3.1 - Probabilidade Condicional para uma partição

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Seja $ (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade e $ \mathcal{D}=\{D_1,\cdots, D_k\} $ uma partição finita de $ \Omega $ tal que $ D_i\in \mathcal{A}, \mathbb{P}(D_i)\textgreater 0, $ para todo $ i\in \{1,\cdots,k\}) $ e $ \displaystyle \cup_{i=1}^{k} D_i=\Omega $. Dado $ A \in \mathcal{A} $ um evento, tomamos $ \mathbb{P}(A|D_i) $ a probabilidade condicional do evento $ A $ dado $ D_i $.

Para a família finita de probabilidades condicionais $ \{\mathbb{P}(A|D_i), i=1,\cdots,k\} $, associamos a variável aleatória 

$$\pi(\omega)=\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}[A|D_i]1\!\!1_{D_i}(\omega), \quad \omega \in \Omega,$$

assumindo valor $ \mathbb{P}(A|D_i) $ no elemento $ D_i $ da partição $ \mathcal{D} $. Note que a variável aleatória $ \pi $ está associada especificamente a partição $ \mathcal{D} $ e será denominada probabilidade condicional do evento $ A $ dado a partição $ \mathcal{D} $. Utilizaremos a seguinte notação

$$\mathbb{P}(A|\mathcal{D})~~~ou~~~\mathbb{P}(A|\mathcal{D})(\omega).$$

Como consequência da definição da probabilidade condicional dada uma partição, temos que 

$$\mathbb{P}(\cup_{i=1}^n A_i \mid \mathcal{D})(\omega)=\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i \mid \mathcal{D})(\omega), \quad \omega \in \Omega,$$

no qual $ \{A_i\} \subset \mathcal{A} $ é uma sequência de eventos disjuntos $ (A_i \cap A_j = \emptyset, ~ i \neq j) $. Se tomarmos $ \mathcal{D} $ a partição trivial, ou seja, $ \mathcal{D}=\{\Omega\} $, então 

$$\mathbb{P}(A|\mathcal{D})=\mathbb{P}(A|\Omega)=\mathbb{P}(A), \quad A \in \mathcal{A}.$$

Assim, a probabilidade condicional com respeito a partição $ \mathcal{D} $ é uma função  \mathcal{A} \times \Omega \rightarrow [0,1] $ satisfazendo

(i) Para todo $ A \in \mathcal{A} $, temos que  \Omega \rightarrow [0,1] $ é uma variável aleatória;

(ii) Para todo $ \omega \in \Omega $, temos que  \mathcal{A} \rightarrow [0,1] $ é uma probabilidade.

Desde que a probabilidade condicional é uma variável aleatória simples, para todo $ A \in \mathcal{A} $, temos que 

$$E[\mathbb{P}(A|\mathcal{D})]=E[\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}[A|D_i]1\!\!1_{D_i}]=\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}[A|D_i]\mathbb{P}(D_i)=\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}[A\cap D_i]=\mathbb{P}(A).$$

Considere \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ uma variável aleatória simples na forma

\[X(\omega)=\sum_{i=1}^n x_i 1\!\!1_{\{D_i\}}(\omega), \quad \omega \in \Omega,\]

nos quais  X(\omega)=x_i\} $, $ \mathcal{R}_X=\{x_1, \cdots , x_n\} $  números distintos e $ \mathcal{D}_X=\{D_1, \cdots ,D_n\} $ a partição induzida pela variável aleatória $ X $. A probabilidade condicional $ \mathbb{P}(\cdot \mid \mathcal{D}_X) $ será denotada por $ \mathbb{P}(\cdot \mid X) $ e denominada probabilidade condicional dado a variável aleatória $ X $. Da mesma forma, temos que $ \mathbb{P}(A \mid X=x_i) = \mathbb{P}(A \mid D_i) $, para todo $ i=1,2, \cdots, n $ e $ A \in \mathcal{A} $.

Dados $ X_1, \cdots , X_k $ variáveis aleatórias simples, denotamos por $ \mathcal{D}_{X_1,\cdots , X_k} $ a partição induzida pelo vetor de variáveis aleatórias $ (X_1, \cdots , X_k) $, na forma

 X_1(\omega)=x_1, \cdots , X_k=x_k\}, \quad (x_1,\cdots , x_k) \in \mathcal{R}_{X_1} \times \cdots \times \mathcal{R}_{X_k},\]

com  (x_1,\cdots , x_k) \in \mathcal{R}_{X_1} \times \cdots \times \mathcal{R}_{X_k}\} $. Da mesma forma, a probabilidade condicional $ \mathbb{P}(\cdot \mid \mathcal{D}_{X_1,\cdots , X_k}) $  dado a partição induzida pelo vetor aleatório $ (X_1, \cdots , X_k) $ será denotado por $ \mathbb{P}(\cdot \mid X_1,\cdots , X_k) $. Para exemplos de probabilidade condicional com variáveis aleatórias simples ver o módulo esperança condicional.

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