6.1 - Estruturas que mantém a propriedade martingale.

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Nessa seção vamos estudar algumas estruturas que preservam a propriedade martingale ou a propriedade supermartingale. 

Teorema 6.1.1:

Sejam $X= \{X_n : n \geq 1\}$ um martingale com respeito a filtragem $\mathbb{F}$ e $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma função convexa tal que $\mathbb{E} \mid f(X_n)\mid \textless \infty$. Então, o processo estocástico $Y=\{f(X_n): n \geq 1\}$ é um submartingale. 

Demonstração: 

Como aplicação da desingualdade de Jensen  (ver,  propriedade da esperança condicional), obtemos que

$$E[f(Y_n)|\mathcal{F}_{n-1}]\geq f(E[Y_n|\mathcal{F}_{n-1}]) = f(Y_{n-1}).$$

$\Box$ Como a função $\mid \mid^p$ para $p \leq 1$ é convexa, obtemos o seguinte Corolário. 

Corolário 6.1.2:

Para $p\geq 1$ se $\{Y_n, n\geq 1\}$ é um martingale  com $E[|Y_n|^{p}]\textless \infty$ para $n\geq 1$, então $\{|Y_n|^{p}, n\geq 1\}$ é um submartingale.

Demonstração:

A demonstração deste corolário é imediata, pois basta usarmos os teorema1 e lembrarmos que é $|\cdot|^{p}$ é uma função convexa.

$\Box$

Considere $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $X=\{X_n: n \geq 0\}$ um martingale que representa um jogo.  Denotamos por $\mathbb{F}^X$ a filtragem interna associada ao jogo $X=\{X_i : i \geq 1\}$. Tomamos por $C=\{C_i : i \geq 1\}$ um processo estocástico que representa a aposta do jogador em cada etapa. É intuítivo supormos que o valor de $C_i$ depende somente da história do jogo até a etapa $i-1$. Este princípio,  denominado "previsível" , nos garante qe $C_i$ é $\mathcal{F}^X_{i-1}$-mensurável.  O ganho do jogador na etapa $n$ é dado por $C_n (X_n - X_{n-1})$ e o total acumulado até a etapa $n$ é dado por $$Y_n = X_0 + \sum_{i=1}^n C_i (X_i - X_{i-1}), \quad n \geq 1 \quad \mbox{e} \quad Y_0=X_0.$$ O processo estocástico $Y=\{Y_n: \geq 1 \}$ é denominado "transformação martingale". Este é o análogo discreto da integral estocástica.  Com isso,  motivamos as seguintes definições.

 

Definição 6.1.1:

Um processo estocástico $X=\{X_n : n \geq 1\}$ é denominado previsível para a filtragem $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_n ; n \geq 1\}$ se, $X_n$ é $\mathcal{F}_{n-1}$-mensurável, para todo $n\geq 1$.

Definição 6.1.2:

Sejam $M=\{M_n: n \geq 0\}$ e $X=\{X_i:i \geq 1\}$ dois processos estocásticos. Definimos o processo $X.M$ com $(X.M)_0=0$ na forma

$$(X.M)_n=\sum^n_{k=1}X_k\Delta M_k=\sum^n_{k=1}X_k(M_k-M_{k-1}), n \geq 1.$$

Dizemos que $X.M$ é a integral  estocástica discreta de $X$ com respeito a $M$. Se $M$ é um super ou um sub-martingale, dizemos que é uma transformação martingale de $M$ por $X.$

A seguir, vamos utilizar a definição de integral estocástica para introduzirmos transformações que preservam a propriedade martingale.  

 

Teorema 6.1.3:

Seja $X$ um processo previsível tal que para todo $n$ existe uma constante $K_n$ tal que $|X_1|,\dots,|X_n|\leq K_n.$ Se $M$ é um martingale, então o processo estocástico $X.M$ também  é um martingale. Se $X$ também é não negativo e $M$ é um (super)submartingale, obtemos que $X.M$ também é um (super)submartingale.

Demonstração:

Consideramos $Y=X.M,$ a integral estocástica. Então, $Y$ é um processo adaptado. Se $|X_n|\leq K_n$ q.c. para todo $n$, obtemos que

$$\mathbb{E}|Y_n|\leq 2K_n\sum_{k\leq n}\mathbb{E}|M_k|\textless \infty.$$ Agora suponhamos que $M$ é um submartingale e $X$ não negativo. Então

$$\mathbb{E}[Y_n|\mathcal{F}_{n-1}]=\mathbb{E}[Y_{n-1}+X_n(M_n-M_{n-1})|\mathcal{F}_{n-1}]=Y_{n-1}+X_n\mathbb{E}[(M_n-M_{n-1})|\mathcal{F}_{n-1}]\geq Y_{n-1},\quad q.c.$$ Portanto, $Y$ também é um submartingale. Se M é um martingale, a última desigualdade é uma igualdade, independentemente do sinal de $X_n.$ Isso implica que $Y$ é um martingale.

$\Box$

 

Seja $Y=\{Y_n, n\geq 0\}$ um martingale que representa o ganho acumulado de um jogador até a $n$-ésima rodada. Neste jogo, gostaríamos de construir uma estrutura probabilística que possibilitasse ao jogador parar o jogo em alguma etapa finita $n$ com ganho positivo. Além disso, esta parada opcional deve preservar a propriedade martingale. Esta estrutura é denominada tempo de parada, uma das mais importantes armas dentro da abrangente teoria de processos estocásticos. Para relembrar o conceito de tempo de parada, dado $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $\mathbb{F}= \{\mathcal{F}_n : n \geq 1 \}$ uma filtragem, dizemos que uma variável aleatória positiva e discreta $\tau : \Omega \rightarrow \mathbb{N}$ é um tempo de parada se $\{\tau = n \} \in \mathcal{F}_n$ para todo $n \geq 1$.

Seja $Y=\{Y_{n},\mathcal{F}_n,n\geq 1\}$ um martingale e $\tau$ um tempo de parada, tomamos $$Y_{n}^{(\tau)}(\omega)=Y_{min(\tau(\omega),n)}(\omega) = Y_{\tau(\omega)\wedge n}(\omega), \quad \omega \in \Omega.$$Assim, sobre o  o conjunto $\{\omega \in \Omega : \tau (\omega)=n)$ teremos a sequência $$Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n- 1}, Y_{n}, Y_n, \cdots .$$

Por definição, temos que $Y_n=Y_n^{(\tau)}$ para $\tau\geq n$ e $Y_{n}^{(\tau)}=Y_{n-1}^{(\tau)}=Y_{\tau}$ para $\tau\textless n$. Desta forma, sobre o evento $[\tau\geq n]$, obtemos que

$$(Y_1^{(\tau)}, Y_2^{(\tau)}, \cdots, Y_{n-1}^{(\tau)})=(Y_1,Y_2,\cdots, Y_{n-1}).$$

Suponha $Y=\{Y_{n},\mathcal{F}_n,n\geq 0\}$ um martingale e $\tau$ um tempo de parada.  Assim, temos que $$Y_{n}^{(\tau)}=Y_0 + \sum_{i=1}^n 1\!\!1_{ \{ \tau \geq i\} } \Delta Y_n, \quand n \geq 1,$$ no qual $\Delta Y_n = Y_n - Y_{n-1}$. Observe que a variável aleatória $1\!\!1_{ \{ \tau \geq i\} }$ é $\mathcal{F}_{i-1}$-mensurável, pois $\{\tau \geq i\}=\{ \tau \textless i \}^c \in \mathcal{F}_{i-1}$.  Como consequência do teorema 6.1.3, obtemos o seguinte resultado.

Corolário 6.1.4:

Seja $M$ um (super,sub)martingale e $\tau$ um $\mathbb{F}$-tempo de parada. Então o processo parado $M^\tau$ também é um (super,sub)martingale.

É importante sabermos se a propriedade martingale $(\mathbb{E} X_n = \mathbb{E} X_{n-1})$ se mantém quando a etapa $n$ é subtituída por um tempo de parada. A principal diferença entre os dois casos é que $n$ é constante e $\tau$ é uma variável aleatória que depende da trajetória. A seguir, apresentamos o teorema da parada opcional de Doob. Dado $\tau$ um tempo de parada, definimos $$\mathcal{F}_{\tau} = \{A \in \mathcal{F}: A \cap \{\tau = n\} \in \mathcal{F}_n, \quad \foral n \geq 1\}.$$ Esta classe de eventos é uma $\sigma$-álgebra, que é denominada $\sigma$-álgebra dos eventos anteriores ao tempo de parada $\tau$.

Teorema 6.1.4:

Seja M um (sub)martingale e seja $\tau,\kappa$ dois tempos de parada tal que $\kappa\leq \tau\leq K$ para alguma constante $K$ positiva. Então

$$\mathbb{E}(M_\tau|\mathcal{F}_\kappa)\overset{(\geq)}{=}M_\kappa, \quad q.c.\quad (6.1.1)$$ Um processo $M$ adaptado e integrável é um martingale se, e somente se,

$$\mathbb{E}(M_\tau)=\mathbb{E}(M_\kappa),$$ para quaisquer pares de tempos de parada limitados $\kappa\leq \tau.$

Demonstração:

Suponha que $M$ seja um martingale. Definimos o processo

$$X_n=1\!\!1_{\{\tau\geq n\}}-1\!\!1_{\{\kappa\geq n\}},$$ que é não negativo quase certamente. Como consequência do teorema (6.1.3), temos que o processo estocástico  $$X.M=M^\tau-M^\kappa $$ é um martingale. Com isso, obtemos que $\mathbb{E}(M^\tau_n-M^\kappa_n)=\mathbb{E}[(X.M)_n]=0$ para todo $n.$ Como por hipótese temos que $\kappa\leq \tau\leq K,$ isto resulta que $$\mathbb{E}(M_\tau)=\mathbb{E}(M_\kappa)$$

Por outro lado, tomamos $A\in \mathcal{F}_\kappa$ e definimos os tempos aleatórios truncados

$$\kappa^A=\kappa 1\!\!1_{\{A\}}+K 1\!\!1_{\{A^c\}},\quad \tau^A=\tau 1\!\!1_{\{A\}}+K 1\!\!1_{\{A^c\}}.$$ Pela definição de $\mathcal{F}_\tau$ temos que

$$\{\kappa^A\leq n\}=(A\cap \{\kappa \leq n\})\cup (A^c\cap \{K\leq n\})\in \mathcal{F}_n,$$ para todo $n \geq 1$. Com isso, obtemos que $\kappa^A $ e $\tau^A$ são tempos de parada tal que $\kappa^A\leq \tau^A\leq K$. De forma análoga temos que $\mathbb{E}(M_{\tau^A})=\mathbb{E}(M_{\kappa^A}),$ isto é,

$$\int_A M_\kappa~d\mathbb{P}+\int_{A^c} M_K~d\mathbb{P}=\int_A M_\tau~d\mathbb{P}+\int_{A^c} M_K~d\mathbb{P} \quad (6.1.2)$$

 

com $\displaystyle\int_A M_\kappa~d\mathbb{P}=\int_A M_\tau~d\mathbb{P}.$

Desde que $A\in \mathcal{F}_{\kappa}$ seja arbitrário, então $\mathbb{E}(M_\tau|\mathcal{F}_\kappa)=M_\kappa$ q.c.

Assim, com $M$ um processo adaptado com $\mathbb{E}(M_{\tau})=\mathbb{E}(M_{\kappa}),$ para cada par limitado $\kappa\leq \tau$ de tempos de parada. Tomamos $\kappa=n-1$ e $\tau=n$ e o procedimento usado para tempos de parada truncados $\kappa^A$ e $\tau^A$ para $A\in \mathcal{F}_{n-1}.$ Então de (6.1.2) para $A\in \mathcal{F}_{n-1}$ e para os tempos de parada $\kappa^A$ e $\tau^A$ implica que $\mathbb{E}[M_n|\mathcal{F}_{n-1}]=M_{n-1},$ em outras palavras, $M$ é um martingale.

Para $M$ sub-martingale o procedimento é análogo.

$\Box$

Processo Estocástico

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