6.3.4 - Lei dos Grandes Números para martingales

Você está aqui

Segundo Helland, martingales são generalizações de somas de i.i.d.'s de variáveis aleatórias com média zero. Para tais somas, podemos derivar a Lei dos Grandes Números, Teorema Central do Limite e a lei do Logaritmo Iterado.

A questão então é:

  • que essas leis também se aplicam a martingales?
  • se sim, que tipo de condições que precisamos exigir.

A seguir, apresentamos um resultado importante.

Teorema 6.3.4.1 [Lei 0-1 de Kolmogorov]

Seja $ (X_i)_{i\geq 1} $ sequência i.i.d. de variáveis aleatórias e seja $ \mathcal{F}_n=\sigma(X_k,k\geq n) $ e $ \mathcal{F}_\infty=\displaystyle \bigcap_{n\geq 0}\mathcal{F}_n. $ Então $ \mathcal{F}_\infty $ é a filtragem trivial, isto é, cada $ A\in \mathcal{F}_\infty $ tem probabilidade $ \mathbb{P}(A)\in \{0,1\}. $

Demonstração:

Seja $ \mathcal{G}_n=\sigma(X_k,k\leq n) $ e $ A\in \mathcal{F}_\infty. $ Desde que $ \mathcal{G}_n $ seja independente de $ \mathcal{F}_{n+1} $ obtemos que

$$\mathbb{E}[1\!\!1_A|\mathcal{G}_n]=\mathbb{P}(A),\quad \text{P-q.c.}$$

 

Do teorema (6.3.1.2) (para mais detalhes consulte martingales uniformemente integráveis) obtemos que $ \mathbb{E}[1\!\!1_A|\mathcal{G}_n] $ converge para $ \mathbb{E}[1\!\!1_A|\mathcal{G}_\infty] $ q.c. quando $ n\rightarrow \infty, $ em que $ \mathcal{G}_\infty=\sigma(\mathcal{G}_n,n\geq 0). $

Assim,

$$\mathbb{E}[1\!\!1_A|\mathcal{G}_\infty]=1\!\!1_A=\mathbb{P}(A),\quad \text{P-q.c.}$$

 

quando $ \mathcal{F}_\infty\subseteq \mathcal{G}_\infty. $

Portanto,

$$\mathbb{P}(A)\in \{0,1\}.$$

$ \Box $

Teorema 6.3.4.2:

Seja $ S=(S_n)_{n\geq 1} $ com $ S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1}X_k $ um martingale com respeito a filtragem $ \{\mathcal{F}_n\}_{n\geq 1}. $ Assumimos que $ \mathbb{E}(S_n)=0 $ e que $ \mathbb{E}(S^2_n)\textless \infty $ para todo $ n\geq 1. $ Então $ S_n $ converge quase certamente para o conjunto $ \{\displaystyle\sum^\infty_{k=1}\mathbb{E}[X^2_k|\mathcal{F}_{k-1}]\textless \infty\}. $

Demonstração:

Seja $ \mathcal{F}_0 $ a $ \sigma $-álgebra trivial, fixamos $ K\textgreater 0 $ e seja $ \tau = \min\{n; \displaystyle \sum^{n+1}_{k=1}\mathbb{E}(X^2_k|\mathcal{F}_{k-1})\textgreater K\}, $ se tal n existe. Caso contrário, $ \tau = \infty.  $

Observamos que $ \tau  $ é um tempo de parada e que $ S^\tau_{n}=S_{\tau\wedge n}=\displaystyle\sum^n_{k=1}1\!\!1_{\{\tau \geq k\}}X^2_k. $

Usando a propriedade de martingale e do fato que $ \{\tau\geq k\}\in \mathcal{F}_{k-1} $ obtemos

$$\mathbb{E}(S^2_{\tau\wedge n})=\mathbb{E}\left(\sum^n_{k=1}1\!\!1_{\{\tau\geq k\}}X^2_k\right)$$

$$=\mathbb{E}\left(\sum^n_{k=1}\mathbb{E}[1\!\!1_{\{\tau\geq k\}}X^2_k|\mathcal{F}_{k-1}]\right)=$$

$$=\mathbb{E}\left(\sum^n_{k=1}1\!\!1_{\{\tau\geq k\}}\mathbb{E}[X^2_k|\mathcal{F}_{k-1}]\right)=$$

$$=\mathbb{E}\left(\sum^{\tau\wedge n}_{k=1}\mathbb{E}[X^2_k|\mathcal{F}_{k-1}]\right)\leq K$$

 

Pela desigualdade de Jensen $ (\mathbb{E}|S^\tau_n|)^2\leq \mathbb{E}[(S^\tau_n)^2]\leq K^2. $

Como consequência $ S^\tau $ é um martingale que é limitada em $ \mathcal{L}^1. $ Pelo teorema de convergência martingale, converge q.c. um limite integrável $ S_{\infty} $.

Portanto $ S_n $ converge q.c. no evento $ \tau=\infty, $ em outras palavras, no evento $ \{\displaystyle\sum^\infty_{k=1}\mathbb{E}[X^2_k|\mathcal{F}_{k-1}]\leq K\} $ com $ K\uparrow \infty. $

$ \Box $

Definição 6.3.4.1 [Backward martingales]

Seja $ \dots \subseteq \mathcal{G}_{-2}\subseteq \mathcal{G}_{-1}\subseteq \mathcal{G}_{0} $ uma sequência de sub-$ \sigma $-álgebras indexadas em $ \mathbb{Z}_-. $ Dado a filtragem, um processo $ (X_n)_{n\leq 0} $ é chamada backward martingale, se é adaptado para a filtragem, $ X_0\in \mathcal{L}^1 $ e para todo $ n\leq -1 $ obtemos

$$\mathbb{E}[X_{n+1}|\mathcal{G}_n]=X_n\quad \text{P-q.c.}$$

 

Teorema 6.3.4.3 [Lei Forte do Grandes Números]

Seja $ (X_n)_{n\geq 1} $ sequência de variáveis aleatórias i.i.d. em $ \mathcal{L}^1 $ com $ \mathbb{E}[X_1]=\mu. $ Seja $ S_n=X_1+\dots+X_n, $ para $ n\geq 1 $ e $ S_0=0. $ Então

$$\frac{S_n}{n}\xrightarrow{q.c.}\mu\quad \text{e}\quad \frac{S_n}{n}\xrightarrow{\mathcal{L}^1}\mu,~~\text{quando}~n\rightarrow\infty.$$

 

Demonstração:

Seja $ \mathcal{G}_n=\sigma(S_n,S_{n+1},\dots)=\sigma(S_n,X_{n+1},\dots). $ Assim, $ (M_n)_{n\leq -1}=\left(\frac{S_{-n}}{-n}\right)_{n\leq -1} $ é um $ (\mathcal{F}_n)_{n\leq -1}=(\mathcal{G}_n)_{n\leq -1} $ backward martingale.

De fato, obtemos para $ m\leq -1 $ que

$$\mathbb{E}\left[M_{m+1}|\mathcal{F}_m\right]=\mathbb{E}\left[\frac{S_{-(m+1)}}{-(m+1)}|\mathcal{F}_{-m}\right]\quad (6.3.4.1)$$

 

Fazendo $ n=-m, $ e desde que $ X_n $ seja independente de $ X_{n+1},X_{n+2},\dots, $ obtemos que

$$\mathbb{E}\left[\frac{S_{n-1}}{n-1}|\mathcal{F}_{n}\right]=\mathbb{E}\left[\frac{S_{n}-X_n}{n-1}|\mathcal{F}_{n}\right]=\frac{S_n}{n-1}-\mathbb{E}\left[\frac{X_{n}}{n-1}|\mathcal{F}_{n}\right]\quad (6.3.4.2)$$

 

Por simetria, observemos que $ \mathbb{E}[X_k|S_n]=\mathbb{E}[X_1|S_n] $ para todo $ k. $ Adicionalmente, para qualquer $ A\in \mathfrak{B}(\mathbb{R}) $ obtemos que $ \mathbb{E}[X_k 1\!\!1_{\{S_n\in A\}}] $ não depende de $ k. $ Observamos que

$$\mathbb{E}[X_1|S_n]+\dots+\mathbb{E}[X_n|S_n]=\mathbb{E}[S_n|S_n]=S_n$$

 

com isso, $ \mathbb{E}[X_n|S_n]=\frac{S_n}{n}. $

Logo, de (6.3.4.2) obtemos que

$$\mathbb{E}\left[\frac{S_{n-1}}{n-1}|\mathcal{F}_{n}\right]=\frac{S_n}{n-1}-\frac{1}{n-1}\underbrace{\mathbb{E}\left[X_{n}|\mathcal{F}_{n}\right]}_{S_n/n}=\frac{S_n}{n-1}-\frac{S_n}{n(n-1)}=\frac{S_n}{n}$$

 

Logo, pelo teorema da convergência do backward martingale obtemos que $ \frac{S_n}{n} $ converge quase certamente e em $ \mathcal{L}^1 $ quando $ n\rightarrow \infty $ para a variável aleatória $ Y=\lim \frac{S_n}{n}, $ tal que para todo $ k $

$$Y=\lim\frac{X_{k+1}+\dots+X_{k+n}}{n}$$

 

Assim, $ Y $ é $ \sigma(X_{k+1},\dots) $-mensurável para todo $ k $ e portanto $ \displaystyle\bigcap_k \sigma(X_{k+1},\dots) $-mensurável. Pela lei 0-1 de Kolmogorov concluímos que existe uma constante $ c\in \mathbb{R} $ tal que $ \mathbb{P}(Y=c)=1, $ mas

$$c=\mathbb{E}[Y]=\lim\mathbb{E}\left[\frac{S_n}{n}\right]=\mu.$$

$ \Box $

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]