6.3.1 - Martingales Uniformemente Integráveis

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Integrabilidade uniforme desempenha papel importante quando se estuda convergência de martingales. Na seção convergência em média p, mostramos que a integrabilidade uniforme é condição necessária e suficiente para que a convergência em média seja consequência da convergência em probabilidade.  Aqui, vamos mostrar que o mesmo resultado é válido para uma sequência de variáveis aleatórias que tem a propriedade martingale.

Definição de Integrabilidade Uniforme para sequências de variáveis aleatórias:

A coleção $ (X_i)_{i\in I} $ de variáveis aleatórias é chamada uniformemente integrável (UI) se

$$\sup_{i\in I}\mathbb{E}[|X_i|1\!\!1_{\{|X_i|\textgreater\alpha\}}]\xrightarrow{\alpha\rightarrow \infty}0.$$

Equivalentemente, $ (X_i)_{i\in I} $ é UI se $ (X_i)_{i\in I} $ é limitada em $ \mathcal{L}^1 $ e para todo $ \varepsilon\textgreater 0 $ existe $ \delta\textgreater 0 $ tal que para todo $ A\in \mathcal{F} $ com $ \mathbb{P}(A)\textless \delta $ implica $ \displaystyle\sup_{i\in I}\mathbb{E}[|X_i|1\!\!1_{A}]\textless \varepsilon $

Observação :

Vale lembrar que uma família UI é limitada em $ \mathcal{L}^1, $ mas a recíproca é falsa. Por outro lado, se uma família é limitada em $ \mathcal{L}^p, $ para algum $ p\textgreater 1, $ então é UI.

A seguir apresentamos o primeiro resultado para famílias UI.

Teorema 6.3.1.1:

Seja $ X\in \mathcal{L}^1. $ Então a classe

 ~\mathcal{G}~\text{uma sub-}\sigma\text{-álgebra de }~\mathcal{F}\}$$

é UI.

Demonstração:

Como $ X\in \mathcal{L}^1, $ obtemos que para todo $ \varepsilon\textgreater 0 $ existe um $ \delta\textgreater 0 $ tal que sempre que $ \mathbb{P}(A)\leq \delta, $ então

$$\mathbb{E}[|X|1\!\!1_A]\leq \varepsilon\quad (6.3.1.1).$$

Agora, escolhemos $ \lambda\textless \infty $ tal que $ \mathbb{E}[|X|]\leq \lambda \delta. $ Para aqualquer sub-$ \sigma $-álgebra obtemos que

$$\mathbb{E}\{|\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]|\}\leq \mathbb{E}[|X|].$$

Ao tomarmos $ Y=\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] $ obtemos pela desigualdade de Markov que $ \mathbb{P}(|Y|\geq \lambda)\leq \frac{\mathbb{E}[|X|]}{\lambda}\leq \delta. $

Portanto, de (6.3.1.1) e do fato que $ \{|Y|\geq \lambda\}\in \mathcal{G} $ obtemos que

$$\mathbb{E}\{|Y|1\!\!1_{\{|Y|\geq \lambda\}}\}\leq \mathbb{E}\{|X|1\!\!1_{\{|Y|\geq \lambda\}}\}\leq \varepsilon.$$

 

$ \Box $

Agora, apresentamos a definição de martingales UI's.

Definição 6.3.1.2:

Um martingale  n \geq 0\} $ é um martingale uniformemente integrável, se $ X $ é um martingale e a coleção de variáveis aleatórias $ \{X_n\} $ é uma família UI.

A partir desta definição, apresentamos o seguinte resultado.

Teorema 6.3.1.2: Teorema de Convergência para martingales UI:

Seja $ X=\{X_n \n \geq 0\} $ um martingale. As seguintes afirmações são equivalentes.

(i) $ X $ é um martingale uniformemente integrável;

(ii) $ X_n $ converge q.c. e em $ \mathcal{L}^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ para uma variável aleatória limite $ X_\infty $ com $ \mathbb{E} \mid X_{\infty} \mid \textless \infty $;

(iii) Existe $ Z\in\mathcal{L}^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ tal que $ X_n=\mathbb{E}[Z|\mathbb{F}_n] $ P-q.c. para todo $ n\geq 0. $

Demonstração:

(i)$ \Rightarrow $(ii)  Como $ X $ é um martingale  UI, obtemos que $ \sup_n \mathbb{E} \mid X_n \mid \textless \infty $. Assim, como consequência do lema de upcrossing de Doob concluímos que $ X_\infty = \lim_n X_N $ existe e é finito quase certamente. Como $ X $ é UI concluímos que $ X_n \rightarrow X_\infty $ em média, isto é,

$$\mathbb{E} \mid X_n - X_\infty \mid \rightarrow 0, ~ ~ n \uparrow \infty.$$

 

(ii)$ \Rightarrow $(iii) Seja $ Z=X_\infty\in \mathcal{L}^1. $ Vamos mostrar que $ X_n=\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_n] $ q.c.

De fato, para $ m\geq n $ e pela propriedade de martingale obtemos que

$$\parallel X_n-\mathbb{E}[X_\infty|\mathcal{F}_n] \parallel_1=\parallel \mathbb{E}[X_n-X_\infty|\mathcal{F}_n] \parallel_1\leq \parallel X_n-X_\infty\parallel_1\xrightarrow{m\rightarrow\infty}0.$$

(iii)$ \Rightarrow $(i) Notamos que da propriedade de esperança condicional $ \mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_n] $ é um martingale. Por fim, a integrabilidade uniforme é obtida do teorema 6.3.1.1.

$ \Box $

Observação 6.3.1.3:

Se $ X $ é um martingale UI e $ T $ é um tempo de parada, no qual também pode ter o valor $ \infty, $ então podemos obter de forma única que

$$X_T=\sum^\infty_{n=0}X_n1\!\!1_{\{T=n\}}+X_\infty 1\!\!1_{\{T=\infty\}}$$

 

Teorema 6.3.1.3: [Parada opcional para martingales UI]

Seja $ X $ um martingale UI e $ S $ e $ T $ tempos de parada com $ S\leq T. $ Então

$$\mathbb{E}[X_T|\mathcal{F}_S]=X_S,\quad \text{P-q.c.}$$

 

Demonstração:

Observamos que $ \mathbb{E}[X_\infty|\mathcal{F}_T]=X_T $ P-q.c. para qualquer tempo de parada $ T. $

De fato, desde que $ X_T\in \mathcal{L}^1 $ e $ |X_n|\leq \mathbb{E}\{|X_\infty|~|\mathcal{F}_T\} $ obtemos que

$$\mathbb{E}[|X_T|]=\sum^\infty_{n=0}\mathbb{E}\{X_n | 1\!\!1_{\{T=n\}}\}+\mathbb{E\{}X_\infty | 1\!\!1_{\{T=\infty\}}\}\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+\cup\{\infty\}}\mathbb{E}\{X_\infty | 1\!\!1_{\{T=n\}}\}=\mathbb{E}[|X_\infty|]$$

 

Seja $ B\in\mathcal{F}_T, $ com isso

$$\mathbb{E}[1\!\!1_B X_T]=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+\cup\{\infty\}}\mathbb{E}\{X_n 1\!\!1_{\{T=n\}}1\!\!1_{B}\}\overset{\mathbb{E}[X_\infty|\mathcal{F}_n]=X_n}{=}\sum_{n\in\mathbb{Z}_+\cup\{\infty\}}\mathbb{E}\{X_\infty 1\!\!1_{\{T=n\}}1\!\!1_{B}\}=\mathbb{E}[1\!\!1_B X_\infty]$$

 

Logo, como $ X_T $ é $ \mathcal{F}_T $-mensurável, obtemos que

$$\mathbb{E}[X_\infty|\mathcal{F}_T]=X_T,\quad \text{P-q.c.}$$

 

Da propriedade de esperança condicional obtemos que para tempos de parada $ S\leq T, $ com $ \mathcal{F}_S\subseteq \mathcal{F}_T $ obtemos que

$$\mathbb{E}[X_T|\mathcal{F}_S]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X_\infty|\mathcal{F}_T]|\mathcal{F}_S]=\mathbb{E}[X_\infty|\mathcal{F}_S]=X_S, \quad \text{P-q.c.}$$

$ \Box $

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