2.2 - Probabilidade sobre o espaço produto

Você está aqui

Nesta seção vamos construir uma probabilidade sobre o espaço produto de espaços mensuráveis. Considere que o espaço de probabilidade $(\Omega_t , \mathcal{F}_t, \mathbb{P}_t)$ seja compacto para todo $t \in T$, no qual $T$ é uma família de índices. Denotamos por $D=\{ u: u \subset T, ~ u ~\text{subconjunto finito}\}$ a classe de todos os subconjuntos finitos de $T$. Suponha que a família de probabilidades $\{\mathbb{P}_u: u \in D\}$ satisfaça as condições de compatibilidade de Kolmogorov, então, vamos mostrar que existe uma única probabilidade sobre o espaço produto que estende a família de probabilidades $\{\mathbb{P}_u: u \in D\}$. Como toda probabilidade no $(\mathbb{R}^n , \beta(\mathbb{R}^n))$ é compacta, Kolmogorov mostrou que existe uma probabilidade $\mathbb{P}$ sobre $(\mathbb{R}^T ,\beta^T)$ se ,e só se, a família de probabilidades $\{\mathbb{P}_u: u \in D\}$ satisfaz a condição de compatibilidade. 

As condições de compatibilidade de Kolmogorov podem ser expressas numa forma mais sistemática usando a seguinte abstração devido a Bochner (1955). Para ilustração, seja $\Omega_t=\mathbb{R}$, $T\subset [0,\infty)$ e $\beta^u$ a $\sigma$-álgebra de Borel do $\mathbb{R}^u$, com $u=(t_1, \cdots, t_n) \subset T$. Denotamos por $\mathbb{P}_{u}$ a probabilidade de Lebesgue-Stieltjes determinada pela função de distribuição $F_{t_1, \cdots, t_n}$, na forma\[\mathbb{P}_{u} (A) ~ = ~ \int_{A} \cdots \int d F_{t_1, \cdots, t_n} (dx_1, \cdots, x_n) ~ ~ ; ~ ~ A \in \beta^u.\]

Então a família de distribuições $ \{ F_{t_1, \cdots, t_n} : t_i \in T, i \in \mathbb{N} \}$ é equivalente ao conjunto $\{P_{u}: u \in D \}$ de probabilidades, no qual $D$ é o conjunto de todos os subconjuntos finitos de $T$. Portanto, vamos traduzir as condições de compatibilidade de Kolmogorov para a família de probabilidades $\{\mathbb{P}_{u}:u\in D\}$.

Se $u$ e $v$ é um par de elementos de $D$, denotamos por $u \textless v$ a relação $u \subset v$. Neste caso, dizemos que$D$ é um conjunto dirigido, isto é, $(D, \textless )$ é um conjunto parcialmente ordenado e para quaisquer dois elementos de $D$ existe um terceiro (a união) que contém ambos. Se $u \textless v$ denotamos por $\pi_{uv}$ a projeção coordenada do $\mathbb{R}^v$ em $\mathbb{R}^u$. Portanto, as condições de compatibilidade tomam a forma \[ \mathbb{P}_{u} ~ = ~ \mathbb{P}_{v} \circ \pi^{-1}_{uv} \qquad \qquad (1). \]

Considere uma família de espaços mensuráveis $\{(\Omega_t, \mathcal{F}_t ) : t \in T \}$ e $D$ o conjunto dirigido formado por todos os subconjuntos finito de $T$. Para facilitar a notação, tomamos \[ \Omega^u ~ = ~ \prod_{t \in u} \Omega_t ~ ~ ; ~ ~ \beta^u ~ = ~ \otimes_{t \in u} \mathcal{F}_t \] e $\mathbb{P}_u : \beta^u \rightarrow [0,1]$ uma probabilidade para cada $u \in D$. A família $\{ \mathbb{P}_u : u \in D \}$ é denominada compatível se (1) é válido para todo par $u \ \textless \ v$ (em $D$). Então, dado a família $\{ (\Omega^u , \beta^u , \mathbb{P}_u , \pi_{uv}) : u \textless v \in D \}$, procuramos por uma probabilidade $\mathbb{P}$ sobre o espaço produto $(\Omega^T , \beta^T)$ tal que sua $u$-marginal seja $\mathbb{P}_u$ para todo $u \in D$. 

A família $\{ (\Omega^u , \beta^u , \mathbb{P}_u , \pi_{uv}) : u \textless v \in D \}$ é denominada sistema projetivo de espaços de probabilidade se a classe $\{ \mathbb{P}_u : u \in D \}$ é compatível. Dizemos que o sistema projetivo admite um limite projetivo se existe uma probabilidade $\mathbb{P}$ sobre $(\Omega^T , \beta^T)$, tal que \[ \mathbb{P}_{u} ~ = ~ \mathbb{P} \circ \pi^{-1}_{u} ,\] para todo $u \in D$

Na sequência, vamos demonstrar o teorema de Kolmogorov-Bochner em etapas. Para isto, vamos utilizar a notação e resultados da seção anterior, sobre a construção de espaços produto. Mais uma vez, dado uma família de espaços mensuráveis $\{(\Omega_t , \mathcal{F}_t : t \in T \}$, construímos o espaço mensurável produto  \[ \prod_{T} ( \Omega_t , \mathcal{F}_t) ~ = ~ ( \Omega^T , \beta^T) \] no qual \[\Omega^T ~ = ~ \prod_{T} \Omega_t ~ ~ ; ~ ~ \beta^T ~ = ~ \sigma \left[ \cup_{u \in D} C_u \right] \] e \[C_u ~ = ~ \left\{ A \subset \Omega^T : A = \pi^{-1}_u (B), ~~ B \in \beta^u \right\} \] corresponde a classe dos cilindros com base em $\beta^u$. Vamos denotar por  \[ \mathcal{A} ~ = ~ \cup_{u \in D} C_u,\] a álgebra formada pelos cilindros de base finita. 

Proposição 2.2.1:

Dado uma família de espaços mensuráveis $\{(\Omega_t , \mathcal{F}_t : t \in T \}$ e uma família de probabilidades $\{\mathbb{P}_u : u \in D \}$, existe uma função de conjunto $\mathbb{P}$ sobre a álgebra $\mathcal{A}$ satisfazendo \[\mathbb{P}_u ~ = ~ \mathbb{P} \circ \pi^{-1}_u ~ ~ ; ~ ~ u \in D \qquad \qquad (2)\] se, e só se, a família $\{\mathbb{P}_u : u \in D \}$ é compatível. 

Demonstração:

As projeções coordenadas satisfazem a regra de composição \[\pi_{uv} \circ \pi_{v \gamma} ~ = ~ \pi_{u \gamma} \]  para todo $u \ \textless v \ \textless \ \gamma$ com $\pi_{uu}$ a função identidade. Suponha que existe uma função de conjunto $\mathbb{P}$ sobre $\mathcal{A}$ tal que \[\mathbb{P}_u ~ = ~ \mathbb{P} \circ \pi^{-1}_u ~ ~ ; ~ ~ u \in D .\] Então, para todo $A \in \beta^u$ e $u \ \textless \ v$ em $D$, temos que $\pi_{u} = \pi_{uv} \circ \pi_v$ e \[\mathbb{P}_u (A) ~ = ~ \left(\mathbb{P} \circ \pi^{-1}_u \right) (A) ~ = ~ \left[\mathbb{P} \circ \left( \pi_{uv} \circ \pi_v \right)^{-1} \right] (A) = \left( \mathbb{P} \circ \pi^{-1}_v \right) \left( \pi^{-1}_{uv}(A) \right) ~ = ~ \left(\mathbb{P}_v \circ \pi^{-1}_{uv} \right) (A) .\] Assim, temos que \[\mathbb{P}_u ~ = ~ \mathbb{P}_v \circ \pi^{-1}_{uv} \] e a família $\{\mathbb{P}_u : u \in D \}$ é compatível. 

Por outro lado, se a família $\{\mathbb{P}_u : u \in D \}$ é compatível, podemos construir uma função de conjunto $\mathbb{P}$ sobre a ágebra $\mathcal{A}$ satisfazendo (2). Para todo elemento $A \in \mathcal{A}$, existe $u \in D$ e $B \in \beta^u$ tal que  $A ~ = ~ \pi^{-1}_u (B)$. Assim, definimos \[\mathbb{P}(A) ~ = ~ \mathbb{P}_u (B) ~ ~ ; ~ ~ u \in D.\] Na sequência, vamos mostrar que a função de conjunto $\mathbb{P}$ está bem definida. Suponha que $A \in \mathcal{A}$ tenha duas representações, isto é, existe $u,v \in D$, $B_1 \in \beta^u$ e $B_2 \in \beta^v$, tal que \[A ~ = ~ \pi^{-1}_{u} (B_1) ~ = ~ \pi^{-1}_{v} (B_2).\] Como $D$ é um conjunto dirigido, existe $\gamma \in D$ tal que $u \ \textless \ \gamma$ e $ v \ \textless \ \gamma$. Desde que, $\pi_u = \pi_{u \gamma} \circ \pi_{\gamma}$ e $\pi_v = \pi_{v \gamma} \circ \pi_{\gamma}$, temos \[\pi^{-1}_{\gamma} \circ \pi^{-1}_{u \gamma}(B_1) ~ = ~ \pi^{-1}_u (B_1) ~ = ~ A ~ = ~ \pi^{-1}_v (B_2)~ = ~ \pi^{-1}_{\gamma} \circ \pi^{-1}_{v \gamma}(B_2) \qquad \qquad (3).\] Além disso, como $\pi_{\gamma} ( \Omega^T) = \Omega^{\gamma}$, a relação (3) no diz que \[\pi^{-1}_{u \gamma}(B_1) ~ = ~ \pi^{-1}_{v \gamma}(B_2).\] Então, utilizando a compatibilidade da família $\{\mathbb{P}_u : u \in D \}$, obtemos \[\mathbb{P}_u (B_1) ~ = ~ \mathbb{P}_{\gamma} \left[ \pi^{-1}_{u \gamma} (B_1) \right] ~ = ~ \mathbb{P}_{\gamma} \left[ \pi^{-1}_{v \gamma}(B_2) \right] ~ = ~ \mathbb{P}_v (B_2).\] Portanto, a função de conjunto $\mathbb{P}$ definida sobre $\mathcal{A}$ está bem definida. Com isso, concluímos a proposição. 

Através desta proposição, definimos uma função de conjunto $\mathbb{P}$ sobre a álgebra $\A$, na forma  \[\mathbb{P}(A) ~ = ~ \mathbb{P}_u (B) \quad (4)\] no qual $A= \pi^{-1}_u (B)$ para algum $u \in D$ e $B \in \beta^u$. Na sequência, vamos mostrar que esta função de conjunto satisfaz algumas propriedades interessantes. 

Lema 2.2.1:

A função de conjunto $\mathbb{P}$ é não negativa,  finitamente aditiva sobre a álgebra $\mathcal{A}$ e $\mathbb{P}(\Omega^T) = 1$. 

Demonstração:

Desde que $\mathbb{P}_u$ é não negativa $(u \in D)$, obtemos que $\mathbb{P}$ é não negativa. Se tomarmos $A$ e $B$ em $\mathcal{A}$ disjuntos, existem $u,v \in D$, $A_1 \in \beta^u$ e $B_1 \in \beta^v $, tais que \[A ~ = ~ \pi^{-1}_u (A_1) ~ ~ ; ~ ~ B ~ = ~ \pi^{-1}_{v} (B_1).\] Como $D$ é um conjunto dirigido, existe $\gamma \in D$ tal que $u \ \textless \ \gamma $ e $v \ \textless \ \gamma$,com \[A ~ = ~ \pi^{-1}_{\gamma} \left[ \pi^{-1}_{u \gamma} (A_1) \right] ~ ~ ; ~ ~ B ~ = ~ \pi^{-1}_{\gamma} \left[ \pi^{-1}_{v \gamma} (A_2) \right].\] Ao denotarmos por  \[A_{\gamma} ~ = ~ \pi^{-1} _{u \gamma}(A_1) ~ ~ ; ~ ~ B_{\gamma} ~ = ~ \pi^{-1}_{v \gamma} (A_2),\] obtemos que $A_{\gamma}$ e $B_{\gamma}$ são elementos de $\beta^{\gamma}$ e disjuntos, pois $A$ e $B$ são disjuntos. Com isso, temos que \[\mathbb{P}[A \cup B ] ~ = ~\mathbb{P}_{\gamma} \left[ A_{\gamma} \cup B_{\gamma} \right]=\mathbb{P}_{\gamma} \left[ A_{\gamma} \right] ~ + ~ \mathbb{P}_{\gamma} \left[ B_{\gamma} \right] ~ = ~ \mathbb{P}(A) ~ + ~ \mathbb{P}(B).\] Ao utilizarmos a equação (3), temos 

\[\mathbb{P} \left( \Omega^T \right) ~ = ~ \mathbb{P}_{u} \left( \Omega^{u} \right) ~ = ~ 1 ~ ~ ; ~ ~ u \in D.\] 

Com estes resultados preliminares, podemos apresentar e demonstrar uma versão do teorema de Kolmogorov-Bochner, que não utiliza hipóteses topológicas. Nossa construção está baseada no conceito de probabilidade compacta, que nos garante que a probabilidade de um conjunto da $\sigma$-álgebra pode ser aproximado pela probabilidade de um subconjunto que pertence a uma classe compacta

Teorema 2.2.1 :

Considere $\{ (\Omega_t , \mathcal{F}_t) : t \in T \}$ uma família de espaços mensuráveis e uma família compatível $\{\mathbb{P}_u : u \in D \}$ de probabilidades . Se, para todo $t \in T$, a probabilidade $\mathbb{P}_t$ é compacta. Então, o sistema projetivo $\{ (\Omega^u , \beta^u , \mathbb{P}_u , \pi_{uv} ) : u \textless v \in D \}$ tem um único limite projetivo.  

Demonstração:

Esta demonstração será baseada nos resultados de probabilidades compactas. Vamos mostrar que a função de conjunto $\mathbb{P}$ (definida na equação (4)) é compacta com respeito a uma semi-álgebra formada por retângulos mensuráveis. Desta forma, podemos aplicar o teorema de exntensão de probabilidades compactas para mostrarmos a existência de um único limite projetivo. 

Por hipótese, o espaço de probabilidade $(\Omega_t , \mathcal{F}_t , \mathbb{P}_t)$ é compacto para todo $t \in T$. Assim, sabemos que existe uma classe compacta $\mathcal{C}_t$ composta de subconjuntos de $\Omega_t$ tal que $$\mathbb{P}_t(A) = \sup \{ P(C) : ~ C \subset A, ~ C \in \mathcal{C}_t\}.$$  Considere $Y$ a classe de retângulos mensuráveis, na forma 

\[C_t \times \prod_{s \neq t} \Omega_s \]

no qual $C_t$ percorre a classe compacta $\mathcal{C}_t$ e $t$ percorre o conjunto de índices $T$. Vamos mostrar que $Y$ é uma classe compacta. Dado uma sequência $(E_n)_{n \geq 1} \subset Y$, a intersecção 

\[\bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} ~ = ~ \bigcap _{n=1}^{\infty} \left[ C_{t_n} \times \prod_{s \neq t_n} \Omega_s \right]\]

para $C_{t_n} \in \mathcal{C}_{t_n}$ e $t_n \in T$ com $n \in \Bbb{N}$. Com isso, se tomarmos 

\[A_{t_k} ~ = ~ \bigcap_{ \{n : t_n = t_k \}} C_{t_n} \]

para $k=1,2, \cdots$ , temos 

\[\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n ~ = ~ \bigcap _{k=1}^{\infty} \left[ A_{t_k} \times \prod_{s \neq t_k} \Omega_s \right] \]

Se $\cap E_n = \emptyset$, existe pelo menos um $A_{t_k}$ vazio, por exemplo $A_{t_i}$. Como $\mathcal{C}_{t_i}$ é uma classe compacta, existe um subconjunto finito $J \subset \{n : t_n = t_i \}$, tal que 

\[ \bigcap_{J} C_{t_n} ~ = ~ \emptyset \]

o que implica em 

\[\bigcap_{J} E_n ~ = ~ \emptyset \]

Com isso, a classe $Y$ formada pelos retângulos mensuráveis é compacta. Além disso, a classe $\mathcal{C}$ obtida via intersecções enumeráveis de elementos de $Y$ também é compacta. Agora, considere $A$ um retângulo mensurável, com base 

\[\prod_{i=1}^{n} A_{t_i} \]

tal que $A_{t_i} \in \mathcal{F}_{t_i}$. Para todo $\varepsilon \textgreater 0$, tomamos $C_i \in C_{t_i}$ tal que 

\[C_i \subset A_{t_i} ~ ~ \mbox{e} ~ ~ \mathbb{P}_{t_i}(A_{t_i}) ~ \leq ~ \mathbb{P}_{t_i}(C_i) ~ + ~ \frac{\varepsilon}{n} .\]

Agora, o conjunto 

\[C ~ = ~ \bigcap_{i=1}^{n} \left[ C_i \times \prod_{t \neq t_i} \Omega_t \right] ~ \in ~ \mahtcal{C} \]e está contido em $A$, a álgebra gerada pelos retângulos mensuráveis. Além disso, 

\[A - C ~ \subset ~ \bigcup_{i=1}^{n} \left\{ (A_{t_i} - C_i) \times \prod_{s \neq t_i} \Omega_s \right\} .\] Assim, utilizando a aditividade finita de $\mathbb{P}$, temos 

\[\mathbb{P}(A) ~ - ~ \mathbb{P}(C) ~ \leq ~ \sum_{i=1}^n ~ \left\{ \mathbb{P}_{t_i}(A_{t_i}) - \mathbb{P}_{t_i} (C_i) \right\} ~ \leq ~ \epsilon \]

Portanto, fazendo $\epsilon \rightarrow 0$, obtemos que 

\[\mathbb{P}(A) ~ = ~ \sup \left\{ \mathbb{P}(C) : C \subset A , A \in \C \right\} \]

para todo retângulo mensurável.  Assim através do teorema da classe compacta, existe uma única probabilidade $\mathbb{P}$ definida sobre o espaço das funções $(\Omega^T, \beta^T)$ que estende a família compatível de probabilidades $\{\mathbb{P}_u : u \in D\}$.

A partir do teorema de extensão de Komogorov-Bochner, mostrarmos a existência de uma única probabilidade $\mathbb{P}$ sobre o espaço produto $(\Omega^T, \beta^T)$ satisfazendo:

a) $\mathbb{P} (A) = \mathbb{P}_u (B)$, no qual $A=\pi^{-1}_u (B)$, com $B \in \beta^u$ para algum $u \in D$.

b) $\mathbb{P}(A) = \sup \{ \mathbb{P} (C) : C \subset \mathcal{C}\}$, para todo $A \in \beta^T$.

 

A seguir, apresentamos algumas aplicações do teorema de Kolmogorov-Bochner.

 

Distribuicao $(\mathbb{R}^\infty,\beta(\mathbb{R}^\infty))$

A construção da medida de probabilidade desse espaço é similar a do espaço $\mathbb{R}^n$ na qual pode ser encontrada na seção de probabilidade, considere os retângulos de $\mathbb{R}^\infty$ definidos como

$$I_n(B)=\{x\in\mathbb{R}^\infty:(x_1,x_2,\dots,x_n)\in B\}, ~~B\in\beta(\mathbb{R}^n)$$

Seja $\mathbb{P}$ uma medida de probabilidade em $(\mathbb{R}^\infty,\beta(\mathbb{R}^\infty))$. Para $n=1,2,\dots$, temos

$$\mathbb{P}_n(B)=\mathbb{P}(I_n(B)),~~ B\in\beta(\mathbb{R}^n)$$

A sequência de medida de probabilidade $\mathbb{P}_1,\mathbb{P}_2,\dots,\mathbb{P}_n$, definida respectivamente em $\{(\mathbb{R},\beta(\mathbb{R})), (\mathbb{R}^2,\beta(\mathbb{R}^2)),\dots,(\mathbb{R}^n,\beta(\mathbb{R}^n))\}$, temos então a seguinte propriedade

$$\mathbb{P}_{n+1}(B\times \mathbb{R})=\mathbb{P}_n(B)$$

para $n=1,2,\dots$

Teorema 2.2.2:

Seja $\mathbb{P}_1,\mathbb{P}_2,\dots $ uma sequência de medidas de probabilidade em $\{(\mathbb{R},\beta(\mathbb{R})), (\mathbb{R}^2,\beta(\mathbb{R}^2)),\dots\}$ tal que
$$\mathbb{P}_{n+1}(B\times \mathbb{R})=\mathbb{P}_n(B)$$
Então existe uma única medida de probabilidade $\mathbb{P}$ em $(\mathbb{R}^\infty, \beta(\mathbb{R}^\infty))$, tal que
$$\mathbb{P}(I_n(B))=\mathbb{P}(B), ~~B\in\beta(\mathbb{R}^n)$$
para  $n=1,2,\dots$

Demonstração:

Seja $B^n\in \beta(\mathbb{R}^n)$ e seja $I_n(B^n)$ um cilindro com base $B^n$. Atribuímos a medida $\mathbb{P}(I_n(B^n))$ para o cilindro tomando
$$\mathbb{P}(I_n(B^n))=\mathbb{P}_n(B^n)$$
Vamos mostrar que em virtude da condição de consistência, essa definição é consistente, isto é, o valor de $\mathbb{P}(I_n(B^n))$ é independente da representação do conjunto $I_n(B^n)$. De fato, considere o mesmo cilindro representado de duas formas
$$I_n(B^n)=I_{n+k}(B^{n+k})$$
Disto segue que se $(x_1,\dots,x_{n+k})\in\mathbb{R}^{n+k}$, temos que
$$(x_1,\dots,x_n)\in B^n\Leftrightarrow (x_1,\dots,x_{n+k})\in B^{n+k},$$
Com isso, temos que
$$\mathbb{P}_n(B^n)=\mathbb{P}_{n+1}\left((x_1,\dots,x_{n+1}):(x_1,\dots,x_n)\in B^{n}\right)$$
$$=\mathbb{P}_{n+1}\left((x_1,\dots,x_{n+2}):(x_1,\dots,x_{n+1})\in B^{n}\right)$$
$$=\dots=\mathbb{P}_{n+k}(B^{n+k})$$

Seja $\mathcal{A}(\mathbb{R}^\infty)$ denota a coleção de todos os cilindros $\bar{B}^n=I_n(B^n)$, $B^n\in \mathbb{R}^n$, $n=1,2,\dots$ .
Agora seja $\bar{B}_1,\dots,\bar{B}_k$ conjuntos disjuntos em $\mathcal{A}(\mathbb{R}^\infty)$. Podemos assumir sem perda de generalidade que $\bar{B}_i=I_n(B_i^n), ~~i=1,\dots,k$ para algum $n$, no qual $B^n_1,\dots,B^n_k$ são conjuntos disjuntos em $\beta(\mathbb{R}^n)$. Então,

$$\mathbb{P}\left(\sum_{i=1}^k \bar{B}_i\right)=\mathbb{P}\left(\sum_{i=1}^k I_n{B}^n_i\right)=\mathbb{P}_n\left(\sum_{i=1}^k B^n_i\right)= \sum_{i=1}^k\mathbb{P}_n\left( B^n_i\right)=\sum_{i=1}^k\mathbb{P}\left( \bar{B}_i\right)$$

Isto implica que a função $\mathbb{P}$ é finitamente aditiva na algebra $\mathcal{A}(\mathbb{R}^\infty)$. Agora precisamos mostrar $\mathbb{P}$ é continua em zero, isto é, se a sequência de conjuntos $\bar{B}_n\downarrow \emptyset$, $n\rightarrow \infty$, então $\mathbb{P}(\bar{B}_n)\rightarrow 0$ quando $n\rightarrow \infty$. Para isso, suponha o contrario, isto é,

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(\bar{B}_n)=\delta\textgreater 0.$$

Suponha sem perda de generalidade que $\{\bar{B}_n\}$ tem a forma
$$\bar{B}_n=\{x\in\mathbb{R}^\infty:(x_1,\dots,x_n)\in B_n\}~~ B_n\in \beta(\mathbb{R}^n)$$

Para demonstrar isso vamos precisar de uma propriedade da medida de probabilidade $\mathbb{P}_n$ no espaço $(\mathbb{R}^n,\beta(\mathbb{R}^n))$. Se $B_n\in \beta(\mathbb{R}^n)$, para $\delta\textgreater 0$ dado podemos encontrar um compacto $A_n\beta(\mathbb{R}^n)$ dado $A_n\subset B_n$ e

$$\mathbb{P}_n(Bn-A_n)\leq \frac{\delta}{2^{n+1}}$$

Portanto se

$$\bar{A}_n=\{x\in \mathbb{R}^\infty:(x_1,x_2,\dots,x_n)\in A_n\},$$

temos que

$$\mathbb{P}(\bar{B}_n-\bar{A}_n)=\mathbb{P}_n(B_n-A_n)\leq \frac{\delta}{2^{n+1}}$$

Seja $\displaystyle \bar{C}_n=\bigcap_{k=1}^n \bar{A}_k$ e seja $C_n$ tal que
$$\bar{C}_n=\{x\in \mathbb{R}^\infty:(x_1,x_2,\dots,x_n)\in C_n\}$$

Então, desde que o conjuntos $\bar{B}_n$ é decrescente, obtemos

$$\mathbb{P}(\bar{B}_n-\bar{C}_n)\leq \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(\bar{B}_n-\bar{A}_k)\leq\sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(\bar{B}_k-\bar{A}_k)\leq \frac{\delta}{2} $$
Mas por hipótese
$$\displaystyle \lim_n \mathbb{P}(\bar{B}_n)\textgreater 0$$
e portanto $\displaystyle \lim_n\mathbb{P}(\bar{C}_n)\geq \frac{\delta}{2}$, o que contradiz o fato de que $\bar{C}_n\downarrow 0$.

 

Vamos escolher um ponto $\bar{x}^{(n)}=(x^{(n)}_1,x^{(n)}_2,\dots)\in \bar{C}_n$. Então $(x^{(n)}_1,x^{(n)}_2,\dots,x^{(n)}_n)\in C_n$ para $n\geq 1$.

Seja $(n_1)$ uma subsequência de $(n)$ tal que $x^{(n_1)}_1\rightarrow x_1^0$, onde $x^0_1$ é um ponto de $C_1$. (Sabemos que tal sequência existe desde que $x_1^{(n)}\in C_1$ e $C_1$ é compacto). Então selecione uma subsequência de $(n_2)$ de $(n_1)$ tal que $(x^{(n_2)}_1,x^{(n_2)}_2)\rightarrow (x^{(0)}_1,x^{0}_2)\in C_2$. Similarmente seja

$$(x^{(n_k)}_1,\dots,x^{(n_k)}_k)\rightarrow (x^{(0)}_1,\dots,x^{(0)}_k)\in C_k$$

Finalmente forma a sequência de diagonais $(m_k)$, no qual $m_k$ é o k-ésimo termo de $(n_k)$. Então $x_i^{(m_k)}\rightarrow x_i$ como $m_k\rightarrow \infty$ por $i=1,2,\dots$, e $(x^0_1,x^0_2,\dots)\in \bar{C}_n$ para $n=1,2,\dots$, o qual evidentemente contradiz a afirmação que $\bar{C}_n\downarrow \emptyset$, $n\rightarrow \infty$. Isto completa a demonstração do Teorema.

Distribuição $(\mathbb{R}^{T},\beta(\mathbb{R}^T))$

Seja $T$ o conjunto de índice $t\in T$ e $\mathbb{R}_t$ a reta real correspondente ao índice $t$. Considere um conjunto desordenado $\tau=[t_1,\dots,t_n]$ de indices distintos $t_i$, $t_i\in T, ~~ n\geq 1$, e $\mathbb{P}_\tau$ seja a medida de probabilidade no espaço $(\mathbb{R}^{\tau},\beta(\mathbb{R}^{\tau}))$, no qual $\mathbb{R}^{\tau}=\mathbb{R}_{t_1}\times \mathbb{R}_{t_2}\times\dots\times \mathbb{R}_{t_n}$.

Dizemos que uma familia de medidas de probabilidades $\{\mathbb{P}_\tau\}$, com $\tau$ varia entre todos os conjuntos finitos e desordenados,  é consistente se, para todos os conjuntos $\tau=[t_1,t_2,\dots,t_n]$ e $\sigma=[s_1,\dots,s_k]$ tal que $\sigma\subset \tau$, temos que

$$\mathbb{P}_\sigma \{(x_{s_1},\dots,x_{s_k}): (x_{s_1},\dots,x_{s_k})\in B\}=\mathbb{P}_\tau\{(x_{t_1},\dots,x_{t_k}): (x_{s_1},\dots,x_{s_k})\in B\}$$

para todo $B\in \beta(\mathbb{R}^\sigma)$.

Teorema 2.2.3:

Seja $\{\mathbb{P}_\tau\}$ uma familia de probabilidade consistente em $(\mathbb{R}^\tau,\beta(\mathbb{R}^\tau))$. Então existe uma única probilidade $\mathbb{P}$ em $(\mathbb{R}^T,\beta(\mathbb{R}^T))$ tal que

$$\mathbb{P}(I_\tau(B))=\mathbb{P}_\tau(B)$$
para todo conjunto  $\tau=[t_1,\dots,t_n]$ com diferentes indices $t_i\in T, ~~ B\in \beta(\mathbb{R}^\tau)$ e $I_\tau (B)=\{x\in \mathbb{R}^T:(x_{t_1},\dots,x_{t_n})\in B\}$.

Demonstração:

Seja um conjunto $\bar{B}\in \beta(\mathbb{R}^T)$. Então, pelo Teorema 2.1.3 da seção anterior temos que existe um conjunto enumerável $S=\{s_1,s_2,\dots\}\subset T$ tal que $\bar{B}=\{x\in \mathbb{R}^T:(x_{s_1},x_{s_2},\dots)\in B\}$ no qual $B\in \beta(\mathbb{R}^S)$, $\mathbb{R}^S=\mathbb{R}_{s_1}\times\mathbb{R}_{s_2}\times \dots$. Ou seja,

$$\bar{B}=I_{S}(B)$$
é um cilindro com base $B \in \beta(\mathbb{R}^S)$. Desta forma, podemos definir uma função $\mathbb{P}$ definida da seguinte forma
$$\mathbb{P}(I_S(B))=\mathbb{P}_S(B),$$
no qual a existência da medida $\mathbb{P}_S$ é garantida pelo Teorema 2.1.3 da seção anterior.
Agora a medida $\mathbb{P}$, iremos demonstrar a sua existência nesse teorema, para isso primeiramente vamos mostrar a consistência da definição a cima, ou seja, queremos mostrar que $\mathbb{P}(\bar{B})$, para todas as possíveis representação de $\bar{B}$.

Seja $\bar{B}=I_{S_1}(B_1)$ e $\bar{B}=I_{S_2}(B_2)$ então $\bar{B}=I_{S_1\cup S_2}(B_3)$, para algum $B_3\in \beta(\mathbb{R}^{S_1\cup S_2})$, portanto é suficiente mostrar que se $S\subset A$ e $B\in \beta(\mathbb{R}^S)$, então $\mathbb{P}_{A}(B^\prime)=\mathbb{P}_S(B)$, no qual

$$B^\prime=\{(x_{a_1},x_{a_2},\dots)\in \mathbb{R}^{A}: (x_{s_1},x_{s_2},\dots)\in B\}$$

com $A=\{a_1,a_2,\dots\}$ e $S={s_1,s_2,\dots}$, porém a consistência devido a consistência admitida para conjuntos finitos e ao Teorema 2.1.3 da seção anterior temos que $\mathbb{P}(\bar{B})$ independe da representação de $\bar{B}$.

Agora vamos verificar a $\sigma$-aditividade de $\mathbb{P}$, vamos então supor que $\{\bar{B}_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subset\beta(\mathbb{R}^T)$, seja uma sequência de conjuntos disjuntos. Então, existe um conjunto enumerável $S\subset T$ tal que $\bar{B}_n=I_S(B_n)$, para todo $n\geq 1$, com $B_n\in\beta(\mathbb{R}^S),~~ \forall n \in \mathbb{N}$. Como $\mathbb{P}_S$ é uma medida de probabilidade bem definida, temos que
$$\mathbb{P}\left(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \bar{B}_n\right)=\mathbb{P}\left(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty I_S(B_n)\right)=\mathbb{P}_S\left(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty B_n\right)=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}_S\left( B_n\right)$$

$$=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}\left( I_S(B_n)\right)=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\mathbb{P}\left( \bar{B}_n\right)$$

Então, pela propriedade $\mathbb{P}(I_\tau(B))=\mathbb{P}_\tau(B)$, o resultado segue.
 

Exemplo 2.2.1: 

Considere o caso em que $T=[0,\infty)$. Então $\mathbb{R}^T$ é o espaço de todas as funções reais $x=(x_t)_{t\geq 0}$. O exemplo mais famoso de medida de probabilidade desse espaço é a medida de Wiener, a qual é construída da seguinte forma.
Considere a familia $\{\phi_t(y|x)\}_{t\geq 0}$ de densidades Gaussian como função de $y$ para $x$ fixado.

$$\phi_t(y|x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-(y-x)^2/2t}, ~~y\in \mathbb{R}.$$

e para cada $\tau=[t_1,\dots,t_n]$, $t_1\textless t_2\textless \dots \textless t_n$, e para cada conjunto

$$B=I_1\times \dots\times I_n, ~~~~ I_k=(a_k,b_k),$$
construímos a medida $\mathbb{P}_{\tau}(B)$ de acordo com a formula

$$\displaystyle \mathbb{P}_{\tau}(I_1\times\dots\times I_n)=\int_{I_1}\dots\int_{I_n}\phi_{t_1}(a_1|0)\phi_{t_2-t_1}(a_2|a_1)\dots\phi_{t_n-t_{n-1}}(a_n|a_{n-1})da_1\dots da_n$$
Agora definimos o conjunto de funções $\mathbb{P}$ para cada conjunto de cilindros
$$\mathcal{I}_{t_1,\dots, t_n}(I_1\times \dots \times I_n)=\{x \in \mathbb{R}^T: x_{t_1}\in I_1,\dots, x_{t_n}\in I_n\}$$
tomando
$$\mathbb{P}(\mathcal{I}_{t_1,\dots, t_n}(I_1\times \dots \times I_n))=\mathbb{P}_{[t_1,\dots,t_n]}(I_1\times \dots \times I_n)$$
O significado intuitivo deste método de atribuição de uma medida  ao cilindro.

 

Processo Estocástico

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]