6.3.2 - Upcrossings

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No módulo martingales uniformemente integráveis, mostramos que uma sequência de variáveis aleatórias que forma a estrutura martingale tem limite se e só se, a sequência de variáveis aleatórias for uniformemente integrável. Neste módulo, vamos estender este resultado supermartingales (ou submartingales).  

O número de vezes que um processo estocástico "passa" de forma crescente ou descrescente através de um intervalo é denominado número de upcrossings e respectivamente, número de downcrossings do processo. O número de upcrossings será denotado por $U_\infty (a,b)$. Por definição, sabemos que $U_\infty ([a,b])$ assume valores inteiros não negativos ou é infinito. De forma similar, o número de downcrossings será denotado por $D_\infty (a,b)$ e também assume valores inteiros não negativos ou é infinito.  

O significado de upcrossings para a convergência de processo estocástico é devido ao seguinte critério para convergência de uma sequência de números reais. Uma sequenência de números reais $\{x_n : n \geq 1\}$ converge para um real extendido $(\mathbb{R} \cup \{-\infty , \infty\})$ se e só se o número de upcrossings for finito para todo $a \textless b$. Na realidade, denotamos por 

$$L = \liminf_{n \rightarrow \infty} x_n \quad \text{e} \quad U= \limsup_{n \rightarrow \infty} x_n .$$ Então, temos que $L \leq U$ e a sequência converge se e só se $L=U$. Suponha que a sequência seja convergente. Se $a \textless L$ então, existe $N$ tal que $x_n \textgreater a$ para todo $n \geq N$. Como consequência, todo upcrossing do intervalo $[a,b]$ deve começar antes de $N$ e então, o número de upcrossings $U_\infty (a,b) \leq N$ é finito. Por outro lado, se $L \leq a$ então $U=L \textless b$ e assim, podemos concluir que $x_n \textless b$ para todo $n \geq N$ e algum $N$. Mais uma vez, obtemos que  $U_\infty (a,b) \leq N$.

Contrariamente, suponha que a sequência $\{x_n\}$ não converge e assim $U \textgreater L$. Escolha $a \textless b$ no intervalo $(L.U)$. Para qualquer inteiro positivo $n$, existe $r \textgreater n$ tal que $x_r \textgreater b$ e um $s \textgreater n$ com $x_s \textless a$. Este fato nos permite definir duas sequência $\{s_k\}$ e $\{t_k\}$ por $t_0=0$ e $$s_k = \inf \{ m \geq t_{k-1}: x_m \leq a\} \quad \text{e} \quad t_k = \inf \{ m \geq s_{k}: x_m \geq b\}, $$ para todo $k \geq 1$. Por construção, temos que $s_1 \textless t_1 \textless s_2 \textless \cdots$ e $x_{s_k} \leq a \textless b \leq x_{t_k}$ para todo $k \geq 1$. Portanto, concluímos que $U_\infty (a,b) = \infty$.

A seguir, vamos utilizar a estratégia de Doob para adaptarmos o teorema de upcrossing que caracteriza sequências de números convergentes para processos estocásticos. A desigualdade de upcrossings de Doob nos fornece uma limitação uniforme para o número de upcrossings (e downcrossings) de uma sequência de variáveis aleatórias que forma uma estrutura martingale.

Seja X um supermartingale e $a\textless b$ dois números reais. Um upcrossing é um par $(X_k,X_\ell)$ tal que $$X_k\leq a\textless b\leq X_\ell.$$ Em outras palavras o processo completa um upcrossing se para um determinado tempo ele está abaixo de $a$ e então após alguns passos ele ultrapassa $b.$ Denotamos $U_N(a,b)$ como sendo o número de upcrossing até o tempo N.  Podemos definir o upcrossing através dos tempos de paradas,

$$\tau_0=0,$$ $$\tau_1=\inf\{n\textgreater 0: X_n\leq a\},$$ $$\tau_2=\inf\{n\textgreater \tau_1: X_n\geq b\},$$ $$\vdots$$ $$\tau_{2k-1}=\inf\{n\textgreater \tau_{2k-2}: X_n\leq a\},$$ $$\tau_{2k}=\inf\{n\textgreater \tau_{2k-1}: X_n\geq b\},$$ $$\vdots$$

 

No gráfico os pontos em vermelho representam os upcrossing.

Para qualquer inteiro N definimos $$U_N(a,b)=\sup\{n\geq 0:\tau_{2n}\leq N\}.$$ Dado $x \in \mathbb{R}$ uma constante, denotamos por $x^+=\max (x,0)$ e $x^-=-\min (x,0)$. Na Figura ilustrativa, temos $U_N(a,b) = 3$.

Lema 6.3.1 (Upcrossing de Doob):

Seja $X=\{X_n : n \geq 0\}$ um supermartingale. Para qualquer inteiro N, temos

$$\displaystyle E[U_N(a,b)]\leq \frac{1}{b-a}E[(a-X_N)^+ ]\leq \frac{1}{b-a}(|a|+E[X_N]).$$

Demonstração:

Seja  $$D=\displaystyle \sum_{k=1}^{N}\left[X_{\tau_{2k\wedge N}}-X_{\tau_{2k-1\wedge N}}\right].$$ Se para algum $\ell$  temos que  $$\tau_{2\ell-1}\textless N\textless \tau_{2\ell},$$ dizemos que temos um upcrossing incompleto. Portanto, temos que $$D\geq (b-a)U_N(a,b)+R_N,$$ no qual o resíduo $R_N$ satisfaz $R_N=0$ se não existe upcrossing incompleto, ou $R_N\geq X_{N}-a$, se existe algum upcrossing incompleto. Desde que $X$ é um supermartingale e $\tau_i\wedge N$ é um tempo de parada limitado, temos que $$E[D]\leq 0.$$ Assim, obtemos que $$\displaystyle E[U_N(a,b)]\leq \frac{1}{b-a}E[-R_N]\leq \frac{1}{b-a}E[(a-X_N)^+]\leq \frac{1}{b-a}(|a|+E[|X_N|]).$$

$\Box$

Corolário 6.3.1:

Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, com $a\textless b $ e $X=\{X_n : n \geq 0\}$ um supermartingale limitado em $L^1$ em que $$\sup_{n}E[|X_n|]\textless \infty.$$ Se denotarmos por $U_{\infty}[a,b]:=\uparrow \lim_N U_N[a,b]$, obtemos que $(b-a)E[U_\infty[a,b]]\leq |a|+\sup_{n}E[|X_n|]\textless \infty$. Como consequência, concluímos que $P(U_\infty [a,b]=\infty)=0.$

Demonstração:

Pelo Lema anterior temos que para $n\in\mathbb{N}$,

$$(b-a)E[U_N[a,b]]\leq |a|+E[|X_N|]\leq |a|+\sup_n E[|X_n|].$$ Ao tomarmos o limite quando $N\uparrow \infty$, concluímos que o resultado é consequência do teorema da convergência monótona.

$\Box$

Definimos a $\sigma$-álgebra "limite" como sendo

$$\mathcal{F}_{\infty}=\sigma\left(\bigcup_n\mathcal{F}_n\right).$$

Teorema 6.3.2:

Seja X um supermatingale limitado em $L^1$, ou seja, $$\sup_n E[|X_n|]\textless \infty.$$ Então $\lim X_n$ existe e é finito quase certamente. Definimos por $X_\infty (\omega):=\limsup X_n(\omega), \forall \omega $, então temos que $X_\infty$ é variável aleatória $\mathcal{F}_\infty$-mensurável e $X_\infty= \lim X_n$ quase certamente.

Demonstração:

Seja $\overline{\mathbb{R}}=[-\infty,\infty]$. Assim definimos o conjunto

$$A=\{\omega\in\Omega|\liminf X_n\textless \limsup X_n\}$$

$$=\bigcup_{\{a,b\in \mathbb{Q}:a\textless b\}}\left\{\omega\in \Omega| \liminf X_n(\omega)\textless a \textless b\textless \limsup X_n(\omega)\right\}:=\bigcup_{\{a,b\in \mathbb{Q}\}} A_{a,b}$$

 

Note que

$$A_{a,b}\subset \{\omega\in\Omega| U_{\infty}[a,b](\omega)=\infty\},$$

 

Mas utilizando o corolário anterior temos que $P(A_{a,b})=0$. Como $A$ é uma união enumerável temos que $P(A)=0$, e portanto

$$X_\infty := \lim X_n$$

existe quase certamente em $\overline{\mathbb{R}}$. Assim nos resta mostrar penas que $E[|X_\infty|]\textless \infty$. Pelo lema de fatou

$$E[|X_\infty|]=E[\liminf |X_n|]\leq \liminf E[|X_n|]\leq sup E[|X_n|]\textless \infty$$

 

o que implica que $P(X_\infty\textless \infty)=1$.

$\Box$

A seguir, apresentamos uma demonstração alternativa para o lema dos upcrossings de Doob.

Lema 6.3.2 [Lema dos upcrossing de Doob]

Seja $M$ uma supermartingale. Em seguida, para todo $a\textless b,$ o número de upcrossings $U_n[a, b]$ do intervalo $[a, b]$ é uma variável aleatória $\mathcal{F}_n$-mensurável e satisfaz

$$(b-a)\mathbb{E}\left(U_n[a,b]\right)\leq \mathbb{E}\left[(M_n-a)^-\right]$$

 

O número total de upcrossings $U_\infty[a,b]$ é $\mathcal{F}_\infty$-mensurável.

Demonstração:

Primeiramente, vamos mostrar que $U_n[a, b]$ é $\mathcal{F}_n$-mensurável e que  $U_\infty[a,b]$ é $\mathcal{F}_\infty$-mensurável. Consideramos $X$ o processo limitado e previsível dado por $X_0 = 1\!\!1_{\{M_0 \textless a\}}$ e

$$X_n = 1\!\!1_{\{X_{n-1}=1\}}1\!\!1_{\{M_{n-1} \leq b\}}+1\!\!1_{\{X_{n-1}=0\}}1\!\!1_{\{M_{n-1} \textless a\}},\quad n\in \mathbb{Z}_+.$$

 

Definimos $Y=X.M,$ com isso, o processo $X$ é igual a 0, até $M$ cair abaixo do nível a, então permanece até $M$ ficar acima de b e assim por diante. Assim, cada upcrossing concluído de $[a, b]$ aumenta o valor de Y, pelo menos, $b - a.$ Se o último upcrossing ainda não foi completado no tempo n, então esta pode reduzir Y por, no máximo, $(M_n - a)^-.$

Veja a ilustração a seguir:

Logo, a desigualdade fundamental com $Y_0\doteq 0.$

$$Y_n\geq (b-a)U_n[a,b]-(M_n - a)^-\quad (6.3.1)$$

Vale lembrar que $Y=X.M$ é um super-martingale, fato visto no lema 6.1.1 (para mais detalhes consulte estruturas que mantém a propriedade de martingale).

Em particular, $\mathbb{E}[Y_n]\leq \mathbb{E}[Y_0]=0.$ Portanto, para concluir este resultado, basta aplicarmos a esperança em ambos os lado em (6.3.1).

$\Box$

Processo Estocástico

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