3.3 - Esperança Condicional com respeito a uma sigma-álgebra

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Considere $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade e $ \mathcal{G} $ uma $ \sigma $-álgebra tal que $ \mathcal{G}\subset\mathcal{F} $. Seja $ X $ uma variável aleatória positiva e $ Q $ uma medida definida sobre $ (\Omega , \mathcal{G}) $, na forma

$$Q(A)=\mathbb{E}\left(X 1\!\!1_{A}\right), \quad A \in \mathcal{G}.$$

Por definição, sabemos $ Q(A)=0 $ sempre que $ \mathbb{P}(A)=0 $ para $ A \in \mathcal{G} $. Neste caso, dizemos que a medida $ Q $ é absolutamente continua com respeito a probabilidade $ \mathbb{P} $. Assim, como consequência do teorema de Radon-Nikodým, existe uma variável aleatória \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ satisfazendo:

(i) $ g $ é $ \mathcal{G} $-mensurável e,

(ii) Para todo $ A \in \mathcal{G} $, temos que

$$\mathbb{E}\left(X 1\!\!1_{A}\right)=\mathbb{E}\left(g 1\!\!1_{A}\right).$$

 Como consequência, apresentamos a seguinte definição da esperança condicional.

Definição 3.3.1:

A esperança condicional de uma variável aleatória positiva $ X $ dado a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{G}~(\subset \mathcal{F}) $, denotada por $ \mathbb{E}[X|\mathcal{G}] $, é a única $ (\mathbb{P}-q.c.) $ variável aleatória satisfazendo

i) $ \mathbb{E}[X|\mathcal{G}] $ é $ \mathcal{G} $-mensurável

ii) Para todo $ A\in \mathcal{G} $

$$\displaystyle \int_{A}X d \mathbb{P}=\int_{A}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]d\mathbb{P}.$$

​A esperança condicional de uma variável aleatória qualquer $ X $ com respeito a uma $ \sigma $-álgebra é dada por

$$\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=\mathbb{E}[X^+|\mathcal{G}]-\mathbb{E}[X^-|\mathcal{G}],$$

caso $ \mathbb{E}[X^+|\mathcal{G}] \textless \infty $ ou $ \mathbb{E}[X^-|\mathcal{G}]\}\textless \infty, $ nos quais $ X^+=\max(X,0) $ e $ X^-=\min(-X,0) $. Podemos definir também a variância condicional da seguinte forma.

Definição 3.3.2:

Seja $ X $ uma variável aleatória quase integrável e $ \mathbb{E}[X|\mathcal{G}] $ a esperança condicional com respeito a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{G} $. Então a variância condicional é dada por

$$Var[X|\mathcal{G}]=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X|\mathcal{G}])^2|\mathcal{G}]$$

 

Definição 3.3.3:

Dado $ B\in \mathcal{F} $, a probabilidade condicional de $ B $ dado a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{G} $ é definido por  

$$\mathbb{P}(B|\mathcal{G})=\mathbb{E}[1\!\!1_{B}|\mathcal{G}].$$

A partir da definição 3.3., obtemos que

\[\mathbb{E}\left(1\!\!1_{B}1\!\!1_{A}\right)=\mathbb{E}\left(\mathbb{P}(B|\mathcal{G})1\!\!1_{A}\right)=\int_{A} \mathbb{P}(B|\mathcal{G})d\mathbb{P}, \quad A \in \mathcal{G}.\]

Dado $ \mathcal{D}=\{D_1, \cdots , D_k\} $ uma partição finita de $ \Omega $, definimos e estudamos propriedades da esperança condicional com respeito a partição $ \mathcal{D} $. A seguir, vamos verificar que esta definição de esperança condicional está coerente com a definição via $ \sigma $-álgebra. O lema abaixo foi demonstrado no módulo anterior.

Lema 3.3.1:

Seja $ X $ uma variável aleatória $ \sigma(\mathcal{D}) $-mensurável. Então $ X $ pode ser representado da forma

$$X=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}c_k 1\!\!1_{D_k}$$

 

com $ c_k\in \mathbb{R} $, ou seja, $ X $ é constante em $ D_k $.

Proposição 3.3.1:

Se $ \mathcal{G}=\sigma(\mathcal{D}) $, com $ \mathcal{D} $ sendo uma partição e seja $ X $ uma variável aleatória tal que, $ \mathbb{E}[X] \textless\infty $.

$ \mathbb{E}[X|\mathcal{G}] 1\!\!1_{ \{D_i\}}=\mathbb{E}[X|D_i] 1\!\!1_{ \{ D_i\}} ~\mathbb{P} $-quase certamente,

ou equivalentemente,

$ \mathbb{E}[X|\mathcal{G}]1\!\!1_{\{D_i\}}=\displaystyle \frac{\mathbb{E}[X 1\!\!1_{D_i}]}{\mathbb{P}(D_i)} 1\!\!1_{ \{D_i\}}~\mathbb{P} $-quase certamente.

Demonstração:

De acordo com o lema anterior temos que $ \mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=c_i $ em $ D_i $, onde $ c_i\in \mathbb{R} $, Mas

$$\displaystyle\int_{D_i}X d\mathbb{P}=\int_{D_i}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] d\mathbb{P}=c_i\mathbb{P}(D_i).$$

Assim, temos que

$$c_i=\displaystyle \frac{1}{\mathbb{P}(D_i)}\int_{D_i}X d\mathbb{P}=\frac{\mathbb{E}[X 1\!\!1_{D_i}X]}{\mathbb{P}(D_i)}.$$

Portanto o resultado segue.

Agora vamos demonstrar algumas propriedades da esperança condicional dado uma $ \sigma $-àlgebra

Propriedades da Esperança condicional:

P1: Se $ C $ é uma constante e $ X=C $, quase certamente, então $ \mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=C $, quase certamente.

P2: A esperança condicional é linear, sejam c e b constantes e X e Y variáveis aleatórias. Então,

$$\mathbb{E}[cX+bY|\mathcal{G}]=c\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]+b\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}]~~\mathbb{P}-q.c.$$

P3: Se $ X\leq Y $ quase certamente, então $ \mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\leq \mathbb{E}[Y|\mathcal{G}]~~\mathbb{P}-q.c. $

P4: Seja $ \mathcal{G} \subset \mathcal{F} $ uma $ \sigma $-álgebra e $ \sigma(X) $ a $ \sigma $-álgebra gerada pela variável aleatória X, com $ \sigma(X)\subset\mathcal{G} $. Então

$$\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=X~~\mathbb{P}-q.c..$$

P5: Seja X uma variável aleatória e as $ \sigma $-álgebras $ \mathcal{G}_1\subset\mathcal{G}_2 $. Então,

a) $ \mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1]|\mathcal{G}_2]~~\mathbb{P}-q.c. $ e

b) $ \mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_2]|\mathcal{G}_1]~~\mathbb{P}-q.c. $

P6: Se a variável aleatória $ X $  e a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{G} $ são independentes, obtemos que

$$\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=\mathbb{E}[X]~~\mathbb{P}-q.c..$$

Em particular se X e Y são variáveis aleatórias independentes então $ \mathbb{E}[X|Y]=\mathbb{E}[X]~~\mathbb{P}-q.c. $.

P7: A esperança de $ X $ e a esperança de $ \mathbb{E}[X|\mathcal{G}] $ são as mesmas, ou seja

$$\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\right]~~\mathbb{P}-q.c..$$

Demonstração:

P1 - Claro que a função constante é mensurável com respeito a $ \mathcal{G} $. Assim basta verificar se

$$\displaystyle \int_{A}X d\mathbb{P}=\int_{A}C dP, ~~ A\in \mathcal{G}.$$

Entretanto por hipótese temos que $ X=C $  quase certamente, então essa equação é satisfeita e o resultado segue.

P2 - A propriedade 2 é consequência direta de propriedades da integral,

$$\displaystyle \int_{A}(cX+bY)d\mathbb{P}=c\int_{A}X d\mathbb{P}+b\int_{A}Y d\mathbb{P}=c\int_{A}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] d\mathbb{P}+b\int_{A}\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}] d\mathbb{P}=$$

$$\int_{A}\left(c\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]+b\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] \right)d\mathbb{P}.$$

 

e portanto o resultado segue.

P3 - Se $ X\leq Y $ quase certamente, então

$$\displaystyle \int_{A}X d\mathbb{P} \leq \int_{A}Y d\mathbb{P}, ~~ A \in \mathcal{G}$$

 

mais isso implica que

$$\displaystyle \int_{A}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] d\mathbb{P} \leq \int_{A}\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}] d\mathbb{P}, ~~ A \in \mathcal{G}$$

 

e portanto o resultado segue.

P4 - Desde que $ \sigma(X)\subset \mathcal{G} $, temos então que $ X $ é $ \mathcal{G} $-mensurável, logo

$$\displaystyle \int_AXd\mathbb{P}=\int_A\mathbb{E}(X|\mathcal{G})d\mathbb{P}, ~~A\in\mathcal{G}$$

o que implica que $ X=\mathbb{E}(X|\mathcal{G}) $ $ \mathbb{P} $-q.c.

E portanto o resultado segue.

P5 - a) De fato, seja $ A\in \mathcal{G}_1 $ então

$$\displaystyle \int_A \mathbb{E}(X|\mathcal{G}_1)d\mathbb{P}=\int_AXd\mathbb{P}$$

desde que $ \mathcal{G}_1\subset\mathcal{G}_2 $, temos que $ A\in \mathcal{G}_1 $ implica em $ A\in \mathcal{G}_2 $ então

$$\displaystyle \int_{A}\mathbb{E}(X|\mathcal{G}_2)d\mathbb{P}=\int_A\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|\mathcal{G}_1)|\mathcal{G}_2]d\mathbb{P}=\int_AXd\mathbb{P}$$

E portanto o resultado segue

b) Seja $ A\in \mathcal{G}_1 $ e $ Y=\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1] $

$$\displaystyle \int_A Yd\mathbb{P}=\int_A Xd\mathbb{P}$$

Por outro lado por P4 temos que desde que $ A\in \mathcal{G}_1\subset\mathcal{G}_2 $

$$\displaystyle \int_A\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_2]|\mathcal{G}_1]d\mathbb{P}=\int_A\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_2]d\mathbb{P}=\int_A\mathbb{E}(X|\mathcal{G}_1)d\mathbb{P}=\int_A Xd\mathbb{P}$$

então o resultado segue.

P6 - Temos que desde que $ \mathbb{E}[X] $ é $ \mathcal{G} $-mensurável, temos apenas que verificar que

$$\displaystyle \int_A X d\mathbb{P} =\int_A \mathbb{E}[X]d\mathbb{P},\quad A\in \mathcal{G}$$

ou seja, $ \mathbb{E}[X1\!\!1_A]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[1\!\!1_A] $. Mas isso segue da Proposição 3.2.4.

 

P7 - Tome primeiramente a $ \sigma $-álgebra trivial $ \mathcal{G}_1=\{\emptyset,\Omega\} $. Então seja $ A\in \mathcal{G}_1 $, temos

$$\displaystyle \int_{A}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1]d\mathbb{P}=\int_{A}X d\mathbb{P}.$$

 

claro que, $ A\in \mathcal{G}_1\subset\mathcal{G} $ então

$$\displaystyle \int_{A}\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1]|\mathcal{G}]d\mathbb{P}=\int_{A}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=\int_{A}X d\mathbb{P}$$

e portanto o resultado segue

 

Abaixo definiremos algumas desigualdades importantes para esperança.

 

Teorema 3.3.4:

Seja $ (X_n)_n\in\mathbb{N} $ uma sequência de variáveis aleatórias. Então

i) Se $ |X_n|\leq Y $, $ \mathbb{E}[Y]\textless \infty $ e $ X_n\rightarrow X $ quase certamente, então

$$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]\rightarrow \mathbb{E}[X|\mathcal{G}]~~quase~~certamente$$

e

$$\mathbb{E}[|X_n-X||\mathcal{G}]\rightarrow 0~~quase~~certamente$$

 

ii) Se $ X_n\geq Y $, $ \mathbb{E}[Y]\textgreater -\infty $ e $ X_n\uparrow X $ quase certamente, então

$$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]\uparrow \mathbb{E}[X|\mathcal{G}]~~quase~~certamente$$

 

iii) Se $ X_n\leq Y $, $ \mathbb{E}[Y]\textless \infty $ e $ X_n\downarrow X $ quase certamente, então

 

$$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]\downarrow \mathbb{E}[X|\mathcal{G}]~~quase~~certamente$$

 

iv) Se $ X_n\geq Y $, $ \mathbb{E}[Y]\textgreater -\infty $, então

 

$$\mathbb{E}[\liminf X_n|\mathcal{G}]\leq\liminf \mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]~~quase~~certamente$$

 

v) Se $ X_n\leq Y $, $ \mathbb{E}[Y]\textless\infty $, então

$$\mathbb{E}[\limsup X_n|\mathcal{G}]\geq\limsup \mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]~~quase~~certamente$$

 

vi) Se $ X_n\geq 0 $, então

 

$$\displaystyle \mathbb{E}[\sum X_n|\mathcal{G}]=\sum \mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]~~quase~~certamente$$

 

Demonstração:

i)Seja $ W_n= \sup_{m\geq n |X_n-X|} $. Como $ X_n \rightarrow X  $ quase certamente, temos que $ W_n\downarrow 0 $ quase certamente. A esperança $ \mathbb{E}[X_n] $ e $ \mathbb{E}[X] $ são finitas, assim usando as propriedades de esperança condicional temos que:

$$|\mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]-\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]|=|\mathbb{E}[X_n-X|\mathcal{G}]|\leq \mathbb{E}[|X_n-X||\mathcal{G}]\leq \mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}].$$

 

Desde que$ \mathbb{E}[W_{n+1}|\mathcal{G}]\leq \mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}] $ quase certamente, e assim o $ \lim_n \mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}]=h $ existe quase certamente. Então

$$0\leq \int_{\Omega}h d\mathbb{P}\leq \int_{\Omega}\mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}]d\mathbb{P}=\int_{\Omega}W_nd\mathbb{P}\rightarrow 0, ~~ n\rightarrow \infty,$$

 

onde a ultima igualdade decorre do teorema da convergência dominada, o qual é um teorema muito importante dentro da teoria da medida. Assim $ \int_{\Omega}hd\mathbb{P}=0 $ implica pelas propriedades de esperança condicional, isto implica que h=0 quase certamente. E portanto o resultado segue.

ii) Primeiro seja, $ Y=0 $. Desde que $ \mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]\leq \mathbb{E}[X_{n+1}|\mathcal{G}] $ quase certamente. Seja $ \lim_{n}\mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]=W(\omega) $ existe quase certamente. Então a equação

$$\int_{A}X_n d\mathbb{P}=\int_A \mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]d\mathbb{P}, ~ A\in \mathcal{G},$$

 

e pelo teorema da convergência monótona, temos que

$$\int_A X_nd\mathbb{P}=\int_A W d\mathbb{P}, ~~ A \in \mathcal{G}$$

 

Consequentemente $ X=W $ quase certamente. E portanto o resultado segue.

iii) O resultado segue do resultado anterior.

iv) Seja $ W_n= \inf_{m\geq n}X_m $, então $ X_n\uparrow X $, onde $ W=\liminf X_n $. Usando ii) $ \mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}]\uparrow \mathbb{E}[W|\mathcal{G}] $ quase certamente. Portanto,

$$\mathbb{E}[W|\mathcal{G}]=\lim_{n}\mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}]=\liminf \mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}]\leq \liminf \mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]$$

 

e o resultado segue.

v) Segue do iv)

vi) Se $ X_n \geq 0  $, pelas propriedades de esperança condicional temos que

$$\mathbb{E}\left[\displaystyle \sum_{k=1}^{n}X_k|\mathcal{G}\right]=\sum_{k=1}^{n}\mathbb{E}[X_k|\mathcal{G}]$$

Assim uma utilizando ii), e o resultado segue. 

 

Proposição 3.3.2:

Seja $ \mathcal{G} $ uma $ \sigma $-álgebra e $ \sigma(X) $ a $ \sigma $-álgebra gerada pela variável aleatória X, com $ \sigma(X)\subset\mathcal{G} $. Ao tomarmos $ Y $ uma variável aleatória qualquer, obtemos que

$$\mathbb{E}[XY|\mathcal{G}]=X\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}]~~\mathbb{P}-q.c..$$

Em particular se $ X $ é uma função da variável $ Z $, então $ \sigma(X)\subset\sigma(Z) $ e,

$$\mathbb{E}[XY|Z]=X\mathbb{E}[Y|Z]~~\mathbb{P}-q.c..$$

Demonstração:

Considere primeiramente $ Y=\mathds{1}_{B} $ e $ B\in \mathcal{G} $. Então, para todo $ A\in \mathcal{G} $,

$$\displaystyle \int_A XYd\mathbb{P}=\int_{A\cap B} Xd\mathbb{P}=\int_{A\cap B}\mathbb{E}(X|\mathcal{G})d\mathbb{P}=\int_{A}\mathds{1}_B\mathbb{E}(X|\mathcal{G})d\mathbb{P}=\int_A Y\mathbb{E}(X|\mathcal{G})d\mathbb{P}$$

Então, pela propriedade de aditividade da integral temos que

$$\displaystyle \int_A XYd\mathbb{P}=\int_A Y\mathbb{E}(X|\mathcal{G})d\mathbb{P},~~A\in\mathcal{G}$$

é valido para $ Y=\displaystyle \sum_{k=1}^n y_k \mathds{1}_{B_k} $, $ B_k\in \mathcal{G} $, o que implica que

$$\mathbb{E}(XY|\mathcal{G})=Y\mathbb{E}(X|\mathcal{G})$$

Agora seja $ Y $ qualquer variável $ \mathcal{G} $-mensurável com $ \mathbb{E}(|Y|)\textless \infty $ e seja $ \{Y_n\}_{n\geq 1} $ uma sequência de variáveis tal que $ |Y_n|\leq Y $ e $ Y_n\rightarrow Y $. Então como é valido para variáveis simples temos que

$$\mathbb{E}(XY_n|\mathcal{G})=Y_n\mathbb{E}(X|\mathcal{G})$$

Claro que $ |XY_n|\leq |XY| $, com $ |XY|\textless \infty $. Portanto pelo teorema 3.3.4 temos que

$$\mathbb{E}(XY_n|\mathcal{G})\rightarrow \mathbb{E}(XY|\mathcal{G})$$

E portanto o resultado segue.

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