5.3 - Autovalores e Cadeias Irredutíveis

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Seja P uma matriz de transição e seja $ \lambda $ os autovalores da matriz P, o qual é definido da seguinte forma

$$PX=\lambda X$$

 

A solução desta equação quando X é um vetor não nulo temos que X é chamado de autovetor e $ \lambda $ é o autovalor. Podemos reescrever a equação da seguinte forma:

$$|\lambda I- P|=0$$

 

Seja $ \Lambda = \lambda I $, seja $ M $ uma matriz onde os autovetores de P, onde os autovalores compõem a matriz M em forma de coluna.

Assim P é dito diagonalizável se P pode ser escrito como sendo

$$P=M\Lambda M^{-1}$$

$$P^2=(M\Lambda M^{-1})(M\Lambda M^{-1})=M\Lambda^2 M^{-1}$$

 

Por indução temos que $ P^n=M\Lambda^n M^{-1} $

Exemplo 5.3.1:

Seja

$$P=\left( \begin{array}{c} ~~0/2 ~~2/2\\ ~~1/2 ~~1/2 \\ \end{array}\right)$$

 

Precisamos encontrar os autovalores assim queremos encontrar $ |\lambda I-P|=0 $, ou seja,

$$\left|\left( \begin{array}{c} ~~\lambda ~~0\\ ~~0 ~~\lambda \\ \end{array}\right)-\left( \begin{array}{c} ~~0/2 ~~2/2\\ ~~1/2 ~~1/2 \\ \end{array}\right)\right|=0$$

$$\left|\left( \begin{array}{c} ~~\lambda-0/2 ~~0-2/2\\ ~~0-1/2 ~~\lambda-1/2 \\ \end{array}\right)\right|=0$$

 

portanto calculando o determinante temos que $ \lambda_1=1 $ e $ \lambda_2=-1/2 $. Para $ \lambda=1 $ temos o seguinte autovetor associado

$$PX=\lambda X\Rightarrow PX=X$$

$$\left|\left( \begin{array}{c} 0/2 ~~~~2/2\\ 1/2 ~~~~1/2 \\ \end{array}\right)\right|=0$$

 

o que implica que

$$x_{12}=x_{11}$$

 

Além disso temos que

$$1/2(x_{11}+x_{12})=x_{12}$$

$$\left( \begin{array}{c} 0/2 ~~~~2/2\\ 1/2 ~~~~1/2 \\ \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} x_{21} \\ X_{22} \\ \end{array}\right)\=1/2 \left( \begin{array}{c} X_{21}\\ X_{22}\\ \end{array}\right)$$

 

o que implica que

$$x_{22}=-1/2 x_{21}$$

 

e

$$1/2(x_{21}+x_{22})=-1/2 x_{22}$$

 

Se tomarmos $ x_{11}=x_{12}=1=x_{21} $ então teremos que $ x_{22}=-1/2 $ e portanto nossa matriz M será dada por

$$M=\left( \begin{array}{c} 2/2 ~~~~2/2\\ 2/2 ~~~~-1/2 \\ \end{array}\right)$$

$$M^{-1}=\left( \begin{array}{c} 1/3 ~~~~2/3\\ 2/3 ~~~~-2/3 \\ \end{array}\right)$$

 

Assim temos que $ P=M\lambda M^{-1} $ e portanto $ P^n =M\lambda^{n} M^{-1} $

$$P^n=\left( \begin{array}{c} 2/2 ~~~~0/2\\ 2/2 ~~~~-1/2 \\ \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} 2/2 ~~~~0/2\\ 0/2 ~~~~(-1/2)^n \\ \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} 1/3~~~~2/3\\ 2/3 ~~~~-2/3 \\ \end{array}\right)=$$

$$=\left( \begin{array}{c} 1/3+2/3(-1/2)^n ~~~~2/3-2/3(-1/2)^n\\ 1/3-1/3(-1/2)^n ~~~~2/3+1/3(-1/2)^n \\ \end{array}\right)$$

 

Uma enorme de informação a respeito de uma cadeia de markov finita pode ser retirada a partir da natureza dos autovalores associados a matriz de probabilidade de transição, como por exemplo pelo teorema de Perron-Frobenius da teoria de matrizes temos que existe um autovalor $ r $ chamado de autovalor de perron-frobenius, tal que para qualquer outro autovalor $ \lambda $ temos que $ |\lambda|\leq r $, se $ r $ for menor ou igual a $ 1 $, então temos que a cadeia de markov é irredutível, mas isso vale apenas para cadeias finitas. Além disso o número de autovalores unitários em modulo nos fornece a periodicidade das cadeias de markov periódicas.

Teorema 5.3.1: (lema de Kemeny-Snell)

Seja P uma matriz estocástica (m$ \times $ m) sm nenhum elemento zero. Seja $ \epsilon $ a menor entrada de P. Seja X qualquer vetor coluna com $ m $ componentes, e com o menor componente dado por $ a_0 $ e o maior dado por $ b_0 $. Seja $ a_1 $ e $ b_1 $ o mínimo e o máximo componente respectivamente de PX. Então

$$a_1\geq a_0$$

$$b1\leq b_0$$

 

e

$$b_1-a_1\leq (1-2\epsilon)(b_0-a_0)$$

 

A demonstração pode ser encontrada no livro Bhat e Miller e também no artigo Kemeny-Snell (1959).

Note que esse lema implica que o poder da matriz probabilidade de transição P é crescente e o mínimo e o máximo de cada coluna correspondente fica mais próximo e portanto no limite $ \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}P^n $ todos os elementos de uma mesma coluna serão idênticos, ou seja, teremos linhas idênticas.

Esse teorema nos ajuda a determinar o comportamento limite de uma cadeia de markov.

Processo Estocástico

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