que esses conjuntos são alguns dos geradores de $ \mathcal{F}_{T-} $.

$ \Box $

Teorema 1.1.3:

Seja $ T $ um t\geq 0\} $ tempo de parada e \Omega\rightarrow [0,\infty] $ uma variável aleatória $ \mathcal{F}_T $-mensurável tal que $ S\geq T $, então S é um tempo de parada.

Demonstração:

De fato, basta notar que

$$\{S\leq t\}=\{S\leq t\}\cap\{T\leq t\}\cup \{S\leq t \}\cap\{T\textgreater t\}$$

 

Entretanto como $ S\geq T $ temos que $ \{S\leq t \}\cap\{T\textgreater t\}=\emptyset $. Além disso, como $ S $ é $ \mathcal{F}_T $-mensurável, temos que $ \{S\leq t\}\in \mathcal{F}_T $ e portanto por definição temos que $ \{S\leq t \}\cap\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t $

$ \Box $

Uma consequência do teorema 1.1.3: acima é o corolário abaixo

Corolário 1.1.1:

Qualquer tempo de parada pode ser aproximado por uma sequência decrescente $ (S_n,n\geq 1) $ de t \geq 0\} $ tempos de parada assumindo um número enumerável de valores.

Demonstração:

Basta tomarmos

$$\displaystyle S_n=\infty 1\!\!1_{\{T=\infty\}}+\sum_{k=1}^n\frac{k}{2^n}1\!\!1_{\{k-1\leq 2^n T\textless k\}}.$$

$ \Box $

Teorema 1.1.4:

Sejam $ S $ e $ T $ dois  t \geq 0\} $ tempos de parada. Para todo $ A\in \mathcal{F}_S $ temos que $ A\cap\{S\leq T\}\in \mathcal{F}_T $ e $ A\cap \{S\textless T\}\in \mathcal{F}_{T-} $.

Demonstração:

Para todo $ t\geq 0 $,

$$A\cap \{S\leq T\}\cap \{T\leq t\}=A\cap \{S\leq t\}\cap \{T\leq t \}\cap\{\min{(S, t)}\leq \min{(T,t)}\}$$

 

Agora $ \{\min{(S, t)}\leq \min{(T,t)}\}\in\mathcal{F}_t $, desde que $ \min{(S, t)} $ e $ \min{(T,t)} $ são $ \mathcal{F}_t $-mensurável, além disso $ A\cap \{S\leq t\}\in \mathcal{F}_t $, pois $ A\in\mathcal{F}_s\subset\mathcal{F}_t $ e claro como $ \{T\leq t\} $ é tempo de parada temos que $ \{T\leq t\}\in\mathcal{F}_t $, desta forma temos que $ A\cap \{S\leq T\}\cap \{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t, ~~\forall t\geq 0 $. Portanto concluímos que $ A\cap\{S\leq T\}\in \mathcal{F}_T $.

A segunda implicação deve-se ao fato de

$$A\cap \{S\textless T\}=\displaystyle \bigcup_{r\in \mathbb{Q}}A\cap \{S\leq r\}\cap\{r\leq T\}\in\mathcal{F}_{T-}$$

 

pois $ A\cap \{S\leq r\}\in \mathcal{F}_{r} $ e portanto $ A\cap \{S\leq r\}\cap\{r\leq T\} $ é um gerador de $ \mathcal{F}_{T-} $.

$ \Box $

Teorema 1.1.5:

Sejam $ S $ e $ T $ dois t\geq 0\} $ tempos de parada tal que $ S\leq T $. Então $ \mathcal{F}_S\subset\mathcal{F}_T $ e $ \mathcal{F}_{S-}\subset\mathcal{F}_{T-} $

Demonstração:

Para concluirmos esse teorema, basta observarmos que $ A\cap\{S\leq T\}\in\mathcal{F}_S $, para todo $ A\in \mathcal{F}_S $, por que $ \{S\leq T\}=\Omega $, logo $ \mathcal{F}_S\subset \mathcal{F}_T $. Agora $ \mathcal{F}_{S-}\subset\mathcal{F}_{T-} $, pois todos os geradores de $ \mathcal{F}_{S-} $ também são geradores de $ \mathcal{F}_{T-} $, pois se $ A\in\mathcal{F}_t $

$$A\cap\{t\textless S\}=A\cap\{t\textless S\}\cap\{t\textless T\}=B\cap\{t\textless T\}$$

 

com $ B\in\mathcal{F}_t $. Portanto o resultado segue.

$ \Box $

Teorema 1.1.6:

Seja $ (T_n,n\geq 1) $ uma sequência monótona de t\geq 0\} $ tempos de parada, no qual $ \mathbb{F} $ contínua a direita. Então

i) Se $ (T_n, n\geq 1) $ é descrescente $ \mathcal{F}_T=\displaystyle \bigcap_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n} $

ii) Se $ (T_n, n\geq 1) $ é crescente $ \mathcal{F}_{T-}=\displaystyle \bigvee_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n-} $

Demonstração:

Primeiramente note que $ T=\displaystyle \lim_n T_n $ é um tempo de parada, como demonstrado no teorema 1.1.1.

i) Pelo teorema 1.1.5 temos que $ \mathcal{F}_T\subset\mathcal{F}_{T_n},~~\forall n\geq 1 $, portanto $ \mathcal{F}_T\subset\displaystyle \bigcap_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n} $.

      Inversamente seja $ A\in\mathcal{F}_{T_n}~~\forall n\geq 1 $, logo para todo n temos que

     

$$A\cap \{T_n\textless t\}\in \mathcal{F}_t, ~~\forall t\geq 0$$

 

      Portanto temos que $ A\cap \{T\textless t\}\in \mathcal{F}_t, ~~\forall t\geq 0 $, como $ \mathcal{F}_t $ é uma filtragem contínua a direita, temos que $ A\cap \{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t, ~~\forall t\geq 0 $, o que implica que $ A\in \mathcal{F}_T $.

ii) Pelo teorema 1.1.5 temos que $ \mathcal{F}_{T_n-}\subset \mathcal{F}_{T-},~~\forall n\geq 1 $ e portanto

 

$$\displaystyle \bigvee_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n-}\subset\mathcal{F}_{T-}$$

 

  Inversamente seja $ A_s \cap \{s\textless T\} $ um gerador de $ \mathcal{F}_{T-} $, com $ A_s \in \mathcal{F}_s $. Note que $ A_s \cap\{s\textless T\} $, também está contido em $ \displaystyle \bigvee_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n-} $, pois $ A_s \cap \{s\textless T\}=\displaystyle \lim_n A_s \cap\{s\textless T_n\} $. E portanto o resultado segue.

$ \Box $

Proposição 1.1.3:

Se $ A\in\mathcal{F}_T $, então

 

$$\displaystyle T_A(\omega)\left\{ \begin{array}{c} T(\omega),~~ se~~ \omega\in A \\ \infty ,~~ se~~ \omega\notin A.\end{array} \right,$$

é um $ \mathbb{F} $-tempo de parada.

Demonstração:

Vamos mostrar que $ \{T_A\leq t\}\in \mathcal{F}_t $. Basta notar que se $ A\in\mathcal{F}_T $, então $ A\cap\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t, ~~ \forall t $. Assim temos que

$$\{T_A\leq t\}=A\cap\{T\leq t\}\in \mathcal{F}_t,\forall t.$$

Portanto o resultado segue.

$ \Box $

Teorema 1.1.7:

Se $ T $ é um $ \mathcal{F}_t $ tempo de parada e $ A\in\mathcal{F}_\infty=\mathcal{F}=\displaystyle \bigvee_{t\geq 0}\mathcal{F}_t $ o evento $ A\cap\{T=\infty\}\in \mathcal{F}_{T-} $

Demonstração:

Primeiramente defina B\cap\{T=\infty\}\in \mathcal{F}_{T-}\} $, note que $ G $ é $ \sigma $-álgebra. De fato,

$ \emptyset \in G $, pois $ \emptyset\cap\{T=\infty\}=\emptyset\in\mathcal{F}_{T-} $. Da mesma forma temos que 

$ \Omega \cap \{T=\infty\}=\{T=\infty\}\in \mathcal{F}_{T-} $. Além disso, se $ A_0,A_1,A_2,\cdots \in G $ então 

$ A_i\cap\{T=\infty\}\in \mathcal{F}_{T-},~~\forall i\geq 0 $. Assim, como $ \mathcal{F}_{T-} $ é $ \sigma $-álgebra, obtemos que $ \bigcap_{n\geq 0}A_n\{T=\infty\}\in\mathcal{F}_{T-} $ e portanto $ \bigcap_{n\geq 0}A_n $, logo $ G $ é $ \sigma $-álgebra.

Assim precisamos mostrar que $ \mathcal{F}_n\subset G, \forall \mathcal{F}_n $,e, como consequência $ \mathcal{F}_\infty\subset G $ e o resultado segue.

Então seja $ A\in\mathcal{F}_n $. Temos que $ A\cap\{T=\infty\}=\displaystyle \bigcap_{m\geq n}(A\cap\{m\textless T\})\in \mathcal{F}_{T-} $, pois $ A\cap\{m\textless T\} $ é um gerador de $ \mathcal{F}_{T-} $, sempre que $ m\geq n $. Finalizando a prova.

$ \Box $

Teorema 1.1.8:

Sejam $ S $ e $ T $ dois t\geq 0\} $ tempos de parada satisfazendo $ S\leq T $. Se além disso, $ S\textless T $ quando $ \{0\textless T\textless \infty\} $, então $ \mathcal{F}_S\subset \mathcal{F}_{T-} $

Demonstração:

Para todo $ A\in \mathcal{F}_S $, podemos escrever o conjunto $ A $ da seguinte forma, $ (A\cap\{S=0\})\cup\{S\textless T\}\cup(A\cap\{T=\infty\}) $.

Mas note que $ A\cap \{S=0\}\in \mathcal{F}_0 $, pela definição de $ \mathcal{F}_S $ e ainda temos que $ \{S\textless T\}\in \mathcal{T-} $ pelo Teorema 1.1.4. e por fim temos que $ A\cap\{T=\infty\}\in \mathcal{F}_{T-} $ pelo teorema anterior. Portanto o resultado segue.

$ \Box $

Corolário 1.1.2:

Seja $ (T_n,n\geq 1) $ uma sequência monótona de $ \mathbb{F} $ tempos de parada, com $ \mathbb{F} $ contínua a direita. Então

i) Se $ (T_n,n\geq 1) $ e decrescente e se para todo $ n\geq 1 $ temos que $ T\textless T_n $ quando $ \{0\textless T_n\textless \infty\} $, então $ \mathcal{F}_T=\displaystyle \bigcap_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n-} $

ii) Se $ (T_n,n\geq 1) $ e crescente e se para todo $ n\geq 1 $ temos que $ T_n\textless T $ quando $ \{0\textless T\textless \infty\} $, então

  $ \mathcal{F}_{T-}=\displaystyle \bigvee_{n\geq 1}\mathcal{F}_{T_n} $

Demonstração:

É consequência imediata do teorema 1.1.6 e dos teoremas 1.1.7 e teorema 1.1.8.

$ \Box $

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