6.4 - Teorema Central do Limite para Martingales

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Pierre Simon de Laplace (o marquês de Laplace), escreveu sobre fundamentos da teoria de probabilidade e estabeleceu os métodos de equações diferenciais e de funções geradoras de momentos, que deu uma nova formulação e uma prova heurística do teorema central do limite. O conceito de momentos foi utilizado anos depois por Chebyshev, em seguida por seu aluno Andrei Markov para dar uma prova rigorosa do teorema central do limite. Outro de seus famosos estudantes, Alexander Lyapunov, posteriormente usou o conceito de funções características para dar uma prova mais simples desse importante teorema. Markov fez estudos sobre dependência de variáveis aleatórias analisando as hoje denominadas cadeias de Markov em tempo discreto. Com a construção axiomática escrita por Henri Lebesgue e Èmile Borel, obtemos a a base necessária para o desenvolvimento dos processos estocásticos, esperança condicional. Disto possibilitou Joseph Doob e Paul Lévy o desenvolvimento da teoria de martingale, que será utilizado para demonstrar os principais resultados do teorema central do limite para variáveis aleatórias dependentes.   

Os teoremas centrais do limite clássicos são generalizados imediatamente à partir das matrizes de variáveis aleatórias dependentes, que sob condições de convergência todas probabilidades, esperança e variância são condicionados com respeito ao passado conforme dito no artigo de Helland. Helland deduziu um único teorema do limite central básico, em que as condições de de convergência são em termos doa momentos de variáveis truncadas. Outra importante contribuição foi mostrar a estreita conexão entre todos os diferentes teoremas centrais do limite dependentes que apareceram nos últimos anos.

 

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