6.4.2 - Generalizações e principio da invariância

O teorema central do limite para martingales foi estendido por McLeish (1974) [17]. Assim, seja as mesmas definições da seção anterior (para mais detalhes consulte TCL para soma de v.a.'s dependentes) com a modificação de que para cada n, definimos a função aleatória $r_n(.)$ em $[0,\infty),$ com as seguintes propriedades:

• Cada r_n(t) é um tempo de parada com respeito a Fⁿ_k, para k=0,1,...;
• A trajetória da amostra r_n(.) são valores inteiros, não decrescentes e contínuas à direita com r_n(0)=0.

Definimos

$$X^n(t)=\sum^{r_n(t)}_{k=1}X^n_k$$

Seja $W$ o movimento Browniano padrão de modo que $W(0)=0,$ $~\mathbb{E}\{W(t)\}=0$ e $~\mathbb{E}\{W(t)^2\}=t.$ A integral estocástica simples $\displaystyle X=\int g~dW$ está bem definida sempre que $\displaystyle \int^a_0 g^2(s)~ds\textless \infty$ para todo $a\textgreater 0.$

Com isso, definimos o processo gaussiano contínuo com

$$X(0)=0,~\mathbb{E}\{X(t)\}=0~~ \text{e}~~ \mathbb{E}\{X(t)X(u)\}=\displaystyle \int^{t\wedge u}_0 g^2(s)~ds.$$

A seguir apresentamos a seguinte definição.

Definição 6.4.2.1:

Dizemos que $Z_n(t)$ converge em probabilidade uniformemente no compacto para $Z(t)$, isto é, $Z_n(t)\xrightarrow{Pu}Z(t)$, se para todo $a\textgreater 0$

$$\sup_{0\leq t\leq a}|Z_n(t)-Z(t)|\xrightarrow{P}0$$

Segundo Helland (1982) [16], quando $Z_n(.)$ e $Z(.)$ são não decrescentes e $Z_n(.)$ é contínua quase certamente, a definição (6.4.2.1) é equivalente a condição fraca $Z_n(t)\xrightarrow{P}Z(t),$ para todo $t\textgreater 0.$

Teorema 6.4.2.1:

Suponha que para todo $\varepsilon,~t\textgreater 0$ e uma função $f$ mensurável e não negativa tal que $\displaystyle\int^t_0 f^2(s)ds\textless \infty$

$$\sum^{r_n(t)}_{k=1}\mathbb{P}\{|X^n_k|\textgreater\varepsilon|\mathcal{F}^n_{k-1}\}\overset{P}{\rightarrow}0,\quad \forall \varepsilon ,t\textgreater 0\quad (6.4.2.1)$$

$$\sum^{r_n(t)}_{k=1}\mathbb{E}\{X^n_k 1\!\!1_{\{|X^n_k|\leq 1\}}|\mathcal{F}^n_{k-1}\}\overset{Pu}{\rightarrow}0\quad (6.4.2.2)$$

$$\sum^{r_n(t)}_{k=1}\text{Var}\{X^n_k 1\!\!1_{\{|X^n_k|\leq 1\}}|\mathcal{F}^n_{k-1}\}\overset{P}{\rightarrow}\int^t_0 f^2(s)ds,\quad \forall t\textgreater 0\quad (6.4.2.3)$$

Então

$$X^n\xrightarrow{\mathcal{D}}\int f~dW.$$

Demonstração:

Seja $\xi^n_{k}=X^n_k 1\!\!1_{\{|X^n_k|\leq 1\}}$ e $\eta^n_k=\xi^n_k-\mathbb{E}\{X^n_k 1\!\!1_{\{|X^n_k|\leq 1\}}|\mathcal{F}^n_{k-1}\}.$ Assim, obtemos que para $0\textless \varepsilon \textless 1$ e pela desigualdade de Chebyshev

$$\mathbb{E}\{(\eta^n_k)^2 1\!\!1_{\{|\eta^n_k|\textgreater 2\varepsilon\}}|\mathcal{F}^n_{k-1}\}\leq 4\mathbb{P}\{|X^n_k|\textgreater\varepsilon|\mathcal{F}^n_{k-1}\}$$

Logo, $\eta^n_k$ satisfaz a condição de McLeish (1974) [17] trocando t por $\displaystyle \int^t_0 f^2(s)~ds.$

$$\sum^{r_n(t)}_{k=1}\eta^n_k\xrightarrow{\mathcal{D}}\int f~dW $$

Com isso, da equação (6.4.2.2) obtemos que

$$\sum^{r_n(t)}_{k=1}\xi^n_k-\sum^{r_n(t)}_{k=1}\eta^n_k\xrightarrow{Pu}0$$

Portanto da equação (6.4.2.1) e do teorema (6.4.1.2) obtemos que para todo t

$$\mathbb{P}\left[\max_{1\leq k\leq r_n(t)}|X^n_k-\xi^n_k|\neq 0\right]\rightarrow 0,$$

tal que $\displaystyle \sum^{r_n(t)}_{k=1}X^n_k-\sum^{r_n(t)}_{k=1}\xi^n_k\xrightarrow{Pu}0$

Portanto,

$$X^n\xrightarrow{\mathcal{D}}\int f~dW.$$

$\Box$

Teorema 6.4.2.2:

Considere $\{X^n_k\}$ satisfazendo a condição de martingale difference e seja $f$ função mensurável e não negativa tal que $\displaystyle\int^t_0 f^2(s)ds\textless \infty$ para todo $t\textgreater 0.$ Suponha que uma dos três conjunto de condições são satisfeitas para todo $t\textgreater 0.$

$$(a^\star)\quad\sum^{r_n(t)}_{k=1}\mathbb{E}[(X^n_k)^2|\mathcal{F}^n_{k-1}]\xrightarrow{P}\int^t_0 f^2(s)~ds,\quad (6.4.2.4)$$

$$\sum^{r_n(t)}_{k=1}\mathbb{E}[(X^n_k)^2 1\!\!1_{\{|X^n_k|\textgreater \varepsilon\}}|\mathcal{F}^n_{k-1}]\xrightarrow{P}0,\quad \forall \varepsilon\textgreater 0\quad (6.4.2.5)$$

$$(b^\star)\quad\sum^{r_n(t)}_{k=1}(X^n_k)^2\xrightarrow{P}\int^t_0 f^2(s)~ds,\quad (6.4.2.6)$$

$$\mathbb{E}\left[\max_{1\leq k \leq r_n(t)}|X^n_k|\right]\rightarrow 0\quad (6.4.2.7)$$

$$(c^\star)\text{A equação (6.4.2.6) é satisfeita }\sum^{r_n(t)}_{k=1}(X^n_k)^2\xrightarrow{P}\int^t_0 f^2(s)~ds,\quad (6.4.2.8)$$

$$\mathbb{E}\left[\max_{1\leq k \leq r_n(t)}|X^n_k|\right]\rightarrow 0\quad (6.4.2.9)$$

Então

$$X^n\xrightarrow{\mathcal{D}}\int f~dW$$

Demonstração:

Primeiramente, da equação (6.4.2.5) obtemos que

$$\sum^{r_n(t)}_{k=1}|\mathbb{E}[(X^n_k) 1\!\!1_{\{|X^n_k|\leq 1\}}|\mathcal{F}^n_{k-1}]|^p=\sum^{r_n(t)}_{k=1}|\mathbb{E}[(X^n_k) 1\!\!1_{\{|X^n_k|\textgreater 1\}}|\mathcal{F}^n_{k-1}]|^p\xrightarrow{P}0$$

para $p=1$ e $p=2.$

Logo, a condição (a$^\star$) implica nas hipóteses do teorema (6.4.2.1). Para a condição (b$^\star$) obtemos que as hipóteses do teorema (6.4.2.1) também são satisfeitas. Similarmente, obtemos que as equações (6.4.2.6), (6.4.2.9) e

$$\max_{1\leq k \leq r_n(t)}|X^n_k|\xrightarrow{P}0,\quad \forall~t\textgreater0\quad (6.4.2.10)$$

implicam nas hipóteses do teorema (6.4.2.1). Porém, a equação (6.4.2.10) é uma consequência da hipótese (6.4.2.6) válido para todo t > 0. Esta última mostra que da condição (b$^\star$) a equação (6.4.2.7) pode ser obtido fracamente como

$$\max_{1\leq k \leq r_n(t)}|X^n_k|\quad \text{uniformemente integrável}\quad (6.4.2.11)$$

Portanto, sob condições (a$^\star$) até (c$^\star$) obtemos $\displaystyle X^n\xrightarrow{\mathcal{D}}\int f~dW.$

$\Box$