2.1 - Produto de espaços mensuráveis

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Nesta seção, vamos definir o produto qualquer de espaços mensuráveis e construir uma $ \sigma  $- álgebra sobre este espaço produto de tal forma que esta $ \sigma  $- álgebra tenha algumas propriedades importantes. O produto de espaços mensuráveis é utilizado em diversas aplicações na teoria de probabilidade, como a construção de processos estocásticos, tais como a cadeia de markov e o movimento browniano

Considere uma classe arbitrária de conjuntos  t \in T \} $  com $ \Omega_t \neq \emptyset $ para todo $ t \in T $, no qual $ T $ é um conjunto de índices. O espaço produto pode ser definido como 

 t \in T \} \ {\mbox com } \ w_t \in \Omega_t \right\}.\]

 

Para qualquer $ S \subset T $, também denotamos o espaço produto por $ \prod_S \Omega_s $ o espaço produto dos conjuntos  s \in T \right\} $. Em particular se $ \Omega_t = \Omega \ \forall t \in T  $ denotaremos o espaço produto por $ \prod_{t \in T} \Omega_t \ = \Omega^T  $ que é denominado o espaço das aplicações  T \to \Omega  $.

Exemplo 2.2.1:

Considere $ T = \{1,2,3\} $, com $ \Omega_t = \mathbb{R}, \ \ \forall t \in T $. Então

\[\prod_{t=1}^3 \Omega_t = \prod_{t= 1}^3 \mathbb{R} = \mathbb{R}^3\]

Exemplo 2.2.2:

Considere $ T = \mathbb{N} $, com $ \Omega_t = \mathbb{R}, \ \ \forall t \in T $. Então 

-\infty\textless \omega_i\textless\infty,i=1,2,\cdots\},\]

corresponde ao espaço das sequências ordenadas de números reais. 

A seguir faremos algumas definições que serão utilizadas na construção da $ \sigma $-álgebra produto.

Definição 2.2.1:

Dada um classe arbitrária de conjuntos  t \in T\} $, no qual T é um conjunto de índices qualquer, definimos 

a- aplicação coordenada em $  s \in T $ : a transformação  \prod_T \Omega_t \to \ \Omega_s $, tal que $ X_s (w) = w_s $ para todo $ w\in \prod_T \Omega_t $. Esta aplicação pode ser interpretada como o estado da trajetória $ w  $ no instante s.

b- seção : Para qualquer subconjunto $ S \subset T $, a seção para  s \in S \} $ de uma parte $ A \in \prod_T \Omega_t \ \hbox{em} \ \prod_{u \in S^c } \Omega_u  $ é definido por:

 t \in T \} \in A \} \]

c- cilindro : Uma parte $  A \in \prod_T \Omega_t  $ é denominado cilindro de base B em $ \prod_{s \in S } \Omega_s $, com $  S \subset T $, se este for da forma:

\[ A \ = \ B \times \prod_{u \in S^c } \Omega_u \]

Portanto A é um cilindro de base B em $ \prod_{s \in S} \Omega_s $, se e só se, suas seções $ A_{\omega_{S^c}} $ são independentes de $ \omega_{S^c } $, no qual $ A_{\omega_{S^c}} = B $.

d- retângulo : Um retângulo em $ \prod_T \Omega_t  $ é um subconjunto da forma:

 \omega_t \in A_t \ (t \in T ) \} \]

no qual $ A_t = \Omega_t  $ exceto um número finito de $  t \in T $

e- projeção : Para todo $ S \subset T  $ e $  A \in \prod_T \Omega_t $, a transformação 

A_{\omega_S} \neq \emptyset \}\]

é denominado projeção da parte A nas coordenadas de S.

Para fins ilustrativos, vamos exemplificar as definições anteriores. 

Exemplo 2.2.3:

No caso do espaço das sequências ordenadas de números reais, denotada por $ \mathbb{R}^{\infty} $, a transformação coordenada \mathbb{R}^{\infty}\rightarrow \mathbb{R} $ é tomada na forma $ X_n(\omega)=\omega_n $, no qual $ \omega=(\omega_1,\omega_2,\cdots)\in \mathbb{R}^{\infty} $. Para qualquer subconjunto $ S\subset \mathbb{N} $, a seção para s\in S\} $ de uma parte $ A\subset \mathbb{R}^{\infty} $ em $ \mathbb{R}^{S^c} $ é dada por

t\in \mathbb{N}\}\subset A\right\}.$$

Da mesma forma, dado $ B\subset \mathbb{R}^S $, um cilindro de base $ B $ é dado por $ A=B\times \mathbb{R}^{S^c} $. Por exemplo, se $ S=\{1,2,\cdots,n\} $, temos que $ B\subset \mathbb{R}^n $ e assim, $ A $ é um cilindro com base no $ \mathbb{R}^n $ na forma

$$A=B\times\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \cdots .$$

 Além disso, um retângulo em $ \mathbb{R}^{\infty} $ é um subconjunto na forma

\omega_t\in A_t,t\in T\right\},$$

no qual $ A_t=\mathbb{R} $ exceto um número finito de índices $ t \in \mathbb{N} $. Assim, ao tomarmos $ \{A_1,A_2,\cdots ,A_n\} $ subconjuntos dos números reais, obtemos que $ R=A_1\times A_2\times \cdots \times A_n \times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \cdots $ é um retângulo de lados $ \{A_1,\cdots ,A_n\} $.

Para construir a $ \sigma $-álgebra produto, vamos usar as mesmas ideias que são utilizadas para construção da topologia produto. A principal exigência para a construção da topologia produto é que esta deve ser a menor topologia que faz cada aplicação coordenada contínua. Aqui, vamos trocar continuidade por mensurabilidade. Desta forma, queremos definir uma $ \sigma $-álgebra produto nos quais as transformações coordenadas sejam mensuráveis. Para isto, vamos definir a $ \sigma $-álgebra produto através da classe dos retângulos com lados mensuráveis.

Proposição 2.1.1:

Considere  t \in T\}  $ uma família de espaços mensuráveis. Então o conjunto de todos os retângulos mensuráveis de $ \prod_T \Omega_t $, isto é, todos os retângulos $ \prod_T A_t  $ tais que $ A_t \in \mathfrak{F}_t $, com $  A_t = \Omega_t  $ exceto um número finito de t's, formam uma semi-álgebra.

Demonstração:

Vamos denotar por $ C  $ a classe de todos os retângulos mensuráveis. Na sequência, vamos mostrar que a classe $ C  $ é uma semi-álgebra. Sabemos que $ \prod_T \Omega_t  $ é um retângulo mensurável, para isto basta tomarmos $ \Omega_t = A_t $ para todo $ t\in T $. Da mesma forma, o conjunto $ \emptyset  $ é um conjunto um retângulo mensurável, pois basta tomarmos $ A_t \ = \ \emptyset  $ para algum $ t \in T $.

Agora, vamos mostrar que a classe $ C $ é fechada por intersecção finita. Com esta finalidade, tomamos os retângulos mensuráveis $ B_1 \ e \ B_2 $, no qual $ B_i $ tem $ n_i $ componentes diferente de $ \Omega_t $, para $ i=1,2 $Sem perda de generalidade podemos assumir que $ n_1 \leq n_2 $, assim temos que

\[B_1 \cap B_2 = (\prod_T A_t )\cap (\prod_T F_t) = \]

\[ = \left[ (A_{t_1} \times \dots \times A_{t_{n_1}}) \times \prod_{t \neq t_1 , \dots t_{n_1}} \Omega_t \right] \cap \left[ (F_{t_1 } \times \dots \times F_{t_{n_2}} ) \times \prod_{t \neq t_1 , \dots t_{n_2}} \Omega_t \right] = \]

 

\[ = \left[ (A_{t_1 }\cap F_{t_1 }) \times \dots \times (A_{t_{n_1}}\cap F_{t_{n_1}})\times (\Omega_{t_{n_1+1}}\cap F_{t_{n_1+1}})\times (\Omega_{t_{n_2}}\cap F_{t_{n_2}}))\times \prod_{t \neq t_1 , \dots t_{n_2}} \Omega_t \right] \in C.\]

 Com isso concluímos que $ C  $ é fechada por intersecção finita. Para finalizar, vamos mostrar que o complementar é união finita disjunta de elementos de $ C $. Para isto, tomamos, 

\[A = A_1 \times A_2 \times \prod_{t\neq t_1 , t_2 } \Omega_t.\]

  Então, temos que 

\[A^c = A^c _{t_1 } \times A_{t_2 } \times \prod_{t\neq t_1 , t_2 } \Omega_t\cup A^{c}_{t_2}\times \prod_{t\neq t_2 } \Omega_t.\]

 

Assim, segue a proposição.

O ponto principal para a demonstração desta proposição concentra-se na restrição ''$ A_t = \Omega_t $ exceto para um número finito de índices t'', na definição de retângulo mensurável.

Assim, construímos uma semi-álgebra via os retângulos mensuráveis. Na sequência, acrescentando a classe dos retângulos mensuráveis uniões finitas (disjuntas 2 a 2) de retângulos mensuráveis obtemos uma álgebra. A álgebra dos retângulos mensuráveis será denotada por $ \mathcal{E} $. A $ \sigma $-álgebra gerada por esta álgebra, denotada por:

$$\beta^T=\bigotimes_T \mathcal{F}_t=\sigma(\mathcal{E})$$

 

é denominada $ \sigma $-álgebra produto. Para todo $ S \subset T $, vamos denotar por $ \beta^S  $ a $ \sigma $-álgebra produto sobre o espaço $ \prod_S \Omega_s $. Por construção $ \beta^S  $ é a menor $ \sigma $-álgebra que contém os retângulos mensuráveis. Com isso construímos o espaço mensurável produto

$$\prod_T (\Omega_t , \mathcal{F}_t ) = (\prod_T \Omega_t , \beta^T ).$$

Exemplo 2.2.4:

No caso do $ \mathbb{R}^{\infty} $, temos que a $ \sigma $-álgebra gerada pelos retângulos mensuráveis será denotada por $ \beta^{\infty} $. Assim, concluímos que

$$\prod_{\mathbb{N}}(\mathbb{R},\mathcal{F})=(\mathbb{R}^{\infty},\beta^{\infty}),$$

no qual $ \mathcal{F} $ é a $ \sigma $-álgebra de Borel de $ \mathbb{R} $. Dado $ n \in \mathbb{N} $ um número natural, a construção da $ \sigma $-álgebra produto no $ \mathbb{R}^n $ através de retângulos mensuráveis está descrita em Distribuição de Probabilidade no $ \mathbb{R}^n $ e pode ser visto como um caso particular da contrução acima.

A principal característica da $ \sigma $-álgebra produto é que esta foi construída a partir dos retângulos mensuráveis e então, a partir de conjuntos que dependem apenas de um número finito de coordenadas. Na sequência, vamos explorar esta característica para apresentar algumas propriedades interessantes para a $ \sigma $-álgebra produto. Inicialmente, precisamos verificar se nossa forma de construção atende ao propósito básico de que esta é a menor $ \sigma $-álgebra cujas aplicações coordenadas sejam mensuráveis. Considere a aplicação coordenada  \prod_T \Omega_t \to \Omega_s $, então 

\[ \forall A \in {\cal F}_s \rightarrow X_{s}^{-1}(A) = A \times \prod_{t \neq s} \Omega_t \]

 é um retângulo mensurável. Portanto, concluímos que $ \beta^T $ é a menor $ \sigma $-álgebra cujas aplicações coordenadas são mensuráveis. Além disso, a equação acima nos apresenta um fato importante, pois

$$ A \times \prod_{t \neq s} \Omega_t $$

 é um cilindro de base $ A \in \mathcal{F}_s $. Com esta observação, podemos elaborar uma outra forma de construção da $ \sigma $-álgebra produto via os cilindros mensuráveis de base com dimensão finita. Esta estratégia foi aplicada na construção do espaço de Cantor $ S^\infty $ com sua respectiva $ \sigma $-álgebra produto $ \mathcal{F} $.

Para isto, introduzimos a seguinte notação,

 ~ S ~~ \mbox{finito} \} ~ ~ \text{e} ~ ~ C_S ~ = ~ \{\mbox{família dos cilindros com base em} ~ ~ \beta^S\}~ ~ ; ~ ~ S\in D.$$

  Para todo $ S \subset T $, a projeção coordenada $ X_{S} $ leva elementos de $ \prod_T \Omega_t $ em elementos de $ \prod_{S} \Omega_s $. Agora, se tomarmos $ S \in D $ e $ B \in \beta^S $, obtemos que

$$X^{-1}_{S} (B) ~ = ~ B \times \prod_{t \not \in S} \Omega_t $$

é um cilindro de base $ B \in \beta^S $. Desta forma, temos que B\in \beta^S\} $. Vamos utilizar esta notação para denotarmos os cilindros mensuráveis no espaço produto. Na sequência, vamos mostrar como podemos obter a $ \sigma $-álgebra produto via os cilindros mensuráveis de dimensião finita.

Lema 2.1.1:

A classe de subconjuntos $ \prod_T \Omega_t $, definida por

$$\mathcal{A}=\cup_{S\in D}C_S$$

é uma álgebra. Além disso, temos $ \beta^T=\sigma(\mathcal{A}) $.

Demonstração:

Vamos mostrar que $ {\cal A} $ é uma álgebra. Sabemos que $ \emptyset, ~ \Omega^T ~ \in ~ {\cal A} $,  pois 

$$ \emptyset= \emptyset \times \prod_{t \neq t_1} \Omega_t ~ = ~ X_{\{t_1\}}^{-1}( \emptyset) ~ ~ \text{e} ~ ~ \Omega^T=\Omega_{t_1} \times \prod_{t \neq t_1} \Omega_t ~ = ~ X_{\{t_1\}}^{-1}(\Omega_{t_1}) \;\; ;\;\; \forall ~~ t_1 \in T.$$

 Na sequência, tomamos $ A_1, A_2 \in \mathcal{A} $, na forma

$$A_1=X_{S_1}^{-1}(B_1) ~ ~ \text{e} ~ ~ A_2=X_{S_2}^{-1}(B_2)$$

  com $ B_i\in \beta^{S_i} $, no qual $ S_i \in D $ para $ i=1,2 $. Assim, obtemos que

$$ A_1 \cap A_2=X_{(S_1 \cup S_2)}^{-1} (B_1 \cap B_2).$$

 Agora, para todo $ A=X_{S}^{-1}(B) $, temos que 

$$A^c =\left(X_{S}^{-1}(B)\right)^c=X_{S}^{-1}(B^c).$$

 

Com isso, concluímos que $ \mathcal{A} $ é uma álgebra.

Na sequência, vamos mostrar que $ \sigma(\mathcal{A}) = \beta^T $. Para isto, basta mostrarmos que $ C_{S} \subset \beta^T $ para todo $ S\in D $. Desde que a classe de conjuntos X^{-1}_{S}(B)\in \beta^T\} $ é uma $ \sigma $-álgebra e contém os retângulos mensuráveis, concluímos que $ X^{-1}_{S}(B)\in \beta^S $ para todo $ B\in \beta^S $. Portanto, concluímos o lema. 

Na sequência, apresentamos mais caracterizações da $ \sigma $-álgebra produto.   Denotamos por $ \mathcal{L} $ a classe de todos os subconjuntos finitos ou enumeráveis de índices. Para todo $ S\in \mathcal{L} $, definimos a projeção coordenada \prod_T \Omega_t \rightarrow \prod_S \Omega_s $ por s\in S\} $. Denotamos por B\in \beta^S\} $ a classe dos cilindros com base em $ \beta^S $, no qual $ S $ é um subconjunto finito ou enumerável de índices $ (S\in \mathcal{L}) $. Com esta notação, obtemos a seguinte proposição.

Proposição 2.1.2

A classe de de conjuntos $ \mathcal{F}=\cup_{S\in \mathcal{L}}\mathcal{H}_{S} $ é uma $ \sigma $-álgebra que coincide com a $ \sigma $-álgebra produto $ \beta^T $.

Demonstração 

Obviamente que o vazio e $ \prod_T \Omega_t $ estão em $ \mathcal{F} $. Seja $ A\in \mathcal{F} $. Então, existe $ S\in \mathcal{L} $ e $ B\in \beta^S $ tal que$ A=X^{-1}_{S}(B) $. Desta forma, temos que $ A^c=[X^{-1}_{S}(B)]^c=X^{-1}_{S}(B^c)\in \mathcal{F} $, pois $ B^c\in \beta^S $. Na sequência, tomamos $ A_1, A_2, \cdots \in \mathcal{F} $. Então, existe $ S_i\in \mathcal{L} $ e $ B_i\in \beta^{S_i} $ tal que $ A_i=X^{-1}_{S}(B_i) $ para todo $ i=1,2,\cdots $. Com isso, obtemos que

$$\cup_{i=1}^{\infty}A_i=\cup_{i=1}^{\infty}X^{-1}_{S_i}(B_i)=X^{-1}_{\cup_i S_i}\left(\cup_{i=1}^{\infty}B_i\right)\in \mathcal{F},$$

pois temos que união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável e $ \cup_i B_i \in \beta^{\cup_i S_i} $. Portanto, obtemos que $ \mathcal{F} $ é uma $ \sigma $-álgebra.

Na sequência, vamos mostrar que $ \mathcal{F} $ coincide com a $ \sigma $-álgebra produto $ \beta^T $. Desde que $ \beta^T=\sigma(\mathcal{A})\subset \mathcal{F} $, basta mostrarmos que $ X^{-1}_{S}(B)\in \beta^T $, para todo $ B\in \beta^S $ e $ S\in \mathcal{L} $. Para isto, dados $ S_1,S_2\in \mathcal{L} $ subconjuntos de índices tais que $ S_1\subset S_2 $, definimos a projeção coordenada \prod_{t\in S_2} \Omega_t \rightarrow \prod_{u\in S_1} \Omega_u $ por u\in S_1\} $. Considere $ S\in \mathcal{L} $ um subconjunto enumerável de índices e $ S^{\prime} \subset S $ um subconjunto finito. Então, para todo $ B\in \beta^{S^{\prime}} $, sabemos que $ X^{-1}_{S,S^{\prime}}(B)\in \beta^{S} $. Além disso, temos que $ X^{-1}_{S}\left(X^{-1}_{S,S^\prime}(B)\right)=X^{-1}_{S^\prime}(B). $ Desde que a classe X^{-1}_{S}(H)\in \beta^{\infty}\} $ é uma $ \sigma $-álgebra e contém os cilindros de base finita, concluímos que $ \mathcal{G}=\beta^S $. Portanto, segue o lema.

A seguir, fechamos esta seção apresentando consequências da proposição acima.  

Corolário 2.1.1:

Se tomarmos o espaço produto $ (\prod_T \Omega_t , \beta^T) $ e $ S \subset T $, obtemos que os espaços mensuráveis $ (\Omega^S, \beta^S) $ e $ (\Omega^{S^c}, \beta^{S^c}) $ tem como produto $ (\prod_T \Omega_t, \beta^T) $ e toda seção 

 t \in T \} \in A \right\} \]

 

com $ A \in \beta^T $ é mensurável em $ (\prod_{S^c} \Omega_u, \beta^{S^c}) $

Em particular, se $ A $ é um cilindro em $ \prod_T \Omega_t $ com base $ B $ em $ \prod_S \Omega_s $, segue que $ A $ é mensurável em $ \beta^T $ se, e só se, $ B $ é mensurável em $ \beta^S $. Além disso, para toda função  \prod_{T} \Om_t \rightarrow \Bbb{R} $ mensurável, a seção 

\[ X_{ \{ w_S \}} (w_{S^c}) ~ = ~ X \left[ w_{S} , w_{S^c} \right] \]

é mensurável sobre $ (\prod_{S^c} \Omega_u , \prod_{S^c} \beta_u) $.

Demonstração:

Vamos mostrar que $ \beta^S\otimes \beta^{S^c}=\beta^T $Se tomarmos $ A_1 \in \beta^{S} $ e $ A_2 \in \beta^{S^c} $, segue da proposição acima que, existe $ S_1,S_2 \subset T $ enumeráveis, tal que 

\[ A_1 \times A_2 ~ \in ~ \beta^{S_1 \cup S_2} ~ \subset ~ \beta^{T} \]

Então, 

\[ \beta^{S} \otimes \beta^{S^c} ~ \subset ~ \beta^T \]

Por outro lado, se tomarmos $ A \in \beta^T $, existe $ S^{\prime} \subset T $ enumerável, tal que $ A \in \beta^{S^{\prime}} $. Assim, definindo 

\[ S_1 ~ = ~ S^{\prime} \cap S ~ ~ ~ \mbox{e} ~ ~ ~ S_{2}~ = ~ S^{\prime} \cap S^c \]

obtemos da proposição acima, que 

\[ A ~ \in ~ \beta^{S_1 \cup S_2} ~ \subset ~ \beta^{S} \otimes \beta^{S^c} \]

Portanto, 

\[ \beta^{S} \otimes \beta^{S^c} ~ = ~ \beta^T \]

Na sequência, se denotarmos por 

A_{w_S} \in \beta^{S^c} \right\} \]

com $ S \subset T $, obtemos que todo retângulo mensurável pertence a $ C_{w_S} $ e que esta classe é fechada por complementação e intersecção enumerável. Portanto, 

\[ \beta^T ~ \subset ~ C_{w_S}.\]

Com isso, provamos o corolário.

Através do corolário acima, concluímos que se tomarmos  i \in I \} $ uma partição de $ T $, então 

\[ \prod_{T} ( \Omega_t , \F_t ) ~ = ~ \prod_{i \in I} \left( \prod_{S_i} \Omega_s ,\beta^{S_i} \right) \]

Corolário 2.1.2 :

Todo subconjunto mensurável de $ \Omega^T $ e toda variável aleatória definida sobre $ (\Omega^T, \beta^T) $ depende somente de um número enumerável de coordenadas.  

Portanto, através de uma família de espaços mensuráveis, construímos o espaço mensurável produto e estudamos algumas propriedades deste. Na próxima seção, vamos construir uma probabilidade sobre o espaço mensurável produto.   

 

Espaços mensurável $ (\mathbb{R}^n,\beta(\mathbb{R}^n)) $

Na sequência, tomamos o espaço dos $ n $-pares ordenados $ \mathbb{R}^n=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\cdots\times\mathbb{R} $. A partir dos resultados acima, vamos construir a $ \sigma $-álgebra produto no $ \mathbb{R}^n $ através de retângulos com base nos intervalos finitos.

Definição 2.1.1: 

O conjunto $ I=I_1\times I_2\times \cdots\times I_n $, com $ I_k=(a_k,b_k] $, definido por 

 x_k\in I_k, k=1,\dots,n\}$$

é denominado de retângulo de lados $ I_i $. O conjunto de todos os retângulos I, será denotado por $ \mathcal{I} $. De forma geral, um conjunto $ A=A_1\times A_2\times \cdots\times A_n $ é chamado de retângulo de lados $ A_i $. Se $ A_i \in \beta(\mathbb{R}) $ dizemos que $ A $ é um retângulo de lados borelianos.

Definição 2.1.2:

A $ \sigma $-álgebra de Borel de subconjuntos de $ \mathbb{R}^n $ é denotada por $ \beta(\mathbb{R}^n) $ e é a menor $ \sigma $-álgebra gerada por todos os retângulos de $ \mathbb{R}^n $ ($ \sigma(\mathcal{I}) $). Outra forma de gerarmos a $ \sigma $-álgebra de Borel é

$$\sigma(\beta(\mathbb{R})\times\beta(\mathbb{R})\times\cdots\times \beta(\mathbb{R}))$$

ou seja, é a menor $ \sigma $-álgebra que contém os retângulos com lados Borelianos, é comum essa $ \sigma $-álgebra ser denotada por

$$\beta(\mathbb{R})\otimes\beta(\mathbb{R})\otimes\cdots\otimes \beta(\mathbb{R})$$

 

Observação:

É importante dizer que

$$\beta(\mathbb{R})\times\beta(\mathbb{R})\times\cdots\times \beta(\mathbb{R})\neq \beta(\mathbb{R})\otimes\beta(\mathbb{R})\otimes\cdots\otimes \beta(\mathbb{R})$$

mais do que isso $ \beta(\mathbb{R})\times\beta(\mathbb{R})\times\cdots\times \beta(\mathbb{R}) $ não é uma $ \sigma $-álgebra.

Teorema 2.1.1:

$ \sigma(\mathcal{I})=\beta(\mathbb{R}^n)=\beta(\mathbb{R})\otimes\beta(\mathbb{R})\otimes\cdots\otimes \beta(\mathbb{R})=\sigma(\beta(\mathbb{R})\times\beta(\mathbb{R})\times\cdots\times \beta(\mathbb{R})) $

Demonstração:

Note que o resultado é trivial se $ n=1 $. Assim sendo considere primeiramente $ n=2 $, e defina

 B_i\in \beta(\mathbb{R}), i=1,2\}$$

Note que, é óbvio que $ \mathcal{I}\subset \mathcal{C} $, logo é imediato que

$$\beta(\mathbb{R}^2)=\sigma(\mathcal{I})\subset \sigma(\mathcal{C})=\beta(\mathbb{R})\otimes\beta(\mathbb{R}).$$

Assim, basta mostrarmos que

$$\beta(\mathbb{R})\otimes\beta(\mathbb{R})\subset\beta(\mathbb{R}^2)$$

Para isso, vamos mostrar que dado uma classe $ \mathfrak{C} $ de subconjuntos de $ \mathbb{R} $, e seja $ B\subset\mathbb{R} $, temos que

A\in\mathfrak{{C}}\}.$$

Claro que, como $ \mathfrak{C}\subset \sigma(\mathfrak{C}) $ então

$$\mathfrak{C}\cap B\subset \sigma(\mathfrak{C})\cap B$$

Como $ \sigma(\mathfrak{C})\cap B $ é uma $ \sigma $-álgebra temos então que

$$\sigma(\mathfrak{C}\cap B)\subset \sigma(\mathfrak{C})\cap B$$

Agora vamos mostrar

$$\sigma(\mathfrak{C})\cap B\subset \sigma(\mathfrak{C}\cap B) $$

Para isso considere A\cap B\in \sigma(\mathfrak{C}\cap B)\} $, a qual é uma $ \sigma $-álgebra, portanto

$$\mathfrak{C}\subset\mathcal{C}_B\subset \sigma(\mathfrak{C})$$

O que implica que $ \mathcal{C}_B= \sigma(\mathfrak{C}) $ o que implica que

$$A\cap B\in \sigma(\mathfrak{C}\cap B)$$

para todo $ A\in\mathfrak{C} $ e consequentemente $ \sigma(\mathfrak{C})\cap B\subset \sigma(\mathfrak{C}\cap B) $. O que finalmente implica  que A\in\mathfrak{{C}}\} $. Com isso em mente, considere os seguinte conjuntos $ \mathcal{B}\times \mathbb{R}=\{B\times \mathbb{R}| B\in\beta(\mathbb{R})\} $ e $ \mathbb{R}\times \mathcal{B}=\{\mathbb{R}\times B| B\in\beta(\mathbb{R})\} $.

Então dado $ B_1\times B_2 $, com $ B_1,B_2\in \beta(\mathbb{R}) $, temos que

$$B_1\times B_2=(B_1\times \mathbb{R})\cap (\mathbb{R}\times B_2) \in \sigma(I_1\times \mathbb{R})\cap (B_2\times \mathbb{R})= \sigma((I_1\times \mathbb{R})\cap (B_2\times \mathbb{R}))\subset\sigma ((I_1\times \mathbb{R})\cap (I_2\cap \mathbb{R}))=\sigma(\mathcal{I})$$

no qual, $ I_i $ é o conjunto de todos os intervalos de $ \mathbb{R} $. Portanto o resultado segue.

Espaço mensurável $ (\mathbb{R}^\infty,\beta(\mathbb{R}^\infty) $ 

Este espaço mensurável é um dos espaços mais importante na teoria de probabilidade, pois é base para a construção de diversos modelos. Dizemos que $ x\in \mathbb{R}^\infty $ se $ x=(x_1,x_2,\dots) $ com $ -\infty\textless x_i\textless \infty, k\in\mathbb{N} $. Denotamos por $ I_k=(a_k,b_k] $ um intervalo e $ B_k $ um boreliano em $ \beta(\mathbb{R}) $. Nesse caso tomamos as seguintes classes de cilindros de base finita

 x=(x_1,x_2,\dots), x_1\in I_1,\dots,x_n\in I_n\},$$

 x=(x_1,x_2,\dots), x_1\in B_1,\dots,x_n\in B_n\}$$

 x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in B^n\}$$

no qual $ B^n $ é um boreliano de $ \beta(\mathbb{R}^n) $. É importante notarmos que cada cilindro na forma $ C(B_1\times\dots B_n) $, ou mesmo $ C(B^n) $, pode ser definido como um cilindro com base em $ \mathbb{R}^{n+k} $, para qualquer $ k\in \mathbb{N} $, pois

$$C(B_1\times\dots B_n)=C(B_1\times\dots B_n\times \underbrace{\mathbb{R}\times\dots\times\mathbb{R}}_{k~~ vezes}) ~ ~ \text{e} ~ ~ C(B^n)=C(B^{n+k})$$

no qual $ B^{n+k}=B^n\times \underbrace{\mathbb{R}\times \dots \times \mathbb{R}}_{k~~vezes} $.

É fácil vermos que as classes de cilindros na formas $ C(B_1\times\dots B_n) $ e $ C(B^n) $ são álgebras, pois $ \emptyset \in C(B_1\times\dots B_n) $ e $ \emptyset \in C(B^n) $. Além disso, também é fácil observarmos que a união disjuntas destes cilindros também é um cilindro. Denotamos por $ \mathcal{A} $, $ \mathcal{A}_1 $ e $ \mathcal{A}_2 $ a álgebra gerada respectivamente pelas classes de cilindros $ C(I_1\times\dots\times I_n) $, $ C(B_1\times\dots B_n) $ e $ C(B^n $. Sejam $ \beta(\mathbb{R}^\infty) $, $ \beta_1(\mathbb{R}^\infty) $ e $ \beta_2(\mathbb{R}^\infty) $ a menor $ \sigma $-álgebra que contem estas classes de cilindros $ C(I_1\times\dots\times I_n) $, $ C(B_1\times\dots B_n) $ e $ C(B^n) $ respectivamente.  Por construção, temos que

$$\beta(\mathbb{R}^\infty)\subset \beta_1(\mathbb{R}^\infty)\subset \beta_2(\mathbb{R}^\infty),$$

pois temos que $ C(I_1\times\dots\times I_n)\subset C(B_1\times\dots B_n)\subset C(B^n) $. Mostraremos que na verdade essas $ \sigma $-álgebras são identicas.

Teorema 2.1.2: 

$ \beta(\mathbb{R}^\infty)= \beta_1(\mathbb{R}^\infty)= \beta_2(\mathbb{R}^\infty) $

Demonstração:

Para mostrar isso, como $ \beta(\mathbb{R}^\infty)\subset \beta_1(\mathbb{R}^\infty)\subset \beta_2(\mathbb{R}^\infty) $, basta mostrarmos que

$$\beta_2(\mathbb{R}^\infty)\subset \beta(\mathbb{R}^\infty)$$

De fato, considere o conjunto

(x_1,x_2,\dots,x_n)\in A\}\in \beta(\mathbb{R}^\infty)\}$$

para $ n\in \mathbb{N} $. Seja $ B^n\in \beta(\mathbb{R}^n) $. Então,

$$B^n\in \mathcal{C}_n\subset \beta(\mathbb{R}^\infty)$$

pois  (x_1,x_2,\dots,x_n)\in B^n\}\in \beta(\mathbb{R}^\infty) $. Mas $ \mathcal{C}_n $ também é uma $ \sigma $-álgebra de $ \mathbb{R}^\infty $, e portanto

$$\beta(\mathbb{R}^n)\subset\sigma(\mathcal{C}_n)=\mathcal{C}_n\subset\beta(\mathbb{R}^\infty)$$

Consequentemente pela definição de $ \beta_2(\mathbb{R}^\infty) $, temos que

$$\beta_2(\mathbb{R}^\infty)\subset\mathcal{C}_n\subset\beta(\mathbb{R}^\infty)$$

E portanto o resultado segue.
 

Daqui por diante descreveremos $ \beta(\mathbb{R}^\infty) $ como os conjuntos de Borel em $ \mathbb{R}^\infty $.

Espaço mensurável $ (\mathbb{R}^T,\beta(\mathbb{R}^T)) $

O espaço $ \mathbb{R}^T $ no qual T é um conjunto arbitrário é uma coleção de funções reaisT \rightarrow \mathbb{R}\} $ com domínio em $ T $ e imagem na reta. Em geral, estamos interessados no caso em que $ T $ é um conjunto não enumerável do conjunto de números reais. Por simplicidade, podemos tomamos $ T=[0,\infty) $. Da mesma forma, consideramos três tipos de cilindros definidos como

 x_{t_1}\in I_1,\dots,x_{t_n}\in I_n\},$$

 x_{t_1}\in B_1,\dots,x_{t_n}\in B_n\},$$

 x=(x_{t_1},x_{t_2},\dots,x_{t_n})\in B^n\}$$

definimos então $ I_k=(a_k,b_k] $ e $ B_k $ um boreliano de $ \beta(\mathbb{R}) $ e $ B^n $ é um boreliano de $ \beta(\mathbb{R}^n) $. Vamos então definir a $ \sigma $-álgebras geradas pelos cilindros $ \beta(\mathbb{R}^T) $, $ \beta_1(\mathbb{R}^T) $ e $ \beta_2(\mathbb{R}^T) $ geradas respectivamente $ C_{t_1,t_2,\dots,t_n}(I_1\times\dots\times I_n) $, $ C_{t_1,t_2,\dots,t_n}(B_1\times\dots B_n) $ e $ C_{t_1,t_2,\dots,t_n}(B^n) $.
É fácil ver que

$$\beta(\mathbb{R}^T)\subset \beta_1(\mathbb{R}^T)\subset \beta_2(\mathbb{R}^T)$$

É importante notar que assim como no caso anterior

$$\beta(\mathbb{R}^T)=\beta_1(\mathbb{R}^T)=\beta_2(\mathbb{R}^T)$$

Teorema 2.1.3:

Seja $ T $ qualquer conjunto não enumerável. Então $ \beta(\mathbb{R}^T)=\beta_1(\mathbb{R}^T)=\beta_2(\mathbb{R}^T) $. Além disso, para todo conjunto $ A\in\beta(\mathbb{R}^T) $ existe um conjunto enumerável de índices $ t_1,t_2,\dots $ de $ T $ e um conjunto de Borel $ B\in \beta(\mathbb{R}^\infty) $ tal que

 (x_{t_1},x_{t_2},\dots)\in B\}.$$

Demonstração:

Desde que a $ \sigma $-álgebra gerada pelos retângulos coincide com a $ \sigma $-álgebra gerad pelos cilindros de base finita, concluímos que 

$$\beta_1(\mathbb{R}^T)=\beta_2(\mathbb{R}^T).$$

Além disso, mostramos que a $ \sigma (I^n) $ gerada pelos intervalos do $ \mathbb{R^n} $ coincide com a $ \sigma $-álgebra de Borel do $ \mathbb{R}^n $. Assim, mostramos a igualdade entre as três $ \sigma $-álgebras. A partir da Proposição 2.1.2 obtemos o teorema.

O interessante do teorema anterior é que ele nos mostra que a $ \sigma $-algebra $ \beta(\mathbb{R}^T) $ é determinada por restrições no máximo em um conjunto enumeráveis de pontos imposta sobre as funções $ x=(x_t), ~~t\in T $. Daí segue, em particular, que o conjunto

 \sup x_t\textless C, \forall t\in [0,1]\},$$

o qual depende do comportamento da função em um conjunto não-enumerável de pontos não pertence a $ \sigma $-álgebra produto $ \mathbb{R}^{[0,1]}) $. Para verificarmos isso, suponha que $ A_1\in \beta(\mathbb{R}^{[0,1]}) $. Então pelo teorema anterior existe $ (t_1^0,t_2^0,\dots) $ and um conjunto $ B^0\in \beta(\mathbb{R}^\infty) $ tal que

(x_{t^0_1},x_{t^0_2},\dots)\in B^0\}.$$

Podemos então notar, que a função $ y_t=C-1 $ pertence a $ A_1 $, e consequentemente $ (y_{t_1^0},y_{t_2}^0,\dots)\in B^0 $. Agora considere a função

$$z_t=\left\{ \begin{array}{r} C-1, t\in (t_1^0,t_2^0,\dots) \\ C+1, t\notin (t_1^0,t_2^0,\dots).\end{array}\right.$$

Então claro que

$$(y_{t_1^0},y_{t_2}^0,\dots)=(z_{t_1^0},z_{t_2}^0,\dots)$$

e consequentemente a função $ z=(z)_t $ pertence ao conjunto (x_{t^0_1},x_{t^0_2},\dots)\in B^0\} $. Mas $ \sup_t z_t=C+1\textgreater C $ o que implica $ z_t\notin A_1 $, e isso é um contradição, portanto, $ A_1\notin \beta(\mathbb{R}^{[0,1]}) $.

 

Desde que o conjunto $ A_1 $ são não-mensurável com respeito a $ \sigma $-álgebra $ \beta(\mathbb{R}^{[0,1]}) $ é o espaço de todas as funções $ x=(x_t) $ $ t\in [0,1] $ é natural que se considere como sendo a menor classe de funções para as quais esses conjuntos são mensuráveis.

 

Espaço mensurável $ (C(T),\beta(C(T))) $

Seja $ T=[0,1] $ e seja $ C(T) $ o espaço das funções continua $ x=(x_t) $ $ 0\leq t\leq 1 $. Esse espaço é um espaço métrico com a métrica

$$\rho(x,y)=\sup_{t\in T}|x_t-y_t|.$$

Iremos considerar duas $ \sigma $-álgebras em $ C(T) $, $ \beta(C(T)) $, gerada pelos cilindros

x_{t_1}\textless b_1,\dots,x_{t_n}\textless b_n\},$$

a qual chamaremos $ \beta(C(T)) $ e a $ \sigma $-algebra gerada pelos abertos com respeito as métricas $ \rho(x,y) $ a qual chamaremos $ \beta_0(C(T)) $.

Vamos mostrar que ambas são idênticas, assim seja x_{t_0}\textless b\} $ claro que $ B $ é um cilindro, e ainda é aberto, disto segue

x_{t_1}\textless b_1,\dots , x_{t_n}\textless b_n \}\in \beta_0(C(T))$$

o que implica $ \beta(C(T))\subset \beta_0(C(T)) $.

Inversamente considere o conjunto y\in S_{\rho}(x^0)\} $, no qual $ x^0 $ é um elemento de $ C(T) $ e

\sup_{t\in T}|x_t-x^0_t|\textless \rho\}$$

é uma bola aberta com centro em $ x^0 $. Desde que as funções em $ C $ e são continuas,

 |y_{t_k}-x_{t_k}^0|\textless \rho\right\}\in \beta(C(T)).$$

no qual $ t_k $ são pontos racionais de $ [0,1] $. Portanto $ \beta_0(C(T))\subset \beta(C(T)) $, o que implica $ \beta_0(C(T))=\beta(C(T)) $.

Espaço mensurável $ (D(T),\beta(D(T))) $

$ D(T) $ é o espaço das funções $ x=(x_t)_{t\in T} $ continuas as direita, com $ T=[0,1] $

Da mesma forma, como acontece com o espaço das funções contínuas, podemos introduzir uma métrica

 \sup_t |x_t-y_{\lambda(t)}|\leq \epsilon \right\}$$

onde $ \Lambda $ é um conjunto de funções $ \lambda =\lambda(t) $ estritamente crescente, o qual é continua de $ [0,1] $ e temos $ \lambda(0)=0 $, $ \lambda(1)=1 $.
Essa métrica foi introduzida por Skorohod e é uma métrica muito importante para esse espaço. E da mesma forma que o espaço das funções contínuas a $ \sigma $-algebra gerada pelos abertos da topologia de Skorohod é igual a $ \sigma $-algebra gerada pelos cilindros de $ D(T) $.

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