6.3.1 - Martingales Uniformemente Integráveis

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Integrabilidade uniforme desempenha papel importante quando se estuda convergência de martingales. Na seção convergência em média p, mostramos que a integrabilidade uniforme é condição necessária e suficiente para que a convergência em média seja consequência da convergência em probabilidade.  Aqui, vamos mostrar que o mesmo resultado é válido para uma sequência de variáveis aleatórias que tem a propriedade martingale.

Definição de Integrabilidade Uniforme para sequências de variáveis aleatórias:

A coleção $(X_i)_{i\in I}$ de variáveis aleatórias é chamada uniformemente integrável (UI) se

$$\sup_{i\in I}\mathbb{E}[|X_i|1\!\!1_{\{|X_i|\textgreater\alpha\}}]\xrightarrow{\alpha\rightarrow \infty}0.$$

Equivalentemente, $(X_i)_{i\in I}$ é UI se $(X_i)_{i\in I}$ é limitada em $\mathcal{L}^1$ e para todo $\varepsilon\textgreater 0$ existe $\delta\textgreater 0$ tal que para todo $A\in \mathcal{F}$ com $\mathbb{P}(A)\textless \delta$ implica $\displaystyle\sup_{i\in I}\mathbb{E}[|X_i|1\!\!1_{A}]\textless \varepsilon$

Observação :

Vale lembrar que uma família UI é limitada em $\mathcal{L}^1,$ mas a recíproca é falsa. Por outro lado, se uma família é limitada em $\mathcal{L}^p,$ para algum $p\textgreater 1,$ então é UI.

A seguir apresentamos o primeiro resultado para famílias UI.

Teorema 6.3.1.1:

Seja $X\in \mathcal{L}^1.$ Então a classe $$\{\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]: ~\mathcal{G}~\text{uma sub-}\sigma\text{-álgebra de }~\mathcal{F}\}$$ é UI.

Demonstração:

Como $X\in \mathcal{L}^1,$ obtemos que para todo $\varepsilon\textgreater 0$ existe um $\delta\textgreater 0$ tal que sempre que $\mathbb{P}(A)\leq \delta,$ então

$$\mathbb{E}[|X|1\!\!1_A]\leq \varepsilon\quad (6.3.1.1).$$ Agora, escolhemos $\lambda\textless \infty$ tal que $\mathbb{E}[|X|]\leq \lambda \delta.$ Para aqualquer sub-$\sigma$-álgebra obtemos que $$\mathbb{E}\{|\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]|\}\leq \mathbb{E}[|X|].$$

Ao tomarmos $Y=\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ obtemos pela desigualdade de Markov que $\mathbb{P}(|Y|\geq \lambda)\leq \frac{\mathbb{E}[|X|]}{\lambda}\leq \delta.$

Portanto, de (6.3.1.1) e do fato que $\{|Y|\geq \lambda\}\in \mathcal{G}$ obtemos que

$$\mathbb{E}\{|Y|1\!\!1_{\{|Y|\geq \lambda\}}\}\leq \mathbb{E}\{|X|1\!\!1_{\{|Y|\geq \lambda\}}\}\leq \varepsilon.$$

 

$\Box$

Agora, apresentamos a definição de martingales UI's.

Definição 6.3.1.2:

Um martingale $X=\{X_n : n \geq 0\}$ é um martingale uniformemente integrável, se $X$ é um martingale e a coleção de variáveis aleatórias $\{X_n\}$ é uma família UI.

A partir desta definição, apresentamos o seguinte resultado.

Teorema 6.3.1.2: Teorema de Convergência para martingales UI:

Seja $X=\{X_n \n \geq 0\}$ um martingale. As seguintes afirmações são equivalentes.

(i) $X$ é um martingale uniformemente integrável;

(ii) $X_n$ converge q.c. e em $\mathcal{L}^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ para uma variável aleatória limite $X_\infty$ com $\mathbb{E} \mid X_{\infty} \mid \textless \infty$;

(iii) Existe $Z\in\mathcal{L}^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ tal que $X_n=\mathbb{E}[Z|\mathbb{F}_n]$ P-q.c. para todo $n\geq 0.$

Demonstração:

(i)$\Rightarrow$(ii)  Como $X$ é um martingale  UI, obtemos que $\sup_n \mathbb{E} \mid X_n \mid \textless \infty$. Assim, como consequência do lema de upcrossing de Doob concluímos que $X_\infty = \lim_n X_N$ existe e é finito quase certamente. Como $X$ é UI concluímos que $X_n \rightarrow X_\infty$ em média, isto é, $$\mathbb{E} \mid X_n - X_\infty \mid \rightarrow 0, ~ ~ n \uparrow \infty.$$ 

(ii)$\Rightarrow$(iii) Seja $Z=X_\infty\in \mathcal{L}^1.$ Vamos mostrar que $X_n=\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_n]$ q.c.

De fato, para $m\geq n$ e pela propriedade de martingale obtemos que $$\parallel X_n-\mathbb{E}[X_\infty|\mathcal{F}_n] \parallel_1=\parallel \mathbb{E}[X_n-X_\infty|\mathcal{F}_n] \parallel_1\leq \parallel X_n-X_\infty\parallel_1\xrightarrow{m\rightarrow\infty}0.$$

(iii)$\Rightarrow$(i) Notamos que da propriedade de esperança condicional $\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_n]$ é um martingale. Por fim, a integrabilidade uniforme é obtida do teorema 6.3.1.1.

$\Box$

Observação 6.3.1.3:

Se $X$ é um martingale UI e $T$ é um tempo de parada, no qual também pode ter o valor $\infty,$ então podemos obter de forma única que

$$X_T=\sum^\infty_{n=0}X_n1\!\!1_{\{T=n\}}+X_\infty 1\!\!1_{\{T=\infty\}}$$

 

Teorema 6.3.1.3: [Parada opcional para martingales UI]

Seja $X$ um martingale UI e $S$ e $T$ tempos de parada com $S\leq T.$ Então

$$\mathbb{E}[X_T|\mathcal{F}_S]=X_S,\quad \text{P-q.c.}$$

 

Demonstração:

Observamos que $\mathbb{E}[X_\infty|\mathcal{F}_T]=X_T$ P-q.c. para qualquer tempo de parada $T.$

De fato, desde que $X_T\in \mathcal{L}^1$ e $|X_n|\leq \mathbb{E}\{|X_\infty|~|\mathcal{F}_T\}$ obtemos que

$$\mathbb{E}[|X_T|]=\sum^\infty_{n=0}\mathbb{E}\{X_n | 1\!\!1_{\{T=n\}}\}+\mathbb{E\{}X_\infty | 1\!\!1_{\{T=\infty\}}\}\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+\cup\{\infty\}}\mathbb{E}\{X_\infty | 1\!\!1_{\{T=n\}}\}=\mathbb{E}[|X_\infty|]$$

 

Seja $B\in\mathcal{F}_T,$ com isso

$$\mathbb{E}[1\!\!1_B X_T]=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+\cup\{\infty\}}\mathbb{E}\{X_n 1\!\!1_{\{T=n\}}1\!\!1_{B}\}\overset{\mathbb{E}[X_\infty|\mathcal{F}_n]=X_n}{=}\sum_{n\in\mathbb{Z}_+\cup\{\infty\}}\mathbb{E}\{X_\infty 1\!\!1_{\{T=n\}}1\!\!1_{B}\}=\mathbb{E}[1\!\!1_B X_\infty]$$

 

Logo, como $X_T$ é $\mathcal{F}_T$-mensurável, obtemos que

$$\mathbb{E}[X_\infty|\mathcal{F}_T]=X_T,\quad \text{P-q.c.}$$

 

Da propriedade de esperança condicional obtemos que para tempos de parada $S\leq T,$ com $\mathcal{F}_S\subseteq \mathcal{F}_T$ obtemos que

$$\mathbb{E}[X_T|\mathcal{F}_S]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X_\infty|\mathcal{F}_T]|\mathcal{F}_S]=\mathbb{E}[X_\infty|\mathcal{F}_S]=X_S, \quad \text{P-q.c.}$$

$\Box$

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