6.3.3 - Teoremas de convergência para martingales

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Inicialmente vamos apresentar algumas desigualdades importantes, para em seguida mostrar os principais resultados de convergência para martingales.

Teorema 6.3.3.1 [Desigualdade do submartingale de Doob]

Seja M um submartingale, para todo $\lambda \textgreater 0,~ n\geq 1$

$$\lambda \mathbb{P}\left[\max_{k\leq n}M_k\geq \lambda\right]\leq \mathbb{E}\left[M_n 1\!\!1_{\{\displaystyle\max_{k\leq n}M_k\geq \lambda\}}\right]\leq \mathbb{E}|M_n|$$

 

Demonstração:

Definimos o tempo de parada $\tau=n\wedge \inf\{k;~M_k\geq \lambda\}$ com $\tau\leq n.$  Assim, temos que $\mathbb{E}[M_n]\geq \mathbb{E}[M_\tau].$

Como consequência, concluímos que

$$\mathbb{E}[M_n]\geq \mathbb{E}\left[M_\tau 1\!\!1_{\{\displaystyle\max_{k\leq n}M_k\geq \lambda\}}\right]+\mathbb{E}\left[M_n 1\!\!1_{\{\displaystyle\max_{k\leq n}M_k\textless \lambda\}}\right]$$

$$\geq\lambda \mathbb{P}\left[\max_{k\leq n}M_k\geq \lambda\right]+\mathbb{E}\left[M_n 1\!\!1_{\{\displaystyle\max_{k\leq n}M_k\textless \lambda\}}\right]$$

 

Portanto, temos um lado da desigualdade, a outra parte é imediata.

$\Box$

Teorema 6.3.3.2 [Desigualdade $\mathcal{L}^p$ de Doob]

Se $M$ é um martingale ou um submartingale não negativo e $p\textgreater 1.$ Então para todo $n\geq 1$ temos que

$$\mathbb{E}\left[\max_{k\geq n}|M_n|^p\right]\leq \left(\frac{p}{1-p}\right)^p\mathbb{E}|M_n|^p$$

 

Demonstração:

Consideramos $M^*=\max_{k\geq n}|M_n|$ e $M$ definido sobre o espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}).$ Assim, para qualquer $m\geq 1$ obtemos que

$$\mathbb{E}[(M^*\wedge m)^p]=\int_{\omega}(M^*(\omega)\wedge m)^p d\mathbb{P}(\omega)=\int_{\omega}\int^{(M^*(\omega)\wedge m)}_0 px^{p-1}dx~ d\mathbb{P}(\omega)=$$

$$=\int_{\omega}\int^{m}_0 px^{p-1}1\!\!1_{\{M^*(\omega)\geq x\}}~ dx~ d\mathbb{P}(\omega)\overset{\text{Teo de Fubbini}}{=}$$

$$=\int^{m}_0 px^{p-1}\mathbb{P}\{M^*\geq x\}~ dx\quad(6.3.2.1)$$

 

Pela desigualdade de Jensen, temos que $|M|$ é um submartingale. Com isso, da desigualdade do submartingale de Doob obtemos que

$$\mathbb{P}\{M^*\geq x\}\leq \frac{\mathbb{E}(|M_n|1\!\!1_{\{M^*\geq x\}})}{x}$$

 

Voltando em (6.3.2.1) obtemos que

$$\mathbb{E}[(M^*\wedge m)^p]\leq\int^{m}_0 px^{p-2}\mathbb{E}(|M_n|1\!\!1_{\{M^*\geq x\}})~ dx =$$

$$=\int^{m}_0 px^{p-2}\int_{\omega:M^*(\omega)\geq x}|M_n| ~d\mathbb{P}(\omega)~ dx\overset{\text{Teo de Fubbini}}{=}$$

$$=p\int_\omega|M_n(\omega)|\int^{M^*(\omega)\wedge m}_0 x^{p-2}~dx~d\mathbb{P}(\omega)=$$

$$=\frac{p}{p-1}\mathbb{E}[|M_n|(M^*(\omega)\wedge m)^{p-1}]$$

 

Usando a desigualdade de Hölder com $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ obtemos que

$$\mathbb{E}[|M^*\wedge m|^p]\leq \frac{p}{p-1}(\mathbb{E}[|M_n|^p])^{\frac{1}{p}}(\mathbb{E}[|M^*(\omega)\wedge m|^{(p-1)q}])^{\frac{1}{q}}$$

Para $p\textgreater 1$ obtemos que $q=\frac{p}{p-1},$ iso implica que

$$\mathbb{E}[|M^*\wedge m|^p]\leq \frac{p}{p-1}(\mathbb{E}[|M_n|^p])^{\frac{1}{p}}(\mathbb{E}[|M^*(\omega)\wedge m|^{p}])^{\frac{p-1}{p}}$$

 

Elevando a p dos dois lados obtemos que

$$\mathbb{E}[|M^*\wedge m|^p]\leq \left(\frac{p}{p-1}\right)^p\mathbb{E}[|M_n|^p]$$

 

Para completar a demonstração, basta $m$ tender ao infinito.

$\Box$

Corolário 6.3.2.1:

Seja $M$ um martingale quadrado integrável. Então existe um único processo previsível crescente $A$ com $A_0=0$ tal que $M^2-A$ é um martingale. Além disso, a variável aleatória $A_{n+1}-A_n$ é uma versão da variância condicional de $M_n$ dado $\mathcal{F}_{n-1},$ isto é,

$$A_{n+1}-A_n=\mathbb{E}\left[(M_n-\mathbb{E}[M_n|\mathcal{F}_{n-1}])^2|\mathcal{F}_{n-1}\right]=\mathbb{E}\left[(M_n-M_{n-1})^2|\mathcal{F}_{n-1}\right]\quad P\text{-}q.c.$$

 

Concluímos que o teorema de Pitágoras é válido para martingales quadrados integráveis.

$$\mathbb{E}[M^2_n]=\mathbb{E}[M^2_0]+\sum^n_{k=1}\mathbb{E}[(M_n-M_{n-1})^2]$$

 

O processo $A$ é chamado de processo de variação quadrática previsível de $M$ e denotado por $\langle M\rangle.$

Demonstração:

Pela desigualdade de Jensen, temos que $M^2$ é um submartingale. Como $M$ é um martingale, temos que

$$\mathbb{E}\left[(M_n-M_{n-1})^2|\mathcal{F}_{n-1}\right]=\mathbb{E}\left[M^2_n+M^2_{n-1}-2M_n M_{n-1}|\mathcal{F}_{n-1}\right]=$$

$$=\mathbb{E}\left[M^2_n|\mathcal{F}_{n-1}\right]-2M_{n-1}\mathbb{E}[M_n|\mathcal{F}_{n-1}]+M^2_{n-1}=$$

$$=\mathbb{E}\left[M^2_n|\mathcal{F}_{n-1}\right]-M^2_{n-1}=$$

$$=\mathbb{E}\left[M^2_n-M^2_{n-1}|\mathcal{F}_{n-1}\right]=A_{n}-A_{n-1}$$

$\Box$

Definição 6.3.3.1:

Definimos a $\sigma$-álgebra "limite" como sendo

$$\mathcal{F}_{\infty}=\sigma\left(\bigcup_n\mathcal{F}_n\right)$$

 

Para demonstramos os teoremas de convergência consideramos $M$ supermartingale e um intervalo compacto $[a, b]\subset \mathbb{R}.$

 

Como apresentado no módulo upcrossing, o número de upcrossings no intervalo $[a, b]$ até o tempo  $n,$, representa o número de vezes que o processo passa a partir de um nível inferior $a$ ao um nível superior de $b ~ (X_k \leq a \textless b \leq X_\ell)$.

Teorema 6.3.3.3 [Teorema da convergência de martingales de Doob]

Seja $M$ uma supermartingale tal que é limitado em $\mathcal{L}^1,$ então $M_n$ converge quase certamente para um limite finito $M_\infty$ que é $\mathcal{F}_\infty$-mensurável quando $n\rightarrow \infty,$ com $\mathbb{E}|M_\infty|\textless \infty.$

Demonstração:

Suponhamos que $M$ é definido no espaço de probabilidade $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}).$ Suponha que $M (\omega)$ não converge para um limite de $\overline{\mathbb{R}}.$ Então existem dois racionais $a \textless b$ tal que $\liminf M_n (\omega) \textless a \textless b \textless \limsup M_n (\omega).$ Em particular, $U_\infty [a, b] (\omega) =\infty.$ Pelo lema (lema upcrossings de Doob) $\mathbb{P} \{U_\infty [a, b] =\infty\} = 0.$

Agora observamos que

$$A\doteq \{\omega ; M(\omega)~\text{não converge para um limite em }~\overline{\mathbb{R}}\}\subset \bigcup_{a\textless b}\{\omega; U_\infty [a, b] (\omega) =\infty\}, \quad a,b\in \mathbb{Q}.$$

 

Logo,

$$\mathbb{P}[A]\leq \sum_{a\textless b}\mathbb{P}\{U_\infty[a,b]=\infty\}=0,$$

 

Isto implica que $M_n$ converge quase certamente para o limite $M_\infty\in \overline{\mathbb{R}}.$ Assim, pelo lema de Fatou

$$\mathbb{E}[M_\infty]=\mathbb{E}(\liminf |M_n|)\leq \liminf \mathbb{E}|M_n|\leq \sup\mathbb{E}|M_n|\textless \infty.$$

 

Com isso, obtemos que $M_\infty$ é finito quase certamente e é integrável. Vale lembrar que $M_n$ é $\mathcal{F}_n$-mensurável e portanto é $\mathcal{F}_\infty$-mensurável, desde que $\displaystyle M_\infty=\lim_{n\rightarrow \infty}M_n$ é o limite de aplicações $\mathcal{F}_\infty$-mensuráveis, logo é $\mathcal{F}_\infty$-mensurável.

$\Box$

Teorema 6.3.3.4:

Seja $M$ um supermartingale que é limitada em $\mathcal{L}^1.$ Então $M_n\xrightarrow{\mathcal{L}^1}M_{\infty},$ quando $n\rightarrow\infty$ se, e somente se, $\{M_n\}_{n\in\mathbb{Z}_+}$ é uniformemente integrável, em que $M_\infty$ é integrável e $\mathcal{F}_{\infty}$-mensurável. Neste caso,

$$\mathbb{E}[M_\infty| \mathcal{F}_n]\leq M_n,\quad \text{q.c.}\quad (6.3.3.1)$$

 

Adicionalmente, se $M$ é um martingale, então temos uma igualdade em (6.3.3.1). Neste caso, dizemos que $M$ é um Doob Martingale.

Demonstração:

Primeiramente, observamos que do teorema da convergência de martingales de Doob que $M_n\xrightarrow{q.c.}M_\infty,$ para $M_\infty$ uma variável aleatória finita. Com isso, segue que $M_n\xrightarrow{P}M_\infty,$ logo se $\{M_n\}_{n\in\mathbb{Z}_+}$ é uniformemente integrável temos que $M_n\xrightarrow{\mathcal{L}^1}M_{\infty}.$

Por outro lado suponhamos que $M_n\xrightarrow{\mathcal{L}^1}M_{\infty},$ desde que $M$ seja um super-martingale, obtemos que

$$\mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_m]\leq \mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_n],\quad A\in \mathcal{F}_n,~~m\geq n\quad (6.3.3.2)$$

 

Agora, observamos que

$$|1\!\!1_{\{A\}}M_m-1\!\!1_{\{A\}}M_\infty|\leq 1\!\!1_{\{A\}}|M_m-M_\infty|\leq |M_m-M_\infty|$$

 

Logo,

$$1\!\!1_{\{A\}}M_m\xrightarrow{\mathcal{L}^1} 1\!\!1_{\{A\}}M_\infty$$

 

Tomando o limite quando $m\rightarrow \infty$ em (6.3.3.2), obtemos que

$$\mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_\infty]\leq \mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_n],\quad A\in \mathcal{F}_n$$

 

isto implica que $\mathbb{E}[M_\infty| \mathcal{F}_n]\leq M_n,\quad \text{q.c.}.$

$\Box$

Com este resultado obtemos que um martingale uniformemente integrável é limitado em $\mathcal{L}^1$ e são Doob martingales. Por outro lado, seja $X$ uma variável aleatória integrável $\mathcal{F}$-mensurável e seja $\mathbb{F}^n=\{\mathcal{F}_n, ~n=0,1,2\dots\}$ a filtragem. Então $\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_n]$ é um Doob martingale uniformemente integrável. Para Doob martingales podemos identificar o limite explícito em termos da $\sigma$-álgebra limite $\mathcal{F}_\infty.$

Teorema 6.3.3.5 [Teorema upward de Lévy]

Seja $X$ uma variável aleatória integrável, definido no espaço de probabilidade $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$ e seja $\mathbb{F}^n=\{\mathcal{F}_n, ~n=0,1,2\dots\}$ a filtragem com $\mathcal{F}_n\subset \mathcal{F}$ para todo $n.$ Então

$$\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_n]\xrightarrow{q.c.} \mathbb{E}[X|\mathcal{F}_\infty], \quad\text{quando}~n\rightarrow\infty$$

 

e também em $\mathcal{L}^1.$

Demonstração:

O processo $M_n=\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_n]$ é uniformemente integrável, com isso é limitada em $\mathcal{L}^1.$ Pelo teorema (6.3.3.4) $M_n\xrightarrow{q.c.}M_\infty$ e em $\mathcal{L}^1,$ quando $n\rightarrow\infty$ com $M_\infty$ integrável e $\mathcal{F}_\infty$-mensurável. Este último basta mostrar que $M_\infty=\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_\infty]$ quase certamente.

De fato, observamos que

$$\mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_\infty]\overset{(*)}{=} \mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_n]\overset{(**)}{=}\mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}X],\quad A\in \mathcal{F}_n\quad (6.3.3.3)$$

 

em que usamos o teorema (6.3.3.4) para mostrar (*) e a definição de $M_n$ para (**).

Primeiro, assumimos que $X$ é não negativo, então $M_n=\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_n]$ também é não negativo quase certamente, logo $M_\infty$ é não negativo quase certamente. Da construção de esperança condicional vamos associar as medidas com $X$ e $M_\infty$  e mostrar que elas concordam em um $\pi$-sistema para $\mathcal{F}_{\infty}.$

Definimos duas medidas $Q_1=\mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}X]$ e $Q_2=\mathbb{E}[1\!\!1_{\{A\}}M_\infty]$ em $(\Omega,\mathcal{F}_\infty).$ De (\ref{upwardLevy}), as medidas $Q_1$ e $Q_2$ concordam em $\bigcup_n\mathcal{F}_n.$ Além disso, $Q_1(\Omega)=Q_2(\Omega)=\mathbb{E}[X]$ desde que $\Omega \in\mathcal{F}_n.$

Logo, $Q_1$ e $Q_2$ concordam em $\sigma\left(\bigcup_n\mathcal{F}_n\right).$ Este implica da definição de esperança condicional que $M_\infty=\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_\infty]$ quase certamente.

Finalmente, consideramos o caso especial $X$ $\mathcal{F}$-mensurável, então $X=X^+-X^-,$ é a diferença de duas funções não negativas $\mathcal{F}$-mensurável. Usamos a linearidade da esperança condicional para completar a demonstração.

$\Box$

Corolário 6.3.3.2 [Lema de Hunt]

Suponha que $X_n\xrightarrow{q.c.}X$ e que $|X_n|\leq Y$ quase certamente para todo n, em que $Y$ é uma variável aleatória integrável. Além disso, suponha $\mathcal{F}_n\subseteq \mathcal{F}_{n+1},~n\geq 1$ sequência crescente de $\sigma$-álgebras.

Então $\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]\xrightarrow{q.c.}\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_\infty]$ em que $\displaystyle\mathcal{F}_\infty=\sigma\left(\bigcup_n\mathcal{F}_n\right).$

Demonstração:

Para $m\in \mathbb{Z}_+,$ tomamos $U_m=\inf_{n\geq m} X_n$ e $V_m=\sup_{n\geq m} X_n.$ Caso $X_m\xrightarrow{q.c.}X,$ necessariamente temos que $V_m-U_m\xrightarrow{q.c.}0$ quando $m\rightarrow \infty.$

Logo, $|V_m-U_m|\leq 2Y.$

Da convergência dominada temos que $\mathbb{E}(V_m-U_m)\rightarrow 0,$ quando $m\rightarrow \infty.$

De fato,

Dado $\varepsilon\textgreater 0$ e escolhemos $m$ suficientemente grande tal que

$$\mathbb{E}(V_m-U_m)\textless \varepsilon.$$

 

Para $n\geq m $ obtemos que

$$U_m\leq X_n\leq V_m, \quad q.c.\quad (6.3.3.4)$$

 

Disto, obtemos que

$$\mathbb{E}[U_m|\mathcal{F}_n]\leq \mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]\leq \mathbb{E}[V_m|\mathcal{F}_n], \quad q.c.$$

 

Os processos do lado esquerdo e direito são martingales que satisfazem as condições do teorema upward Lévy. Considerando n tendendo ao infinito obtemos

$$\mathbb{E}[U_m|\mathcal{F}_\infty]\leq \liminf\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]\leq \limsup\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]\leq \mathbb{E}[V_m|\mathcal{F}_\infty], \quad q.c.\quad (6.3.3.5)$$

 

Com isso, obtemos que

$$0\leq\mathbb{E}\left(\liminf\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]- \limsup\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]\right)\leq \mathbb{E}\left(\mathbb{E}[V_m|\mathcal{F}_\infty]-\mathbb{E}[U_m|\mathcal{F}_\infty]\right)$$

$$\leq\mathbb{E}(V_m-U_m)\textless \varepsilon$$

 

Considerando $\varepsilon\downarrow 0$ obtemos que $\liminf\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]= \limsup\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]$ q.c.

Assim, $\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_n]$ converge quase certamente. Agora, para $n\rightarrow \infty$ em (6.3.3.4) obtemos $U_m\leq X\leq V_m$ q.c. Logo,

$$\mathbb{E}[U_m|\mathcal{F}_\infty]\leq \mathbb{E}[X|\mathcal{F}_\infty]\leq \mathbb{E}[V_m|\mathcal{F}_\infty], \quad q.c.\quad (6.3.3.6)$$

 

De (6.3.3.5) e (6.3.3.6) implicam que tanto $\lim \mathbb{E}(X_n|\mathcal{F}_n)$ quanto $ \mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\infty)$ estão q.c. entre $V_m$ e $U_m.$ Consequentemente temos que

$$\mathbb{E}\left|\lim \mathbb{E}(X_n|\mathcal{F}_n)- \mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\infty)\right|\leq \mathbb{E}(V_m-U_m)\textless \varepsilon$$

 

Portanto, tomando $\varepsilon\downarrow 0$ obtemos que

$$\lim_n \mathbb{E}(X_n|\mathcal{F}_n)= \mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\infty),\quad q.c.$$

$\Box$

A seguir, apresentamos um resultado que nos diz que um martingale $M$ e dois tempos de parada limitados $\kappa\leq \tau$ tal que $E (M_{\tau} | \mathcal{F}_{\kappa}) = M_{\kappa}.$ Assim, vamos apresentar o seguinte teorema.

Teorema 6.3.3.6 [Teorema da amostragem opcional (Optional sampling)]

Seja $M$ um (super)martingale uniformemente integrável (U.I.). Então a família de variáveis aleatórias $\{M_\tau|\tau~\text{é um tempo de parada finito}\}$ é uniformemente integrável e para todo tempo de parada $\kappa\leq \tau$ obtemos

$$\mathbb{E}(M_\tau|\mathcal{F}_{\kappa})\overset{(\leq)}{=}M_\kappa\quad P-q.c.$$

 

Demonstração:

Consideramos apenas o caso de martingale. Do teorema (6.3.3.4) temos que $\displaystyle M_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}M_n$ existe P-q.c. em em $\mathcal{L}^1$ e $\mathbb{E}(M_{\infty}|\mathcal{F}_n)=M_n.$ Agora, seja $\tau$ um tempo de parada arbitrário e $n\in \mathcal{N}\cup\{0\}.$

Vale lembrar que quando $\tau\wedge n\leq n$ isto implica que $\mathcal{F}_{\tau\wedge n}\subseteq \mathcal{F}_n.$

Das propriedades de esperança condicional temos que para todo n

$$\mathbb{E}(M_{\infty}|\mathcal{F}_{\tau\wedge n})=\mathbb{E}[\mathbb{E}(M_{\infty}|\mathcal{F}_{n})|\mathcal{F}_{\tau\wedge n}]=\mathbb{E}(M_{n}|\mathcal{F}_{\tau\wedge n})\quad q.c.$$

 

Do teorema (6.1.4) (para mais detalhes consulte estruturas que mantém a propriedade de martingale) obtemos que

$$\mathbb{E}(M_{\infty}|\mathcal{F}_{\tau\wedge n})=M_{\tau\wedge n}$$

 

Fazendo $n\rightarrow \infty$ implica que $M_{\tau\wedge n}\rightarrow M_\tau$ q.c. Do teorema upward de Lévy o lado esquerdo converge q.c. em $\mathcal{L}^1$ para $\mathbb{E}(M_\infty|\mathcal{G})$ em que

$$\mathcal{G}=\sigma\left(\bigcup_{n}\mathcal{F}_{\tau\wedge n}\right)$$

 

Portanto,

$$\mathbb{E}(M_\infty|\mathcal{G})=M_\tau\quad P-q.c.$$

 

Agora vamos mostrar que $\mathcal{G}$ pode ser substituído por $\mathcal{F}_{\tau}.$ Tomamos $A\in\mathcal{F}_{\tau},$ então

$$\mathbb{E}(1\!\!1_A M_\infty)=\mathbb{E}(1\!\!1_{\{A\cap \{\tau\textless \infty\}\}} M_\infty)+\mathbb{E}(1\!\!1_{\{A\cap \{\tau=\infty\}\}} M_\infty)$$

 

Mas, notamos que

$$\mathbb{E}(1\!\!1_{\{A\cap \{\tau\textless \infty\}\}} M_\infty)=\mathbb{E}(1\!\!1_{\{A\cap \{\tau\textless \infty\}\}} M_\tau)$$

 

e

$$\mathbb{E}(1\!\!1_{\{A\cap \{\tau=\infty\}\}} M_\infty)=\mathbb{E}(1\!\!1_{\{A\cap \{\tau=\infty\}\}} M_\tau)$$

 

Logo, temos que

$$\mathbb{E}(1\!\!1_A M_\infty)=\mathbb{E}(1\!\!1_A M_\tau), \quad \tau \in \mathcal{F}_{\tau}$$

 

Portanto, $\mathbb{E}(M_\infty|\mathcal{F}_{\tau})=M_\tau$ P-q.c. pois $\mathcal{F}_\kappa\subseteq \mathcal{F}_\tau$

$\Box$

Para a igualdade $\mathbb{E}(M_\tau|\mathcal{F}_{\kappa})=M_\kappa$ P-q.c. no teorema anterior é necessário que $M$ seja uniformemente integrável. Existem martingales (positivos) que são limitadas em $\mathcal{L}^1$ mas não são uniformemente integráveis, para os quais a igualdade falha em geral. Para super-martingales não negativos sem propriedades integrabilidade adicionais temos somente uma desigualdade. A seguir vamos apresentar o resultado que mostrar este fato.

Teorema 6.3.3.7:

Seja $M$ um super-martingale não negativo e seja $\kappa \leq\tau $ um tempo de parada. Então

$$\mathbb{E}(M_\tau|\mathcal{F}_{\kappa})\leq M_\kappa\quad \text{P-q.c}.$$

 

Demonstração:

Primeiramente, observamos que $M$ é limitada em $\mathcal{L}^1$ com isso converge. Fixamos $n\in \mathbb{N}\cup \{0\},$ pelo teorema () o super-martingale parado $M^{\tau\wedge n}$ é um super-martingale também e ainda uniformemente integrável.

$$\mathbb{E}(M_{\tau\wedge n}|\mathcal{F}_{\kappa})=\mathbb{E}(M^{\tau\wedge n}_\infty|\mathcal{F}_{\kappa})\leq M^{\tau\wedge n}_\kappa=M_{\tau\wedge n}\quad \text{P-q.c}.$$

 

Desde que o limite exista, obtemos que $M_\tau 1\!\!1_{\{\tau=\infty\}}=M_\infty 1\!\!1_{\{\tau=\infty\}}.$

Agora pelo lema de Faltou condicional obtemos que

$$\mathbb{E}(M_\tau|\mathcal{F}_\kappa)\leq\mathbb{E}(\liminf M_{\tau\wedge n}|\mathcal{F}_{\kappa})$$

$$\leq\liminf \mathbb{E}(M_{\tau\wedge n}|\mathcal{F}_{\kappa})$$

$$\leq\liminf M_{\kappa\wedge n}=M_\kappa\quad \text{P-q.c}.$$

 

Portanto, segue o resultado.

$\Box$

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