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Para garantir a existência da cadeia de markov, vamos construir um espaço de probabilidade para tal processo estocástico.
Considerando um experimento, vamos descrever o espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mu )$. Para uma variável aleatória $X $ que toma valores em
\[X : \Omega \to \Re \]
O espaço amostral é no máximo um conjunto enumerável de valores, ou seja:
\[\Omega = \{\omega_n ;n \in \mathbb{N} \} \]
A $\sigma -$álgebra é a classe de subconjuntos do espaço amostral,
\[\mathcal{F} = \{ \omega \ : \ \omega \ \hbox{é subconjunto de \Omega } \} \]
e a probabilidade é
\[ \mu : \mathcal{F} \to [0 ,1] \]
o qual $\mu $ é a probabilidade do instante inicial da cadeia.
Agora em um segundo instante, vamos definir um espaço de probabilidade para um vetor de variáveis aleatórias $ X = (X_1 , X_2 , \dots , X_n ) $
O espaço amostral para o vetor aleatória é o espaço amostral produto:
\[ \Omega^n = \Omega \times \Omega \times \dots \times \Omega \]
A $\sigma -$álgebra é a $\sigma -$álgebra produto, ou seja:
\[ \mathcal{F}^n = \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \dots \times \mathcal{F} \]
Como as variáveis aleatórias $X_1 , X_2 , \dots X_n $ não são independentes, existe probabilidade de transição entre as variáveis, não podemos proceder da mesma forma como no processo de Bernoulli. Mas da teorema de Bayes, temos:
\[ \mu(A|B) = \frac{\mu(A , B) }{\mu (B) }\]
ou seja,
\[ \mu(A , B) = \mu (A|B) \mu (B) \]
E como a probabilidade de transição de um estado para outro é conhecido, definimos a probabilidade sobre o vetor aleatório como
\[\eta (X_1 = i_1 , X_2 = i_2 ,\dots , X_n = i_n ) = \eta (X_1 = i_1 ) \eta (X_2 = i_2 | X_1 = i_1) \dots \eta (X_n = i_n | X_{n-1} = i_{n-1} ) \]
Assim temos um espaço de probabilidade $(\Omega^n , \mathcal{F}^n , \eta )$ para o vetor aleatório.
Agora queremos estender esta estrutura para uma sequência de variáveis aleatórias $ X = (X_1 , X_2 , \dots )$
O espaço amostral para um sequência de variáveis aleatórias é
\[ \Omega^{\infty } = \Omega \times \Omega \times \dots \]
A $\sigma -$álgebra é a $\sigma -$álgebra produto
\[\mathcal{G} = \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \dots = \otimes \mathcal{F} \]
e a função de probabilidade $\mathbb{P} $ é definida da seguinte forma
\[\mathbb{P} = \eta(X_1 = i_1 ) \prod^{\infty}_{n=2} \eta (X_n = i_n | X_{n-1} = i_{n-1} )\]
Assim, temos um espaço de probabilidade $(\Omega^{\infty} , \mathcal{G} , \mathbb{P} )$ para a cadeia de Markov. Portanto a existência é garantida.
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