6.2 - Decomposição de Doob

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Considere $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade,  n \geq 0 \} $ uma filtragem e n \geq 1 \} $ um processo estocástico adaptado à filtragem $ \mathbb{F} $, satisfazendo $ \mathbb{E}\mid Z_n \mid \textless \infty $. Então, o processo estocástico $ Z $ pode ser decomposto na soma de um martingale e um processo previsível.  Este ressultado, motivado pela teoria de integral estocástica, tem diversas aplicações que vamos estudar ao longo deste texto. 

Definição 6.2.1:

Um processo estocástico n\geq 1\} $ é previsível se $ X_n $ for $ \mathcal{F}_{n-1} $-mensurável para todo $ n \geq 1 $.

A seguir apresentamos o teorema da decomposição de Doob.

 

Teorema 6.2.1:

Seja  n \geq 1\}} $ um processo estocástico adaptado à filtragem n \geq 0\} $ tal que $ \mathbb{E}\mid Z_n \mid \textless \infty $. Então o processo pode ser decomposto de forma única em

$$Z=M+A$$

no qual M é um martingale e A é um processo previsível, satisfazendo:

$$M_n=Z_0+\displaystyle\sum_{\ell=1}^{n}\left[Z_\ell-\mathbb{E}[Z_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]\right] \quad \mbox{e} \quad A_n=\displaystyle\sum_{\ell=1}^{n}\left[\mathbb{E}[Z_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]-Z_{\ell-1}\right].$$

 

Demonstração: 

Vamos mostrar por indução

$$Z_0=0=M_0+A_0.$$

Para $ n=1 $, temos que

$$Z_1=Z_0+Z_1-\mathbb{E}[Z_1|\mathcal{F}_0]+ \mathbb{E}[Z_1|\mathcal{F}_0]-Z_0 =M_1+A_1.$$

Para $ n=2 $, temos que

$$Z_2=Z_0+Z_1-\mathbb{E}[Z_1|\mathcal{F}_0]+ \mathbb{E}[Z_1|\mathcal{F}_0]-Z_0 + Z_2- \mathbb{E}[Z_2|\mathcal{F}_1]+ \mathbb{E}[Z_2|\mathcal{F}_1]-Z_1 =M_2+A_2.$$

Suponha que essa propriedade seja válida para n-1, vamos mostrar que também vale para n. Considere

$$Z_n=Z_{n-1}+Z_n-\mathbb{E}[Z_n|\mathcal{F}_{n-1}]+\mathbb{E}[Z_n|\mathcal{F}_{n-1}]- Z_{n-1} =$$

 

$ =M_{n-1}+A_{n-1}+Z_n-\mathbb{E}[Z_n|\mathcal{F}_{n-1}]+\mathbb{E}[Z_n|\mathcal{F}_{n-1}]- Z_{n-1}= $

$ =M_n+A_n. $

Agora vamos mostrar que $ M_n $  é um martingale

$$\mathbb{E}[M_n|\mathcal{F}_{n-1}]=\mathbb{E}\left[Z_0+\displaystyle\sum_{\ell=1}^{n}\left[Z_\ell-\mathbb{E}[Z_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]\right]|\mathcal{F}_{n-1}\right]Z_0+ \displaystyle\sum_{\ell=1}^{n-1}\left[Z_\ell-\mathbb{E}[Z_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]\right]+$$

 

$ \displaystyle+\mathbb{E}[Z_n|\mathcal{F}_{n-1}]-\mathbb{E}[\mathbb{E}[Z_n|\mathcal{F}_{n-1}]|\mathcal{F}_{n-1}]= M_{n-1} . $

Portanto $ M $ é um martingale. É fácil ver que A é um processo previsível, basta notar que

$$\displaystyle \mathbb{E}[A_n|\mathcal{F}_{n-1}]=\mathbb{E}\left[\displaystyle\sum_{\ell=1}^{n}\left[\mathbb{E}[Z_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]-Z_{\ell-1}\right]|\mathcal{F}_{n-1}\right]=\sum_{\ell=1}^{n}\mathbb{E}[Z_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]-Z_{\ell-1}=A_n.$$

Logo é previsível.

A unicidade da decomposição é uma aplicação do conceito de previsível. Suponha que tenhamos duas decomposições $ M^1 + A^1 = M^2 + A^2 $. Então, temos que $ X=M^1 - M^2 = A^1 - A^2 $. Desde que $ A^1 - A^2 $ é previsível e $ M^1 - M^2 $ um martingale, concluímos que $ X $ é um martingale previsível, então 

$$X_{n-1}=\mathbb{E}[X_n \mid \mathcal{F}_{n-1}]=X_n,$$

 o que ocorre somente se $ X=0 $. Portanto, temos a unicidade da decomposição de Doob. 

$ \Box $

Considere $ X=\{ X_n ; n \geq 1\} $ um submartingale. Por construção, o processo previsível  n \geq 1\} $ é não descrescente. Além disso, o processo previsível $ A $ é denominado compensador relacionado ao processo estocástico $ X $.

Processo Estocástico

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