7.1 - Construção do Processo de Poisson por Pontos Marcados

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Para começar nossa construção, vamos primeiramente tomar uma partição enumerável  qualquer de $ \mathbb{R} $. A partir dessa partição vamos construir nosso processo, em seguida mostraremos que a construção do processo não depende de uma particular escolha da partição.

Assim sendo seja, $ A=\{A_i,i\in \mathbb{Z}\} $, com $ A_i=[a_i,a_{i+1}) $ e $ a_i\textless a_{i+1} $. Denominaremos $ |A_i| $ o comprimento $ a_{i+1}-a_i $ do intervalo $ A_i $. Assim, como o conjunto $ A $ é uma partição temos que $ \displaystyle \bigcup_{i\in\mathbb{Z}}A_i=\mathbb{R} $ e $ A_i\cap A_j=\emptyset $ para $ i\neq j $.

Além disso, seja $ Y_i $ uma variável aleatória com distribuição Poisson de média $ \lambda|A_i| $, ou seja

$$\mathbb{P}(Y_i=k)=\displaystyle \frac{e^{-\lambda|A_i| }(\lambda|A_i|)^{k}}{k!}$$

 

Tome $ Y=\{Y_i,\in\mathbb{Z}\} $ variáveis independentes.

Para cada $ i\in\mathbb{Z} $ considere uma sequência de variáveis independentes $ \{U_{j}^{i}| j=1,2,\cdots\} $, uniformes no intervalo $ A_i $.

$$\mathbb{P}(U_j^i\in B\cap A_i)=\displaystyle \frac{|B\cap A_i|}{|A_i|}$$

 

Seja $ \mathcal{S} $ o conjunto aleatório

$$\mathcal{S}=\displaystyle \bigcup_{i\in\mathbb{Z}}S_i$$

 

Com $ S_i $ sendo variáveis aleatória crescentes definidas por

$$S_i=\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \{U_{j}^i| 1\leq j\leq Y_i\},~~Y_i\geq 1\\ \emptyset~~,~~~se~~Y_i=0 \end{array} \right.$$

 

Note que $ S_i $ coloca em cada intervalo $ A_i $ exatamente $ Y_i $ pontos, sendo eles uniformentes  distribuídos. Como na figura abaixo, nela temos que no intervalo $ A_i $ tem 3 pontos marcados pois $ Y_i=3 $ e $ A_{i+1} $ tem 7 pontos, pois $ Y_{i+1}=7 $, já $ A_{i+2} $ não tem nenhum ponto marcado

Agora ordenamos todos os pontos de $ \mathcal{S} $, assim seja $ \{T_n\}_{n\in\mathbb{Z}} $ a sequência ordenada dos pontos de $ \mathcal{S} $, definida da seguinte forma

$$T_n=\left\{\begin{array}{l} \min\{s\textgreater S_{n}-1|s\in \mathcal{S}\},~~se~~n\geq 2\\ \max\{s\textless S_{n}+1|s\in \mathcal{S},~~se~~n\leq 0.\} \end{array}\right.$$

 

Para $ A\subset\mathbb{R} $, definimos $ N_{\mathcal{S}}(A)=\{\text{ número de pontos do conjunto }\mathcal{S}\cap A\} $. É claro que 

$$N_{\mathcal{S}}(A)=\displaystyle \sum_{n}1\!\!1_{\{S_n\in A\}}$$

 

Para que nosso processo não seja explosivo necessitamos colocar uma pequena restrição, necessitamos que o processo de pontos marcados não tenha pontos de acumulação, ou seja, um intervalo no qual tenha infinitos pontos marcados.

Com isso construímos nosso processo de poisson, entretanto, necessitamos mostrar que ele de fato tem distribuição de poisson com parâmetro $ \lambda t $. O incrementos independentes e estacionários decorre da própria construção do processo.

Lema 7.3.1.1: 

Para cada intervalo A, a variável aleatória $ N(A) $ tem distribuição de poisson com média $ \lambda |A| $.

Demonstração:

Observe que $ A\cap A_i $ são conjuntos disjuntos, e por isso as variáveis $ N(A\cap A_i) $ são independentes. Assim por construção 

$$\displaystyle \mathbb{P}(N(A\cap A_i)=k)=\sum_{h\geq k}\mathbb{P}(Y_i=h,N(A\cap A_i)=k)$$

$$\displaystyle \sum_{h\geq k}\sum_{h\geq k}\mathbb{P}\left(Y_i=h,\sum_{j=0}^{h},1\!\!1_{\{U_j^{i}\in A \in A_i\}}=k\right)$$

 

Como as variáveis $ U_j^i $ são independentes  de $ Y_i $ e $ U_j^{i} $, são uniformes em $ A_i $ e independentes logo temos que $ 1\!\!1_{\{U_j^{i}\in A \in A_i\}} $ são bernoulli com parâmetro $ \displaystyle \frac{|A\cap A_i|}{|A_i|} $, cuja a soma é uma binomial de parametros $ n $ e $ \displaystyle \frac{|A\cap A_i|}{|A_i|} $. Logo

$$\displaystyle \sum_{h\geq k}\sum_{h\geq k}\mathbb{P}\left(Y_i=h,\sum_{j=0}^{h}\right)\mathbb{P}\left(1\!\!1_{\{U_j^{i}\in A \in A_i\}}=k\right)$$

$$\displaystyle \sum_{h\geq k}\frac{e^{-\lambda|A_i|}(\lambda|A_i|)^h}{h!}\left(\begin{array}{c} h \\ k \end{array}\right)\left(\frac{|A\cap A_i|}{|A_i|}\right)^k\left(1-\frac{|A\cap A_i|}{|A_i|}\right)^{h-k}$$

$$\displaystyle \frac{\exp{\{-\lambda |A\cap A_i|\}(\lambda|A\cap A_i|)^k}}{k!}$$

 

Por fim, basta notar que $ N(A)=\displaystyle \sum_i N(A\cap A_i) $ é uma soma de variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson de médias $ \lambda |A\cap A_i| $, como os $ A_i $ são disjuntos temos que $ \displaystyle \sum_i |A\cap A_i|=|A| $. Assim, $ N(A)~\sim ~Poisson(|A|) $.

Para mais detalhes sobre esse tipo de construção o leitor pode estar consultando o livro de Ferrari e Galves.

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