3.1 - Probabilidade Condicional para uma partição

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Seja $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $\mathcal{D}=\{D_1,\cdots, D_k\}$ uma partição finita de $\Omega$ tal que $D_i\in \mathcal{A}, \mathbb{P}(D_i)\textgreater 0,$ para todo $i\in \{1,\cdots,k\})$ e $\displaystyle \cup_{i=1}^{k} D_i=\Omega$. Dado $A \in \mathcal{A}$ um evento, tomamos $\mathbb{P}(A|D_i)$ a probabilidade condicional do evento $A$ dado $D_i$.

Para a família finita de probabilidades condicionais $\{\mathbb{P}(A|D_i), i=1,\cdots,k\}$, associamos a variável aleatória $$\pi(\omega)=\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}[A|D_i]1\!\!1_{D_i}(\omega), \quad \omega \in \Omega,$$ assumindo valor $\mathbb{P}(A|D_i)$ no elemento $D_i$ da partição $\mathcal{D}$. Note que a variável aleatória $\pi$ está associada especificamente a partição $\mathcal{D}$ e será denominada probabilidade condicional do evento $A$ dado a partição $\mathcal{D}$. Utilizaremos a seguinte notação $$\mathbb{P}(A|\mathcal{D})~~~ou~~~\mathbb{P}(A|\mathcal{D})(\omega).$$

Como consequência da definição da probabilidade condicional dada uma partição, temos que $$\mathbb{P}(\cup_{i=1}^n A_i \mid \mathcal{D})(\omega)=\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i \mid \mathcal{D})(\omega), \quad \omega \in \Omega,$$ no qual $\{A_i\} \subset \mathcal{A}$ é uma sequência de eventos disjuntos $(A_i \cap A_j = \emptyset, ~ i \neq j)$. Se tomarmos $\mathcal{D}$ a partição trivial, ou seja, $\mathcal{D}=\{\Omega\}$, então $$\mathbb{P}(A|\mathcal{D})=\mathbb{P}(A|\Omega)=\mathbb{P}(A), \quad A \in \mathcal{A}.$$ Assim, a probabilidade condicional com respeito a partição $\mathcal{D}$ é uma função $\mathbb{P}(\cdot \mid \mathcal{D}): \mathcal{A} \times \Omega \rightarrow [0,1]$ satisfazendo

(i) Para todo $A \in \mathcal{A}$, temos que $\mathbb{P}(A \mid \mathcal{D}): \Omega \rightarrow [0,1]$ é uma variável aleatória;

(ii) Para todo $\omega \in \Omega$, temos que $\mathbb{P}(\cdot \mid \mathcal{D}) (\omega): \mathcal{A} \rightarrow [0,1]$ é uma probabilidade.

Desde que a probabilidade condicional é uma variável aleatória simples, para todo $A \in \mathcal{A}$, temos que $$E[\mathbb{P}(A|\mathcal{D})]=E[\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}[A|D_i]1\!\!1_{D_i}]=\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}[A|D_i]\mathbb{P}(D_i)=\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}[A\cap D_i]=\mathbb{P}(A).$$

Considere $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ uma variável aleatória simples na forma \[X(\omega)=\sum_{i=1}^n x_i 1\!\!1_{\{D_i\}}(\omega), \quad \omega \in \Omega,\] nos quais $D_i = \{ \omega \in \Omega: X(\omega)=x_i\}$, $\mathcal{R}_X=\{x_1, \cdots , x_n\}$  números distintos e $\mathcal{D}_X=\{D_1, \cdots ,D_n\}$ a partição induzida pela variável aleatória $X$. A probabilidade condicional $\mathbb{P}(\cdot \mid \mathcal{D}_X)$ será denotada por $\mathbb{P}(\cdot \mid X)$ e denominada probabilidade condicional dado a variável aleatória $X$. Da mesma forma, temos que $\mathbb{P}(A \mid X=x_i) = \mathbb{P}(A \mid D_i)$, para todo $i=1,2, \cdots, n$ e $A \in \mathcal{A}$.

Dados $X_1, \cdots , X_k$ variáveis aleatórias simples, denotamos por $\mathcal{D}_{X_1,\cdots , X_k}$ a partição induzida pelo vetor de variáveis aleatórias $(X_1, \cdots , X_k)$, na forma \[D_{x_1, \cdots , x_k}=\{\omega \in \Omega: X_1(\omega)=x_1, \cdots , X_k=x_k\}, \quad (x_1,\cdots , x_k) \in \mathcal{R}_{X_1} \times \cdots \times \mathcal{R}_{X_k},\] com $\mathcal{D}_{X_1,\cdots , X_k}=\{D_{x_1, \cdots , x_k}: (x_1,\cdots , x_k) \in \mathcal{R}_{X_1} \times \cdots \times \mathcal{R}_{X_k}\}$. Da mesma forma, a probabilidade condicional $\mathbb{P}(\cdot \mid \mathcal{D}_{X_1,\cdots , X_k})$  dado a partição induzida pelo vetor aleatório $(X_1, \cdots , X_k)$ será denotado por $\mathbb{P}(\cdot \mid X_1,\cdots , X_k)$. Para exemplos de probabilidade condicional com variáveis aleatórias simples ver o módulo esperança condicional.

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