2.2 - Probabilidade sobre o espaço produto

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Nesta seção vamos construir uma probabilidade sobre o espaço produto de espaços mensuráveis. Considere que o espaço de probabilidade $ (\Omega_t , \mathcal{F}_t, \mathbb{P}_t) $ seja compacto para todo $ t \in T $, no qual $ T $ é uma família de índices. Denotamos por  u \subset T, ~ u ~\text{subconjunto finito}\} $ a classe de todos os subconjuntos finitos de $ T $. Suponha que a família de probabilidades  u \in D\} $ satisfaça as condições de compatibilidade de Kolmogorov, então, vamos mostrar que existe uma única probabilidade sobre o espaço produto que estende a família de probabilidades  u \in D\} $. Como toda probabilidade no $ (\mathbb{R}^n , \beta(\mathbb{R}^n)) $ é compacta, Kolmogorov mostrou que existe uma probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre $ (\mathbb{R}^T ,\beta^T) $ se ,e só se, a família de probabilidades  u \in D\} $ satisfaz a condição de compatibilidade. 

As condições de compatibilidade de Kolmogorov podem ser expressas numa forma mais sistemática usando a seguinte abstração devido a Bochner (1955). Para ilustração, seja $ \Omega_t=\mathbb{R} $, $ T\subset [0,\infty) $$ \beta^u $ a $ \sigma $-álgebra de Borel do $ \mathbb{R}^u $, com $ u=(t_1, \cdots, t_n) \subset T $. Denotamos por $ \mathbb{P}_{u} $ a probabilidade de Lebesgue-Stieltjes determinada pela função de distribuição $ F_{t_1, \cdots, t_n} $, na forma

\[\mathbb{P}_{u} (A) ~ = ~ \int_{A} \cdots \int d F_{t_1, \cdots, t_n} (dx_1, \cdots, x_n) ~ ~ ; ~ ~ A \in \beta^u.\]

Então a família de distribuições  t_i \in T, i \in \mathbb{N} \} $ é equivalente ao conjunto  u \in D \} $ de probabilidades, no qual $ D $ é o conjunto de todos os subconjuntos finitos de $ T $. Portanto, vamos traduzir as condições de compatibilidade de Kolmogorov para a família de probabilidades u\in D\} $.

Se $ u $ e $ v $ é um par de elementos de $ D $, denotamos por $ u \textless v $ a relação $ u \subset v $. Neste caso, dizemos que$ D $ é um conjunto dirigido, isto é, $ (D, \textless ) $ é um conjunto parcialmente ordenado e para quaisquer dois elementos de $ D $ existe um terceiro (a união) que contém ambos. Se $ u \textless v $ denotamos por $ \pi_{uv} $ a projeção coordenada do $ \mathbb{R}^v $ em $ \mathbb{R}^u $. Portanto, as condições de compatibilidade tomam a forma 

\[ \mathbb{P}_{u} ~ = ~ \mathbb{P}_{v} \circ \pi^{-1}_{uv} \qquad \qquad (1). \]

Considere uma família de espaços mensuráveis  t \in T \} $ e $ D $ o conjunto dirigido formado por todos os subconjuntos finito de $ T $. Para facilitar a notação, tomamos 

\[ \Omega^u ~ = ~ \prod_{t \in u} \Omega_t ~ ~ ; ~ ~ \beta^u ~ = ~ \otimes_{t \in u} \mathcal{F}_t \]

 e  \beta^u \rightarrow [0,1] $ uma probabilidade para cada $ u \in D $. A família  u \in D \} $ é denominada compatível se (1) é válido para todo par $ u \ \textless \ v $ (em $ D $). Então, dado a família  u \textless v \in D \} $, procuramos por uma probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre o espaço produto $ (\Omega^T , \beta^T) $ tal que sua $ u $-marginal seja $ \mathbb{P}_u $ para todo $ u \in D $

A família  u \textless v \in D \} $ é denominada sistema projetivo de espaços de probabilidade se a classe  u \in D \} $ é compatível. Dizemos que o sistema projetivo admite um limite projetivo se existe uma probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre $ (\Omega^T , \beta^T) $, tal que 

\[ \mathbb{P}_{u} ~ = ~ \mathbb{P} \circ \pi^{-1}_{u} ,\]

para todo $ u \in D $

Na sequência, vamos demonstrar o teorema de Kolmogorov-Bochner em etapas. Para isto, vamos utilizar a notação e resultados da seção anterior, sobre a construção de espaços produto. Mais uma vez, dado uma família de espaços mensuráveis  t \in T \} $, construímos o espaço mensurável produto  

\[ \prod_{T} ( \Omega_t , \mathcal{F}_t) ~ = ~ ( \Omega^T , \beta^T) \]

 no qual 

\[\Omega^T ~ = ~ \prod_{T} \Omega_t ~ ~ ; ~ ~ \beta^T ~ = ~ \sigma \left[ \cup_{u \in D} C_u \right] \]

 A = \pi^{-1}_u (B), ~~ B \in \beta^u \right\} \]

corresponde a classe dos cilindros com base em $ \beta^u $. Vamos denotar por  

\[ \mathcal{A} ~ = ~ \cup_{u \in D} C_u,\]

 a álgebra formada pelos cilindros de base finita. 

Proposição 2.2.1:

Dado uma família de espaços mensuráveis  t \in T \} $ e uma família de probabilidades  u \in D \} $, existe uma função de conjunto $ \mathbb{P} $ sobre a álgebra $ \mathcal{A} $ satisfazendo 

\[\mathbb{P}_u ~ = ~ \mathbb{P} \circ \pi^{-1}_u ~ ~ ; ~ ~ u \in D \qquad \qquad (2)\]

 se, e só se, a família  u \in D \} $ é compatível. 

Demonstração:

As projeções coordenadas satisfazem a regra de composição

\[\pi_{uv} \circ \pi_{v \gamma} ~ = ~ \pi_{u \gamma} \]

 para todo $ u \ \textless v \ \textless \ \gamma $ com $ \pi_{uu} $ a função identidade. Suponha que existe uma função de conjunto $ \mathbb{P} $ sobre $ \mathcal{A} $ tal que 

\[\mathbb{P}_u ~ = ~ \mathbb{P} \circ \pi^{-1}_u ~ ~ ; ~ ~ u \in D .\]

 Então, para todo $ A \in \beta^u $ e $ u \ \textless \ v $ em $ D $, temos que $ \pi_{u} = \pi_{uv} \circ \pi_v $

\[\mathbb{P}_u (A) ~ = ~ \left(\mathbb{P} \circ \pi^{-1}_u \right) (A) ~ = ~ \left[\mathbb{P} \circ \left( \pi_{uv} \circ \pi_v \right)^{-1} \right] (A) = \left( \mathbb{P} \circ \pi^{-1}_v \right) \left( \pi^{-1}_{uv}(A) \right) ~ = ~ \left(\mathbb{P}_v \circ \pi^{-1}_{uv} \right) (A) .\]

 Assim, temos que 

\[\mathbb{P}_u ~ = ~ \mathbb{P}_v \circ \pi^{-1}_{uv} \]

 e a família  u \in D \} $ é compatível. 

Por outro lado, se a família  u \in D \} $ é compatível, podemos construir uma função de conjunto $ \mathbb{P} $ sobre a ágebra $ \mathcal{A} $ satisfazendo (2). Para todo elemento $ A \in \mathcal{A} $, existe $ u \in D $ e $ B \in \beta^u $ tal que  $ A ~ = ~ \pi^{-1}_u (B) $. Assim, definimos 

\[\mathbb{P}(A) ~ = ~ \mathbb{P}_u (B) ~ ~ ; ~ ~ u \in D.\]

 Na sequência, vamos mostrar que a função de conjunto $ \mathbb{P} $ está bem definida. Suponha que $ A \in \mathcal{A} $ tenha duas representações, isto é, existe $ u,v \in D $, $ B_1 \in \beta^u $ e $ B_2 \in \beta^v $, tal que 

\[A ~ = ~ \pi^{-1}_{u} (B_1) ~ = ~ \pi^{-1}_{v} (B_2).\]

 Como $ D $ é um conjunto dirigido, existe $ \gamma \in D $ tal que $ u \ \textless \ \gamma $ e $  v \ \textless \ \gamma $. Desde que, $ \pi_u = \pi_{u \gamma} \circ \pi_{\gamma} $ e $ \pi_v = \pi_{v \gamma} \circ \pi_{\gamma} $, temos 

\[\pi^{-1}_{\gamma} \circ \pi^{-1}_{u \gamma}(B_1) ~ = ~ \pi^{-1}_u (B_1) ~ = ~ A ~ = ~ \pi^{-1}_v (B_2)~ = ~ \pi^{-1}_{\gamma} \circ \pi^{-1}_{v \gamma}(B_2) \qquad \qquad (3).\]

 Além disso, como $ \pi_{\gamma} ( \Omega^T) = \Omega^{\gamma} $, a relação (3) no diz que 

\[\pi^{-1}_{u \gamma}(B_1) ~ = ~ \pi^{-1}_{v \gamma}(B_2).\]

 Então, utilizando a compatibilidade da família  u \in D \} $, obtemos 

\[\mathbb{P}_u (B_1) ~ = ~ \mathbb{P}_{\gamma} \left[ \pi^{-1}_{u \gamma} (B_1) \right] ~ = ~ \mathbb{P}_{\gamma} \left[ \pi^{-1}_{v \gamma}(B_2) \right] ~ = ~ \mathbb{P}_v (B_2).\]

 Portanto, a função de conjunto $ \mathbb{P} $ definida sobre $ \mathcal{A} $ está bem definida. Com isso, concluímos a proposição. 

Através desta proposição, definimos uma função de conjunto $ \mathbb{P} $ sobre a álgebra $ \A $, na forma  

\[\mathbb{P}(A) ~ = ~ \mathbb{P}_u (B) \quad (4)\]

 no qual $ A= \pi^{-1}_u (B) $ para algum $ u \in D $ e $ B \in \beta^u $. Na sequência, vamos mostrar que esta função de conjunto satisfaz algumas propriedades interessantes. 

Lema 2.2.1:

A função de conjunto $ \mathbb{P} $ é não negativa,  finitamente aditiva sobre a álgebra $ \mathcal{A} $ e $ \mathbb{P}(\Omega^T) = 1 $

Demonstração:

Desde que $ \mathbb{P}_u $ é não negativa $ (u \in D) $, obtemos que $ \mathbb{P} $ é não negativa. Se tomarmos $ A $ e $ B $ em $ \mathcal{A} $ disjuntos, existem $ u,v \in D $, $ A_1 \in \beta^u $ e $ B_1 \in \beta^v  $, tais que 

\[A ~ = ~ \pi^{-1}_u (A_1) ~ ~ ; ~ ~ B ~ = ~ \pi^{-1}_{v} (B_1).\]

 Como $ D $ é um conjunto dirigido, existe $ \gamma \in D $ tal que $ u \ \textless \ \gamma  $ e $ v \ \textless \ \gamma $,com 

\[A ~ = ~ \pi^{-1}_{\gamma} \left[ \pi^{-1}_{u \gamma} (A_1) \right] ~ ~ ; ~ ~ B ~ = ~ \pi^{-1}_{\gamma} \left[ \pi^{-1}_{v \gamma} (A_2) \right].\]

Ao denotarmos por  

\[A_{\gamma} ~ = ~ \pi^{-1} _{u \gamma}(A_1) ~ ~ ; ~ ~ B_{\gamma} ~ = ~ \pi^{-1}_{v \gamma} (A_2),\]

obtemos que $ A_{\gamma} $ e $ B_{\gamma} $ são elementos de $ \beta^{\gamma} $ e disjuntos, pois $ A $ e $ B $ são disjuntos. Com isso, temos que 

\[\mathbb{P}[A \cup B ] ~ = ~\mathbb{P}_{\gamma} \left[ A_{\gamma} \cup B_{\gamma} \right]=\mathbb{P}_{\gamma} \left[ A_{\gamma} \right] ~ + ~ \mathbb{P}_{\gamma} \left[ B_{\gamma} \right] ~ = ~ \mathbb{P}(A) ~ + ~ \mathbb{P}(B).\]

 Ao utilizarmos a equação (3), temos 

\[\mathbb{P} \left( \Omega^T \right) ~ = ~ \mathbb{P}_{u} \left( \Omega^{u} \right) ~ = ~ 1 ~ ~ ; ~ ~ u \in D.\]

 

Com estes resultados preliminares, podemos apresentar e demonstrar uma versão do teorema de Kolmogorov-Bochner, que não utiliza hipóteses topológicas. Nossa construção está baseada no conceito de probabilidade compacta, que nos garante que a probabilidade de um conjunto da $ \sigma $-álgebra pode ser aproximado pela probabilidade de um subconjunto que pertence a uma classe compacta

Teorema 2.2.1 :

Considere  t \in T \} $ uma família de espaços mensuráveis e uma família compatível  u \in D \} $ de probabilidades . Se, para todo $ t \in T $, a probabilidade $ \mathbb{P}_t $ é compacta. Então, o sistema projetivo  u \textless v \in D \} $ tem um único limite projetivo.  

Demonstração:

Esta demonstração será baseada nos resultados de probabilidades compactas. Vamos mostrar que a função de conjunto $ \mathbb{P} $ (definida na equação (4)) é compacta com respeito a uma semi-álgebra formada por retângulos mensuráveis. Desta forma, podemos aplicar o teorema de exntensão de probabilidades compactas para mostrarmos a existência de um único limite projetivo. 

Por hipótese, o espaço de probabilidade $ (\Omega_t , \mathcal{F}_t , \mathbb{P}_t) $ é compacto para todo $ t \in T $. Assim, sabemos que existe uma classe compacta $ \mathcal{C}_t $ composta de subconjuntos de $ \Omega_t $ tal que

 ~ C \subset A, ~ C \in \mathcal{C}_t\}.$$

 Considere $ Y $ a classe de retângulos mensuráveis, na forma 

\[C_t \times \prod_{s \neq t} \Omega_s \]

no qual $ C_t $ percorre a classe compacta $ \mathcal{C}_t $ e $ t $ percorre o conjunto de índices $ T $. Vamos mostrar que $ Y $ é uma classe compacta. Dado uma sequência $ (E_n)_{n \geq 1} \subset Y $, a intersecção 

\[\bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} ~ = ~ \bigcap _{n=1}^{\infty} \left[ C_{t_n} \times \prod_{s \neq t_n} \Omega_s \right]\]

para $ C_{t_n} \in \mathcal{C}_{t_n} $ e $ t_n \in T $ com $ n \in \Bbb{N} $. Com isso, se tomarmos 

 t_n = t_k \}} C_{t_n} \]

para $ k=1,2, \cdots $ , temos 

\[\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n ~ = ~ \bigcap _{k=1}^{\infty} \left[ A_{t_k} \times \prod_{s \neq t_k} \Omega_s \right] \]

Se $ \cap E_n = \emptyset $, existe pelo menos um $ A_{t_k} $ vazio, por exemplo $ A_{t_i} $. Como $ \mathcal{C}_{t_i} $ é uma classe compacta, existe um subconjunto finito  t_n = t_i \} $, tal que 

\[ \bigcap_{J} C_{t_n} ~ = ~ \emptyset \]

o que implica em 

\[\bigcap_{J} E_n ~ = ~ \emptyset \]

Com isso, a classe $ Y $ formada pelos retângulos mensuráveis é compacta. Além disso, a classe $ \mathcal{C} $ obtida via intersecções enumeráveis de elementos de $ Y $ também é compacta. Agora, considere $ A $ um retângulo mensurável, com base 

\[\prod_{i=1}^{n} A_{t_i} \]

tal que $ A_{t_i} \in \mathcal{F}_{t_i} $. Para todo $ \varepsilon \textgreater 0 $, tomamos $ C_i \in C_{t_i} $ tal que 

\[C_i \subset A_{t_i} ~ ~ \mbox{e} ~ ~ \mathbb{P}_{t_i}(A_{t_i}) ~ \leq ~ \mathbb{P}_{t_i}(C_i) ~ + ~ \frac{\varepsilon}{n} .\]

Agora, o conjunto 

\[C ~ = ~ \bigcap_{i=1}^{n} \left[ C_i \times \prod_{t \neq t_i} \Omega_t \right] ~ \in ~ \mahtcal{C} \]

e está contido em $ A $, a álgebra gerada pelos retângulos mensuráveis. Além disso, 

\[A - C ~ \subset ~ \bigcup_{i=1}^{n} \left\{ (A_{t_i} - C_i) \times \prod_{s \neq t_i} \Omega_s \right\} .\]

 Assim, utilizando a aditividade finita de $ \mathbb{P} $, temos 

\[\mathbb{P}(A) ~ - ~ \mathbb{P}(C) ~ \leq ~ \sum_{i=1}^n ~ \left\{ \mathbb{P}_{t_i}(A_{t_i}) - \mathbb{P}_{t_i} (C_i) \right\} ~ \leq ~ \epsilon \]

Portanto, fazendo $ \epsilon \rightarrow 0 $, obtemos que 

 C \subset A , A \in \C \right\} \]

para todo retângulo mensurável.  Assim através do teorema da classe compacta, existe uma única probabilidade $ \mathbb{P} $ definida sobre o espaço das funções $ (\Omega^T, \beta^T) $ que estende a família compatível de probabilidades  u \in D\} $.

A partir do teorema de extensão de Komogorov-Bochner, mostrarmos a existência de uma única probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre o espaço produto $ (\Omega^T, \beta^T) $ satisfazendo:

a) $ \mathbb{P} (A) = \mathbb{P}_u (B) $, no qual $ A=\pi^{-1}_u (B) $, com $ B \in \beta^u $ para algum $ u \in D $.

b)  C \subset \mathcal{C}\} $, para todo $ A \in \beta^T $.

 

A seguir, apresentamos algumas aplicações do teorema de Kolmogorov-Bochner.

 

Distribuicao $ (\mathbb{R}^\infty,\beta(\mathbb{R}^\infty)) $

A construção da medida de probabilidade desse espaço é similar a do espaço $ \mathbb{R}^n $ na qual pode ser encontrada na seção de probabilidade, considere os retângulos de $ \mathbb{R}^\infty $ definidos como

(x_1,x_2,\dots,x_n)\in B\}, ~~B\in\beta(\mathbb{R}^n)$$

Seja $ \mathbb{P} $ uma medida de probabilidade em $ (\mathbb{R}^\infty,\beta(\mathbb{R}^\infty)) $. Para $ n=1,2,\dots $, temos

$$\mathbb{P}_n(B)=\mathbb{P}(I_n(B)),~~ B\in\beta(\mathbb{R}^n)$$

A sequência de medida de probabilidade $ \mathbb{P}_1,\mathbb{P}_2,\dots,\mathbb{P}_n $, definida respectivamente em $ \{(\mathbb{R},\beta(\mathbb{R})), (\mathbb{R}^2,\beta(\mathbb{R}^2)),\dots,(\mathbb{R}^n,\beta(\mathbb{R}^n))\} $, temos então a seguinte propriedade

$$\mathbb{P}_{n+1}(B\times \mathbb{R})=\mathbb{P}_n(B)$$

para $ n=1,2,\dots $

Teorema 2.2.2:

Seja $ \mathbb{P}_1,\mathbb{P}_2,\dots  $ uma sequência de medidas de probabilidade em $ \{(\mathbb{R},\beta(\mathbb{R})), (\mathbb{R}^2,\beta(\mathbb{R}^2)),\dots\} $ tal que

$$\mathbb{P}_{n+1}(B\times \mathbb{R})=\mathbb{P}_n(B)$$

Então existe uma única medida de probabilidade $ \mathbb{P} $ em $ (\mathbb{R}^\infty, \beta(\mathbb{R}^\infty)) $, tal que

$$\mathbb{P}(I_n(B))=\mathbb{P}(B), ~~B\in\beta(\mathbb{R}^n)$$

para  $ n=1,2,\dots $

Demonstração:

Seja $ B^n\in \beta(\mathbb{R}^n) $ e seja $ I_n(B^n) $ um cilindro com base $ B^n $. Atribuímos a medida $ \mathbb{P}(I_n(B^n)) $ para o cilindro tomando

$$\mathbb{P}(I_n(B^n))=\mathbb{P}_n(B^n)$$

Vamos mostrar que em virtude da condição de consistência, essa definição é consistente, isto é, o valor de $ \mathbb{P}(I_n(B^n)) $ é independente da representação do conjunto $ I_n(B^n) $. De fato, considere o mesmo cilindro representado de duas formas

$$I_n(B^n)=I_{n+k}(B^{n+k})$$

Disto segue que se $ (x_1,\dots,x_{n+k})\in\mathbb{R}^{n+k} $, temos que

$$(x_1,\dots,x_n)\in B^n\Leftrightarrow (x_1,\dots,x_{n+k})\in B^{n+k},$$

Com isso, temos que

(x_1,\dots,x_n)\in B^{n}\right)$$

(x_1,\dots,x_{n+1})\in B^{n}\right)$$

$$=\dots=\mathbb{P}_{n+k}(B^{n+k})$$

Seja $ \mathcal{A}(\mathbb{R}^\infty) $ denota a coleção de todos os cilindros $ \bar{B}^n=I_n(B^n) $, $ B^n\in \mathbb{R}^n $, $ n=1,2,\dots $ .
Agora seja $ \bar{B}_1,\dots,\bar{B}_k $ conjuntos disjuntos em $ \mathcal{A}(\mathbb{R}^\infty) $. Podemos assumir sem perda de generalidade que $ \bar{B}_i=I_n(B_i^n), ~~i=1,\dots,k $ para algum $ n $, no qual $ B^n_1,\dots,B^n_k $ são conjuntos disjuntos em $ \beta(\mathbb{R}^n) $. Então,

$$\mathbb{P}\left(\sum_{i=1}^k \bar{B}_i\right)=\mathbb{P}\left(\sum_{i=1}^k I_n{B}^n_i\right)=\mathbb{P}_n\left(\sum_{i=1}^k B^n_i\right)= \sum_{i=1}^k\mathbb{P}_n\left( B^n_i\right)=\sum_{i=1}^k\mathbb{P}\left( \bar{B}_i\right)$$

Isto implica que a função $ \mathbb{P} $ é finitamente aditiva na algebra $ \mathcal{A}(\mathbb{R}^\infty) $. Agora precisamos mostrar $ \mathbb{P} $ é continua em zero, isto é, se a sequência de conjuntos $ \bar{B}_n\downarrow \emptyset $, $ n\rightarrow \infty $, então $ \mathbb{P}(\bar{B}_n)\rightarrow 0 $ quando $ n\rightarrow \infty $. Para isso, suponha o contrario, isto é,

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(\bar{B}_n)=\delta\textgreater 0.$$

Suponha sem perda de generalidade que $ \{\bar{B}_n\} $ tem a forma

(x_1,\dots,x_n)\in B_n\}~~ B_n\in \beta(\mathbb{R}^n)$$

Para demonstrar isso vamos precisar de uma propriedade da medida de probabilidade $ \mathbb{P}_n $ no espaço $ (\mathbb{R}^n,\beta(\mathbb{R}^n)) $. Se $ B_n\in \beta(\mathbb{R}^n) $, para $ \delta\textgreater 0 $ dado podemos encontrar um compacto $ A_n\beta(\mathbb{R}^n) $ dado $ A_n\subset B_n $ e

$$\mathbb{P}_n(Bn-A_n)\leq \frac{\delta}{2^{n+1}}$$

Portanto se

(x_1,x_2,\dots,x_n)\in A_n\},$$

temos que

$$\mathbb{P}(\bar{B}_n-\bar{A}_n)=\mathbb{P}_n(B_n-A_n)\leq \frac{\delta}{2^{n+1}}$$

Seja $ \displaystyle \bar{C}_n=\bigcap_{k=1}^n \bar{A}_k $ e seja $ C_n $ tal que

(x_1,x_2,\dots,x_n)\in C_n\}$$

Então, desde que o conjuntos $ \bar{B}_n $ é decrescente, obtemos

$$\mathbb{P}(\bar{B}_n-\bar{C}_n)\leq \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(\bar{B}_n-\bar{A}_k)\leq\sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(\bar{B}_k-\bar{A}_k)\leq \frac{\delta}{2} $$

Mas por hipótese

$$\displaystyle \lim_n \mathbb{P}(\bar{B}_n)\textgreater 0$$

e portanto $ \displaystyle \lim_n\mathbb{P}(\bar{C}_n)\geq \frac{\delta}{2} $, o que contradiz o fato de que $ \bar{C}_n\downarrow 0 $.

 

Vamos escolher um ponto $ \bar{x}^{(n)}=(x^{(n)}_1,x^{(n)}_2,\dots)\in \bar{C}_n $. Então $ (x^{(n)}_1,x^{(n)}_2,\dots,x^{(n)}_n)\in C_n $ para $ n\geq 1 $.

Seja $ (n_1) $ uma subsequência de $ (n) $ tal que $ x^{(n_1)}_1\rightarrow x_1^0 $, onde $ x^0_1 $ é um ponto de $ C_1 $. (Sabemos que tal sequência existe desde que $ x_1^{(n)}\in C_1 $ e $ C_1 $ é compacto). Então selecione uma subsequência de $ (n_2) $ de $ (n_1) $ tal que $ (x^{(n_2)}_1,x^{(n_2)}_2)\rightarrow (x^{(0)}_1,x^{0}_2)\in C_2 $. Similarmente seja

$$(x^{(n_k)}_1,\dots,x^{(n_k)}_k)\rightarrow (x^{(0)}_1,\dots,x^{(0)}_k)\in C_k$$

Finalmente forma a sequência de diagonais $ (m_k) $, no qual $ m_k $ é o k-ésimo termo de $ (n_k) $. Então $ x_i^{(m_k)}\rightarrow x_i $ como $ m_k\rightarrow \infty $ por $ i=1,2,\dots $, e $ (x^0_1,x^0_2,\dots)\in \bar{C}_n $ para $ n=1,2,\dots $, o qual evidentemente contradiz a afirmação que $ \bar{C}_n\downarrow \emptyset $, $ n\rightarrow \infty $. Isto completa a demonstração do Teorema.

Distribuição $ (\mathbb{R}^{T},\beta(\mathbb{R}^T)) $

Seja $ T $ o conjunto de índice $ t\in T $ e $ \mathbb{R}_t $ a reta real correspondente ao índice $ t $. Considere um conjunto desordenado $ \tau=[t_1,\dots,t_n] $ de indices distintos $ t_i $, $ t_i\in T, ~~ n\geq 1 $, e $ \mathbb{P}_\tau $ seja a medida de probabilidade no espaço $ (\mathbb{R}^{\tau},\beta(\mathbb{R}^{\tau})) $, no qual $ \mathbb{R}^{\tau}=\mathbb{R}_{t_1}\times \mathbb{R}_{t_2}\times\dots\times \mathbb{R}_{t_n} $.

Dizemos que uma familia de medidas de probabilidades $ \{\mathbb{P}_\tau\} $, com $ \tau $ varia entre todos os conjuntos finitos e desordenados,  é consistente se, para todos os conjuntos $ \tau=[t_1,t_2,\dots,t_n] $ e $ \sigma=[s_1,\dots,s_k] $ tal que $ \sigma\subset \tau $, temos que

 (x_{s_1},\dots,x_{s_k})\in B\}$$

para todo $ B\in \beta(\mathbb{R}^\sigma) $.

Teorema 2.2.3:

Seja $ \{\mathbb{P}_\tau\} $ uma familia de probabilidade consistente em $ (\mathbb{R}^\tau,\beta(\mathbb{R}^\tau)) $. Então existe uma única probilidade $ \mathbb{P} $ em $ (\mathbb{R}^T,\beta(\mathbb{R}^T)) $ tal que

$$\mathbb{P}(I_\tau(B))=\mathbb{P}_\tau(B)$$

para todo conjunto  $ \tau=[t_1,\dots,t_n] $ com diferentes indices $ t_i\in T, ~~ B\in \beta(\mathbb{R}^\tau) $ e (x_{t_1},\dots,x_{t_n})\in B\} $.

Demonstração:

Seja um conjunto $ \bar{B}\in \beta(\mathbb{R}^T) $. Então, pelo Teorema 2.1.3 da seção anterior temos que existe um conjunto enumerável $ S=\{s_1,s_2,\dots\}\subset T $ tal que (x_{s_1},x_{s_2},\dots)\in B\} $ no qual $ B\in \beta(\mathbb{R}^S) $, $ \mathbb{R}^S=\mathbb{R}_{s_1}\times\mathbb{R}_{s_2}\times \dots $. Ou seja,

$$\bar{B}=I_{S}(B)$$

é um cilindro com base $ B \in \beta(\mathbb{R}^S) $. Desta forma, podemos definir uma função $ \mathbb{P} $ definida da seguinte forma

$$\mathbb{P}(I_S(B))=\mathbb{P}_S(B),$$

no qual a existência da medida $ \mathbb{P}_S $ é garantida pelo Teorema 2.1.3 da seção anterior.
Agora a medida $ \mathbb{P} $, iremos demonstrar a sua existência nesse teorema, para isso primeiramente vamos mostrar a consistência da definição a cima, ou seja, queremos mostrar que $ \mathbb{P}(\bar{B}) $, para todas as possíveis representação de $ \bar{B} $.

Seja $ \bar{B}=I_{S_1}(B_1) $ e $ \bar{B}=I_{S_2}(B_2) $ então $ \bar{B}=I_{S_1\cup S_2}(B_3) $, para algum $ B_3\in \beta(\mathbb{R}^{S_1\cup S_2}) $, portanto é suficiente mostrar que se $ S\subset A $ e $ B\in \beta(\mathbb{R}^S) $, então $ \mathbb{P}_{A}(B^\prime)=\mathbb{P}_S(B) $, no qual

 (x_{s_1},x_{s_2},\dots)\in B\}$$

com $ A=\{a_1,a_2,\dots\} $ e $ S={s_1,s_2,\dots} $, porém a consistência devido a consistência admitida para conjuntos finitos e ao Teorema 2.1.3 da seção anterior temos que $ \mathbb{P}(\bar{B}) $ independe da representação de $ \bar{B} $.

Agora vamos verificar a $ \sigma $-aditividade de $ \mathbb{P} $, vamos então supor que $ \{\bar{B}_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subset\beta(\mathbb{R}^T) $, seja uma sequência de conjuntos disjuntos. Então, existe um conjunto enumerável $ S\subset T $ tal que $ \bar{B}_n=I_S(B_n) $, para todo $ n\geq 1 $, com $ B_n\in\beta(\mathbb{R}^S),~~ \forall n \in \mathbb{N} $. Como $ \mathbb{P}_S $ é uma medida de probabilidade bem definida, temos que

$$\mathbb{P}\left(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \bar{B}_n\right)=\mathbb{P}\left(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty I_S(B_n)\right)=\mathbb{P}_S\left(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty B_n\right)=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}_S\left( B_n\right)$$

$$=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}\left( I_S(B_n)\right)=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\mathbb{P}\left( \bar{B}_n\right)$$

Então, pela propriedade $ \mathbb{P}(I_\tau(B))=\mathbb{P}_\tau(B) $, o resultado segue.
 

Exemplo 2.2.1: 

Considere o caso em que $ T=[0,\infty) $. Então $ \mathbb{R}^T $ é o espaço de todas as funções reais $ x=(x_t)_{t\geq 0} $. O exemplo mais famoso de medida de probabilidade desse espaço é a medida de Wiener, a qual é construída da seguinte forma.
Considere a familia $ \{\phi_t(y|x)\}_{t\geq 0} $ de densidades Gaussian como função de $ y $ para $ x $ fixado.

$$\phi_t(y|x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-(y-x)^2/2t}, ~~y\in \mathbb{R}.$$

e para cada $ \tau=[t_1,\dots,t_n] $, $ t_1\textless t_2\textless \dots \textless t_n $, e para cada conjunto

$$B=I_1\times \dots\times I_n, ~~~~ I_k=(a_k,b_k),$$

construímos a medida $ \mathbb{P}_{\tau}(B) $ de acordo com a formula

$$\displaystyle \mathbb{P}_{\tau}(I_1\times\dots\times I_n)=\int_{I_1}\dots\int_{I_n}\phi_{t_1}(a_1|0)\phi_{t_2-t_1}(a_2|a_1)\dots\phi_{t_n-t_{n-1}}(a_n|a_{n-1})da_1\dots da_n$$

Agora definimos o conjunto de funções $ \mathbb{P} $ para cada conjunto de cilindros

 x_{t_1}\in I_1,\dots, x_{t_n}\in I_n\}$$

tomando

$$\mathbb{P}(\mathcal{I}_{t_1,\dots, t_n}(I_1\times \dots \times I_n))=\mathbb{P}_{[t_1,\dots,t_n]}(I_1\times \dots \times I_n)$$

O significado intuitivo deste método de atribuição de uma medida  ao cilindro.

 

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