6.2.1 - Variação quadrática Previsível.

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O conceito de variação quadrática de um martingale deriva da decomposição de Doob. Seja $M$ um martingale com $\mathbb{E} \mid X_n \mid^2 \textless \infty$ para todo $n \geq 1$. Como consequência da desigualdade de Jensen, sabemos que $M^2$ é um submartingale, pois

$$\mathbb{E}[M^2_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]\geq \left(\mathbb{E}[M_\ell|\mathcal{F}_{\ell-1}]\right)^2=M^2_{\ell-1}, \ell \geq 1.$$ Como consequência da decomposição de Doob, existe um único processo previsível não decrescente, denotado por $\textless M,M\textgreater $, tal que

$$M^2_\ell-\textless M,M\textgreater _\ell=\overline{M}_\ell, \quad \ell \geq1$$ é um martingale. O processo estocástico $\textless M,M\textgreater$ é denominado variação quadrática previsível. A partir da decompsição de Doob  e da definição de martingale, obtemos que

$$\displaystyle \textless M,M\textgreater _\ell=\sum_{i=1}^{\ell}\mathbb{E}[(\Delta M_i)^2|\mathcal{F}_{i-1}] = \sum_{i=1}^{\ell}\mathbb{E}[M^2_i - M^2_{i-1}|\mathcal{F}_{i-1}], \quad \ell \geq 1.$$  Para todo $\ell \leq k$, concluímos que $$\mathbb{E} [(M_k - M_\ell)^2 | \mathcal{F}_{\ell}] = \mathbb{E} [M^2_k - M^2_\ell | \mathcal{F}_{\ell} ]= \mathbb{E} [\textless M,M\textgreater _k - \textless M,M\textgreater _\ell | \mathcal{F}_\ell].$$ Em particular, obtemos que $\mathbb{E} \mid X_i \mid^2 = \mathbb{E} \textless M,M\textgreater _i$ para todo $i \geq 1$. 

Suponha $M$ um martingale com $M_0=0$ e $M_i = \xi_1 + \cdots + \xi_i$, no qual $\{\xi_i : i \geq 1\}$ é uma sequência de variáveis aleatórias independentes com $\mathbb{E} \xi_i=0$ e $\mathbb{E} \xi_i^2 \textless \infty$. Então, a variação quadrática previsível é dada por $$ \textless M,M\textgreater _i=\mathbb{E} M^2_i = Var(\xi_1) + \cdots + Var(\xi_i),$$ que é determinística e coincide com a variância.

Considere $X=\{X_n : n \geq 1\}$ e $Y=\{Y_n : n \geq 1\}$ martingales com $\mathbb{E} \mid X_n \mid^2 \textless \infty$ e $\mathbb{E} \mid Y_n \mid^2 \textless \infty$ para todo $n \geq 1$. Definimos a variação cruzada previsível por $$\textless X,Y\textgreater _i=\frac{1}{4} \left[ \textless X+Y,X+Y\textgreater _i\right]-\textless X-Y,X-Y\textgreater _i.$$ Facilmente, podemos mostrar que $X_n Y_n - \textless X,Y\textgreater _n$ é um martingale e portanto, para todo $\ell \leq k$, temos que $$\mathbb{E} \left[ (X_k - X_\ell) (Y_k - Y_\ell) \mid \mathcal{F}_\ell\right]=\mathbb{E} \left[ (\textless X,Y\textgreater _k - \textless X,Y\textgreater _\ell) \mid \mathcal{F}_\ell\right].$$ 

Ao tomarmos $X_n = \xi_1 + \cdots + \xi_n$ e $Y_n = \eta_1 + \cdots + \eta_n$, nos quais $\{\xi_i\}$ e $\{\eta_i\}$ são sequências de variáveis aleatórias independentes com $\mathbb{E} \xi_i=\mathbb{E} \eta_i=0$, $\mathbb{E} \xi_i^2 \textless \infty$ e  $\mathbb{E} \eta_i^2 \textless \infty$, obtemos que o processo variação cruzada previsível é dado por $$\textless X,Y\textgreater _n=\sum_{\ell=1}^n Cov(X_\ell,Y_\ell).$$

Tomamos $C=\{C_i : i \geq 1 \}$ um processo previsível limitado e $X=\{X_i : i \geq 1 \}$ uma martingale. Sabemos que a transformação martingale $Y=C \cdot X$ também é um martingale. Neste caso, temos que $$\textless Y,Y\textgreater _1 =C_1^2\mathbb{E}[(X_1)^2] = C_1^2 \textless X,X\textgreater _1, \quad \cdots \quad \textless Y,Y\textgreater _i - \textless Y,Y\textgreater _{i-1} = C_i^2\mathbb{E}[(\Delta X_i)^2|\mathcal{F}_{i-1}] = C_i^2 \Delta \textless X,X\textgreater _i.$$ Como consequência, obtemos que $$\textless Y,Y\textgreater _i = \sum_{\ell=1}^i C_\ell^2 \Delta \textless X,X\textgreater _\ell.$$

Na sequência, vamos apresentar uma aplicação da teoria de martingale na caracterização de variáveis aleatórias discretas. Considere $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $W$ uma variável aleatória discreta definida sobre $(\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P})$ e assumindo vaalores em $\{1,2, \cdots\}$. Tomamos $X_i = \sum_{\ell=1}^i 1\!\!1_{ \{W \leq \ell\}}, \quad i \geq 1,$ o processo de contagem associado com a variável aleatória $W$. Denotamos por $\mathbb{F}$ a filtragem interna associada ao processo de contagem $X$. Por contrução $X$ assume somente valores em $\{0,1\}$ e é um submartingale com respeito a filtragem interna $\mathbb{F}$.

Pela decomposição de Doob, sabemos que $X=M+A$ tal que $M$ é um martingale e $A$ um processo previsível não decrescente. Na sequência, vamos obter de forma explicita o processo prevsível $A$. Sabemos que $$A_1=\mathbb{E}X_1=\mathbb{E}1\!\!1_{ \{W \leq 1\}}=\mathbb{E}1\!\!1_{ \{W =1\}}=\mathbb{P}[W=1].$$ Da mesma forma, temos que $$A_2= A_1 + \mathbb{E}\left[ \left(X_2 -X_1\right) \mid \mathcal{F}_1 \right]=A_2 = A_1 + \mathbb{E}\left[ \left(X_2 -X_1\right) \mid X_1 \right].$$ Se $X_1=1$, temos que $X_2-X_1=0$.  Assim concluímos que $\mathbb{E} \left[ \left( X_2 - X_1 \right) \mid X_1=1 \right] =0$. Por outro lado, temos que $$\mathbb{E} \left[ X_2 - X_1 \mid X_1=0 \right] = \mathbb{E} \left[ X_2 \mid X_1=0 \right]=\frac{\mathbb{P}[W=2]}{\mathbb{P}[W \geq 2]}.$$ Desta forma, obtemos que $$A_2 = A_1 + \frac{\mathbb{P}[W=2]}{\mathbb{P}[W \geq 2]}1\!\!1_{\{X_1=0\}}= A_1 + \frac{\mathbb{P}[W=2]}{\mathbb{P}[W \geq 2]}1\!\!1_{\{W \geq 2\}}.$$ Por indução, concluímos que $$A_i = A_{i-1} + \frac{\mathbb{P}[W=i]}{\mathbb{P}[W \geq i]}1\!\!1_{\{W \geq i\}}, i \geq 2.$$

Com este resultado, definimos a função intensidade de uma variável aleatória discreta por $Y_i = h_i 1\!\!1_{\{W \geq i\}}$ no qual $h_i = \frac{\mathbb{P}[W=i]}{\mathbb{P}[W \geq i]}$ é a taxa de risco relacionada com a variável aleatória $W$, para todo $i=1,2,3, \cdots$. Observe que a taxa de risco caracteriza a distribuição de probabilidade da variável aleatória $W$ tal que $ \mathbb{P}[W=1]=h_1$ e $\mathbb{P}[W=i]=h_i \prod_{\ell=1}^{i-1} [1-h_\ell]$. Por construção chegamos ao modelo de intensidade multiplicativo de Aalen $$A_i = \sum_{\ell=1}^i Y_\ell = \sum_{\ell=1}^i h_\ell1\!\!1_{\{W \geq \ell\}}.$$

Assim, obtemos uma relação um a um entre a taxa de risco e a distribuição de uma variável aleatória discreta. A partir desta caracterização podemos estudar variáveis aleatórias discretas através do modelo de intensidade multiplicativo de Aalen e consequentemente da teoria de martingales. A seguir, vamos calcular o processo variação quadrática associado ao martingale $M=X-A$, na forma

$$M_\ell^2=2\sum_{i=1}^{\ell}M_{i-1}\Delta M_i+\sum_{i=1}^{\ell}[\Delta M_i]^2.$$ De fato,

$$2\sum_{i=1}^{\ell}M_{i-1}\Delta M_i + \sum_{i=1}^{\ell}[\Delta M_i]^2 =2\sum_{i=1}^{\ell}M_i[ M_i-M_{i-1}]+\sum_{i=1}^{\ell}[M_i-M_{i-1}]^2=$$

$$=\sum_{i=1}^{\ell}2M^2_i- 2M_iM_{i-1}+\sum_{i=1}^{\ell}[M^2_i-2M_iM_{i-1}+M^2_{i-1}]=\sum_{i=1}^{\ell}M^{2}_i-M^{2}_{i-1}=M^{2}_\ell-M^{2}_0=M^{2}_\ell,$$ pois $M_0=0$. Mas por outro lado temos que

$$[\Delta M_\ell]^2= [\Delta X_\ell-\Delta A_\ell]^2=[\Delta X_\ell]^2-2\Delta X_\ell\Delta A_\ell+[\Delta A_\ell]^2.$$ Desta forma temos que

$$M_\ell^2= 2 \sum_{i=1}^{\ell}M_{i-1}\Delta M_i+\sum_{i=1}^{\ell}[\Delta M_i]^2=$$

$$=2\sum_{i=1}^{\ell}M_{i-1}\Delta M_i+\sum_{i=1}^{\ell}[\Delta X_i]^2-2\sum_{i=1}^{\ell}\Delta X_i\Delta A_i+\sum_{i=1}^{\ell}[\Delta A_i]^2=$$

$$=2\sum_{i=1}^{\ell}M_{i-1}\Delta M_i+\sum_{i=1}^{\ell}[\Delta X_i]-2\sum_{i=1}^{\ell}\Delta X_i\Delta A_i+\sum_{i=1}^{\ell}[\Delta A_i]^2=$$

$$\stackrel{\Delta X=\Delta M+\Delta A}{=} 2 \sum_{i=1}^{\ell}M_{i-1}\Delta M_i+ \sum_{i=1}^{\ell}\Delta M_i+\sum_{i=1}^{\ell}\Delta A_i-2\sum_{i=1}^{\ell}\Delta X_i\Delta M_i-\sum_{i=1}^{\ell}[\Delta A_i]^2$$

$$= \sum_{i=1}^{\ell}[2M_{i-1}+1-2\Delta A_i]\Delta M_{i}+ \sum_{i=1}^{\ell}\Delta A_i[1-\Delta A_i].$$ Notamos que  $\displaystyle \sum_{i=1}^{\ell}\Delta A_i[1-\Delta A_i]$ é a parte previsível.  Para verificar esse fato, basta observarmos que  $$\displaystyle\sum_{i=1}^{\ell}[2M(_{i-1}+1-2\Delta A_i]\Delta M(i)$$ é um martingale, pois $C_i=[2M(_{i-1}+1-2\Delta A_i]$ é previsível. Portanto, como a decomposição é única temos que

$$\textless M,M\textgreater_i =\sum_{\ell=1}^{i}\mathbb{E}[(\Delta M_\ell)^2|\mathcal{F}_{\ell-1}]=\sum_{\ell=1}^i\Delta A_\ell[1-\Delta A_\ell]=\sum_{\ell=1}^i h_\ell (1-h_\ell) 1\!\!1_{ \{ W \geq \ell\}}.$$

Processo Estocástico

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