2.3 - Processo de Bernoulli

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O processo de Bernoulli é definido como uma família finita ou enumerável de variáveis aleatórias assumindo valores binários dados por $ 0 $ e $ 1 $. Desta forma, temos um processo estocástico a tempo discreto e a valores no conjunto $ S=\{0,1\} $. Como as variáveis aleatórias são binárias, a existência do processo de Bernoulli está garantida pela construção do espaço de Cantor.  A seguir, mostramos como o teorema de extensão de Kolmogorov também pode ser utilizado  na construção do processo de Bernoulli. 

Considere $ \Omega $ um espaço amostral (diferente do vazio) e $ A_1 , A_2 ,\dots  $ uma sequência de eventos, isto é, subconjuntos de $ \Omega $. Dado a sequência de eventos, definimos uma sequência de funções 

$$X_n= 1\!\!1_{A_n},$$

no qual 

$$1\!\!1_{A_n} = \displaystyle \left\{\begin{array}{c}1 \ \ x \ \in \ A_n \\ 0 \ \ x \ \notin A_n \end{array} \right.$$

Para cada função $ X_n $ associamos uma probabilidade em $ \Omega $, na forma

 X_n (\omega) = 0 \right]=1-p\right],$$

nos quais $ 0 \textless p \textless 1 $, $ \mathbb{P}(\emptyset )=0 $ e $ \mathbb{P}(\Omega )=1 $

Para aplicarmos o teorema de extensão de Kolmogorov, precisamos de um conjunto de distribuições finito dimensionais satisfazendo a condição de compatibilidade de Kolmogorov. Para isto, admitimos que as probabilidade conjuntas seja definidas por 

 X_j (\omega)=i_j \right\} \right] = p^{\sum_{j=1}^n i_j } (1-p)^{n-\sum_{j=1}^n i_j},$$

para todo família finita $ (i_1, \cdots , i_n) \in S^n $. Desta forma, temos uma distribuição de probabilidade definida sobre $ \Omega $ com a $ \sigma $-álgebra finita dada por $ \mathcal{A}_n = \sigma \{A_1, A_2 , \cdots , A_n\} $.  Para detalhes sobre a construção da família de probabilidades ver a seção sobre o espaço de Cantor. Por construçao, a família de probabilidades finito dimensionais satisfaz a condição de compatibilidade de Kolmogorov e assim, existe uma única probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre $ \Omega $ com a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $ gerada pela sequência de eventos $ \{A1, A_2 , \cdots \} $ tal que

 X_j (\omega)=i_j \right\} \right] = p^{\sum_{j=1}^n i_j } (1-p)^{n-\sum_{j=1}^n i_j},$$

para todo família finita $ (i_1, \cdots , i_n) \in S^n $, para todo $ n \geq 1 $. A partir do teorema de extensão de Kolmogorov, existe um espaço de probabilidade $ \Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ no qual $ \{X_1 , X_2 , \cdots \} $ é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid) com $ \mathbb{P}[X_j=1]=p $ para todo $ j \geq 1 $.

 

Definição 2.3.1: 

O processo estocástico  n \geq 1\} $, nos quais $ X_1, X_2, \cdots $ são variáveis iid com com $ \mathbb{P}[X_j=1]=p $ para todo $ 0 \textless p \textless 1 $ e $ j \geq 1 $ é denominado processo de Bernoulli. 

Exemplo 2.3.1:

Suponha que uma fábrica de lentes de contato produza lentes de contatos que apresente defeitos que distorcem a imagem com probabilidade $ p = 0,96 $ de que haja erro na lente. Definimos $ X_n $ como 1 ou 0 se apresenta algum erro de distorção na n-ésima lente produzida ou se não apresenta, respectivamente. Assumindo que a produção da lente ocorra de forma independente, as variáveis aleatórias $ X_1,X_2,\cdots $ são independentes. Então $ X=\{X_n;n = 1,2,\cdots\} $ é um processo de Bernoulli com probabilidade de sucesso $ \mathbb{P}(X_n= 1) = p = 0,96 $.

a) Qual a probabilidade das duas primeiras lentes terem defeitos e as duas subsequentes não tenha ?

$$\mathbb{P}(X_1= X_2= 0,X_3= X_4= 1) \stackrel{indep}{=} \mathbb{P}(X_1= 0)\mathbb{P}(X_2= 0)\mathbb{P}(X_3= 1)\mathbb{P}(X_4= 1)$$

$$= (1- p)(1- p)pp = (1- p)^2p^2 = 0,9232$.$$

 

Dado  i \geq 1\} $ um processo de bernoulli, associamos um processo de contagem $ N=\{N_n, n\in \mathbb{N}\} $ que conta o número de sucessos, na forma

$$N_n=\displaystyle \sum^n_{i=1}X_i, \quad n \geq 1.$$

Note que podemos recuperar o processo de Bernoulli a partir do processo de contagem pois,

$$\Delta N_n=N_n-N_{n-}=X_n.$$

Como $ X_n $ segue uma distribuição de Bernoulli de parâmetro $ p $ então a esperança e a variância de $ X_n $ são dadas por:

$$E[X_n]=E[X_n^2]=E[X_n^3]=E[X_n^4]=\cdots =p \quad \text{e} \quad Var[X_n]=p-p^2=p(1-p).$$

Além disso, temos que:

$$E[b^{X_n}]=b^0\mathbb{P}[X_n=0]+b\mathbb{P}[X_n=1]=b(1-p)+bp.$$

Podemos generalizar da seguinte forma

$$E[f(X_n)]=f(0)\mathbb{P}[X_n=0]+f(1)\mathbb{P}[X_n=1]=f(0)(1-q)+f(1)p.$$

Quanto ao processo de contagem, dado n fixado, temos que

$$E[N_n]=E[\displaystyle \sum_{i=1}^{n}X_i]=\sum_{i=1}^{n}E[X_i]=\sum_{i=1}^{n}p=np.$$

Como $ X_j $'s  são independentes temos que

$$Var[N_n]=Var[\sum_{i=1}^{n}X_i]=\sum_{i=1}^{n}Var[X_n]=\sum_{i=1}^{n}(1-p)p=np(1-p).$$

Dado que $ X_n $ tem distribuição de Bernoulli, o processo de contagem $ N_n $ tem distribuição binomial. Portanto temos que

$$\mathbb{P}[N_n=k]=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{n-k}.$$

Assim podemos notar que $ \mathbb{P}[N_{j+i}-N_i=k]=\left(\begin{array}{c}j\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{j-k} $, pois

$$\displaystyle N_{j+i}-N_i=\sum_{w=i+1}^{j+i}X_w=\sum_{w=1}^{j}X_{i+w}.$$

 

Lema 2.3.1:

Para qualquer $ m,n \in \mathbb{N} $ temos que

$$\mathbb{P}[N_{m+n}-N_{n}=k|N_0,\cdots N_n]=\mathbb{P}[N_{m+n}-N_{n}=k]=\left(\begin{array}{c}m\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{m-k},$$

para todo $ k=0, \cdots , m $.

Demonstração:

Notemos primeiramente que a variável $ N_j $ depende exclusivamente das variáveis $ X_0,\cdots,X_j $ assim conhecer $ N_0,\cdots,N_n $ é equivalente a conhecer $ X_0,\cdots,X_n $. Além disso, temos que $ X_0,\cdots,X_n $ é independente de $ X_{n+1},\cdots,X_m $ e portanto, temos que

$$\mathbb{P}[N_{m+n}-N_{n}=k|N_0,\cdots N_n]=\mathbb{P}[N_{m+n}-N_{n}=k]=\left(\begin{array}{c}m\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{m-k}.$$

 

Processo Estocástico

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