2.1 - Produto de espaços mensuráveis

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Nesta seção, vamos definir o produto qualquer de espaços mensuráveis e construir uma $\sigma $- álgebra sobre este espaço produto de tal forma que esta $\sigma $- álgebra tenha algumas propriedades importantes. O produto de espaços mensuráveis é utilizado em diversas aplicações na teoria de probabilidade, como a construção de processos estocásticos, tais como a cadeia de markov e o movimento browniano

Considere uma classe arbitrária de conjuntos $\{ \Omega_t : t \in T \}$  com $\Omega_t \neq \emptyset$ para todo $t \in T$, no qual $T$ é um conjunto de índices. O espaço produto pode ser definido como \[ \prod_{t \in T} \Omega_t \ = \ \left\{ \mbox{ conjunto das famílias} \ w = \{w_t : t \in T \} \ {\mbox com } \ w_t \in \Omega_t \right\}.\] Para qualquer $S \subset T$, também denotamos o espaço produto por $\prod_S \Omega_s$ o espaço produto dos conjuntos $\left\{ \Omega_s : s \in T \right\}$. Em particular se $\Omega_t = \Omega \ \forall t \in T $ denotaremos o espaço produto por $\prod_{t \in T} \Omega_t \ = \Omega^T $ que é denominado o espaço das aplicações $w : T \to \Omega $.

Exemplo 2.2.1:

Considere $T = \{1,2,3\}$, com $\Omega_t = \mathbb{R}, \ \ \forall t \in T$. Então

\[\prod_{t=1}^3 \Omega_t = \prod_{t= 1}^3 \mathbb{R} = \mathbb{R}^3\]

Exemplo 2.2.2:

Considere $T = \mathbb{N}$, com $\Omega_t = \mathbb{R}, \ \ \forall t \in T$. Então \[\prod_{t\in T} \Omega_t = \prod_{t\in\mathbb{N}} \mathbb{R} = \mathbb{R}^{\infty}=\{\omega=(\omega_1,\omega_2,\cdots):-\infty< \omega_i<\infty,i=1,2,\cdots\},\] corresponde ao espaço das sequências ordenadas de números reais. 

A seguir faremos algumas definições que serão utilizadas na construção da $\sigma$-álgebra produto.

Definição 2.2.1:

Dada um classe arbitrária de conjuntos $\{ \Omega_t : t \in T\}$, no qual T é um conjunto de índices qualquer, definimos 

a- aplicação coordenada em $ s \in T$ : a transformação $X_s : \prod_T \Omega_t \to \ \Omega_s$, tal que $X_s (w) = w_s$ para todo $w\in \prod_T \Omega_t$. Esta aplicação pode ser interpretada como o estado da trajetória $w $ no instante s.

b- seção : Para qualquer subconjunto $S \subset T$, a seção para $w_S = \{ \omega_s : s \in S \}$ de uma parte $A \in \prod_T \Omega_t \ \hbox{em} \ \prod_{u \in S^c } \Omega_u $ é definido por:

\[ A_{\omega_S } = \{ \{ \omega_u : u \in S^c \} :\{ \omega_t : t \in T \} \in A \} \]

c- cilindro : Uma parte $ A \in \prod_T \Omega_t $ é denominado cilindro de base B em $\prod_{s \in S } \Omega_s$, com $ S \subset T$, se este for da forma:

\[ A \ = \ B \times \prod_{u \in S^c } \Omega_u \]

Portanto A é um cilindro de base B em $\prod_{s \in S} \Omega_s$, se e só se, suas seções $A_{\omega_{S^c}}$ são independentes de $\omega_{S^c }$, no qual $A_{\omega_{S^c}} = B$.

d- retângulo : Um retângulo em $\prod_T \Omega_t $ é um subconjunto da forma:

\[\prod_T A_t \ = \ \{ \omega \in \prod_T \Omega_t : \omega_t \in A_t \ (t \in T ) \} \]

no qual $A_t = \Omega_t $ exceto um número finito de $ t \in T$. 

e- projeção : Para todo $S \subset T $ e $ A \in \prod_T \Omega_t$, a transformação 

\[\pi_S (A) = \{ \{ \omega_s :s \in S \} :A_{\omega_S} \neq \emptyset \}\]

é denominado projeção da parte A nas coordenadas de S.

Para fins ilustrativos, vamos exemplificar as definições anteriores. 

Exemplo 2.2.3:

No caso do espaço das sequências ordenadas de números reais, denotada por $\mathbb{R}^{\infty}$, a transformação coordenada $X_n:\mathbb{R}^{\infty}\rightarrow \mathbb{R}$ é tomada na forma $X_n(\omega)=\omega_n$, no qual $\omega=(\omega_1,\omega_2,\cdots)\in \mathbb{R}^{\infty}$. Para qualquer subconjunto $S\subset \mathbb{N}$, a seção para $\omega_{S}=\{\omega_s:s\in S\}$ de uma parte $A\subset \mathbb{R}^{\infty}$ em $\mathbb{R}^{S^c}$ é dada por $$A_{\omega_{S}}=\left\{\{\omega_{u}:u\in S^c\}:\{\omega_t:t\in \mathbb{N}\}\subset A\right\}.$$ Da mesma forma, dado $B\subset \mathbb{R}^S$, um cilindro de base $B$ é dado por $A=B\times \mathbb{R}^{S^c}$. Por exemplo, se $S=\{1,2,\cdots,n\}$, temos que $B\subset \mathbb{R}^n$ e assim, $A$ é um cilindro com base no $\mathbb{R}^n$ na forma $$A=B\times\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \cdots .$$ Além disso, um retângulo em $\mathbb{R}^{\infty}$ é um subconjunto na forma $$\prod_{t\in \mathbb{N}}A_t=\left\{\omega=(\omega_1,\omega_2,\cdots)\in \mathbb{R}^{\infty}:\omega_t\in A_t,t\in T\right\},$$ no qual $A_t=\mathbb{R}$ exceto um número finito de índices $t \in \mathbb{N}$. Assim, ao tomarmos $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n\}$ subconjuntos dos números reais, obtemos que $R=A_1\times A_2\times \cdots \times A_n \times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \cdots$ é um retângulo de lados $\{A_1,\cdots ,A_n\}$.

Para construir a $\sigma$-álgebra produto, vamos usar as mesmas ideias que são utilizadas para construção da topologia produto. A principal exigência para a construção da topologia produto é que esta deve ser a menor topologia que faz cada aplicação coordenada contínua. Aqui, vamos trocar continuidade por mensurabilidade. Desta forma, queremos definir uma $\sigma$-álgebra produto nos quais as transformações coordenadas sejam mensuráveis. Para isto, vamos definir a $\sigma$-álgebra produto através da classe dos retângulos com lados mensuráveis.

Proposição 2.1.1:

Considere $\{(\Omega_t , \mathfrak{F}_t ) : t \in T\} $ uma família de espaços mensuráveis. Então o conjunto de todos os retângulos mensuráveis de $\prod_T \Omega_t$, isto é, todos os retângulos $\prod_T A_t $ tais que $A_t \in \mathfrak{F}_t$, com $ A_t = \Omega_t $ exceto um número finito de t's, formam uma semi-álgebra.

Demonstração:

Vamos denotar por $C $ a classe de todos os retângulos mensuráveis. Na sequência, vamos mostrar que a classe $C $ é uma semi-álgebra. Sabemos que $\prod_T \Omega_t $ é um retângulo mensurável, para isto basta tomarmos $\Omega_t = A_t$ para todo $t\in T$. Da mesma forma, o conjunto $\emptyset $ é um conjunto um retângulo mensurável, pois basta tomarmos $A_t \ = \ \emptyset $ para algum $t \in T$.

Agora, vamos mostrar que a classe $C$ é fechada por intersecção finita. Com esta finalidade, tomamos os retângulos mensuráveis $B_1 \ e \ B_2$, no qual $B_i$ tem $n_i$ componentes diferente de $\Omega_t$, para $i=1,2$. Sem perda de generalidade podemos assumir que $n_1 \leq n_2$, assim temos que

\[B_1 \cap B_2 = (\prod_T A_t )\cap (\prod_T F_t) = \]

\[ = \left[ (A_{t_1} \times \dots \times A_{t_{n_1}}) \times \prod_{t \neq t_1 , \dots t_{n_1}} \Omega_t \right] \cap \left[ (F_{t_1 } \times \dots \times F_{t_{n_2}} ) \times \prod_{t \neq t_1 , \dots t_{n_2}} \Omega_t \right] = \] 

\[ = \left[ (A_{t_1 }\cap F_{t_1 }) \times \dots \times (A_{t_{n_1}}\cap F_{t_{n_1}})\times (\Omega_{t_{n_1+1}}\cap F_{t_{n_1+1}})\times (\Omega_{t_{n_2}}\cap F_{t_{n_2}}))\times \prod_{t \neq t_1 , \dots t_{n_2}} \Omega_t \right] \in C.\] Com isso concluímos que $C $ é fechada por intersecção finita. Para finalizar, vamos mostrar que o complementar é união finita disjunta de elementos de $C$. Para isto, tomamos, \[A = A_1 \times A_2 \times \prod_{t\neq t_1 , t_2 } \Omega_t.\]  Então, temos que \[A^c = A^c _{t_1 } \times A_{t_2 } \times \prod_{t\neq t_1 , t_2 } \Omega_t\cup A^{c}_{t_2}\times \prod_{t\neq t_2 } \Omega_t.\]  Assim, segue a proposição.

O ponto principal para a demonstração desta proposição concentra-se na restrição ''$A_t = \Omega_t$ exceto para um número finito de índices t'', na definição de retângulo mensurável.

Assim, construímos uma semi-álgebra via os retângulos mensuráveis. Na sequência, acrescentando a classe dos retângulos mensuráveis uniões finitas (disjuntas 2 a 2) de retângulos mensuráveis obtemos uma álgebra. A álgebra dos retângulos mensuráveis será denotada por $\mathcal{E}$. A $\sigma$-álgebra gerada por esta álgebra, denotada por: $$\beta^T=\bigotimes_T \mathcal{F}_t=\sigma(\mathcal{E})$$ é denominada $\sigma$-álgebra produto. Para todo $S \subset T$, vamos denotar por $\beta^S $ a $\sigma$-álgebra produto sobre o espaço $\prod_S \Omega_s$. Por construção $\beta^S $ é a menor $\sigma$-álgebra que contém os retângulos mensuráveis. Com isso construímos o espaço mensurável produto $$\prod_T (\Omega_t , \mathcal{F}_t ) = (\prod_T \Omega_t , \beta^T ).$$

Exemplo 2.2.4:

No caso do $\mathbb{R}^{\infty}$, temos que a $\sigma$-álgebra gerada pelos retângulos mensuráveis será denotada por $\beta^{\infty}$. Assim, concluímos que $$\prod_{\mathbb{N}}(\mathbb{R},\mathcal{F})=(\mathbb{R}^{\infty},\beta^{\infty}),$$ no qual $\mathcal{F}$ é a $\sigma$-álgebra de Borel de $\mathbb{R}$. Dado $n \in \mathbb{N}$ um número natural, a construção da $\sigma$-álgebra produto no $\mathbb{R}^n$ através de retângulos mensuráveis está descrita em Distribuição de Probabilidade no $\mathbb{R}^n$ e pode ser visto como um caso particular da contrução acima.

A principal característica da $\sigma$-álgebra produto é que esta foi construída a partir dos retângulos mensuráveis e então, a partir de conjuntos que dependem apenas de um número finito de coordenadas. Na sequência, vamos explorar esta característica para apresentar algumas propriedades interessantes para a $\sigma$-álgebra produto. Inicialmente, precisamos verificar se nossa forma de construção atende ao propósito básico de que esta é a menor $\sigma$-álgebra cujas aplicações coordenadas sejam mensuráveis. Considere a aplicação coordenada $X_s : \prod_T \Omega_t \to \Omega_s$, então  \[ \forall A \in {\cal F}_s \rightarrow X_{s}^{-1}(A) = A \times \prod_{t \neq s} \Omega_t \] é um retângulo mensurável. Portanto, concluímos que $\beta^T$ é a menor $\sigma$-álgebra cujas aplicações coordenadas são mensuráveis. Além disso, a equação acima nos apresenta um fato importante, pois $$ A \times \prod_{t \neq s} \Omega_t $$ é um cilindro de base $A \in \mathcal{F}_s$. Com esta observação, podemos elaborar uma outra forma de construção da $\sigma$-álgebra produto via os cilindros mensuráveis de base com dimensão finita. Esta estratégia foi aplicada na construção do espaço de Cantor $S^\infty$ com sua respectiva $\sigma$-álgebra produto $\mathcal{F}$.

Para isto, introduzimos a seguinte notação, $$D ~ = ~ \{ S \subset T ~ : ~ S ~~ \mbox{finito} \} ~ ~ \text{e} ~ ~ C_S ~ = ~ \{\mbox{família dos cilindros com base em} ~ ~ \beta^S\}~ ~ ; ~ ~ S\in D.$$  Para todo $S \subset T$, a projeção coordenada $X_{S}$ leva elementos de $\prod_T \Omega_t$ em elementos de $\prod_{S} \Omega_s$. Agora, se tomarmos $S \in D$ e $B \in \beta^S$, obtemos que $$X^{-1}_{S} (B) ~ = ~ B \times \prod_{t \not \in S} \Omega_t $$ é um cilindro de base $B \in \beta^S$. Desta forma, temos que $C_S=\{X^{-1}(B):B\in \beta^S\}$. Vamos utilizar esta notação para denotarmos os cilindros mensuráveis no espaço produto. Na sequência, vamos mostrar como podemos obter a $\sigma$-álgebra produto via os cilindros mensuráveis de dimensião finita.

Lema 2.1.1:

A classe de subconjuntos $\prod_T \Omega_t$, definida por $$\mathcal{A}=\cup_{S\in D}C_S$$ é uma álgebra. Além disso, temos $\beta^T=\sigma(\mathcal{A})$.

Demonstração:

Vamos mostrar que ${\cal A}$ é uma álgebra. Sabemos que $\emptyset, ~ \Omega^T ~ \in ~ {\cal A}$,  pois $$ \emptyset= \emptyset \times \prod_{t \neq t_1} \Omega_t ~ = ~ X_{\{t_1\}}^{-1}( \emptyset) ~ ~ \text{e} ~ ~ \Omega^T=\Omega_{t_1} \times \prod_{t \neq t_1} \Omega_t ~ = ~ X_{\{t_1\}}^{-1}(\Omega_{t_1}) \;\; ;\;\; \forall ~~ t_1 \in T.$$ Na sequência, tomamos $A_1, A_2 \in \mathcal{A}$, na forma $$A_1=X_{S_1}^{-1}(B_1) ~ ~ \text{e} ~ ~ A_2=X_{S_2}^{-1}(B_2)$$  com $B_i\in \beta^{S_i}$, no qual $S_i \in D$ para $i=1,2$. Assim, obtemos que $$ A_1 \cap A_2=X_{(S_1 \cup S_2)}^{-1} (B_1 \cap B_2).$$ Agora, para todo $A=X_{S}^{-1}(B)$, temos que $$A^c =\left(X_{S}^{-1}(B)\right)^c=X_{S}^{-1}(B^c).$$ Com isso, concluímos que $\mathcal{A}$ é uma álgebra.

Na sequência, vamos mostrar que $\sigma(\mathcal{A}) = \beta^T$. Para isto, basta mostrarmos que $C_{S} \subset \beta^T$ para todo $S\in D$. Desde que a classe de conjuntos $\mathcal{G}=\{B\in\beta^S:X^{-1}_{S}(B)\in \beta^T\}$ é uma $\sigma$-álgebra e contém os retângulos mensuráveis, concluímos que $X^{-1}_{S}(B)\in \beta^S$ para todo $B\in \beta^S$. Portanto, concluímos o lema. 

Na sequência, apresentamos mais caracterizações da $\sigma$-álgebra produto.   Denotamos por $\mathcal{L}$ a classe de todos os subconjuntos finitos ou enumeráveis de índices. Para todo $S\in \mathcal{L}$, definimos a projeção coordenada $X_{S}:\prod_T \Omega_t \rightarrow \prod_S \Omega_s$ por $X_{S}(\{\omega_t:t\in T\})=\{\omega_s:s\in S\}$. Denotamos por $\mathcal{H}_{S}=\{X^{-1}_{S}(B):B\in \beta^S\}$ a classe dos cilindros com base em $\beta^S$, no qual $S$ é um subconjunto finito ou enumerável de índices $(S\in \mathcal{L})$. Com esta notação, obtemos a seguinte proposição.

Proposição 2.1.2

A classe de de conjuntos $\mathcal{F}=\cup_{S\in \mathcal{L}}\mathcal{H}_{S}$ é uma $\sigma$-álgebra que coincide com a $\sigma$-álgebra produto $\beta^T$.

Demonstração 

Obviamente que o vazio e $\prod_T \Omega_t$ estão em $\mathcal{F}$. Seja $A\in \mathcal{F}$. Então, existe $S\in \mathcal{L}$ e $B\in \beta^S$ tal que$A=X^{-1}_{S}(B)$. Desta forma, temos que $A^c=[X^{-1}_{S}(B)]^c=X^{-1}_{S}(B^c)\in \mathcal{F}$, pois $B^c\in \beta^S$. Na sequência, tomamos $A_1, A_2, \cdots \in \mathcal{F}$. Então, existe $S_i\in \mathcal{L}$ e $B_i\in \beta^{S_i}$ tal que $A_i=X^{-1}_{S}(B_i)$ para todo $i=1,2,\cdots$. Com isso, obtemos que $$\cup_{i=1}^{\infty}A_i=\cup_{i=1}^{\infty}X^{-1}_{S_i}(B_i)=X^{-1}_{\cup_i S_i}\left(\cup_{i=1}^{\infty}B_i\right)\in \mathcal{F},$$ pois temos que união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável e $\cup_i B_i \in \beta^{\cup_i S_i}$. Portanto, obtemos que $\mathcal{F}$ é uma $\sigma$-álgebra.

Na sequência, vamos mostrar que $\mathcal{F}$ coincide com a $\sigma$-álgebra produto $\beta^T$. Desde que $\beta^T=\sigma(\mathcal{A})\subset \mathcal{F}$, basta mostrarmos que $X^{-1}_{S}(B)\in \beta^T$, para todo $B\in \beta^S$ e $S\in \mathcal{L}$. Para isto, dados $S_1,S_2\in \mathcal{L}$ subconjuntos de índices tais que $S_1\subset S_2$, definimos a projeção coordenada $X_{S2,S_1}:\prod_{t\in S_2} \Omega_t \rightarrow \prod_{u\in S_1} \Omega_u$ por $X_{S_2,S_1}(\{\omega_t:t\in S_2\})=\{\omega_u :u\in S_1\}$. Considere $S\in \mathcal{L}$ um subconjunto enumerável de índices e $S^{\prime} \subset S$ um subconjunto finito. Então, para todo $B\in \beta^{S^{\prime}}$, sabemos que $X^{-1}_{S,S^{\prime}}(B)\in \beta^{S}$. Além disso, temos que $X^{-1}_{S}\left(X^{-1}_{S,S^\prime}(B)\right)=X^{-1}_{S^\prime}(B).$ Desde que a classe $\mathcal{G}=\{H\in \beta^S:X^{-1}_{S}(H)\in \beta^{\infty}\}$ é uma $\sigma$-álgebra e contém os cilindros de base finita, concluímos que $\mathcal{G}=\beta^S$. Portanto, segue o lema.

A seguir, fechamos esta seção apresentando consequências da proposição acima.  

Corolário 2.1.1:

Se tomarmos o espaço produto $(\prod_T \Omega_t , \beta^T)$ e $S \subset T$, obtemos que os espaços mensuráveis $(\Omega^S, \beta^S)$ e $(\Omega^{S^c}, \beta^{S^c})$ tem como produto $(\prod_T \Omega_t, \beta^T)$ e toda seção 

\[ A_{w_S} ~=~ \left\{ \{w_u : u \in S^c \} : \{ w_t : t \in T \} \in A \right\} \] 

com $A \in \beta^T$ é mensurável em $(\prod_{S^c} \Omega_u, \beta^{S^c})$, 

Em particular, se $A$ é um cilindro em $\prod_T \Omega_t$ com base $B$ em $\prod_S \Omega_s$, segue que $A$ é mensurável em $\beta^T$ se, e só se, $B$ é mensurável em $\beta^S$. Além disso, para toda função $X: \prod_{T} \Om_t \rightarrow \Bbb{R}$ mensurável, a seção 

\[ X_{ \{ w_S \}} (w_{S^c}) ~ = ~ X \left[ w_{S} , w_{S^c} \right] \]

é mensurável sobre $(\prod_{S^c} \Omega_u , \prod_{S^c} \beta_u)$.

Demonstração:

Vamos mostrar que $\beta^S\otimes \beta^{S^c}=\beta^T$. Se tomarmos $A_1 \in \beta^{S}$ e $A_2 \in \beta^{S^c}$, segue da proposição acima que, existe $S_1,S_2 \subset T$ enumeráveis, tal que 

\[ A_1 \times A_2 ~ \in ~ \beta^{S_1 \cup S_2} ~ \subset ~ \beta^{T} \]

Então, 

\[ \beta^{S} \otimes \beta^{S^c} ~ \subset ~ \beta^T \]

Por outro lado, se tomarmos $A \in \beta^T$, existe $S^{\prime} \subset T$ enumerável, tal que $A \in \beta^{S^{\prime}}$. Assim, definindo 

\[ S_1 ~ = ~ S^{\prime} \cap S ~ ~ ~ \mbox{e} ~ ~ ~ S_{2}~ = ~ S^{\prime} \cap S^c \]

obtemos da proposição acima, que 

\[ A ~ \in ~ \beta^{S_1 \cup S_2} ~ \subset ~ \beta^{S} \otimes \beta^{S^c} \]

Portanto, 

\[ \beta^{S} \otimes \beta^{S^c} ~ = ~ \beta^T \]

Na sequência, se denotarmos por 

\[ C_{w_S} ~ = ~ \left\{ A\subset\prod_T\Omega_t:A_{w_S} \in \beta^{S^c} \right\} \]

com $S \subset T$, obtemos que todo retângulo mensurável pertence a $C_{w_S}$ e que esta classe é fechada por complementação e intersecção enumerável. Portanto, 

\[ \beta^T ~ \subset ~ C_{w_S}.\] Com isso, provamos o corolário.

Através do corolário acima, concluímos que se tomarmos $\{ S_i : i \in I \}$ uma partição de $T$, então 

\[ \prod_{T} ( \Omega_t , \F_t ) ~ = ~ \prod_{i \in I} \left( \prod_{S_i} \Omega_s ,\beta^{S_i} \right) \]

Corolário 2.1.2 :

Todo subconjunto mensurável de $\Omega^T$ e toda variável aleatória definida sobre $(\Omega^T, \beta^T)$ depende somente de um número enumerável de coordenadas.  

Portanto, através de uma família de espaços mensuráveis, construímos o espaço mensurável produto e estudamos algumas propriedades deste. Na próxima seção, vamos construir uma probabilidade sobre o espaço mensurável produto.   

 

Espaços mensurável $(\mathbb{R}^n,\beta(\mathbb{R}^n))$

Na sequência, tomamos o espaço dos $n$-pares ordenados $\mathbb{R}^n=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\cdots\times\mathbb{R}$. A partir dos resultados acima, vamos construir a $\sigma$-álgebra produto no $\mathbb{R}^n$ através de retângulos com base nos intervalos finitos.

Definição 2.1.1: 

O conjunto $I=I_1\times I_2\times \cdots\times I_n$, com $I_k=(a_k,b_k]$, definido por  $$\{x\in \mathbb{R}^n : x_k\in I_k, k=1,\dots,n\}$$ é denominado de retângulo de lados $I_i$. O conjunto de todos os retângulos I, será denotado por $\mathcal{I}$. De forma geral, um conjunto $A=A_1\times A_2\times \cdots\times A_n$ é chamado de retângulo de lados $A_i$. Se $A_i \in \beta(\mathbb{R})$ dizemos que $A$ é um retângulo de lados borelianos.

Definição 2.1.2:

A $\sigma$-álgebra de Borel de subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ é denotada por $\beta(\mathbb{R}^n)$ e é a menor $\sigma$-álgebra gerada por todos os retângulos de $\mathbb{R}^n$ ($\sigma(\mathcal{I})$). Outra forma de gerarmos a $\sigma$-álgebra de Borel é $$\sigma(\beta(\mathbb{R})\times\beta(\mathbb{R})\times\cdots\times \beta(\mathbb{R}))$$
ou seja, é a menor $\sigma$-álgebra que contém os retângulos com lados Borelianos, é comum essa $\sigma$-álgebra ser denotada por
$$\beta(\mathbb{R})\otimes\beta(\mathbb{R})\otimes\cdots\otimes \beta(\mathbb{R})$$
 

Observação:

É importante dizer que
$$\beta(\mathbb{R})\times\beta(\mathbb{R})\times\cdots\times \beta(\mathbb{R})\neq \beta(\mathbb{R})\otimes\beta(\mathbb{R})\otimes\cdots\otimes \beta(\mathbb{R})$$
mais do que isso $\beta(\mathbb{R})\times\beta(\mathbb{R})\times\cdots\times \beta(\mathbb{R})$ não é uma $\sigma$-álgebra.

Teorema 2.1.1:

$\sigma(\mathcal{I})=\beta(\mathbb{R}^n)=\beta(\mathbb{R})\otimes\beta(\mathbb{R})\otimes\cdots\otimes \beta(\mathbb{R})=\sigma(\beta(\mathbb{R})\times\beta(\mathbb{R})\times\cdots\times \beta(\mathbb{R}))$

Demonstração:

Note que o resultado é trivial se $n=1$. Assim sendo considere primeiramente $n=2$, e defina
$$\mathcal{C}=\{B_1\times B_2: B_i\in \beta(\mathbb{R}), i=1,2\}$$
Note que, é óbvio que $\mathcal{I}\subset \mathcal{C}$, logo é imediato que
$$\beta(\mathbb{R}^2)=\sigma(\mathcal{I})\subset \sigma(\mathcal{C})=\beta(\mathbb{R})\otimes\beta(\mathbb{R}).$$
Assim, basta mostrarmos que
$$\beta(\mathbb{R})\otimes\beta(\mathbb{R})\subset\beta(\mathbb{R}^2)$$
Para isso, vamos mostrar que dado uma classe $\mathfrak{C}$ de subconjuntos de $\mathbb{R}$, e seja $B\subset\mathbb{R}$, temos que
$$\mathfrak{C}\cap B=\{A\cap B:A\in\mathfrak{{C}}\}.$$
Claro que, como $\mathfrak{C}\subset \sigma(\mathfrak{C})$ então
$$\mathfrak{C}\cap B\subset \sigma(\mathfrak{C})\cap B$$
Como $\sigma(\mathfrak{C})\cap B$ é uma $\sigma$-álgebra temos então que
$$\sigma(\mathfrak{C}\cap B)\subset \sigma(\mathfrak{C})\cap B$$
Agora vamos mostrar
$$\sigma(\mathfrak{C})\cap B\subset \sigma(\mathfrak{C}\cap B) $$
Para isso considere $\mathcal{C}_B=\{A\in\sigma(\mathfrak{C}):A\cap B\in \sigma(\mathfrak{C}\cap B)\}$, a qual é uma $\sigma$-álgebra, portanto
$$\mathfrak{C}\subset\mathcal{C}_B\subset \sigma(\mathfrak{C})$$
O que implica que $\mathcal{C}_B= \sigma(\mathfrak{C})$ o que implica que
$$A\cap B\in \sigma(\mathfrak{C}\cap B)$$
para todo $A\in\mathfrak{C}$ e consequentemente $\sigma(\mathfrak{C})\cap B\subset \sigma(\mathfrak{C}\cap B)$. O que finalmente implica  que $\mathfrak{C}\cap B=\{A\cap B:A\in\mathfrak{{C}}\}$. Com isso em mente, considere os seguinte conjuntos $\mathcal{B}\times \mathbb{R}=\{B\times \mathbb{R}| B\in\beta(\mathbb{R})\}$ e $\mathbb{R}\times \mathcal{B}=\{\mathbb{R}\times B| B\in\beta(\mathbb{R})\}$.

Então dado $B_1\times B_2$, com $B_1,B_2\in \beta(\mathbb{R})$, temos que
$$B_1\times B_2=(B_1\times \mathbb{R})\cap (\mathbb{R}\times B_2) \in \sigma(I_1\times \mathbb{R})\cap (B_2\times \mathbb{R})= \sigma((I_1\times \mathbb{R})\cap (B_2\times \mathbb{R}))\subset\sigma ((I_1\times \mathbb{R})\cap (I_2\cap \mathbb{R}))=\sigma(\mathcal{I})$$
no qual, $I_i$ é o conjunto de todos os intervalos de $\mathbb{R}$. Portanto o resultado segue.

Espaço mensurável $(\mathbb{R}^\infty,\beta(\mathbb{R}^\infty)$ 

Este espaço mensurável é um dos espaços mais importante na teoria de probabilidade, pois é base para a construção de diversos modelos. Dizemos que $x\in \mathbb{R}^\infty$ se $x=(x_1,x_2,\dots)$ com $-\infty< x_i< \infty, k\in\mathbb{N}$. Denotamos por $I_k=(a_k,b_k]$ um intervalo e $B_k$ um boreliano em $\beta(\mathbb{R})$. Nesse caso tomamos as seguintes classes de cilindros de base finita

$$C(I_1\times\dots\times I_n)=\{x\in\mathbb{R}^\infty: x=(x_1,x_2,\dots), x_1\in I_1,\dots,x_n\in I_n\},$$
$$C(B_1\times\dots B_n)=\{x\in\mathbb{R}^\infty: x=(x_1,x_2,\dots), x_1\in B_1,\dots,x_n\in B_n\}$$
$$C(B^n)=\{x\in\mathbb{R}^\infty: x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in B^n\}$$
no qual $B^n$ é um boreliano de $\beta(\mathbb{R}^n)$. É importante notarmos que cada cilindro na forma $C(B_1\times\dots B_n)$, ou mesmo $C(B^n)$, pode ser definido como um cilindro com base em $\mathbb{R}^{n+k}$, para qualquer $k\in \mathbb{N}$, pois
$$C(B_1\times\dots B_n)=C(B_1\times\dots B_n\times \underbrace{\mathbb{R}\times\dots\times\mathbb{R}}_{k~~ vezes}) ~ ~ \text{e} ~ ~ C(B^n)=C(B^{n+k})$$
no qual $B^{n+k}=B^n\times \underbrace{\mathbb{R}\times \dots \times \mathbb{R}}_{k~~vezes}$.

É fácil vermos que as classes de cilindros na formas $C(B_1\times\dots B_n)$ e $C(B^n)$ são álgebras, pois $\emptyset \in C(B_1\times\dots B_n)$ e $\emptyset \in C(B^n)$. Além disso, também é fácil observarmos que a união disjuntas destes cilindros também é um cilindro. Denotamos por $\mathcal{A}$, $\mathcal{A}_1$ e $\mathcal{A}_2$ a álgebra gerada respectivamente pelas classes de cilindros $C(I_1\times\dots\times I_n)$, $C(B_1\times\dots B_n)$ e $C(B^n$. Sejam $\beta(\mathbb{R}^\infty)$, $\beta_1(\mathbb{R}^\infty)$ e $\beta_2(\mathbb{R}^\infty)$ a menor $\sigma$-álgebra que contem estas classes de cilindros $C(I_1\times\dots\times I_n)$, $C(B_1\times\dots B_n)$ e $C(B^n)$ respectivamente.  Por construção, temos que $$\beta(\mathbb{R}^\infty)\subset \beta_1(\mathbb{R}^\infty)\subset \beta_2(\mathbb{R}^\infty),$$ pois temos que $C(I_1\times\dots\times I_n)\subset C(B_1\times\dots B_n)\subset C(B^n)$. Mostraremos que na verdade essas $\sigma$-álgebras são identicas.

Teorema 2.1.2: 

$\beta(\mathbb{R}^\infty)= \beta_1(\mathbb{R}^\infty)= \beta_2(\mathbb{R}^\infty)$

Demonstração:

Para mostrar isso, como $\beta(\mathbb{R}^\infty)\subset \beta_1(\mathbb{R}^\infty)\subset \beta_2(\mathbb{R}^\infty)$, basta mostrarmos que
$$\beta_2(\mathbb{R}^\infty)\subset \beta(\mathbb{R}^\infty)$$
De fato, considere o conjunto
$$\mathcal{C}_n=\{A\subset \mathbb{R}^n: \{x\in \mathbb{R}^\infty:(x_1,x_2,\dots,x_n)\in A\}\in \beta(\mathbb{R}^\infty)\}$$
para $n\in \mathbb{N}$. Seja $B^n\in \beta(\mathbb{R}^n)$. Então,
$$B^n\in \mathcal{C}_n\subset \beta(\mathbb{R}^\infty)$$
pois $\{x\in\mathbb{R}^\infty: (x_1,x_2,\dots,x_n)\in B^n\}\in \beta(\mathbb{R}^\infty)$. Mas $\mathcal{C}_n$ também é uma $\sigma$-álgebra de $\mathbb{R}^\infty$, e portanto
$$\beta(\mathbb{R}^n)\subset\sigma(\mathcal{C}_n)=\mathcal{C}_n\subset\beta(\mathbb{R}^\infty)$$
Consequentemente pela definição de $\beta_2(\mathbb{R}^\infty)$, temos que
$$\beta_2(\mathbb{R}^\infty)\subset\mathcal{C}_n\subset\beta(\mathbb{R}^\infty)$$
E portanto o resultado segue.
 

Daqui por diante descreveremos $\beta(\mathbb{R}^\infty)$ como os conjuntos de Borel em $\mathbb{R}^\infty$.

Espaço mensurável $(\mathbb{R}^T,\beta(\mathbb{R}^T))$

O espaço $\mathbb{R}^T$ no qual T é um conjunto arbitrário é uma coleção de funções reais$\{x:T \rightarrow \mathbb{R}\}$ com domínio em $T$ e imagem na reta. Em geral, estamos interessados no caso em que $T$ é um conjunto não enumerável do conjunto de números reais. Por simplicidade, podemos tomamos $T=[0,\infty)$. Da mesma forma, consideramos três tipos de cilindros definidos como
$$C_{t_1,t_2,\dots,t_n}(I_1\times\dots\times I_n)=\{x\in\mathbb{R}^T: x_{t_1}\in I_1,\dots,x_{t_n}\in I_n\},$$
$$C_{t_1,t_2,\dots,t_n}(B_1\times\dots B_n)=\{x\in\mathbb{R}^T: x_{t_1}\in B_1,\dots,x_{t_n}\in B_n\},$$
$$C_{t_1,t_2,\dots,t_n}(B^n)=\{x\in\mathbb{R}^T: x=(x_{t_1},x_{t_2},\dots,x_{t_n})\in B^n\}$$
definimos então $I_k=(a_k,b_k]$ e $B_k$ um boreliano de $\beta(\mathbb{R})$ e $B^n$ é um boreliano de $\beta(\mathbb{R}^n)$. Vamos então definir a $\sigma$-álgebras geradas pelos cilindros $\beta(\mathbb{R}^T)$, $\beta_1(\mathbb{R}^T)$ e $\beta_2(\mathbb{R}^T)$ geradas respectivamente $C_{t_1,t_2,\dots,t_n}(I_1\times\dots\times I_n)$, $C_{t_1,t_2,\dots,t_n}(B_1\times\dots B_n)$ e $C_{t_1,t_2,\dots,t_n}(B^n)$.
É fácil ver que
$$\beta(\mathbb{R}^T)\subset \beta_1(\mathbb{R}^T)\subset \beta_2(\mathbb{R}^T)$$
É importante notar que assim como no caso anterior
$$\beta(\mathbb{R}^T)=\beta_1(\mathbb{R}^T)=\beta_2(\mathbb{R}^T)$$

Teorema 2.1.3:

Seja $T$ qualquer conjunto não enumerável. Então $\beta(\mathbb{R}^T)=\beta_1(\mathbb{R}^T)=\beta_2(\mathbb{R}^T)$. Além disso, para todo conjunto $A\in\beta(\mathbb{R}^T)$ existe um conjunto enumerável de índices $t_1,t_2,\dots$ de $T$ e um conjunto de Borel $B\in \beta(\mathbb{R}^\infty)$ tal que $$A=\{x\in\mathbb{R}^T: (x_{t_1},x_{t_2},\dots)\in B\}.$$

Demonstração:

Desde que a $\sigma$-álgebra gerada pelos retângulos coincide com a $\sigma$-álgebra gerad pelos cilindros de base finita, concluímos que $$\beta_1(\mathbb{R}^T)=\beta_2(\mathbb{R}^T).$$ Além disso, mostramos que a $\sigma (I^n)$ gerada pelos intervalos do $\mathbb{R^n}$ coincide com a $\sigma$-álgebra de Borel do $\mathbb{R}^n$. Assim, mostramos a igualdade entre as três $\sigma$-álgebras. A partir da Proposição 2.1.2 obtemos o teorema.

O interessante do teorema anterior é que ele nos mostra que a $\sigma$-algebra $\beta(\mathbb{R}^T)$ é determinada por restrições no máximo em um conjunto enumeráveis de pontos imposta sobre as funções $x=(x_t), ~~t\in T$. Daí segue, em particular, que o conjunto
$$A_1=\{x\in\mathbb{R}^{[0,1]}: \sup x_t< C, \forall t\in [0,1]\},$$
o qual depende do comportamento da função em um conjunto não-enumerável de pontos não pertence a $\sigma$-álgebra produto $\mathbb{R}^{[0,1]})$. Para verificarmos isso, suponha que $A_1\in \beta(\mathbb{R}^{[0,1]})$. Então pelo teorema anterior existe $(t_1^0,t_2^0,\dots)$ and um conjunto $B^0\in \beta(\mathbb{R}^\infty)$ tal que

$$\left\{x\in\mathbb{R}^T:\sup_t x_t< C,~~t\in[0,1]\right\}=\{x\in\mathbb{R}^{[0,1]}:(x_{t^0_1},x_{t^0_2},\dots)\in B^0\}.$$
Podemos então notar, que a função $y_t=C-1$ pertence a $A_1$, e consequentemente $(y_{t_1^0},y_{t_2}^0,\dots)\in B^0$. Agora considere a função
$$z_t=\left\{ \begin{array}{r} C-1, t\in (t_1^0,t_2^0,\dots) \\ C+1, t\notin (t_1^0,t_2^0,\dots).\end{array}\right.$$
Então claro que
$$(y_{t_1^0},y_{t_2}^0,\dots)=(z_{t_1^0},z_{t_2}^0,\dots)$$
e consequentemente a função $z=(z)_t$ pertence ao conjunto $\{x\in\mathbb{R}^{[0,1]}:(x_{t^0_1},x_{t^0_2},\dots)\in B^0\}$. Mas $\sup_t z_t=C+1> C$ o que implica $z_t\notin A_1$, e isso é um contradição, portanto, $A_1\notin \beta(\mathbb{R}^{[0,1]})$.

 

Desde que o conjunto $A_1$ são não-mensurável com respeito a $\sigma$-álgebra $\beta(\mathbb{R}^{[0,1]})$ é o espaço de todas as funções $x=(x_t)$ $t\in [0,1]$ é natural que se considere como sendo a menor classe de funções para as quais esses conjuntos são mensuráveis.

 

Espaço mensurável $(C(T),\beta(C(T)))$

Seja $T=[0,1]$ e seja $C(T)$ o espaço das funções continua $x=(x_t)$ $0\leq t\leq 1$. Esse espaço é um espaço métrico com a métrica

$$\rho(x,y)=\sup_{t\in T}|x_t-y_t|.$$

Iremos considerar duas $\sigma$-álgebras em $C(T)$, $\beta(C(T))$, gerada pelos cilindros

$$C_{t_1,t_2,\dots,t_n}(b_1\times\dots\times b_n)=\{x\in C(T):x_{t_1}< b_1,\dots,x_{t_n}< b_n\},$$
a qual chamaremos $\beta(C(T))$ e a $\sigma$-algebra gerada pelos abertos com respeito as métricas $\rho(x,y)$ a qual chamaremos $\beta_0(C(T))$.

Vamos mostrar que ambas são idênticas, assim seja $B=\{x:x_{t_0}< b\}$ claro que $B$ é um cilindro, e ainda é aberto, disto segue
$$\{x:x_{t_1}< b_1,\dots , x_{t_n}< b_n \}\in \beta_0(C(T))$$
o que implica $\beta(C(T))\subset \beta_0(C(T))$.

Inversamente considere o conjunto $B_\rho=\{y\in C(T):y\in S_{\rho}(x^0)\}$, no qual $x^0$ é um elemento de $C(T)$ e

$$S_{\rho}(x^0)=\{x\in C:\sup_{t\in T}|x_t-x^0_t|< \rho\}$$
é uma bola aberta com centro em $x^0$. Desde que as funções em $C$ e são continuas,

$$B_{\rho}=\{y\in C(T): y\in S_{\rho}(x^0)\}=\left\{y\in C(T):\max_t |y_t-x_t^0|< \rho\right\}=\bigcap_{t_k}\left\{y\in C(T): |y_{t_k}-x_{t_k}^0|< \rho\right\}\in \beta(C(T)).$$
no qual $t_k$ são pontos racionais de $[0,1]$. Portanto $\beta_0(C(T))\subset \beta(C(T))$, o que implica $\beta_0(C(T))=\beta(C(T))$.

Espaço mensurável $(D(T),\beta(D(T)))$

$D(T)$ é o espaço das funções $x=(x_t)_{t\in T}$ continuas as direita, com $T=[0,1]$

Da mesma forma, como acontece com o espaço das funções contínuas, podemos introduzir uma métrica

$$d(x,y)=\inf \left\{\epsilon > 0: \exists \lambda \in \Lambda : \sup_t |x_t-y_{\lambda(t)}|\leq \epsilon \right\}$$
onde $\Lambda$ é um conjunto de funções $\lambda =\lambda(t)$ estritamente crescente, o qual é continua de $[0,1]$ e temos $\lambda(0)=0$, $\lambda(1)=1$.
Essa métrica foi introduzida por Skorohod e é uma métrica muito importante para esse espaço. E da mesma forma que o espaço das funções contínuas a $\sigma$-algebra gerada pelos abertos da topologia de Skorohod é igual a $\sigma$-algebra gerada pelos cilindros de $D(T)$.

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