6.3.3 - Teoremas de convergência para martingales

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Inicialmente vamos apresentar algumas desigualdades importantes, para em seguida mostrar os principais resultados de convergência para martingales.

Teorema 6.3.3.1 [Desigualdade do submartingale de Doob]

Seja M um submartingale, para todo $ \lambda \textgreater 0,~ n\geq 1 $

$$\lambda \mathbb{P}\left[\max_{k\leq n}M_k\geq \lambda\right]\leq \mathbb{E}\left[M_n 1\!\!1_{\{\displaystyle\max_{k\leq n}M_k\geq \lambda\}}\right]\leq \mathbb{E}|M_n|$$

 

Demonstração:

Definimos o tempo de parada $ \tau=n\wedge \inf\{k;~M_k\geq \lambda\} $ com $ \tau\leq n. $  Assim, temos que $ \mathbb{E}[M_n]\geq \mathbb{E}[M_\tau]. $

Como consequência, concluímos que

$$\mathbb{E}[M_n]\geq \mathbb{E}\left[M_\tau 1\!\!1_{\{\displaystyle\max_{k\leq n}M_k\geq \lambda\}}\right]+\mathbb{E}\left[M_n 1\!\!1_{\{\displaystyle\max_{k\leq n}M_k\textless \lambda\}}\right]$$

$$\geq\lambda \mathbb{P}\left[\max_{k\leq n}M_k\geq \lambda\right]+\mathbb{E}\left[M_n 1\!\!1_{\{\displaystyle\max_{k\leq n}M_k\textless \lambda\}}\right]$$

 

Portanto, temos um lado da desigualdade, a outra parte é imediata.

$ \Box $

Teorema 6.3.3.2 [Desigualdade $ \mathcal{L}^p $ de Doob]

Se $ M $ é um martingale ou um submartingale não negativo e $ p\textgreater 1. $ Então para todo $ n\geq 1 $ temos que

$$\mathbb{E}\left[\max_{k\geq n}|M_n|^p\right]\leq \left(\frac{p}{1-p}\right)^p\mathbb{E}|M_n|^p$$

 

Demonstração:

Consideramos $ M^*=\max_{k\geq n}|M_n| $ e $ M $ definido sobre o espaço de probabilidade $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}). $ Assim, para qualquer $ m\geq 1 $ obtemos que

$$\mathbb{E}[(M^*\wedge m)^p]=\int_{\omega}(M^*(\omega)\wedge m)^p d\mathbb{P}(\omega)=\int_{\omega}\int^{(M^*(\omega)\wedge m)}_0 px^{p-1}dx~ d\mathbb{P}(\omega)=$$

$$=\int_{\omega}\int^{m}_0 px^{p-1}1\!\!1_{\{M^*(\omega)\geq x\}}~ dx~ d\mathbb{P}(\omega)\overset{\text{Teo de Fubbini}}{=}$$

$$=\int^{m}_0 px^{p-1}\mathbb{P}\{M^*\geq x\}~ dx\quad(6.3.2.1)$$

 

Pela desigualdade de Jensen, temos que $ |M| $ é um submartingale. Com isso, da desigualdade do submartingale de Doob obtemos que

$$\mathbb{P}\{M^*\geq x\}\leq \frac{\mathbb{E}(|M_n|1\!\!1_{\{M^*\geq x\}})}{x}$$

 

Voltando em (6.3.2.1) obtemos que

$$\mathbb{E}[(M^*\wedge m)^p]\leq\int^{m}_0 px^{p-2}\mathbb{E}(|M_n|1\!\!1_{\{M^*\geq x\}})~ dx =$$

M^*(\omega)\geq x}|M_n| ~d\mathbb{P}(\omega)~ dx\overset{\text{Teo de Fubbini}}{=}$$

$$=p\int_\omega|M_n(\omega)|\int^{M^*(\omega)\wedge m}_0 x^{p-2}~dx~d\mathbb{P}(\omega)=$$

$$=\frac{p}{p-1}\mathbb{E}[|M_n|(M^*(\omega)\wedge m)^{p-1}]$$

 

Usando a desigualdade de Hölder com $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $ obtemos que

$$\mathbb{E}[|M^*\wedge m|^p]\leq \frac{p}{p-1}(\mathbb{E}[|M_n|^p])^{\frac{1}{p}}(\mathbb{E}[|M^*(\omega)\wedge m|^{(p-1)q}])^{\frac{1}{q}}$$

Para $ p\textgreater 1 $ obtemos que $ q=\frac{p}{p-1}, $ iso implica que

$$\mathbb{E}[|M^*\wedge m|^p]\leq \frac{p}{p-1}(\mathbb{E}[|M_n|^p])^{\frac{1}{p}}(\mathbb{E}[|M^*(\omega)\wedge m|^{p}])^{\frac{p-1}{p}}$$

 

Elevando a p dos dois lados obtemos que

$$\mathbb{E}[|M^*\wedge m|^p]\leq \left(\frac{p}{p-1}\right)^p\mathbb{E}[|M_n|^p]$$

 

Para completar a demonstração, basta $ m $ tender ao infinito.

$ \Box $

Corolário 6.3.2.1:

Seja $ M $ um martingale quadrado integrável. Então existe um único processo previsível crescente $ A $ com $ A_0=0 $ tal que $ M^2-A $ é um martingale. Além disso, a variável aleatória $ A_{n+1}-A_n $ é uma versão da variância condicional de $ M_n $ dado $ \mathcal{F}_{n-1}, $ isto é,

$$A_{n+1}-A_n=\mathbb{E}\left[(M_n-\mathbb{E}[M_n|\mathcal{F}_{n-1}])^2|\mathcal{F}_{n-1}\right]=\mathbb{E}\left[(M_n-M_{n-1})^2|\mathcal{F}_{n-1}\right]\quad P\text{-}q.c.$$

 

Concluímos que o teorema de Pitágoras é válido para martingales quadrados integráveis.

$$\mathbb{E}[M^2_n]=\mathbb{E}[M^2_0]+\sum^n_{k=1}\mathbb{E}[(M_n-M_{n-1})^2]$$

 

O processo $ A $ é chamado de processo de variação quadrática previsível de $ M $ e denotado por $ \langle M\rangle. $

Demonstração:

Pela desigualdade de Jensen, temos que $ M^2 $ é um submartingale. Como $ M $ é um martingale, temos que

$$\mathbb{E}\left[(M_n-M_{n-1})^2|\mathcal{F}_{n-1}\right]=\mathbb{E}\left[M^2_n+M^2_{n-1}-2M_n M_{n-1}|\mathcal{F}_{n-1}\right]=$$

$$=\mathbb{E}\left[M^2_n|\mathcal{F}_{n-1}\right]-2M_{n-1}\mathbb{E}[M_n|\mathcal{F}_{n-1}]+M^2_{n-1}=$$

$$=\mathbb{E}\left[M^2_n|\mathcal{F}_{n-1}\right]-M^2_{n-1}=$$

$$=\mathbb{E}\left[M^2_n-M^2_{n-1}|\mathcal{F}_{n-1}\right]=A_{n}-A_{n-1}$$

$ \Box $

Definição 6.3.3.1:

Definimos a $ \sigma $-álgebra "limite" como sendo

$$\mathcal{F}_{\infty}=\sigma\left(\bigcup_n\mathcal{F}_n\right)$$

 

Para demonstramos os teoremas de convergência consideramos $ M $ supermartingale e um intervalo compacto $ [a, b]\subset \mathbb{R}. $

 

Como apresentado no módulo upcrossing, o número de upcrossings no intervalo $ [a, b] $ até o tempo  $ n, $, representa o número de vezes que o processo passa a partir de um nível inferior $ a $ ao um nível superior de $ b ~ (X_k \leq a \textless b \leq X_\ell) $.

Teorema 6.3.3.3 [Teorema da convergência de martingales de Doob]

Seja $ M $ uma supermartingale tal que é limitado em $ \mathcal{L}^1, $ então $ M_n $ converge quase certamente para um limite finito $ M_\infty $ que é $ \mathcal{F}_\infty $-mensurável quando $ n\rightarrow \infty, $ com $ \mathbb{E}|M_\infty|\textless \infty. $

Demonstração:

Suponhamos que $ M $ é definido no espaço de probabilidade $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}). $ Suponha que $ M (\omega) $ não converge para um limite de $ \overline{\mathbb{R}}. $ Então existem dois racionais $ a \textless b $ tal que $ \liminf M_n (\omega) \textless a \textless b \textless \limsup M_n (\omega). $ Em particular, $ U_\infty [a, b] (\omega) =\infty. $ Pelo lema (lema upcrossings de Doob) $ \mathbb{P} \{U_\infty [a, b] =\infty\} = 0. $

Agora observamos que

$$A\doteq \{\omega ; M(\omega)~\text{não converge para um limite em }~\overline{\mathbb{R}}\}\subset \bigcup_{a\textless b}\{\omega; U_\infty [a, b] (\omega) =\infty\}, \quad a,b\in \mathbb{Q}.$$

 

Logo,

$$\mathbb{P}[A]\leq \sum_{a\textless b}\mathbb{P}\{U_\infty[a,b]=\infty\}=0,$$

 

Isto implica que $ M_n $ converge quase certamente para o limite $ M_\infty\in \overline{\mathbb{R}}. $ Assim, pelo lema de Fatou

$$\mathbb{E}[M_\infty]=\mathbb{E}(\liminf |M_n|)\leq \liminf \mathbb{E}|M_n|\leq \sup\mathbb{E}|M_n|\textless \infty.$$

 

Com isso, obtemos que $ M_\infty $ é finito quase certamente e é integrável. Vale lembrar que $ M_n $ é $ \mathcal{F}_n $-mensurável e portanto é $ \mathcal{F}_\infty $-mensurável, desde que $ \displaystyle M_\infty=\lim_{n\rightarrow \infty}M_n $ é o limite de aplicações $ \mathcal{F}_\infty $-mensuráveis, logo é $ \mathcal{F}_\infty $-mensurável.

$ \Box $

Teorema 6.3.3.4:

Seja $ M $ um supermartingale que é limitada em $ \mathcal{L}^1. $ Então $ M_n\xrightarrow{\mathcal{L}^1}M_{\infty}, $ quando $ n\rightarrow\infty $ se, e somente se, $ \{M_n\}_{n\in\mathbb{Z}_+} $ é uniformemente integrável, em que $ M_\infty $ é integrável e $ \mathcal{F}_{\infty} $-mensurável. Neste caso,

$$\mathbb{E}[M_\infty| \mathcal{F}_n]\leq M_n,\quad \text{q.c.}\quad (6.3.3.1)$$

 

Adicionalmente, se $ M $ é um martingale, então temos uma igualdade em (6.3.3.1). Neste caso, dizemos que $ M $ é um Doob Martingale.

Demonstração:

Primeiramente, observamos que do teorema da convergência de martingales de Doob que $ M_n\xrightarrow{q.c.}M_\infty, $ para $ M_\infty $ uma variável aleatória finita. Com isso, segue que $ M_n\xrightarrow{P}M_\infty, $ logo se $ \{M_n\}_{n\in\mathbb{Z}_+} $ é uniformemente integrável temos que $ M_n\xrightarrow{\mathcal{L}^1}M_{\infty}. $

Por outro lado suponhamos que $ M_n\xrightarrow{\mathcal{L}^1}M_{\infty}, $ desde que $ M $ seja um super-martingale, obtemos que

$$\mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_m]\leq \mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_n],\quad A\in \mathcal{F}_n,~~m\geq n\quad (6.3.3.2)$$

 

Agora, observamos que

$$|1\!\!1_{\{A\}}M_m-1\!\!1_{\{A\}}M_\infty|\leq 1\!\!1_{\{A\}}|M_m-M_\infty|\leq |M_m-M_\infty|$$

 

Logo,

$$1\!\!1_{\{A\}}M_m\xrightarrow{\mathcal{L}^1} 1\!\!1_{\{A\}}M_\infty$$

 

Tomando o limite quando $ m\rightarrow \infty $ em (6.3.3.2), obtemos que

$$\mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_\infty]\leq \mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_n],\quad A\in \mathcal{F}_n$$

 

isto implica que $ \mathbb{E}[M_\infty| \mathcal{F}_n]\leq M_n,\quad \text{q.c.}. $

$ \Box $

Com este resultado obtemos que um martingale uniformemente integrável é limitado em $ \mathcal{L}^1 $ e são Doob martingales. Por outro lado, seja $ X $ uma variável aleatória integrável $ \mathcal{F} $-mensurável e seja $ \mathbb{F}^n=\{\mathcal{F}_n, ~n=0,1,2\dots\} $ a filtragem. Então $ \mathbb{E}[X|\mathcal{F}_n] $ é um Doob martingale uniformemente integrável. Para Doob martingales podemos identificar o limite explícito em termos da $ \sigma $-álgebra limite $ \mathcal{F}_\infty. $

Teorema 6.3.3.5 [Teorema upward de Lévy]

Seja $ X $ uma variável aleatória integrável, definido no espaço de probabilidade $ (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}) $ e seja $ \mathbb{F}^n=\{\mathcal{F}_n, ~n=0,1,2\dots\} $ a filtragem com $ \mathcal{F}_n\subset \mathcal{F} $ para todo $ n. $ Então

$$\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_n]\xrightarrow{q.c.} \mathbb{E}[X|\mathcal{F}_\infty], \quad\text{quando}~n\rightarrow\infty$$

 

e também em $ \mathcal{L}^1. $

Demonstração:

O processo $ M_n=\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_n] $ é uniformemente integrável, com isso é limitada em $ \mathcal{L}^1. $ Pelo teorema (6.3.3.4) $ M_n\xrightarrow{q.c.}M_\infty $ e em $ \mathcal{L}^1, $ quando $ n\rightarrow\infty $ com $ M_\infty $ integrável e $ \mathcal{F}_\infty $-mensurável. Este último basta mostrar que $ M_\infty=\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_\infty] $ quase certamente.

De fato, observamos que

$$\mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_\infty]\overset{(*)}{=} \mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_n]\overset{(**)}{=}\mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}X],\quad A\in \mathcal{F}_n\quad (6.3.3.3)$$

 

em que usamos o teorema (6.3.3.4) para mostrar (*) e a definição de $ M_n $ para (**).

Primeiro, assumimos que $ X $ é não negativo, então $ M_n=\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_n] $ também é não negativo quase certamente, logo $ M_\infty $ é não negativo quase certamente. Da construção de esperança condicional vamos associar as medidas com $ X $ e $ M_\infty $  e mostrar que elas concordam em um $ \pi $-sistema para $ \mathcal{F}_{\infty}. $

Definimos duas medidas $ Q_1=\mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}X] $ e $ Q_2=\mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_\infty] $ em $ (\Omega,\mathcal{F}_\infty). $ De (\ref{upwardLevy}), as medidas $ Q_1 $ e $ Q_2 $ concordam em $ \bigcup_n\mathcal{F}_n. $ Além disso, $ Q_1(\Omega)=Q_2(\Omega)=\mathbb{E}[X] $ desde que $ \Omega \in\mathcal{F}_n. $

Logo, $ Q_1 $ e $ Q_2 $ concordam em $ \sigma\left(\bigcup_n\mathcal{F}_n\right). $ Este implica da definição de esperança condicional que $ M_\infty=\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_\infty] $ quase certamente.

Finalmente, consideramos o caso especial $ X $ $ \mathcal{F} $-mensurável, então $ X=X^+-X^-, $ é a diferença de duas funções não negativas $ \mathcal{F} $-mensurável. Usamos a linearidade da esperança condicional para completar a demonstração.

$ \Box $

Corolário 6.3.3.2 [Lema de Hunt]

Suponha que $ X_n\xrightarrow{q.c.}X $ e que $ |X_n|\leq Y $ quase certamente para todo n, em que $ Y $ é uma variável aleatória integrável. Além disso, suponha $ \mathcal{F}_n\subseteq \mathcal{F}_{n+1},~n\geq 1 $ sequência crescente de $ \sigma $-álgebras.

Então $ \mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]\xrightarrow{q.c.}\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_\infty] $ em que $ \displaystyle\mathcal{F}_\infty=\sigma\left(\bigcup_n\mathcal{F}_n\right). $

Demonstração:

Para $ m\in \mathbb{Z}_+, $ tomamos $ U_m=\inf_{n\geq m} X_n $ e $ V_m=\sup_{n\geq m} X_n. $ Caso $ X_m\xrightarrow{q.c.}X, $ necessariamente temos que $ V_m-U_m\xrightarrow{q.c.}0 $ quando $ m\rightarrow \infty. $

Logo, $ |V_m-U_m|\leq 2Y. $

Da convergência dominada temos que $ \mathbb{E}(V_m-U_m)\rightarrow 0, $ quando $ m\rightarrow \infty. $

De fato,

Dado $ \varepsilon\textgreater 0 $ e escolhemos $ m $ suficientemente grande tal que

$$\mathbb{E}(V_m-U_m)\textless \varepsilon.$$

 

Para $ n\geq m  $ obtemos que

$$U_m\leq X_n\leq V_m, \quad q.c.\quad (6.3.3.4)$$

 

Disto, obtemos que

$$\mathbb{E}[U_m|\mathcal{F}_n]\leq \mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]\leq \mathbb{E}[V_m|\mathcal{F}_n], \quad q.c.$$

 

Os processos do lado esquerdo e direito são martingales que satisfazem as condições do teorema upward Lévy. Considerando n tendendo ao infinito obtemos

$$\mathbb{E}[U_m|\mathcal{F}_\infty]\leq \liminf\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]\leq \limsup\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]\leq \mathbb{E}[V_m|\mathcal{F}_\infty], \quad q.c.\quad (6.3.3.5)$$

 

Com isso, obtemos que

$$0\leq\mathbb{E}\left(\liminf\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]- \limsup\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]\right)\leq \mathbb{E}\left(\mathbb{E}[V_m|\mathcal{F}_\infty]-\mathbb{E}[U_m|\mathcal{F}_\infty]\right)$$

$$\leq\mathbb{E}(V_m-U_m)\textless \varepsilon$$

 

Considerando $ \varepsilon\downarrow 0 $ obtemos que $ \liminf\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]= \limsup\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n] $ q.c.

Assim, $ \mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n] $ converge quase certamente. Agora, para $ n\rightarrow \infty $ em (6.3.3.4) obtemos $ U_m\leq X\leq V_m $ q.c. Logo,

$$\mathbb{E}[U_m|\mathcal{F}_\infty]\leq \mathbb{E}[X|\mathcal{F}_\infty]\leq \mathbb{E}[V_m|\mathcal{F}_\infty], \quad q.c.\quad (6.3.3.6)$$

 

De (6.3.3.5) e (6.3.3.6) implicam que tanto $ \lim \mathbb{E}(X_n|\mathcal{F}_n) $ quanto $  \mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\infty) $ estão q.c. entre $ V_m $ e $ U_m. $ Consequentemente temos que

$$\mathbb{E}\left|\lim \mathbb{E}(X_n|\mathcal{F}_n)- \mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\infty)\right|\leq \mathbb{E}(V_m-U_m)\textless \varepsilon$$

 

Portanto, tomando $ \varepsilon\downarrow 0 $ obtemos que

$$\lim_n \mathbb{E}(X_n|\mathcal{F}_n)= \mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\infty),\quad q.c.$$

$ \Box $

A seguir, apresentamos um resultado que nos diz que um martingale $ M $ e dois tempos de parada limitados $ \kappa\leq \tau $ tal que $ E (M_{\tau} | \mathcal{F}_{\kappa}) = M_{\kappa}. $ Assim, vamos apresentar o seguinte teorema.

Teorema 6.3.3.6 [Teorema da amostragem opcional (Optional sampling)]

Seja $ M $ um (super)martingale uniformemente integrável (U.I.). Então a família de variáveis aleatórias $ \{M_\tau|\tau~\text{é um tempo de parada finito}\} $ é uniformemente integrável e para todo tempo de parada $ \kappa\leq \tau $ obtemos

$$\mathbb{E}(M_\tau|\mathcal{F}_{\kappa})\overset{(\leq)}{=}M_\kappa\quad P-q.c.$$

 

Demonstração:

Consideramos apenas o caso de martingale. Do teorema (6.3.3.4) temos que $ \displaystyle M_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}M_n $ existe P-q.c. em em $ \mathcal{L}^1 $ e $ \mathbb{E}(M_{\infty}|\mathcal{F}_n)=M_n. $ Agora, seja $ \tau $ um tempo de parada arbitrário e $ n\in \mathcal{N}\cup\{0\}. $

Vale lembrar que quando $ \tau\wedge n\leq n $ isto implica que $ \mathcal{F}_{\tau\wedge n}\subseteq \mathcal{F}_n. $

Das propriedades de esperança condicional temos que para todo n

$$\mathbb{E}(M_{\infty}|\mathcal{F}_{\tau\wedge n})=\mathbb{E}[\mathbb{E}(M_{\infty}|\mathcal{F}_{n})|\mathcal{F}_{\tau\wedge n}]=\mathbb{E}(M_{n}|\mathcal{F}_{\tau\wedge n})\quad q.c.$$

 

Do teorema (6.1.4) (para mais detalhes consulte estruturas que mantém a propriedade de martingale) obtemos que

$$\mathbb{E}(M_{\infty}|\mathcal{F}_{\tau\wedge n})=M_{\tau\wedge n}$$

 

Fazendo $ n\rightarrow \infty $ implica que $ M_{\tau\wedge n}\rightarrow M_\tau $ q.c. Do teorema upward de Lévy o lado esquerdo converge q.c. em $ \mathcal{L}^1 $ para $ \mathbb{E}(M_\infty|\mathcal{G}) $ em que

$$\mathcal{G}=\sigma\left(\bigcup_{n}\mathcal{F}_{\tau\wedge n}\right)$$

 

Portanto,

$$\mathbb{E}(M_\infty|\mathcal{G})=M_\tau\quad P-q.c.$$

 

Agora vamos mostrar que $ \mathcal{G} $ pode ser substituído por $ \mathcal{F}_{\tau}. $ Tomamos $ A\in\mathcal{F}_{\tau}, $ então

$$\mathbb{E}(1\!\!1_A M_\infty)=\mathbb{E}(1\!\!1_{\{A\cap \{\tau\textless \infty\}\}} M_\infty)+\mathbb{E}(1\!\!1_{\{A\cap \{\tau=\infty\}\}} M_\infty)$$

 

Mas, notamos que

$$\mathbb{E}(1\!\!1_{\{A\cap \{\tau\textless \infty\}\}} M_\infty)=\mathbb{E}(1\!\!1_{\{A\cap \{\tau\textless \infty\}\}} M_\tau)$$

 

e

$$\mathbb{E}(1\!\!1_{\{A\cap \{\tau=\infty\}\}} M_\infty)=\mathbb{E}(1\!\!1_{\{A\cap \{\tau=\infty\}\}} M_\tau)$$

 

Logo, temos que

$$\mathbb{E}(1\!\!1_A M_\infty)=\mathbb{E}(1\!\!1_A M_\tau), \quad \tau \in \mathcal{F}_{\tau}$$

 

Portanto, $ \mathbb{E}(M_\infty|\mathcal{F}_{\tau})=M_\tau $ P-q.c. pois $ \mathcal{F}_\kappa\subseteq \mathcal{F}_\tau $

$ \Box $

Para a igualdade $ \mathbb{E}(M_\tau|\mathcal{F}_{\kappa})=M_\kappa $ P-q.c. no teorema anterior é necessário que $ M $ seja uniformemente integrável. Existem martingales (positivos) que são limitadas em $ \mathcal{L}^1 $ mas não são uniformemente integráveis, para os quais a igualdade falha em geral. Para super-martingales não negativos sem propriedades integrabilidade adicionais temos somente uma desigualdade. A seguir vamos apresentar o resultado que mostrar este fato.

Teorema 6.3.3.7:

Seja $ M $ um super-martingale não negativo e seja $ \kappa \leq\tau  $ um tempo de parada. Então

$$\mathbb{E}(M_\tau|\mathcal{F}_{\kappa})\leq M_\kappa\quad \text{P-q.c}.$$

 

Demonstração:

Primeiramente, observamos que $ M $ é limitada em $ \mathcal{L}^1 $ com isso converge. Fixamos $ n\in \mathbb{N}\cup \{0\}, $ pelo teorema () o super-martingale parado $ M^{\tau\wedge n} $ é um super-martingale também e ainda uniformemente integrável.

$$\mathbb{E}(M_{\tau\wedge n}|\mathcal{F}_{\kappa})=\mathbb{E}(M^{\tau\wedge n}_\infty|\mathcal{F}_{\kappa})\leq M^{\tau\wedge n}_\kappa=M_{\tau\wedge n}\quad \text{P-q.c}.$$

 

Desde que o limite exista, obtemos que $ M_\tau 1\!\!1_{\{\tau=\infty\}}=M_\infty 1\!\!1_{\{\tau=\infty\}}. $

Agora pelo lema de Faltou condicional obtemos que

$$\mathbb{E}(M_\tau|\mathcal{F}_\kappa)\leq\mathbb{E}(\liminf M_{\tau\wedge n}|\mathcal{F}_{\kappa})$$

$$\leq\liminf \mathbb{E}(M_{\tau\wedge n}|\mathcal{F}_{\kappa})$$

$$\leq\liminf M_{\kappa\wedge n}=M_\kappa\quad \text{P-q.c}.$$

 

Portanto, segue o resultado.

$ \Box $

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