6.2 - Decomposição de Doob

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Considere $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ um espaço de probabilidade, $\mathbb{F}=\{ \mathcal{F}_n: n \geq 0 \}$ uma filtragem e $Z=\{Z_n:n \geq 1 \}$ um processo estocástico adaptado à filtragem $\mathbb{F}$, satisfazendo $\mathbb{E}\mid Z_n \mid \textless \infty$. Então, o processo estocástico $Z$ pode ser decomposto na soma de um martingale e um processo previsível.  Este ressultado, motivado pela teoria de integral estocástica, tem diversas aplicações que vamos estudar ao longo deste texto. 

Definição 6.2.1:

Um processo estocástico $X=\{X_n:n\geq 1\}$ é previsível se $X_n$ for $\mathcal{F}_{n-1}$-mensurável para todo $n \geq 1$.

A seguir apresentamos o teorema da decomposição de Doob.

 

Teorema 6.2.1:

Seja $Z=\{Z_n : n \geq 1\}}$ um processo estocástico adaptado à filtragem $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_n :n \geq 0\}$ tal que $\mathbb{E}\mid Z_n \mid \textless \infty$. Então o processo pode ser decomposto de forma única em $$Z=M+A$$ no qual M é um martingale e A é um processo previsível, satisfazendo:

$$M_n=Z_0+\displaystyle\sum_{\ell=1}^{n}\left[Z_\ell-\mathbb{E}[Z_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]\right] \quad \mbox{e} \quad A_n=\displaystyle\sum_{\ell=1}^{n}\left[\mathbb{E}[Z_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]-Z_{\ell-1}\right].$$

 

Demonstração: 

Vamos mostrar por indução

$$Z_0=0=M_0+A_0.$$ Para $n=1$, temos que

$$Z_1=Z_0+Z_1-\mathbb{E}[Z_1|\mathcal{F}_0]+ \mathbb{E}[Z_1|\mathcal{F}_0]-Z_0 =M_1+A_1.$$ Para $n=2$, temos que

$$Z_2=Z_0+Z_1-\mathbb{E}[Z_1|\mathcal{F}_0]+ \mathbb{E}[Z_1|\mathcal{F}_0]-Z_0 + Z_2- \mathbb{E}[Z_2|\mathcal{F}_1]+ \mathbb{E}[Z_2|\mathcal{F}_1]-Z_1 =M_2+A_2.$$

Suponha que essa propriedade seja válida para n-1, vamos mostrar que também vale para n. Considere

$$Z_n=Z_{n-1}+Z_n-\mathbb{E}[Z_n|\mathcal{F}_{n-1}]+\mathbb{E}[Z_n|\mathcal{F}_{n-1}]- Z_{n-1} =$$

 

$=M_{n-1}+A_{n-1}+Z_n-\mathbb{E}[Z_n|\mathcal{F}_{n-1}]+\mathbb{E}[Z_n|\mathcal{F}_{n-1}]- Z_{n-1}=$

$=M_n+A_n.$

Agora vamos mostrar que $M_n$  é um martingale

$$\mathbb{E}[M_n|\mathcal{F}_{n-1}]=\mathbb{E}\left[Z_0+\displaystyle\sum_{\ell=1}^{n}\left[Z_\ell-\mathbb{E}[Z_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]\right]|\mathcal{F}_{n-1}\right]Z_0+ \displaystyle\sum_{\ell=1}^{n-1}\left[Z_\ell-\mathbb{E}[Z_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]\right]+$$

 

$\displaystyle+\mathbb{E}[Z_n|\mathcal{F}_{n-1}]-\mathbb{E}[\mathbb{E}[Z_n|\mathcal{F}_{n-1}]|\mathcal{F}_{n-1}]= M_{n-1} .$

Portanto $M$ é um martingale. É fácil ver que A é um processo previsível, basta notar que

$$\displaystyle \mathbb{E}[A_n|\mathcal{F}_{n-1}]=\mathbb{E}\left[\displaystyle\sum_{\ell=1}^{n}\left[\mathbb{E}[Z_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]-Z_{\ell-1}\right]|\mathcal{F}_{n-1}\right]=\sum_{\ell=1}^{n}\mathbb{E}[Z_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]-Z_{\ell-1}=A_n.$$ Logo é previsível.

A unicidade da decomposição é uma aplicação do conceito de previsível. Suponha que tenhamos duas decomposições $M^1 + A^1 = M^2 + A^2$. Então, temos que $X=M^1 - M^2 = A^1 - A^2$. Desde que $A^1 - A^2$ é previsível e $M^1 - M^2$ um martingale, concluímos que $X$ é um martingale previsível, então $$X_{n-1}=\mathbb{E}[X_n \mid \mathcal{F}_{n-1}]=X_n,$$ o que ocorre somente se $X=0$. Portanto, temos a unicidade da decomposição de Doob. 

$\Box$

Considere $X=\{ X_n ; n \geq 1\}$ um submartingale. Por construção, o processo previsível $A=\{ A_n: n \geq 1\}$ é não descrescente. Além disso, o processo previsível $A$ é denominado compensador relacionado ao processo estocástico $X$.

Processo Estocástico

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