2.3 - Processo de Bernoulli

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O processo de Bernoulli é definido como uma família finita ou enumerável de variáveis aleatórias assumindo valores binários dados por $0$ e $1$. Desta forma, temos um processo estocástico a tempo discreto e a valores no conjunto $S=\{0,1\}$. Como as variáveis aleatórias são binárias, a existência do processo de Bernoulli está garantida pela construção do espaço de Cantor.  A seguir, mostramos como o teorema de extensão de Kolmogorov também pode ser utilizado  na construção do processo de Bernoulli. 

Considere $\Omega$ um espaço amostral (diferente do vazio) e $A_1 , A_2 ,\dots $ uma sequência de eventos, isto é, subconjuntos de $\Omega$. Dado a sequência de eventos, definimos uma sequência de funções $$X_n= 1\!\!1_{A_n},$$ no qual $$1\!\!1_{A_n} = \displaystyle \left\{\begin{array}{c}1 \ \ x \ \in \ A_n \\ 0 \ \ x \ \notin A_n \end{array} \right.$$ Para cada função $X_n$ associamos uma probabilidade em $\Omega$, na forma $$\mathbb{P}(A_n) = \mathbb{P} \left[ \omega : X_n (\omega) = 1 \right]=p \quad \text{e} \quad \mathbb{P}(A^c_n) = \mathbb{P} \left[ \omega : X_n (\omega) = 0 \right]=1-p\right],$$ nos quais $0 \textless p \textless 1$, $\mathbb{P}(\emptyset )=0$ e $\mathbb{P}(\Omega )=1$. 

Para aplicarmos o teorema de extensão de Kolmogorov, precisamos de um conjunto de distribuições finito dimensionais satisfazendo a condição de compatibilidade de Kolmogorov. Para isto, admitimos que as probabilidade conjuntas seja definidas por $$ \mathbb{P} \left[ \cap_{j=1}^n \left\{\omega : X_j (\omega)=i_j \right\} \right] = p^{\sum_{j=1}^n i_j } (1-p)^{n-\sum_{j=1}^n i_j},$$ para todo família finita $(i_1, \cdots , i_n) \in S^n$. Desta forma, temos uma distribuição de probabilidade definida sobre $\Omega$ com a $\sigma$-álgebra finita dada por $\mathcal{A}_n = \sigma \{A_1, A_2 , \cdots , A_n\}$.  Para detalhes sobre a construção da família de probabilidades ver a seção sobre o espaço de Cantor. Por construçao, a família de probabilidades finito dimensionais satisfaz a condição de compatibilidade de Kolmogorov e assim, existe uma única probabilidade $\mathbb{P}$ sobre $\Omega$ com a $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$ gerada pela sequência de eventos $\{A1, A_2 , \cdots \}$ tal que $$\mathbb{P} \left[ \cap_{j=1}^n \left\{\omega : X_j (\omega)=i_j \right\} \right] = p^{\sum_{j=1}^n i_j } (1-p)^{n-\sum_{j=1}^n i_j},$$ para todo família finita $(i_1, \cdots , i_n) \in S^n$, para todo $n \geq 1$. A partir do teorema de extensão de Kolmogorov, existe um espaço de probabilidade $\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P})$ no qual $\{X_1 , X_2 , \cdots \}$ é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid) com $\mathbb{P}[X_j=1]=p$ para todo $j \geq 1$.

 

Definição 2.3.1: 

O processo estocástico $X=\{X_n: n \geq 1\}$, nos quais $X_1, X_2, \cdots$ são variáveis iid com com $\mathbb{P}[X_j=1]=p$ para todo $0 \textless p \textless 1$ e $j \geq 1$ é denominado processo de Bernoulli. 

Exemplo 2.3.1:

Suponha que uma fábrica de lentes de contato produza lentes de contatos que apresente defeitos que distorcem a imagem com probabilidade $p = 0,96$ de que haja erro na lente. Definimos $X_n$ como 1 ou 0 se apresenta algum erro de distorção na n-ésima lente produzida ou se não apresenta, respectivamente. Assumindo que a produção da lente ocorra de forma independente, as variáveis aleatórias $X_1,X_2,\cdots$ são independentes. Então $X=\{X_n;n = 1,2,\cdots\}$ é um processo de Bernoulli com probabilidade de sucesso $\mathbb{P}(X_n= 1) = p = 0,96$.

a) Qual a probabilidade das duas primeiras lentes terem defeitos e as duas subsequentes não tenha ?

$$\mathbb{P}(X_1= X_2= 0,X_3= X_4= 1) \stackrel{indep}{=} \mathbb{P}(X_1= 0)\mathbb{P}(X_2= 0)\mathbb{P}(X_3= 1)\mathbb{P}(X_4= 1)$$

$$= (1- p)(1- p)pp = (1- p)^2p^2 = 0,9232$.$$

 

Dado $X=\{X_i : i \geq 1\}$ um processo de bernoulli, associamos um processo de contagem $N=\{N_n, n\in \mathbb{N}\}$ que conta o número de sucessos, na forma $$N_n=\displaystyle \sum^n_{i=1}X_i, \quad n \geq 1.$$ Note que podemos recuperar o processo de Bernoulli a partir do processo de contagem pois, $$\Delta N_n=N_n-N_{n-}=X_n.$$

Como $X_n$ segue uma distribuição de Bernoulli de parâmetro $p$ então a esperança e a variância de $X_n$ são dadas por:

$$E[X_n]=E[X_n^2]=E[X_n^3]=E[X_n^4]=\cdots =p \quad \text{e} \quad Var[X_n]=p-p^2=p(1-p).$$ Além disso, temos que:

$$E[b^{X_n}]=b^0\mathbb{P}[X_n=0]+b\mathbb{P}[X_n=1]=b(1-p)+bp.$$ Podemos generalizar da seguinte forma

$$E[f(X_n)]=f(0)\mathbb{P}[X_n=0]+f(1)\mathbb{P}[X_n=1]=f(0)(1-q)+f(1)p.$$

Quanto ao processo de contagem, dado n fixado, temos que

$$E[N_n]=E[\displaystyle \sum_{i=1}^{n}X_i]=\sum_{i=1}^{n}E[X_i]=\sum_{i=1}^{n}p=np.$$ Como $X_j$'s  são independentes temos que

$$Var[N_n]=Var[\sum_{i=1}^{n}X_i]=\sum_{i=1}^{n}Var[X_n]=\sum_{i=1}^{n}(1-p)p=np(1-p).$$ Dado que $X_n$ tem distribuição de Bernoulli, o processo de contagem $N_n$ tem distribuição binomial. Portanto temos que $$\mathbb{P}[N_n=k]=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{n-k}.$$ Assim podemos notar que $\mathbb{P}[N_{j+i}-N_i=k]=\left(\begin{array}{c}j\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{j-k}$, pois $$\displaystyle N_{j+i}-N_i=\sum_{w=i+1}^{j+i}X_w=\sum_{w=1}^{j}X_{i+w}.$$

 

Lema 2.3.1:

Para qualquer $m,n \in \mathbb{N}$ temos que

$$\mathbb{P}[N_{m+n}-N_{n}=k|N_0,\cdots N_n]=\mathbb{P}[N_{m+n}-N_{n}=k]=\left(\begin{array}{c}m\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{m-k},$$ para todo $k=0, \cdots , m$.

Demonstração:

Notemos primeiramente que a variável $N_j$ depende exclusivamente das variáveis $X_0,\cdots,X_j$ assim conhecer $N_0,\cdots,N_n$ é equivalente a conhecer $X_0,\cdots,X_n$. Além disso, temos que $X_0,\cdots,X_n$ é independente de $X_{n+1},\cdots,X_m$ e portanto, temos que

$$\mathbb{P}[N_{m+n}-N_{n}=k|N_0,\cdots N_n]=\mathbb{P}[N_{m+n}-N_{n}=k]=\left(\begin{array}{c}m\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{m-k}.$$

 

Processo Estocástico

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