6.1 - Estruturas que mantém a propriedade martingale.

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Nessa seção vamos estudar algumas estruturas que preservam a propriedade martingale ou a propriedade supermartingale. 

Teorema 6.1.1:

Sejam  n \geq 1\} $ um martingale com respeito a filtragem $ \mathbb{F} $ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ uma função convexa tal que $ \mathbb{E} \mid f(X_n)\mid \textless \infty $. Então, o processo estocástico  n \geq 1\} $ é um submartingale. 

Demonstração: 

Como aplicação da desingualdade de Jensen  (ver,  propriedade da esperança condicional), obtemos que

$$E[f(Y_n)|\mathcal{F}_{n-1}]\geq f(E[Y_n|\mathcal{F}_{n-1}]) = f(Y_{n-1}).$$

$ \Box $ Como a função $ \mid \mid^p $ para $ p \leq 1 $ é convexa, obtemos o seguinte Corolário. 

Corolário 6.1.2:

Para $ p\geq 1 $ se $ \{Y_n, n\geq 1\} $ é um martingale  com $ E[|Y_n|^{p}]\textless \infty $ para $ n\geq 1 $, então $ \{|Y_n|^{p}, n\geq 1\} $ é um submartingale.

Demonstração:

A demonstração deste corolário é imediata, pois basta usarmos os teorema1 e lembrarmos que é $ |\cdot|^{p} $ é uma função convexa.

$ \Box $

Considere $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade e  n \geq 0\} $ um martingale que representa um jogo.  Denotamos por $ \mathbb{F}^X $ a filtragem interna associada ao jogo  i \geq 1\} $. Tomamos por  i \geq 1\} $ um processo estocástico que representa a aposta do jogador em cada etapa. É intuítivo supormos que o valor de $ C_i $ depende somente da história do jogo até a etapa $ i-1 $. Este princípio,  denominado "previsível" , nos garante qe $ C_i $ é $ \mathcal{F}^X_{i-1} $-mensurável.  O ganho do jogador na etapa $ n $ é dado por $ C_n (X_n - X_{n-1}) $ e o total acumulado até a etapa $ n $ é dado por

$$Y_n = X_0 + \sum_{i=1}^n C_i (X_i - X_{i-1}), \quad n \geq 1 \quad \mbox{e} \quad Y_0=X_0.$$

 O processo estocástico  \geq 1 \} $ é denominado "transformação martingale". Este é o análogo discreto da integral estocástica.  Com isso,  motivamos as seguintes definições.

 

Definição 6.1.1:

Um processo estocástico  n \geq 1\} $ é denominado previsível para a filtragem $ \mathbb{F}=\{\mathcal{F}_n ; n \geq 1\} $ se, $ X_n $ é $ \mathcal{F}_{n-1} $-mensurável, para todo $ n\geq 1 $.

Definição 6.1.2:

Sejam  n \geq 0\} $ e i \geq 1\} $ dois processos estocásticos. Definimos o processo $ X.M $ com $ (X.M)_0=0 $ na forma

$$(X.M)_n=\sum^n_{k=1}X_k\Delta M_k=\sum^n_{k=1}X_k(M_k-M_{k-1}), n \geq 1.$$

Dizemos que $ X.M $ é a integral  estocástica discreta de $ X $ com respeito a $ M $. Se $ M $ é um super ou um sub-martingale, dizemos que é uma transformação martingale de $ M $ por $ X. $

A seguir, vamos utilizar a definição de integral estocástica para introduzirmos transformações que preservam a propriedade martingale.  

 

Teorema 6.1.3:

Seja $ X $ um processo previsível tal que para todo $ n $ existe uma constante $ K_n $ tal que $ |X_1|,\dots,|X_n|\leq K_n. $ Se $ M $ é um martingale, então o processo estocástico $ X.M $ também  é um martingale. Se $ X $ também é não negativo e $ M $ é um (super)submartingale, obtemos que $ X.M $ também é um (super)submartingale.

Demonstração:

Consideramos $ Y=X.M, $ a integral estocástica. Então, $ Y $ é um processo adaptado. Se $ |X_n|\leq K_n $ q.c. para todo $ n $, obtemos que

$$\mathbb{E}|Y_n|\leq 2K_n\sum_{k\leq n}\mathbb{E}|M_k|\textless \infty.$$

Agora suponhamos que $ M $ é um submartingale e $ X $ não negativo. Então

$$\mathbb{E}[Y_n|\mathcal{F}_{n-1}]=\mathbb{E}[Y_{n-1}+X_n(M_n-M_{n-1})|\mathcal{F}_{n-1}]=Y_{n-1}+X_n\mathbb{E}[(M_n-M_{n-1})|\mathcal{F}_{n-1}]\geq Y_{n-1},\quad q.c.$$

Portanto, $ Y $ também é um submartingale. Se M é um martingale, a última desigualdade é uma igualdade, independentemente do sinal de $ X_n. $ Isso implica que $ Y $ é um martingale.

$ \Box $

 

Seja $ Y=\{Y_n, n\geq 0\} $ um martingale que representa o ganho acumulado de um jogador até a $ n $-ésima rodada. Neste jogo, gostaríamos de construir uma estrutura probabilística que possibilitasse ao jogador parar o jogo em alguma etapa finita $ n $ com ganho positivo. Além disso, esta parada opcional deve preservar a propriedade martingale. Esta estrutura é denominada tempo de parada, uma das mais importantes armas dentro da abrangente teoria de processos estocásticos. Para relembrar o conceito de tempo de parada, dado $ (\Omega , \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade e  n \geq 1 \} $ uma filtragem, dizemos que uma variável aleatória positiva e discreta  \Omega \rightarrow \mathbb{N} $ é um tempo de parada se $ \{\tau = n \} \in \mathcal{F}_n $ para todo $ n \geq 1 $.

Seja $ Y=\{Y_{n},\mathcal{F}_n,n\geq 1\} $ um martingale e $ \tau $ um tempo de parada, tomamos

$$Y_{n}^{(\tau)}(\omega)=Y_{min(\tau(\omega),n)}(\omega) = Y_{\tau(\omega)\wedge n}(\omega), \quad \omega \in \Omega.$$

Assim, sobre o  o conjunto  \tau (\omega)=n) $ teremos a sequência

$$Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n- 1}, Y_{n}, Y_n, \cdots .$$

Por definição, temos que $ Y_n=Y_n^{(\tau)} $ para $ \tau\geq n $ e $ Y_{n}^{(\tau)}=Y_{n-1}^{(\tau)}=Y_{\tau} $ para $ \tau\textless n $. Desta forma, sobre o evento $ [\tau\geq n] $, obtemos que

$$(Y_1^{(\tau)}, Y_2^{(\tau)}, \cdots, Y_{n-1}^{(\tau)})=(Y_1,Y_2,\cdots, Y_{n-1}).$$

Suponha $ Y=\{Y_{n},\mathcal{F}_n,n\geq 0\} $ um martingale e $ \tau $ um tempo de parada.  Assim, temos que

$$Y_{n}^{(\tau)}=Y_0 + \sum_{i=1}^n 1\!\!1_{ \{ \tau \geq i\} } \Delta Y_n, \quand n \geq 1,$$

no qual $ \Delta Y_n = Y_n - Y_{n-1} $. Observe que a variável aleatória $ 1\!\!1_{ \{ \tau \geq i\} } $ é $ \mathcal{F}_{i-1} $-mensurável, pois $ \{\tau \geq i\}=\{ \tau \textless i \}^c \in \mathcal{F}_{i-1} $.  Como consequência do teorema 6.1.3, obtemos o seguinte resultado.

Corolário 6.1.4:

Seja $ M $ um (super,sub)martingale e $ \tau $ um $ \mathbb{F} $-tempo de parada. Então o processo parado $ M^\tau $ também é um (super,sub)martingale.

É importante sabermos se a propriedade martingale $ (\mathbb{E} X_n = \mathbb{E} X_{n-1}) $ se mantém quando a etapa $ n $ é subtituída por um tempo de parada. A principal diferença entre os dois casos é que $ n $ é constante e $ \tau $ é uma variável aleatória que depende da trajetória. A seguir, apresentamos o teorema da parada opcional de Doob. Dado $ \tau $ um tempo de parada, definimos

 A \cap \{\tau = n\} \in \mathcal{F}_n, \quad \foral n \geq 1\}.$$

Esta classe de eventos é uma $ \sigma $-álgebra, que é denominada $ \sigma $-álgebra dos eventos anteriores ao tempo de parada $ \tau $.

Teorema 6.1.4:

Seja M um (sub)martingale e seja $ \tau,\kappa $ dois tempos de parada tal que $ \kappa\leq \tau\leq K $ para alguma constante $ K $ positiva. Então

$$\mathbb{E}(M_\tau|\mathcal{F}_\kappa)\overset{(\geq)}{=}M_\kappa, \quad q.c.\quad (6.1.1)$$

Um processo $ M $ adaptado e integrável é um martingale se, e somente se,

$$\mathbb{E}(M_\tau)=\mathbb{E}(M_\kappa),$$

para quaisquer pares de tempos de parada limitados $ \kappa\leq \tau. $

Demonstração:

Suponha que $ M $ seja um martingale. Definimos o processo

$$X_n=1\!\!1_{\{\tau\geq n\}}-1\!\!1_{\{\kappa\geq n\}},$$

que é não negativo quase certamente. Como consequência do teorema (6.1.3), temos que o processo estocástico  

$$X.M=M^\tau-M^\kappa $$

é um martingale. Com isso, obtemos que $ \mathbb{E}(M^\tau_n-M^\kappa_n)=\mathbb{E}[(X.M)_n]=0 $ para todo $ n. $ Como por hipótese temos que $ \kappa\leq \tau\leq K, $ isto resulta que

$$\mathbb{E}(M_\tau)=\mathbb{E}(M_\kappa)$$

Por outro lado, tomamos $ A\in \mathcal{F}_\kappa $ e definimos os tempos aleatórios truncados

$$\kappa^A=\kappa 1\!\!1_{\{A\}}+K 1\!\!1_{\{A^c\}},\quad \tau^A=\tau 1\!\!1_{\{A\}}+K 1\!\!1_{\{A^c\}}.$$

 Pela definição de $ \mathcal{F}_\tau $ temos que

$$\{\kappa^A\leq n\}=(A\cap \{\kappa \leq n\})\cup (A^c\cap \{K\leq n\})\in \mathcal{F}_n,$$

para todo $ n \geq 1 $. Com isso, obtemos que $ \kappa^A  $ e $ \tau^A $ são tempos de parada tal que $ \kappa^A\leq \tau^A\leq K $. De forma análoga temos que $ \mathbb{E}(M_{\tau^A})=\mathbb{E}(M_{\kappa^A}), $ isto é,

$$\int_A M_\kappa~d\mathbb{P}+\int_{A^c} M_K~d\mathbb{P}=\int_A M_\tau~d\mathbb{P}+\int_{A^c} M_K~d\mathbb{P} \quad (6.1.2)$$

 

com $ \displaystyle\int_A M_\kappa~d\mathbb{P}=\int_A M_\tau~d\mathbb{P}. $

Desde que $ A\in \mathcal{F}_{\kappa} $ seja arbitrário, então $ \mathbb{E}(M_\tau|\mathcal{F}_\kappa)=M_\kappa $ q.c.

Assim, com $ M $ um processo adaptado com $ \mathbb{E}(M_{\tau})=\mathbb{E}(M_{\kappa}), $ para cada par limitado $ \kappa\leq \tau $ de tempos de parada. Tomamos $ \kappa=n-1 $ e $ \tau=n $ e o procedimento usado para tempos de parada truncados $ \kappa^A $ e $ \tau^A $ para $ A\in \mathcal{F}_{n-1}. $ Então de (6.1.2) para $ A\in \mathcal{F}_{n-1} $ e para os tempos de parada $ \kappa^A $ e $ \tau^A $ implica que $ \mathbb{E}[M_n|\mathcal{F}_{n-1}]=M_{n-1}, $ em outras palavras, $ M $ é um martingale.

Para $ M $ sub-martingale o procedimento é análogo.

$ \Box $

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