8.1 - Construção do Movimento Browniano: Probabilidade Produto.

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Nesta seção, vamos mostrar a existência de um espaço de probabilidade $ (\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ tal que as projeções coordenadas são o movimento browniano. Para isto, vamos utilizar as técnicas de espaço produto discutidas no modulo processo estocasticoConsidere[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}\} $ o conjunto de todas as funções a valores nos reais positivos com imagem nos reais. Definimos o cilindro n-dimensional em $ \mathbb{R}^{[0,\infty)} $ por

$$C=\{\omega \in \mathbb{R}^{[0,\infty)}|(\omega(t_1),\cdots,\omega(t_n))\in A\},$$

no qual $ t_i\in[0,\infty), i=1,\cdots,n $ e $ A $ pertence aos borelianos de $ \mathbb{R}^n $. Denotamos por $ \mathcal{C} $ a classe de todos os cilindros. E por fim definimos $ \mathfrak{B}(\mathbb{R}^{[0,\infty)}) $ a menor $ \sigma $-álgebra que contém $ \mathcal{C} $.  Para maiores detalhes sobre a classe dos cilindros e da $ \sigma $-algebra gerada pelos cilindros, ver seção produto de espaços mensuráveis

Definição 8.1.1:

Seja $ D $ o conjunto de todas as sequências finitas $ t=(t_1,\cdots,t_n) $ de números não negativos. Suponha que para cada $ t\in D $ temos uma probabilidade $ Q_t $ em $ (R^n,\mathfrak{B}(\mathbb{R}^n)) $. A coleção $ \{Q_t\}_{\{t\in D\}} $ é denominada familia de distribuições finito dimensionais.

Definição 8.1.2:

A família $ \{Q_t\}_{t\in D} $ é consistente se esta satifaz as condições de compatibilidade de Kolmogorov:

(a)Se $ s=(t_{i_1},\cdots, t_{i_n}) $ é uma permutação de $ t=(t_1,\cdots,t_n) $, então para qualquer $ A_i\in \mathfrak{B}(\mathbb{R}) $, temos que:

$$Q_t(A_1\times \cdots \times A_n)=Q_s(A_{i_1}\times \cdots \times A_{i_n}),$$

(b)Se $ t=(t_1,\cdots,t_n) $ com $ n\geq 1 $, $ s=(t_1,\cdots, t_{n-1}) $, e $ A\in \mathfrak{B}(\mathbb{R}^{n-1}) $, então

$$Q_t(A\times \mathbb{R})=Q_s(A).$$

 

Observação:

Se temos uma probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre $ (\mathbb{R}^{[0,\infty)},\mathfrak{B}(\mathbb{R}^{[0,\infty)})) $, podemos definir a família de distribuições finito dimensionais, na forma

$$Q_t(A)=\mathbb{P}[\omega \in \mathbb{R}^{[0,\infty)}|(\omega(t_1),\cdots,\omega(t_n))\in A],$$

 com $ A\in \mathfrak{B}(\mathbb{R}^{n}) $.

A seguir, temos por interesse construir uma probabilidade sobre $ \mathfrak{B}(\mathbb{R}^{[0,\infty)}) $ a partir de uma família de distribuições finito dimensionais. Para isto, enunciamos o seguinte teorema.

Teorema 8.1.1:

Seja $ \{Q_t\} $ uma família de distribuições finito dimensionais satisfazendo as condições de compatibilidade de Kolmogorov. Então existe uma única probabilidade $ \mathbb{P} $ definida sobre $ (\mathbb{R}^{[0,\infty)},\mathfrak{B}(\mathbb{R}^{[0,\infty)})) $ tal que $ \mathbb{P}(C)=Q_t(A) $, para todo cilindro (\omega(t_1), \cdots , \omega(t_n))\in A\} $$ (t_1, \cdots , t_n)\in D $ e $ A \in \mathfrak{B}(\mathbb{R}^n) $.

Demonstração: Desde que toda probabilidade definida sobre $ (\mathbb{R}, \mathfrak{B}(\mathbb{R})) $ é compacta, basta aplicarmos os resultados da seção probailidade sobre o espaço produto.

Assim para construirmos uma probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre $ (\mathbb{R}^{[0,\infty)},\mathfrak{B}(\mathbb{R}^{[0,\infty)})) $ tal que o movimento browniano corresponda às projeções coordenadas, precisamos construir uma família de distribuições finito dimensionais satisfazendo as condições de compatibilidade de Kolmogorov. Por definição, a função de distribuição acumulada de $ (B_{s_1},\cdots, B_{s_n}) $, com $ 0=s_0\textless s_1\textless \cdots \textless s_n $ é dada por:

$$F_{s_1,\cdots , s_n}(x_1,\cdots, x_n)=\displaystyle \int_{-\infty}^{x_1}\int_{-\infty}^{x_2}\cdots\int_{-\infty}^{x_n}f(s_1,0,y_1)f(s_2-s_1,y_1,y_2) \cdots f(s_n-s_{n-1},y_{n-1},y_{n})dy_n \cdots dy_1,$$

no qual $ f(t,x,y) $ é definido como sendo

$$f(t,x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-(x-y)^2/2t}, t\textgreater 0, x,y\in \mathbb{R}.$$

A partir da função de distribuição acumula  $ F_{s_1,\cdots , s_n} $ obtemos uma distribuição de probabilidade $ Q_s $ sobre $ (\mathbb{R}^n , \mathfrak{B}(\mathbb{R}^n)) $ no qual $ s=(s_1, \cdots , s_n) \in D $. Por construção, a família  s \in D\} $ satisfaz as condições de compatibilidade de Kolmogorov e, com isso, obtemos o seguinte corolário.

Corolário 8.1.1:

Existe uma única probabilidade $ \mathbb{P} $ em $ (\mathbb{R}^{[0,\infty)},\mathfrak{B}(\mathbb{R}^{[0,\infty)})) $, sobre a qual o processo projeção coordenada 

$$W_t(\omega)=\omega(t),\omega\in\mathbb{R}^{[0,\infty)}, t\textgreater 0 $$

tem incrementos independentes e estacionários. Por construção, qualquer incremento $ W_t - W_s $ no qual $ 0 \leq s \leq t $, tem distribuição normal com média zero e variância $ t-s $.

Note que nossa construção já estaria completa se não fosse pelo fato de que construímos um processo sobre $ \mathbb{R}^{[0,\infty)} $. Porém, gostaríamos que nosso espaço amostral fosse apenas as funções contínuas, o qual é denotado por $ C[0,\infty) $, com

$$C[0,\infty)=\{f\in \mathbb{R}^{[0,\infty)}| f\quad \text{contínua}\}.$$

Talvez o leitor pense que esse problema seja fácil de se tratar, bastaria mostrar que a probabilidade $ \mathbb{P} $ do corolário anterior é uma probabilidade em $ C[0,\infty) $. Para isto, teríamos apenas que restringir $ \mathbb{P} $ sobre $ C[0,\infty)} $. Porém, o problema é que o conjunto $ C[0,\infty)\notin \mathfrak{B}(\mathbb{R}^{[0,\infty)}) $, ou seja, $ \mathbb{P}(C[0,\infty))  $ não está bem definido e portanto não podemos fazer isso. Note que isso ocorre pis $ \mathfrak{B}(\mathbb{R}^{[0,\infty)}) $ é uma $ \sigma $-álgebra pequena demais, contendo apenas funções que podem ser escritas com no máximo um número enumerável de coordenadas. Obviamente que não podemos descrever uma função continua com um número enumerável de coordenadas. Assim, vamos construir uma modificação do movimento browniano para que este tenha trajetórias contínuas quase certamente.  Dados dois processos estocásticos $ X $ e $ Y $ definidos no mesmo espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ dizemos que $ Y $ é uma modificação de $ X $ se $ \mathbb{P} [ X_t = Y_t ]=1 $ para todo $ t \in [0, \infty) $. Entretanto, antes de falarmos dessas modificações daremos uma breve introdução sobre espaços de Hölder e algumas de suas propriedades.

Espaço de Hölder

Seja $ \Omega $ um aberto de $ \mathbb{R}^d $, denotamos $ BC(\Omega) $  e $ BC(\overline{\Omega}) $ o conjunto das funções contínuas e limitadas em $ \Omega $ e $ \overline{\Omega} $ respectivamente, com $ \overline{\Omega} $ sendo o fecho de $ \Omega $. Identificaremos $ f\in BC(\overline{\Omega}) $ com $ f|_{\Omega}\in BC(\Omega) $, para $ u\in BC(\Omega) $ e $ 0\textless \beta \leq 1 $ seja

=\sup_{x\in \Omega}|u(x)|$$

 

e

=\displaystyle \sup_{{x,y\in \Omega~~x\neq y}}\left\{\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\beta}\right\}$$

 

se $ [u]_{\beta}\textless \infty $ então u é dita Hölder-contínua com expoente de Hölder $ \beta $. A coleção de todas as funções contínuas $ \beta $-Hölder em $ \Omega $ é denotada por

 [u]_{\beta}\textless \infty \}$$

 

para $ u\in C^{0,\beta}(\Omega) $ seja

=||u||_u+[u]_{\beta}$$

 

Definição 8.1.3:

O espaço de Hölder $ C^{k,\beta}(\overline{\Omega}) $ consiste  de todas as funções $ u\in C^k(\Omega) $ para os quais a norma

=\displaystyle \sum_{|\alpha|\geq k}\|D^{\alpha}u\|_{C(\overline{\Omega})}+\sum_{|\alpha|=k}[u]_{C^{0,\beta}(\overline{\Omega})}\textless \infty$$

 

O espaço $ C^{k,\beta}(\overline{\Omega}) $ consiste das funções  u, as quais tem a k-ésima derivada contínua, limitadas e com expoente de Hölder $ \beta $

Teorema 8.1.2:

O espaço $ C^{k,\beta}(\overline{\Omega}) $ é Banach

Demonstração:

Basta mostrarmos a completude do espaço, assim seja $ u_n\in C^{k,\beta}(\overline{\Omega}) $ uma sequência de Cauchy. Note que como o domínio é compacto e ainda $ u_n $ é limita e contínua. Então existe uma subsequência $ u_{n_k} $ a qual converge uniformemente para u, com u uma função limita de contínua em $ \overline{\Omega} $, pois limite uniforme de funções contínuas é contínua(lembre-se que se o limite não for uniforme isso não necessariamente é contínua). Assim utilizando o mesmo argumentos para as derivadas $ D^k u_n $ o resultado segue.

Lema 8.1.2:

Seja $ u\in C^k(B_r) $, $ |\alpha|=k $. Então existe $ y\in B_r $, tal que

$$|D^{\alpha}u(y)|\leq \displaystyle \frac{(2k)^k}{r^k }\|u\|_{u}$$

Para obtermos uma versão do movimento browniano com trajetórias contínuas utilizaremos o teorema de Kolmogorov-Centsov, que nos fornece uma condição para que um processo estocástico tenha uma extensão contínua a partir de intervalos diádicos. Com esse teorema em mãos basta mostrarmos que o movimento Browniano satisfaça a condição imposta pelo teorema para obtermos a modificação contínua.

Teorema 8.1.3: (Kolmogorov-Centsov (1956))

Suponha que o processo $ X=\{X_t; 0\leq t \leq T\} $ definido no espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ satisfaça a seguinte condição 

$$E[|X_t-X_s|^\alpha]\leq C |t-s|^{1+\beta},~~ 0 \leq s,t\leq T,$$

para constantes positivas $ \alpha, \beta $ e $ C $. Então existe uma modificação com trajetórias contínuas, denotada por  $ Y=\{Y_t;~0 \leq s,t\leq T \} $ de X, o qual é localmente Hölder contínua com expoente $ \gamma $, para todo $ \gamma \in (0,\beta/\alpha) $, isto é

$$\displaystyle \mathbb{P}\left[\omega| \sup_{{0\textless t-s \textless h(\omega)~~ s,t \in [0,T]}}\frac{|Y_t(\omega)-Y_s(\omega)|}{|t- s|^{\gamma}}\leq \delta \right]=1$$

no qual $ h(\omega) $ é uma variável aleatória positiva e $ \delta \textgreater 0  $ é uma constante apropriada.

Demonstração: Sem perda de generalidade vamos tomar $ T=1 $, apenas para facilitar os primeiros cálculos. Como consequência da desigualdade de Chebysev, temos que para qualquer $ \epsilon \textgreater 0 $, temos que:

$$\displaystyle P[|X_t-X_s|\geq \epsilon]\leq \frac{E[|X_t-X_s|^\alpha]}{\epsilon^{\alpha}}\leq \frac{C |t-s|^{1+\beta}}{\epsilon^{\alpha}}.$$

Como consequência, temos que $ X_s\rightarrow X_t $ em probabilidade quando $ s\rightarrow t $. Ao tomarmos $ t=k/2^n $, $ s=(k-1)/2^n $, e $ \epsilon = 2^{-\gamma n} $, no qual $ \gamma \in (0, \beta/\alpha) $, obtemos que

$$\displaystyle \mathbb{P}[|X_{k/2^n}-X_{(k-1)/2^n}|\geq 2^{-\gamma n}]\leq C2^{-n(1+\beta -\alpha\gamma)}.$$

Consequentemente temos que:

$$\displaystyle \mathbb{P}\left[\max_{1\leq k\leq 2^n}|X_{k/2^n}-X_{(k-1)/2^n}|\geq 2^{-\gamma n}\right]=\displaystyle \mathbb{P}\left[\bigcup_{k=1}^{2^n}|X_{k/2^n}-X_{(k-1)/2^n}|\geq 2^{-\gamma n}\right] \leq C2^{-n(1+\beta -\alpha\gamma)}.$$

Com isso, obtemos que

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left[\max_{1\leq k\leq 2^n}|X_{k/2^n}-X_{(k-1)/2^n}|\geq 2^{-\gamma n}\right]\leq \sum_{n=1}^{\infty}C2^{-n(1+\beta -\alpha\gamma)}\textless \infty.$$

Logo, pelo lema de Borel-Cantelli, existe um conjunto $ \Omega^{\star}\in \mathcal{F} $ com $ \mathbb{P}(\Omega^{\star})=1 $, tal que para cada $ \omega\in \Omega^{\star} $,

$$\displaystyle \max_{1\leq k\leq 2^n}|X_{k/2^n}(\omega)-X_{(k-1)/2^n}(\omega)|\textless 2^{-\gamma n},~~ n\geq n^{\star}(\omega), \quad (\star)$$

no qual $ n^{\star}(\omega) $ é uma variável aleatória assumindo valores inteiros positivos.

Agora, para cada $ n\geq 1 $, considere a partição $ D_n=\{(k/2^n)\}| k\in\mathbb{N}\cup \{0\}\} $ formada pelos diádicos do intervalo $ [0,1] $. Seja $ D=\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n $, o conjunto de todos os diádicos em $ [0,1] $. Ao fixarmos $ \omega \in \Omega^{\star}, ~n\geq n^{\star}(\omega) $, mostremos que para todo $ m\textgreater n $ temos que

$$|X_t(\omega)-X_s(\omega)|\leq 2 \displaystyle \sum_{j=n+1}^{m}2^{-\gamma j},~~\forall t,s \in D_m, 0 \textless t-s \textless 2^{-n} \quad (\star \star).$$

Para $ m=n+1 $, temos como única possibilidade que $ t=(k/2^m) $$ s=((k-1)/2^m) $ e, assim, a desigualdade é consequência da equação $ (\star) $. Vamos mostrar que a desigualdade $ (\star \star) $ é válida através do princípio de indução.

Suponha que a equação $ (\star \star) $ seja válida para to $ n=n+1, \cdots , M-1 $. Tomamos $ s \textless t $ e $ s,t \in D_M $. Considere os número  t \leq t\} $ e  u \textgreater s\} $.  Assim, obtemos as seguintes relações $ s \leq s^1 \leq t^1 \leq t $$ s^1 - s \leq 2^{-M} $ e $ t-t^1 \leq 2^{-M} $. A partir da equação $ (\star) $, obemos que 

$$\mid X_{s^1}(\omega) - X_s(\omega) \mid \leq 2^{-\gamma M} \quad \text{e} \quad \mid X_{t}(\omega) - X_{t^1}(\omega) \mid \leq 2^{-\gamma M}.$$

A partir da equação $ (\star \star) $ com $ m=M-1 $, concluímos que

$$ \mid X_t (\omega) - X_s (\omega) \mid \leq 2 ~\sum_{j=n+1}^{M-1} 2^{- \gamma j}.$$

Como consequência, obtemos $ (\star \star) $ é válido.

Mostremos agora que $ X=\{X_t; t\in D\} $ é uniformemente contínua em t para $ \omega \in \Omega^{\star} $. Para cada numero $ s,t\in D $ com $ 0\textless t-s \textless h(\omega)=2^{-n^{\star}(\omega)} $, selecionamos $ n\geq n^{\star}(\omega) $, tal que $ 2^{-(n+1)}\leq t-s \textless 2^{-n} $. Assim da desigualdade $ \star \star) $ temos que

$$|X_t(\omega)-X_s(\omega)|\leq 2 \displaystyle \sum_{j=n+1}^{\infty}2^{\gamma j}\leq \delta|t-s|^{\gamma}, ~~ 0 \textless t-s \textless h(\omega)$$

no qual $ \delta=2/(1-2^{-\gamma}) $. Assim, temos que o processo é uniformemente contínuo em $ t \in D $ para $ \omega\in \Omega^{\star} $.

Desta forma, definimos o processo Y tal que para todo $ \omega \notin \Omega^{\star} $ tomamos $ Y_t(\omega)=0, ~~ 0\leq t\leq 1 $, e para $ t\in D $ e $ \omega \in \Omega^{\star} $ tomamos $ Y_t(\omega)=X_t(\omega) $. Agora para $ \omega\in \Omega^{\star} $ e $ t\in [0,1]\cap D^c $, escolhemos uma sequência $ \{s_n\}_{n=1}^{\infty}\subset D  $, com $ s_n\rightarrow t  $ uniformemente. O critério de Cauchy implica que sequência $ \{X_{s_n}(\omega)\}_{n=1}^{\infty} $ tem limite depende de t mas não depende da sequência $ \{s_n\} $. Desta forma, definimos

$$Y_t(\omega)=\lim_{s_n\rightarrow t}X_{s_n}.$$

Para finalizar, vamos mostrar que $ Y $ é uma modificação de $ X $. Sabemos que $ \mathbb{P}[X_t = Y_t]=1 $ para todo $ t \in D $. Seja $ t \in [0,1] \cap D^c $ e $ \{s_n\} \subset D $ tal que $ s_n \rightarrow t $, então, temos que $ X_{s_n} \rightarrow X_t $ em probabilidade e, por definição, temos que $ X_{s_n} \rightarrow Y_t $ quase certamente. Como o limite é única, concluímos que $ \mathbb{P}[X_t = Y_t] $ para todo $ t \in [0,1] $. Portanto, obtemos o resultado.

Proposição 8.1.1:
Se  \ 0 \ \leq s \ \leq t  $ é normalmente distribuída com média zero e variância $ t - s  $ então para cada $ n  $ existe uma constante $ C_n  $ tal que

\[ \mathbb{E} |B_t - B_s |^{2n} = C_n |t - s |^{n} \]

Demonstração:
vamos tomar n = 1. Como o valor esperado de $ B_t - B_s  $ é zero, a variância é igual ao segundo momento, assim,

$$\mathbb{E} |B_t -B_s |^2 = |t - s|.$$

A extensão para $ n \textgreater 1 $ é consequência de propriedades da distrbuição normal. Segue a proposição.

Como a Proposição 8.1.1 é válida, o teorema de Kolmogorov-Centsov nos garante que  existe uma modificação do movimento browniano que é Hölder contínua. Então, existe uma modificação $ B^T $ de $ W $ tal que $ B^T $ tem trajetórias contínuas em $ [0,T] $. Tomamos

 W_t(\omega) = B_t^T(\omega), ~ ~ \text{para todo número racional} ~ t \in [0,T] \}$$

tal que $ \mathbb{P}(\Omega_T)=1 $. Denotamos por

$$\tilde{\Omega} = \bigcap_{T=1}^\infty \Omega_T.$$

Para dois inteiros positivos $ T_1 $ e $ T_2 $, temos que 

$$B^{T_1}_t (\omega) = B^{T_2}_t (\omega) , \quad \text{para todo número racional} ~ t \in [0, \min{T_1,T_2} ].$$

Desde que ambos processo são contínuos em $ [0, \min{T_1,T_2} ] $, concluímos que $ B^{T_1}_t (\omega) = B^{T_2}_t (\omega) $ para todo $ t \in [0, \min{T_1,T_2} ] $ e $ \omega \in \tilde{\Omega} $.  Definimos $ B_t (\omega)=B^{T_1}_t (\omega) = B^{T_2}_t (\omega) $ para todo $ t \in [0, \min{T_1,T_2} ] $ e $ \omega \in \tilde{\Omega} $ e $ $B_t (\omega)=0 $ para todo $ t \in [0, \min{T_1,T_2} ] $ e $ \omega \notin \tilde{\Omega} $. Com isso, obtemos o seguite resultado.

Teorema 8.1.4: Existe uma probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre o espaço produto $ (\mathbb{R}^{[0,\infty)} , \beta (\mathbb{R}^{[0,\infty)}) $ e um processo estocástico  t \geq 0\} $ definido no mesmo espaço tal que sob $ \mathbb{P} $, o processo $ B $ corresponde ao movimento browniano. 

A seguir, apresentamos algumas propriedades do Movimento Browniano como a não diferenciabilidade em probabilidade.

Teorema 8.1.5:
Com probabilidade 1, as trajetórias do Movimento Browniano não são diferenciáveis.
Demonstração: Vamos considerar, o caso unidimensional e, sem perda de generalidade no intervalo $ [0, 1) $. Suponha que $ (B_t )_{t \in [0, 1) } $ seja diferenciável em algum ponto $ t_0  $ no intervalo contendo $ [0, 1) $. Então em algum intervalo contendo $ t_0  $, devemos ter

\[ |B_t - B_{t_0 }| \leq K |t - t_0 | \]

para alguma constante k. Logo para pontos $ t_1  $ e $ t_2  $ suficiente próximos de $ t_0 $, temos pela desigualdade triangular, que 

\[ | B_{t_1} - B_{t_2 } | \leq |B_{t_2 } - B_{t_0 }| + |B_{t_0 } - B_{t_1 }| \leq \]

\[ K(|t_2 - t_0 | + |t_0 - t_1 | ) ~~~( \star )\]

Para $ i = 0, 1 e 2  $ e $ n \in \aleph $, definamos

\[t_2 (n, i) = \frac{\lfloor nt_0 \rfloor + i + 1}{n} ~~e~~ t_1 (n, i) = \frac{\lfloor nt_0 \rfloor + i }{n}\]

    
Assim, para i = 0, 1 e 2, temos que 

\[\lim_{n \to \infty} t_2 (n, i) = \lim_{n \to \infty} t_1 (n, i) = t_0 \]

Portanto para n suficientemente grande, de acordo com $ \star $, temos que para i = 0, 1 e 2

\[\left |B_{\frac{\lfloor nt_0 \rfloor + i + 1}{n}} - B_{\frac{\lfloor nt_0 \rfloor + i}{n}} \right | \leq K \left ( \left |\frac{\lfloor nt_0 \rfloor + i + 1}{n} - t_0 \right | + \left | \frac{\lfloor nt_0 \rfloor + i}{n} - t_0 \right |\right ) \]

\[ \leq K \left ( \frac{i+1}{n} + \frac{i}{n} \right ) \leq \frac{5K}{n} \]

 
Portanto o evento $ (B_t )_{t\in [0,1)} $ é diferenciável em algum ponto $ t_0 \in [0,1) $ está contido no evento 

\[A \equiv \bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} \bigcup_{j=0}^{n-1} \bigcap_{i=0}^{2} \left ( \left | B_{\frac{j+i+1}{n} } - B_{\frac{j+1}{n}} \right | \textless \frac{5K}{n} \right ) \]

 
Mostraremos que A é união enumerável de eventos de probabilidade zero, de modo que concluímos que $ \mathbb{P}(A) = 0 $.
Para cada K seja

\[A_n^K \equiv \bigcup_{j=0}^{n-1} \bigcap_{i=0}^{2} \left ( \left | B_{\frac{j+i+1}{n} } - B_{\frac{j+1}{n}} \right | \textless \frac{5K}{n} \right ) \]

 
Então, A pode ser expresso como $ A = \bigcup_{k=1}^{\infty} (\liminf A_n^K ) $. Portanto basta mostrar que para cada K, $ \mathbb{P} (\liminf A_n^k ) = 0 $

\[\mathbb{P} [\liminf A_n^k] \leq \liminf \mathbb{P} [\bigcup_{j=0}^{n-1} \bigcap_{i=0}^{2} \left (\left | B_{\frac{j+i+1}{n} } - B_{\frac{j+1}{n}} \right | \textless \frac{5K}{n} \right ) ] \leq \]

\[ \leq \liminf \sum_{j=0}^{n-1} \mathbb{P} [\bigcap_{i=0}^{2} \left ( \left | B_{\frac{j+i+1}{n} } - B_{\frac{j+1}{n}} \right | \textless \frac{5K}{n} \right ) ] \]

Teorema 8.1.6:
Seja $ \pi_n  $ uma sequência de partições de $ [a, a+t] $. Suponha que $ \pi_m \subset \pi_n  $ para $ m \textless n $. Suponha também que o limite das partições vá para zero. Seja $ \pi_n B = \sum_{t_i \in \pi_n} (B_t_{i+1} - B_t_i )^2  $ então $ \lim_{n \to \infty} \pi_n B = t  $ em probabilidade.
Demonstração:

\[\pi_n B - t = \sum_{t_i \in \pi_n } [(B_t_{i+1} - B_t_i )^2 - (t_{i+1} - t_i )] = \sum_ i Y_i \]

Onde $ Y_i  $ são variáveis aleatórias independentes com média zero. Portanto 

\[ \mathbb{E} [(\pi_n B - t)^2 ] = \mathbb{E} [(\sum_i Y_i )^2 ] = \sum_i \mathbb{E} (Y_i )^2 \]

Como $ (B_t_{i+1} - B_t_i ) $ tem distribuição normal com média zero e variância $ t_{i+1} - t_i $, temos que

\[\frac{(B_t_{i+1} - B_t_i )^2 }{(t_{i+1} - t_i)} = Z^2 \]

tem distribuição qui-quadrado.
 

\[\mathbb{E} [(\pi_n B - t)^2]=\mathbb{E} [\sum (t_{i+1} - t_i )^2 (Z^2 -1)^2 ] = \]

\[ = \sum (t_{i+1} - t_i )^2 \mathbb{E}[(Z^2 - 1)^2 ] \leq \mathbb{E}[(Z^2 - 1)^2 ] \hbox{mesh} (\pi_n )t \to 0 \]

Corolário 8.1.2:
O movimento browniano é um martingale

\[ \mathbb{E} [B_t | \mathcal{F}_s ] = \mathbb{E} [B_t - B_s + B_s | \mathcal{F}_s ] = \mathbb{E} [B_t - B_s ] + B_s = B_s \]

o resultado acima segue da mensurabilidade de $ B_s $ em relação a $ \mathcal{F}_s  $ e da independência de $ (B_t - B_s )  $ de $ \mathcal{F}_s $.

Corolário 8.1.3:
O valor esperado $ \mathbb{E} [B_t B_s ] $ é igual ao $ \min \{t, s \} $

 

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