3.3 - Esperança Condicional com respeito a uma sigma-álgebra

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Considere $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $\mathcal{G}$ uma $\sigma$-álgebra tal que $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$. Seja $X$ uma variável aleatória positiva e $Q$ uma medida definida sobre $(\Omega , \mathcal{G})$, na forma $$Q(A)=\mathbb{E}\left(X 1\!\!1_{A}\right), \quad A \in \mathcal{G}.$$ Por definição, sabemos $Q(A)=0$ sempre que $\mathbb{P}(A)=0$ para $A \in \mathcal{G}$. Neste caso, dizemos que a medida $Q$ é absolutamente continua com respeito a probabilidade $\mathbb{P}$. Assim, como consequência do teorema de Radon-Nikodým, existe uma variável aleatória $g:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ satisfazendo:

(i) $g$ é $\mathcal{G}$-mensurável e,

(ii) Para todo $A \in \mathcal{G}$, temos que $$\mathbb{E}\left(X 1\!\!1_{A}\right)=\mathbb{E}\left(g 1\!\!1_{A}\right).$$  Como consequência, apresentamos a seguinte definição da esperança condicional.

Definição 3.3.1:

A esperança condicional de uma variável aleatória positiva $X$ dado a $\sigma$-álgebra $\mathcal{G}~(\subset \mathcal{F})$, denotada por $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$, é a única $(\mathbb{P}-q.c.)$ variável aleatória satisfazendo

i) $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ é $\mathcal{G}$-mensurável

ii) Para todo $A\in \mathcal{G}$

$$\displaystyle \int_{A}X d \mathbb{P}=\int_{A}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]d\mathbb{P}.$$

​A esperança condicional de uma variável aleatória qualquer $X$ com respeito a uma $\sigma$-álgebra é dada por $$\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=\mathbb{E}[X^+|\mathcal{G}]-\mathbb{E}[X^-|\mathcal{G}],$$ caso $\mathbb{E}[X^+|\mathcal{G}] \textless \infty$ ou $\mathbb{E}[X^-|\mathcal{G}]\}\textless \infty,$ nos quais $X^+=\max(X,0)$ e $X^-=\min(-X,0)$. Podemos definir também a variância condicional da seguinte forma.

Definição 3.3.2:

Seja $X$ uma variável aleatória quase integrável e $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ a esperança condicional com respeito a $\sigma$-álgebra $\mathcal{G}$. Então a variância condicional é dada por $$Var[X|\mathcal{G}]=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X|\mathcal{G}])^2|\mathcal{G}]$$

 

Definição 3.3.3:

Dado $B\in \mathcal{F}$, a probabilidade condicional de $B$ dado a $\sigma$-álgebra $\mathcal{G}$ é definido por  $$\mathbb{P}(B|\mathcal{G})=\mathbb{E}[1\!\!1_{B}|\mathcal{G}].$$ A partir da definição 3.3., obtemos que \[\mathbb{E}\left(1\!\!1_{B}1\!\!1_{A}\right)=\mathbb{E}\left(\mathbb{P}(B|\mathcal{G})1\!\!1_{A}\right)=\int_{A} \mathbb{P}(B|\mathcal{G})d\mathbb{P}, \quad A \in \mathcal{G}.\] Dado $\mathcal{D}=\{D_1, \cdots , D_k\}$ uma partição finita de $\Omega$, definimos e estudamos propriedades da esperança condicional com respeito a partição $\mathcal{D}$. A seguir, vamos verificar que esta definição de esperança condicional está coerente com a definição via $\sigma$-álgebra. O lema abaixo foi demonstrado no módulo anterior.

Lema 3.3.1:

Seja $X$ uma variável aleatória $\sigma(\mathcal{D})$-mensurável. Então $X$ pode ser representado da forma

$$X=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}c_k 1\!\!1_{D_k}$$

 

com $c_k\in \mathbb{R}$, ou seja, $X$ é constante em $D_k$.

Proposição 3.3.1:

Se $\mathcal{G}=\sigma(\mathcal{D})$, com $\mathcal{D}$ sendo uma partição e seja $X$ uma variável aleatória tal que, $\mathbb{E}[X] \textless\infty$.

$\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] 1\!\!1_{ \{D_i\}}=\mathbb{E}[X|D_i] 1\!\!1_{ \{ D_i\}} ~\mathbb{P}$-quase certamente,

ou equivalentemente,

$\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]1\!\!1_{\{D_i\}}=\displaystyle \frac{\mathbb{E}[X 1\!\!1_{D_i}]}{\mathbb{P}(D_i)} 1\!\!1_{ \{D_i\}}~\mathbb{P}$-quase certamente.

Demonstração:

De acordo com o lema anterior temos que $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=c_i$ em $D_i$, onde $c_i\in \mathbb{R}$, Mas

$$\displaystyle\int_{D_i}X d\mathbb{P}=\int_{D_i}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] d\mathbb{P}=c_i\mathbb{P}(D_i).$$ Assim, temos que

$$c_i=\displaystyle \frac{1}{\mathbb{P}(D_i)}\int_{D_i}X d\mathbb{P}=\frac{\mathbb{E}[X 1\!\!1_{D_i}X]}{\mathbb{P}(D_i)}.$$ Portanto o resultado segue.

Agora vamos demonstrar algumas propriedades da esperança condicional dado uma $\sigma$-àlgebra

Propriedades da Esperança condicional:

P1: Se $C$ é uma constante e $X=C$, quase certamente, então $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=C$, quase certamente.

P2: A esperança condicional é linear, sejam c e b constantes e X e Y variáveis aleatórias. Então,

$$\mathbb{E}[cX+bY|\mathcal{G}]=c\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]+b\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}]~~\mathbb{P}-q.c.$$

P3: Se $X\leq Y$ quase certamente, então $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\leq \mathbb{E}[Y|\mathcal{G}]~~\mathbb{P}-q.c.$

P4: Seja $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ uma $\sigma$-álgebra e $\sigma(X)$ a $\sigma$-álgebra gerada pela variável aleatória X, com $\sigma(X)\subset\mathcal{G}$. Então

$$\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=X~~\mathbb{P}-q.c..$$

P5: Seja X uma variável aleatória e as $\sigma$-álgebras $\mathcal{G}_1\subset\mathcal{G}_2$. Então,

a) $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1]|\mathcal{G}_2]~~\mathbb{P}-q.c.$ e

b) $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_2]|\mathcal{G}_1]~~\mathbb{P}-q.c.$

P6: Se a variável aleatória $X$  e a $\sigma$-álgebra $\mathcal{G}$ são independentes, obtemos que

$$\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=\mathbb{E}[X]~~\mathbb{P}-q.c..$$

Em particular se X e Y são variáveis aleatórias independentes então $\mathbb{E}[X|Y]=\mathbb{E}[X]~~\mathbb{P}-q.c.$.

P7: A esperança de $X$ e a esperança de $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ são as mesmas, ou seja

$$\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\right]~~\mathbb{P}-q.c..$$

Demonstração:

P1 - Claro que a função constante é mensurável com respeito a $\mathcal{G}$. Assim basta verificar se

$$\displaystyle \int_{A}X d\mathbb{P}=\int_{A}C dP, ~~ A\in \mathcal{G}.$$

Entretanto por hipótese temos que $X=C$  quase certamente, então essa equação é satisfeita e o resultado segue.

P2 - A propriedade 2 é consequência direta de propriedades da integral,

$$\displaystyle \int_{A}(cX+bY)d\mathbb{P}=c\int_{A}X d\mathbb{P}+b\int_{A}Y d\mathbb{P}=c\int_{A}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] d\mathbb{P}+b\int_{A}\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}] d\mathbb{P}=$$
$$\int_{A}\left(c\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]+b\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] \right)d\mathbb{P}.$$

 

e portanto o resultado segue.

P3 - Se $X\leq Y$ quase certamente, então
$$\displaystyle \int_{A}X d\mathbb{P} \leq \int_{A}Y d\mathbb{P}, ~~ A \in \mathcal{G}$$

 

mais isso implica que

$$\displaystyle \int_{A}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] d\mathbb{P} \leq \int_{A}\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}] d\mathbb{P}, ~~ A \in \mathcal{G}$$

 

e portanto o resultado segue.

P4 - Desde que $\sigma(X)\subset \mathcal{G}$, temos então que $X$ é $\mathcal{G}$-mensurável, logo

$$\displaystyle \int_AXd\mathbb{P}=\int_A\mathbb{E}(X|\mathcal{G})d\mathbb{P}, ~~A\in\mathcal{G}$$

o que implica que $X=\mathbb{E}(X|\mathcal{G})$ $\mathbb{P}$-q.c.

E portanto o resultado segue.

P5 - a) De fato, seja $A\in \mathcal{G}_1$ então

$$\displaystyle \int_A \mathbb{E}(X|\mathcal{G}_1)d\mathbb{P}=\int_AXd\mathbb{P}$$

desde que $\mathcal{G}_1\subset\mathcal{G}_2$, temos que $A\in \mathcal{G}_1$ implica em $A\in \mathcal{G}_2$ então

$$\displaystyle \int_{A}\mathbb{E}(X|\mathcal{G}_2)d\mathbb{P}=\int_A\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|\mathcal{G}_1)|\mathcal{G}_2]d\mathbb{P}=\int_AXd\mathbb{P}$$

E portanto o resultado segue

b) Seja $A\in \mathcal{G}_1$ e $Y=\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1]$

$$\displaystyle \int_A Yd\mathbb{P}=\int_A Xd\mathbb{P}$$

Por outro lado por P4 temos que desde que $A\in \mathcal{G}_1\subset\mathcal{G}_2$

$$\displaystyle \int_A\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_2]|\mathcal{G}_1]d\mathbb{P}=\int_A\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_2]d\mathbb{P}=\int_A\mathbb{E}(X|\mathcal{G}_1)d\mathbb{P}=\int_A Xd\mathbb{P}$$

então o resultado segue.

P6 - Temos que desde que $\mathbb{E}[X]$ é $\mathcal{G}$-mensurável, temos apenas que verificar que

$$\displaystyle \int_A X d\mathbb{P} =\int_A \mathbb{E}[X]d\mathbb{P},\quad A\in \mathcal{G}$$

ou seja, $\mathbb{E}[X1\!\!1_A]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[1\!\!1_A]$. Mas isso segue da Proposição 3.2.4.

 

P7 - Tome primeiramente a $\sigma$-álgebra trivial $\mathcal{G}_1=\{\emptyset,\Omega\}$. Então seja $A\in \mathcal{G}_1$, temos
$$\displaystyle \int_{A}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1]d\mathbb{P}=\int_{A}X d\mathbb{P}.$$

 

claro que, $A\in \mathcal{G}_1\subset\mathcal{G}$ então

$$\displaystyle \int_{A}\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1]|\mathcal{G}]d\mathbb{P}=\int_{A}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=\int_{A}X d\mathbb{P}$$

e portanto o resultado segue

 

Abaixo definiremos algumas desigualdades importantes para esperança.

 

Teorema 3.3.4:

Seja $(X_n)_n\in\mathbb{N}$ uma sequência de variáveis aleatórias. Então

i) Se $|X_n|\leq Y$, $\mathbb{E}[Y]\textless \infty$ e $X_n\rightarrow X$ quase certamente, então

$$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]\rightarrow \mathbb{E}[X|\mathcal{G}]~~quase~~certamente$$

e

$$\mathbb{E}[|X_n-X||\mathcal{G}]\rightarrow 0~~quase~~certamente$$

 

ii) Se $X_n\geq Y$, $\mathbb{E}[Y]\textgreater -\infty$ e $X_n\uparrow X$ quase certamente, então

$$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]\uparrow \mathbb{E}[X|\mathcal{G}]~~quase~~certamente$$

 

iii) Se $X_n\leq Y$, $\mathbb{E}[Y]\textless \infty$ e $X_n\downarrow X$ quase certamente, então

  $$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]\downarrow \mathbb{E}[X|\mathcal{G}]~~quase~~certamente$$

 

iv) Se $X_n\geq Y$, $\mathbb{E}[Y]\textgreater -\infty$, então

  $$\mathbb{E}[\liminf X_n|\mathcal{G}]\leq\liminf \mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]~~quase~~certamente$$

 

v) Se $X_n\leq Y$, $\mathbb{E}[Y]\textless\infty$, então

$$\mathbb{E}[\limsup X_n|\mathcal{G}]\geq\limsup \mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]~~quase~~certamente$$

 

vi) Se $X_n\geq 0$, então

  $$\displaystyle \mathbb{E}[\sum X_n|\mathcal{G}]=\sum \mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]~~quase~~certamente$$

 

Demonstração:

i)Seja $W_n= \sup_{m\geq n |X_n-X|}$. Como $X_n \rightarrow X $ quase certamente, temos que $W_n\downarrow 0$ quase certamente. A esperança $\mathbb{E}[X_n]$ e $\mathbb{E}[X]$ são finitas, assim usando as propriedades de esperança condicional temos que:

$$|\mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]-\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]|=|\mathbb{E}[X_n-X|\mathcal{G}]|\leq \mathbb{E}[|X_n-X||\mathcal{G}]\leq \mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}].$$

 

Desde que$\mathbb{E}[W_{n+1}|\mathcal{G}]\leq \mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}]$ quase certamente, e assim o $\lim_n \mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}]=h$ existe quase certamente. Então

$$0\leq \int_{\Omega}h d\mathbb{P}\leq \int_{\Omega}\mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}]d\mathbb{P}=\int_{\Omega}W_nd\mathbb{P}\rightarrow 0, ~~ n\rightarrow \infty,$$

 

onde a ultima igualdade decorre do teorema da convergência dominada, o qual é um teorema muito importante dentro da teoria da medida. Assim $\int_{\Omega}hd\mathbb{P}=0$ implica pelas propriedades de esperança condicional, isto implica que h=0 quase certamente. E portanto o resultado segue.

ii) Primeiro seja, $Y=0$. Desde que $\mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]\leq \mathbb{E}[X_{n+1}|\mathcal{G}]$ quase certamente. Seja $\lim_{n}\mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]=W(\omega)$ existe quase certamente. Então a equação

$$\int_{A}X_n d\mathbb{P}=\int_A \mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]d\mathbb{P}, ~ A\in \mathcal{G},$$

 

e pelo teorema da convergência monótona, temos que

$$\int_A X_nd\mathbb{P}=\int_A W d\mathbb{P}, ~~ A \in \mathcal{G}$$

 

Consequentemente $X=W$ quase certamente. E portanto o resultado segue.

iii) O resultado segue do resultado anterior.

iv) Seja $W_n= \inf_{m\geq n}X_m$, então $X_n\uparrow X$, onde $W=\liminf X_n$. Usando ii) $\mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}]\uparrow \mathbb{E}[W|\mathcal{G}]$ quase certamente. Portanto,

$$\mathbb{E}[W|\mathcal{G}]=\lim_{n}\mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}]=\liminf \mathbb{E}[W_n|\mathcal{G}]\leq \liminf \mathbb{E}[X_n|\mathcal{G}]$$

 

e o resultado segue.

v) Segue do iv)

vi) Se $X_n \geq 0 $, pelas propriedades de esperança condicional temos que

$$\mathbb{E}\left[\displaystyle \sum_{k=1}^{n}X_k|\mathcal{G}\right]=\sum_{k=1}^{n}\mathbb{E}[X_k|\mathcal{G}]$$

Assim uma utilizando ii), e o resultado segue. 

 

Proposição 3.3.2:

Seja $\mathcal{G}$ uma $\sigma$-álgebra e $\sigma(X)$ a $\sigma$-álgebra gerada pela variável aleatória X, com $\sigma(X)\subset\mathcal{G}$. Ao tomarmos $Y$ uma variável aleatória qualquer, obtemos que

$$\mathbb{E}[XY|\mathcal{G}]=X\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}]~~\mathbb{P}-q.c..$$

Em particular se $X$ é uma função da variável $Z$, então $\sigma(X)\subset\sigma(Z)$ e,

$$\mathbb{E}[XY|Z]=X\mathbb{E}[Y|Z]~~\mathbb{P}-q.c..$$

Demonstração:

Considere primeiramente $Y=\mathds{1}_{B}$ e $B\in \mathcal{G}$. Então, para todo $A\in \mathcal{G}$,
$$\displaystyle \int_A XYd\mathbb{P}=\int_{A\cap B} Xd\mathbb{P}=\int_{A\cap B}\mathbb{E}(X|\mathcal{G})d\mathbb{P}=\int_{A}\mathds{1}_B\mathbb{E}(X|\mathcal{G})d\mathbb{P}=\int_A Y\mathbb{E}(X|\mathcal{G})d\mathbb{P}$$
Então, pela propriedade de aditividade da integral temos que
$$\displaystyle \int_A XYd\mathbb{P}=\int_A Y\mathbb{E}(X|\mathcal{G})d\mathbb{P},~~A\in\mathcal{G}$$
é valido para $Y=\displaystyle \sum_{k=1}^n y_k \mathds{1}_{B_k}$, $B_k\in \mathcal{G}$, o que implica que

$$\mathbb{E}(XY|\mathcal{G})=Y\mathbb{E}(X|\mathcal{G})$$

Agora seja $Y$ qualquer variável $\mathcal{G}$-mensurável com $\mathbb{E}(|Y|)\textless \infty$ e seja $\{Y_n\}_{n\geq 1}$ uma sequência de variáveis tal que $|Y_n|\leq Y$ e $Y_n\rightarrow Y$. Então como é valido para variáveis simples temos que
$$\mathbb{E}(XY_n|\mathcal{G})=Y_n\mathbb{E}(X|\mathcal{G})$$
Claro que $|XY_n|\leq |XY|$, com $|XY|\textless \infty$. Portanto pelo teorema 3.3.4 temos que
$$\mathbb{E}(XY_n|\mathcal{G})\rightarrow \mathbb{E}(XY|\mathcal{G})$$
E portanto o resultado segue.

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