5.4 - Comportamento Limite

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O comportamento limite descreve bem o comportamento do processo estocástico em si, por que de modo geral a convergência é rápida, isto não ocorre apenas se entra em uma região critica, a qual nem sempre existe. Além disso, de modo geral é mais fácil trabalhar com o limite o processo.

Observe que o teorema 5.3.1 da seção anterior nos dá uma taxa de convergência $ (1-2\epsilon) $. Pelo teorema 5.3.1 anterior como ele garante que as linhas são idênticas temos que $ \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}P_{ij}^n=\pi_{j}, \forall i ~~e~~ \forall j \in\{1,2,\cdots,m\} $.

Teorema 5.4.1:

Seja $ \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}P_{ij}^n=\pi_{j}; \forall i ~~e~~ \forall j \in\{1,2,\cdots,m\} $, então existe uma constante c e uma constante r com $ c \textgreater 0  $ e $ 0\textgreater r\textgreater 1 $, tal que

$$P^{(n)_{ij}}=\pi_j+e^{(n)}_{ij}$$

 

onde

$$|e^{(n)}_{ij}|\leq c r^n$$

 

Quando a matriz de transição não tem nenhum zero então c=1.

Demonstração:

Do teorema 4.3.1 anterior podemos escrever

$$|e^{(n)}_{ij}|\leq b_n-a_n=d_n$$

 

onde $ d_n $ é o maior dos $ d^{(j)}_n\leq (1-2\epsilon)^n, \forall n\geq 1 $. A constante c e r podem ser obtidas comom $ c=(1-2\epsilon_N)^{-1} $ e $ r=(1-2\epsilon_N)^{1/N} $, no qual N é o menor valor de $ P^n $, para o qual $ P^n $ não tem nenhum elemento zero.

Em termos pratico podemos encontrar

$$N_{\alpha}^{\star}=min\left\{n\|P_{ij}^{(n)}-\pi_j\|\textless \alpha\right\}$$

$$=min\left\{n|e^{(n)}_{ij}|\textless \alpha\right\}$$

$$=cr^n\textless \alpha$$

 

Quando P não tem nenhum elemento igual a zero, temos que a desigualdade $ r^n\textless\alpha $.

Teorema 5.4.2: 

i) Seja i um estado pertence a uma classe de equivalência recorrente e aperiódica. Seja $ P^{(n)}_{ii} $ a probabilidade do n-ésimo passo com transição de $ i\rightarrow i $, e seja $ \mu_i $ a o tempo médio de recorrência definida anteriormente. Então $ \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}P^{(n)}_{ii} $ existe e é dado por

$$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}P^{(n)}_{ii}=\frac{1}{\mu_i}$$

 

ii)Seja j um outro estado que pertence a mesma classe de equivalência de i e seja $ P^{(n)}_{ji} $ a probabilidade do n-ésimo passo com transição de $ i\rightarrow i $. Então

$$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}P^{(n)}_{ji}=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}P^{(n)}_{ii}.$$

 

Definição 5.4.1:

Suponha que $ p=(p_1,p_2,\cdots) $ é um vetor de probabilidade tal que $ \sum p_i=1 $. Então a distribuição de probabilidade $ \{p_i\} $ é dita estacionária, com P sendo a matriz de transição de probabiliaade então

$$p=pP$$

TEOREMA 5.4.3: 

Em uma cadeia de Markov irredutível com estados ergótico, a probabilidade limite $ p $ satisfaz a equação

$$p_j=\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}p_iP_ij,~~~ j=0,1,2,\cdots$$

 

e

$$\sum p_j=1$$

 

A distribuição limite é estacionária.

Demonstração: 

Note que a distribuição limite é estacionária, pois

$$p_j=\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}p_iP_{ij}$$

 

$ p_k=\displaystyle \sum_{j=0}^{\infty}p_jP_jk=\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}p_i\sum_{j=0}^{\infty} P_{ij}P_jk=\sum_{i=0}^{\infty}p_iP^{(2)}_{ik}=\cdots \sum_{i=0}^{\infty}p_i P^{(n)}_{ij},~~~~ n\geq 1. $

o que demonstra que ela é estacionária.

Exemplo 5.4.1: 

Vendedor de uma determinada empresa, pode visitar três cidades A,B e C para vender o seu produto. Mas para ir para essas cidades ele segue algumas regras caso ele esteja na cidade A ele escolhe ir para a cidade B com probabilidade $ 2/3 $ e com probabilidade $ 1/3 $. Se ele estiver na cidade B ele vai para cidade A com probabilidade $ 3/8 $ e para cidade C com probabilidade 1/2 e permanece na mesma cidade com probabilidade $ 1/8 $. Caso ele esteja na cidade C ele vai para cidade A ou para cidade B com probabilidade $ 1/2 $. A pergunta que fica, qual seria a probabilidade de ele visitar a cidade A, B e C a longo prazo.

A matriz de transição da cadeia de Markov é dada por

$$P=\left( \begin{array}{c} 0/3 ~~~~2/3~~~~1/3\\ 3/8 ~~~~1/8~~~~1/2\\1/2~~~~1/2~~~~0/2\\ \end{array}\right)$$

 

Para calcularmos o vetor de probabilidade limite $ p_{\infty}=(p_A,p_B,p_C) $, basta usarmos o teorema 5.4.3.

$$\left( \begin{array}{c} p_A ~~~~p_B~~~~p_C\\ \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} p_A~~~~p_B~~~~p_C\\ \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} 0/3 ~~~~2/3~~~~1/3\\ 3/8 ~~~~1/8~~~~1/2\\1/2~~~~1/2~~~~0/2\\ \end{array}\right)$$

 

Assim

$$\displaystyle p_A=\frac{3}{8}p_B+\frac{1}{2}p_B$$

$$\displaystyle p_B=\frac{2}{3}p_A+\frac{1}{8}p_B+\frac{1}{2}p_C$$

$$\displaystyle p_C=\frac{1}{3}p_A+\frac{1}{2}p_B$$

 

Lembrando que as equações não são independentes, pois existe uma condição

$$p_A+p_B+p_C=1.$$

 

Combinando todas as equações temos que

$$p_A+p_B+p_C=1$$

$$4p_A-9p_B+8p_C=0$$

$$2p_A+3p_B-6p_C=0$$

 

Com resolvendo as equações temos que

$$p_A=0,3 ~~p_B=0,4 ~~p_C=0,3$$

 

ou seja, podemos dizer que o vendedor vai para cidade A, C e B respectivamente $ 30\% , 30\% e 40\% $.

Exemplo 5.4.2:

Suponha que queremos avaliar o número de acidentes em uma determinada rodovia. Assim seja X a variável aleatória que conta o número de acidentes. Definida da seguinte forma

$ 0~~ 1~~\geq 2 $

Pr  $ p~~q~~r $

$$\left( \begin{array}{c} p+q ~~~~r~~~~0~~~~0~~~~\cdots\\ p+0 ~~~~q~~~~r~~~~0~~~~\cdots\\0+0~~~~p~~~~q~~~~r~~~~\cdots\\~~~~ \vdots~~~~\vdots~~~~\vdots~~~~ \vdots~~~~\cdots\\ \end{array}\right)$$

 

pelo teorema 5.4.3 $ p=(p_0,p_1,\cdots) $ é o vetor da probabilidade limite

Usando a matriz de transição temos que $ pP=p $ logo

$$(p+q)p_0+pp_1=p_0$$

$$rp_0+qp_1+pp_2=p_1$$

$$rp_1+qp_2+pp_3=p_2$$

$$\vdots$$

 

da primeira equação temos que:

$$p p_1=(1-p-q)p_0=rp_0$$

$$p_1=\displaystyle \frac{r}{q}p_0.$$

 

da segunda equação

$$p p_2=(1-p-q)p_1=rp_1$$

$$p_2=\displaystyle \frac{r}{q}p_1=\displaystyle \left(\frac{r}{q}\right)^2 p_0$$

 

Procedendo da mesma forma temos que

$$p_n=\displaystyle \left(\frac{r}{q}\right)^n p_0$$

 

Por outro lado temos que

$$\displaystyle p_0\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{r}{p}\right)^n=1$$

$$\displaystyle \left(1-\frac{r}{p}\right)^{-1}p_0=1$$

$$p_0=\displaystyle 1-\frac{r}{p}$$

 

Assim de modo geral,

$$p_n=\displaystyle \left(1-\frac{r}{p}\right)\left(\frac{r}{p}\right)^n$$

 

Exemplo 5.4.3:

Consideremos uma modificação do exemplo anterior. Seja o número de chegadas dada pela tabela abaixo:

$ 0~~ 1 ~~ 2 ~~ \geq 3 $

Pr  $ p ~~q ~~ r~~ s $

com p+q+r+s=1

A matriz de transição é dada por

$$\left( \begin{array}{c} p+q ~~~~r~~~~s~~~~0~~~~\cdots\\ p+0 ~~~~q~~~~r~~~~s~~~~\cdots\\0+0~~~~p~~~~q~~~~r~~~~\cdots\\~~~~ \vdots~~~~\vdots~~~~\vdots~~~~ \vdots~~~~\cdots\\ \end{array}\right)$$

 

Note que as equações correspondente ao modelo são:

$$(p+q)p_0+p p_1=p_0$$

$$rp_0+qp_1+pp_2=p_1$$

$$sp_0+rp_1+qp_2+pp_3=p_2$$

$$sp_1+rp_2+qp_3+pp_4=p_3$$

$$\vdots$$

 

Multiplicando apropriadamente potências de z, onde $ |z|\textless 1 $, assim temos

$$(p+q)p_0+p p_1=p_0$$

$$rp_0z+qp_1z+pp_2z=p_1z$$

$$sp_0z^2+rp_1z^2+qp_2z^2+pp_3z^2=p_2z^2$$

$$sp_1z^3+rp_2z^3+qp_3z^3+pp_4z^3=p_3z^3$$

$$\vdots$$

 

Somando essas equações e escrevendo $ \sum_{i=0}^{\infty}p_iz^i=K $, após algumas simplificações temos que:

$$p p_0+sz^2 K+rzK+qzK+qK+\displaystyle\frac{p}{z}[K-p_0]=K$$

$$\displaystyle \left(sz^2+rz+q+\frac{p}{z}-1\right)K=\left(\frac{p}{z}-p\right)p_0$$

$$[sz^3+rz^2+(q-1)z+p]K=p(1-z)p_0$$

 

dando assim

$$K=\displaystyle \frac{p(1-z)p_0}{sz^3+rz^2+(q-1)z+p}$$

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