6.3.2 - Upcrossings

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No módulo martingales uniformemente integráveis, mostramos que uma sequência de variáveis aleatórias que forma a estrutura martingale tem limite se e só se, a sequência de variáveis aleatórias for uniformemente integrável. Neste módulo, vamos estender este resultado supermartingales (ou submartingales).  

O número de vezes que um processo estocástico "passa" de forma crescente ou descrescente através de um intervalo é denominado número de upcrossings e respectivamente, número de downcrossings do processo. O número de upcrossings será denotado por $ U_\infty (a,b) $. Por definição, sabemos que $ U_\infty ([a,b]) $ assume valores inteiros não negativos ou é infinito. De forma similar, o número de downcrossings será denotado por $ D_\infty (a,b) $ e também assume valores inteiros não negativos ou é infinito.  

O significado de upcrossings para a convergência de processo estocástico é devido ao seguinte critério para convergência de uma sequência de números reais. Uma sequenência de números reais  n \geq 1\} $ converge para um real extendido $ (\mathbb{R} \cup \{-\infty , \infty\}) $ se e só se o número de upcrossings for finito para todo $ a \textless b $. Na realidade, denotamos por 

$$L = \liminf_{n \rightarrow \infty} x_n \quad \text{e} \quad U= \limsup_{n \rightarrow \infty} x_n .$$

Então, temos que $ L \leq U $ e a sequência converge se e só se $ L=U $. Suponha que a sequência seja convergente. Se $ a \textless L $ então, existe $ N $ tal que $ x_n \textgreater a $ para todo $ n \geq N $. Como consequência, todo upcrossing do intervalo $ [a,b] $ deve começar antes de $ N $ e então, o número de upcrossings $ U_\infty (a,b) \leq N $ é finito. Por outro lado, se $ L \leq a $ então $ U=L \textless b $ e assim, podemos concluir que $ x_n \textless b $ para todo $ n \geq N $ e algum $ N $. Mais uma vez, obtemos que  $ U_\infty (a,b) \leq N $.

Contrariamente, suponha que a sequência $ \{x_n\} $ não converge e assim $ U \textgreater L $. Escolha $ a \textless b $ no intervalo $ (L.U) $. Para qualquer inteiro positivo $ n $, existe $ r \textgreater n $ tal que $ x_r \textgreater b $ e um $ s \textgreater n $ com $ x_s \textless a $. Este fato nos permite definir duas sequência $ \{s_k\} $ e $ \{t_k\} $ por $ t_0=0 $ e

 x_m \geq b\}, $$

para todo $ k \geq 1 $. Por construção, temos que $ s_1 \textless t_1 \textless s_2 \textless \cdots $ e $ x_{s_k} \leq a \textless b \leq x_{t_k} $ para todo $ k \geq 1 $. Portanto, concluímos que $ U_\infty (a,b) = \infty $.

A seguir, vamos utilizar a estratégia de Doob para adaptarmos o teorema de upcrossing que caracteriza sequências de números convergentes para processos estocásticos. A desigualdade de upcrossings de Doob nos fornece uma limitação uniforme para o número de upcrossings (e downcrossings) de uma sequência de variáveis aleatórias que forma uma estrutura martingale.

Seja X um supermartingale e $ a\textless b $ dois números reais. Um upcrossing é um par $ (X_k,X_\ell) $ tal que 

$$X_k\leq a\textless b\leq X_\ell.$$

Em outras palavras o processo completa um upcrossing se para um determinado tempo ele está abaixo de $ a $ e então após alguns passos ele ultrapassa $ b. $ Denotamos $ U_N(a,b) $ como sendo o número de upcrossing até o tempo N.  Podemos definir o upcrossing através dos tempos de paradas,

$$\tau_0=0,$$
 X_n\leq a\},$$
 X_n\geq b\},$$
$$\vdots$$
 X_n\leq a\},$$
 X_n\geq b\},$$
$$\vdots$$

 

No gráfico os pontos em vermelho representam os upcrossing.

Para qualquer inteiro N definimos

\tau_{2n}\leq N\}.$$

Dado $ x \in \mathbb{R} $ uma constante, denotamos por $ x^+=\max (x,0) $ e $ x^-=-\min (x,0) $. Na Figura ilustrativa, temos $ U_N(a,b) = 3 $.

Lema 6.3.1 (Upcrossing de Doob):

Seja  n \geq 0\} $ um supermartingale. Para qualquer inteiro N, temos

$$\displaystyle E[U_N(a,b)]\leq \frac{1}{b-a}E[(a-X_N)^+ ]\leq \frac{1}{b-a}(|a|+E[X_N]).$$

Demonstração:

Seja 

$$D=\displaystyle \sum_{k=1}^{N}\left[X_{\tau_{2k\wedge N}}-X_{\tau_{2k-1\wedge N}}\right].$$

Se para algum $ \ell $  temos que 

$$\tau_{2\ell-1}\textless N\textless \tau_{2\ell},$$

dizemos que temos um upcrossing incompleto. Portanto, temos que

$$D\geq (b-a)U_N(a,b)+R_N,$$

no qual o resíduo $ R_N $ satisfaz $ R_N=0 $ se não existe upcrossing incompleto, ou $ R_N\geq X_{N}-a $, se existe algum upcrossing incompleto. Desde que $ X $ é um supermartingale e $ \tau_i\wedge N $ é um tempo de parada limitado, temos que 

$$E[D]\leq 0.$$

Assim, obtemos que

$$\displaystyle E[U_N(a,b)]\leq \frac{1}{b-a}E[-R_N]\leq \frac{1}{b-a}E[(a-X_N)^+]\leq \frac{1}{b-a}(|a|+E[|X_N|]).$$

$ \Box $

Corolário 6.3.1:

Sejam $ a,b \in \mathbb{R} $, com $ a\textless b  $ n \geq 0\} $ um supermartingale limitado em $ L^1 $ em que

$$\sup_{n}E[|X_n|]\textless \infty.$$

Se denotarmos por =\uparrow \lim_N U_N[a,b] $, obtemos que $ (b-a)E[U_\infty[a,b]]\leq |a|+\sup_{n}E[|X_n|]\textless \infty $. Como consequência, concluímos que $ P(U_\infty [a,b]=\infty)=0. $

Demonstração:

Pelo Lema anterior temos que para $ n\in\mathbb{N} $,

$$(b-a)E[U_N[a,b]]\leq |a|+E[|X_N|]\leq |a|+\sup_n E[|X_n|].$$

Ao tomarmos o limite quando $ N\uparrow \infty $, concluímos que o resultado é consequência do teorema da convergência monótona.

$ \Box $

Definimos a $ \sigma $-álgebra "limite" como sendo

$$\mathcal{F}_{\infty}=\sigma\left(\bigcup_n\mathcal{F}_n\right).$$

Teorema 6.3.2:

Seja X um supermatingale limitado em $ L^1 $, ou seja,

$$\sup_n E[|X_n|]\textless \infty.$$

 Então $ \lim X_n $ existe e é finito quase certamente. Definimos por =\limsup X_n(\omega), \forall \omega  $, então temos que $ X_\infty $ é variável aleatória $ \mathcal{F}_\infty $-mensurável e $ X_\infty= \lim X_n $ quase certamente.

Demonstração:

Seja $ \overline{\mathbb{R}}=[-\infty,\infty] $. Assim definimos o conjunto

$$A=\{\omega\in\Omega|\liminf X_n\textless \limsup X_n\}$$

=\bigcup_{\{a,b\in \mathbb{Q}\}} A_{a,b}$$

 

Note que

$$A_{a,b}\subset \{\omega\in\Omega| U_{\infty}[a,b](\omega)=\infty\},$$

 

Mas utilizando o corolário anterior temos que $ P(A_{a,b})=0 $. Como $ A $ é uma união enumerável temos que $ P(A)=0 $, e portanto

= \lim X_n$$

existe quase certamente em $ \overline{\mathbb{R}} $. Assim nos resta mostrar penas que $ E[|X_\infty|]\textless \infty $. Pelo lema de fatou

$$E[|X_\infty|]=E[\liminf |X_n|]\leq \liminf E[|X_n|]\leq sup E[|X_n|]\textless \infty$$

 

o que implica que $ P(X_\infty\textless \infty)=1 $.

$ \Box $

A seguir, apresentamos uma demonstração alternativa para o lema dos upcrossings de Doob.

Lema 6.3.2 [Lema dos upcrossing de Doob]

Seja $ M $ uma supermartingale. Em seguida, para todo $ a\textless b, $ o número de upcrossings $ U_n[a, b] $ do intervalo $ [a, b] $ é uma variável aleatória $ \mathcal{F}_n $-mensurável e satisfaz

$$(b-a)\mathbb{E}\left(U_n[a,b]\right)\leq \mathbb{E}\left[(M_n-a)^-\right]$$

 

O número total de upcrossings $ U_\infty[a,b] $ é $ \mathcal{F}_\infty $-mensurável.

Demonstração:

Primeiramente, vamos mostrar que $ U_n[a, b] $ é $ \mathcal{F}_n $-mensurável e que  $ U_\infty[a,b] $ é $ \mathcal{F}_\infty $-mensurável. Consideramos $ X $ o processo limitado e previsível dado por $ X_0 = 1\!\!1_{\{M_0 \textless a\}} $ e

$$X_n = 1\!\!1_{\{X_{n-1}=1\}}1\!\!1_{\{M_{n-1} \leq b\}}+1\!\!1_{\{X_{n-1}=0\}}1\!\!1_{\{M_{n-1} \textless a\}},\quad n\in \mathbb{Z}_+.$$

 

Definimos $ Y=X.M, $ com isso, o processo $ X $ é igual a 0, até $ M $ cair abaixo do nível a, então permanece até $ M $ ficar acima de b e assim por diante. Assim, cada upcrossing concluído de $ [a, b] $ aumenta o valor de Y, pelo menos, $ b - a. $ Se o último upcrossing ainda não foi completado no tempo n, então esta pode reduzir Y por, no máximo, $ (M_n - a)^-. $

Veja a ilustração a seguir:

Logo, a desigualdade fundamental com $ Y_0\doteq 0. $

$$Y_n\geq (b-a)U_n[a,b]-(M_n - a)^-\quad (6.3.1)$$

Vale lembrar que $ Y=X.M $ é um super-martingale, fato visto no lema 6.1.1 (para mais detalhes consulte estruturas que mantém a propriedade de martingale).

Em particular, $ \mathbb{E}[Y_n]\leq \mathbb{E}[Y_0]=0. $ Portanto, para concluir este resultado, basta aplicarmos a esperança em ambos os lado em (6.3.1).

$ \Box $

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