6.3.4 - Lei dos Grandes Números para martingales

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Segundo Helland, martingales são generalizações de somas de i.i.d.'s de variáveis aleatórias com média zero. Para tais somas, podemos derivar a Lei dos Grandes Números, Teorema Central do Limite e a lei do Logaritmo Iterado.

A questão então é:

  • que essas leis também se aplicam a martingales?
  • se sim, que tipo de condições que precisamos exigir.

A seguir, apresentamos um resultado importante.

Teorema 6.3.4.1 [Lei 0-1 de Kolmogorov]

Seja $(X_i)_{i\geq 1}$ sequência i.i.d. de variáveis aleatórias e seja $\mathcal{F}_n=\sigma(X_k,k\geq n)$ e $\mathcal{F}_\infty=\displaystyle \bigcap_{n\geq 0}\mathcal{F}_n.$ Então $\mathcal{F}_\infty$ é a filtragem trivial, isto é, cada $A\in \mathcal{F}_\infty$ tem probabilidade $\mathbb{P}(A)\in \{0,1\}.$

Demonstração:

Seja $\mathcal{G}_n=\sigma(X_k,k\leq n)$ e $A\in \mathcal{F}_\infty.$ Desde que $\mathcal{G}_n$ seja independente de $\mathcal{F}_{n+1}$ obtemos que

$$\mathbb{E}[1\!\!1_A|\mathcal{G}_n]=\mathbb{P}(A),\quad \text{P-q.c.}$$

 

Do teorema (6.3.1.2) (para mais detalhes consulte martingales uniformemente integráveis) obtemos que $\mathbb{E}[1\!\!1_A|\mathcal{G}_n]$ converge para $\mathbb{E}[1\!\!1_A|\mathcal{G}_\infty]$ q.c. quando $n\rightarrow \infty,$ em que $\mathcal{G}_\infty=\sigma(\mathcal{G}_n,n\geq 0).$

Assim,

$$\mathbb{E}[1\!\!1_A|\mathcal{G}_\infty]=1\!\!1_A=\mathbb{P}(A),\quad \text{P-q.c.}$$

 

quando $\mathcal{F}_\infty\subseteq \mathcal{G}_\infty.$

Portanto,

$$\mathbb{P}(A)\in \{0,1\}.$$

$\Box$

Teorema 6.3.4.2:

Seja $S=(S_n)_{n\geq 1}$ com $S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1}X_k$ um martingale com respeito a filtragem $\{\mathcal{F}_n\}_{n\geq 1}.$ Assumimos que $\mathbb{E}(S_n)=0$ e que $\mathbb{E}(S^2_n)\textless \infty$ para todo $n\geq 1.$ Então $S_n$ converge quase certamente para o conjunto $\{\displaystyle\sum^\infty_{k=1}\mathbb{E}[X^2_k|\mathcal{F}_{k-1}]\textless \infty\}.$

Demonstração:

Seja $\mathcal{F}_0$ a $\sigma$-álgebra trivial, fixamos $K\textgreater 0$ e seja $\tau = \min\{n; \displaystyle \sum^{n+1}_{k=1}\mathbb{E}(X^2_k|\mathcal{F}_{k-1})\textgreater K\},$ se tal n existe. Caso contrário, $\tau = \infty. $

Observamos que $\tau $ é um tempo de parada e que $S^\tau_{n}=S_{\tau\wedge n}=\displaystyle\sum^n_{k=1}1\!\!1_{\{\tau \geq k\}}X^2_k.$

Usando a propriedade de martingale e do fato que $\{\tau\geq k\}\in \mathcal{F}_{k-1}$ obtemos

$$\mathbb{E}(S^2_{\tau\wedge n})=\mathbb{E}\left(\sum^n_{k=1}1\!\!1_{\{\tau\geq k\}}X^2_k\right)$$

$$=\mathbb{E}\left(\sum^n_{k=1}\mathbb{E}[1\!\!1_{\{\tau\geq k\}}X^2_k|\mathcal{F}_{k-1}]\right)=$$

$$=\mathbb{E}\left(\sum^n_{k=1}1\!\!1_{\{\tau\geq k\}}\mathbb{E}[X^2_k|\mathcal{F}_{k-1}]\right)=$$

$$=\mathbb{E}\left(\sum^{\tau\wedge n}_{k=1}\mathbb{E}[X^2_k|\mathcal{F}_{k-1}]\right)\leq K$$

 

Pela desigualdade de Jensen $(\mathbb{E}|S^\tau_n|)^2\leq \mathbb{E}[(S^\tau_n)^2]\leq K^2.$

Como consequência $S^\tau$ é um martingale que é limitada em $\mathcal{L}^1.$ Pelo teorema de convergência martingale, converge q.c. um limite integrável $S_{\infty}$.

Portanto $S_n$ converge q.c. no evento $\tau=\infty,$ em outras palavras, no evento $\{\displaystyle\sum^\infty_{k=1}\mathbb{E}[X^2_k|\mathcal{F}_{k-1}]\leq K\}$ com $K\uparrow \infty.$

$\Box$

Definição 6.3.4.1 [Backward martingales]

Seja $\dots \subseteq \mathcal{G}_{-2}\subseteq \mathcal{G}_{-1}\subseteq \mathcal{G}_{0}$ uma sequência de sub-$\sigma$-álgebras indexadas em $\mathbb{Z}_-.$ Dado a filtragem, um processo $(X_n)_{n\leq 0}$ é chamada backward martingale, se é adaptado para a filtragem, $X_0\in \mathcal{L}^1$ e para todo $n\leq -1$ obtemos

$$\mathbb{E}[X_{n+1}|\mathcal{G}_n]=X_n\quad \text{P-q.c.}$$

 

Teorema 6.3.4.3 [Lei Forte do Grandes Números]

Seja $(X_n)_{n\geq 1}$ sequência de variáveis aleatórias i.i.d. em $\mathcal{L}^1$ com $\mathbb{E}[X_1]=\mu.$ Seja $S_n=X_1+\dots+X_n,$ para $n\geq 1$ e $S_0=0.$ Então

$$\frac{S_n}{n}\xrightarrow{q.c.}\mu\quad \text{e}\quad \frac{S_n}{n}\xrightarrow{\mathcal{L}^1}\mu,~~\text{quando}~n\rightarrow\infty.$$

 

Demonstração:

Seja $\mathcal{G}_n=\sigma(S_n,S_{n+1},\dots)=\sigma(S_n,X_{n+1},\dots).$ Assim, $(M_n)_{n\leq -1}=\left(\frac{S_{-n}}{-n}\right)_{n\leq -1}$ é um $(\mathcal{F}_n)_{n\leq -1}=(\mathcal{G}_n)_{n\leq -1}$ backward martingale.

De fato, obtemos para $m\leq -1$ que

$$\mathbb{E}\left[M_{m+1}|\mathcal{F}_m\right]=\mathbb{E}\left[\frac{S_{-(m+1)}}{-(m+1)}|\mathcal{F}_{-m}\right]\quad (6.3.4.1)$$

 

Fazendo $n=-m,$ e desde que $X_n$ seja independente de $X_{n+1},X_{n+2},\dots,$ obtemos que

$$\mathbb{E}\left[\frac{S_{n-1}}{n-1}|\mathcal{F}_{n}\right]=\mathbb{E}\left[\frac{S_{n}-X_n}{n-1}|\mathcal{F}_{n}\right]=\frac{S_n}{n-1}-\mathbb{E}\left[\frac{X_{n}}{n-1}|\mathcal{F}_{n}\right]\quad (6.3.4.2)$$

 

Por simetria, observemos que $\mathbb{E}[X_k|S_n]=\mathbb{E}[X_1|S_n]$ para todo $k.$ Adicionalmente, para qualquer $A\in \mathfrak{B}(\mathbb{R})$ obtemos que $\mathbb{E}[X_k 1\!\!1_{\{S_n\in A\}}]$ não depende de $k.$ Observamos que

$$\mathbb{E}[X_1|S_n]+\dots+\mathbb{E}[X_n|S_n]=\mathbb{E}[S_n|S_n]=S_n$$

 

com isso, $\mathbb{E}[X_n|S_n]=\frac{S_n}{n}.$

Logo, de (6.3.4.2) obtemos que

$$\mathbb{E}\left[\frac{S_{n-1}}{n-1}|\mathcal{F}_{n}\right]=\frac{S_n}{n-1}-\frac{1}{n-1}\underbrace{\mathbb{E}\left[X_{n}|\mathcal{F}_{n}\right]}_{S_n/n}=\frac{S_n}{n-1}-\frac{S_n}{n(n-1)}=\frac{S_n}{n}$$

 

Logo, pelo teorema da convergência do backward martingale obtemos que $\frac{S_n}{n}$ converge quase certamente e em $\mathcal{L}^1$ quando $n\rightarrow \infty$ para a variável aleatória $Y=\lim \frac{S_n}{n},$ tal que para todo $k$

$$Y=\lim\frac{X_{k+1}+\dots+X_{k+n}}{n}$$

 

Assim, $Y$ é $\sigma(X_{k+1},\dots)$-mensurável para todo $k$ e portanto $\displaystyle\bigcap_k \sigma(X_{k+1},\dots)$-mensurável. Pela lei 0-1 de Kolmogorov concluímos que existe uma constante $c\in \mathbb{R}$ tal que $\mathbb{P}(Y=c)=1,$ mas

$$c=\mathbb{E}[Y]=\lim\mathbb{E}\left[\frac{S_n}{n}\right]=\mu.$$

$\Box$

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