5.5 - Existência da Cadeia de Markov

Para garantir a existência da cadeia de markov, vamos construir um espaço de probabilidade para tal processo estocástico.

Considerando um experimento, vamos descrever o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mu )$. Para uma variável aleatória $X $ que toma valores em

\[X : \Omega \to \Re \]

O espaço amostral é no máximo um conjunto enumerável de valores, ou seja:

\[\Omega = \{\omega_n ;n \in \mathbb{N} \} \]

A $\sigma -$álgebra é a classe de subconjuntos do espaço amostral,

\[\mathcal{F} = \{ \omega \ : \ \omega \ \hbox{é subconjunto de \Omega } \} \]

e a probabilidade é

\[ \mu : \mathcal{F} \to [0 ,1] \]

o qual $\mu $ é a probabilidade do instante inicial da cadeia.

Agora em um segundo instante, vamos definir um espaço de probabilidade para um vetor de variáveis aleatórias  $ X = (X_1 , X_2 , \dots , X_n ) $

O espaço amostral para o vetor aleatória é o espaço amostral produto:

\[ \Omega^n = \Omega \times \Omega \times \dots \times \Omega \]

A $\sigma -$álgebra é a $\sigma -$álgebra produto, ou seja:

\[ \mathcal{F}^n = \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \dots \times \mathcal{F} \]

Como as variáveis aleatórias $X_1 , X_2 , \dots X_n $ não são independentes, existe probabilidade de transição entre as variáveis, não podemos proceder da mesma forma como no processo de Bernoulli. Mas da teorema de Bayes, temos:

\[ \mu(A|B) = \frac{\mu(A , B) }{\mu (B) }\]

ou seja,

\[ \mu(A , B) = \mu (A|B) \mu (B) \]

E como a probabilidade de transição de um estado para outro é conhecido, definimos a probabilidade sobre o vetor aleatório como

\[\eta (X_1 = i_1 , X_2 = i_2 ,\dots , X_n = i_n ) = \eta (X_1 = i_1 ) \eta (X_2 = i_2 | X_1 = i_1) \dots \eta (X_n = i_n | X_{n-1} = i_{n-1} ) \]

Assim temos um espaço de probabilidade $(\Omega^n , \mathcal{F}^n , \eta )$ para o vetor aleatório.

Agora queremos estender esta estrutura para uma sequência de variáveis aleatórias $ X = (X_1 , X_2 , \dots )$ 

O espaço amostral para um sequência de variáveis aleatórias é 

\[ \Omega^{\infty } = \Omega \times \Omega \times \dots \]

A $\sigma -$álgebra é a $\sigma -$álgebra produto 

\[\mathcal{G} = \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \dots = \otimes \mathcal{F} \]

e a função de probabilidade $\mathbb{P} $ é definida da seguinte forma

\[\mathbb{P} = \eta(X_1 = i_1 ) \prod^{\infty}_{n=2} \eta (X_n = i_n | X_{n-1} = i_{n-1} )\] 

Assim, temos um espaço de probabilidade $(\Omega^{\infty} , \mathcal{G} , \mathbb{P} )$ para a cadeia de Markov. Portanto a existência é garantida.