8.2 - Propriedades do Espaço $C[0,\infty)$

Você está aqui

Construímos o movimento Browniano sobre o espaço $ \mathbb{R}^{[0,\infty)} $. O espaço canônico do movimento Browniano é o $ C[0,\infty) $ e devido as suas propriedades será mais conveniente utilizarmos esse espaço amostral. Além disso podemos introduzir a seguinte métrica no espaço $ C[0,\infty) $
 
$$\rho(\omega_1,\omega_2)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_2(t)|\wedge 1)$$
 

Proposição 8.2.1:

$ \rho $ é uma métrica sobre $ C[0,\infty) $ e ainda temos que $ C[0,\infty) $ um espaço métrico separável e completo.

Demonstração:

i) $ \rho(\omega_1,\omega_2)\geq 0 $.
De fato, basta notar que é definido como soma de números positivos.
 
ii) $ \rho(\omega_1,\omega_2)= 0 \Leftrightarrow \omega_1=\omega_2 $.
De fato, note que:
$$\rho(\omega_1,\omega_2)= 0 \Leftrightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_2(t)|\wedge 1)=0$$
$$\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_2(t)|\wedge 1)=0, ~\forall n\in\mathbb{N}$$
$$\Leftrightarrow \displaystyle (|\omega_1(t)-\omega_2(t)|\wedge 1)=0, ~\forall t\in[0,\infty)$$
$$\Leftrightarrow \omega_1=\omega_2$$
 
iii) $ \rho(\omega_1,\omega_2)=\rho(\omega_2,\omega_1) $
Basta notar que $ |\omega_1(t)-\omega_2(t)|=|\omega_2(t)-\omega_1(t)| $, o que implica no resultado
 
iv) $ \rho(\omega_1,\omega_3)\leq \rho(\omega_1,\omega_2)+\rho(\omega_2,\omega_1) $.
De fato, observe que
$$\rho(\omega_1,\omega_3)= \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_3(t)|\wedge 1)$$
$$ =\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_2(t)+\omega_2(t)-\omega_3(t)|\wedge 1)$$
$$ \leq \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_2(t)|\wedge 1)+\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_2(t)-\omega_3(t)|\wedge 1)$$
$$=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_2(t)|\wedge 1)+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_2(t)-\omega_3(t)|\wedge 1)$$
$$=\rho(\omega_1,\omega_2)+\rho(\omega_2,\omega_1)$$
 
Portanto o resultado segue.
 

Teorema 8.2.1:

Seja $ \mathfrak{C} $ a coleção de todos os cilindros finito dimensional definido como
$$C=\{\omega\in C[0,\infty)|(\omega(t_1),\cdots, \omega(t_n))\in A\},~~n\geq 1, A\in \mathfrak{B}(\mathbb{R}^n)$$
 
com $ t_i\in[0,\infty), ~~\forall i=1,\cdots n  $. E denotamos por $ \mathfrak{G} $ a menor $ \sigma $-álgebra que contém $ \mathfrak{C} $ e ainda é a menor $ \sigma $-álgebra que contém todos os abertos de $ C[0,\infty) $

Demonstração: 

Primeiramente é importante definirmos os abertos de $ C[0,\infty) $, claro que como temos a nossa métrica, para definirmos os abertos basta definirmos as bolas. Assim dizemos que a bola de centro x e raio r é definida da seguinte forma
$$B(x,r)={y\in C[0,\infty)|p(x,y)\textless r}$$
 
Definimos um conjunto aberto da seguinte forma, dizemos que $ A\subset C[0,\infty) $ é um conjunto aberto se para todo $ \omega \in A $ existe um r tal que a bola $ B(\omega,r)\subset A $. Agora mostremos que $ \mathfrak{G}=\mathfrak{B}{(\mathbb{R}^n)} $, para isso temos que mostrar que $ \mathfrak{G}\subset\mathfrak{B}{(\mathbb{R}^n)} $ e que $ \mathfrak{G}\supset\mathfrak{B}{(\mathbb{R}^n)} $.
 
i) Mostremos primeiramente que qualquer $ \forall \omega_0\in C[0,\infty)\Rightarrow \omega_0\in C $, para algum $ C\in\mathfrak{C} $. De fato, basta escolhermos $ A\subset Im(\omega) $, com $ A\in\mathfrak{B}(\mathbb{R}) $ e escolhermos $ t=(t_1,\cdots,t_n) $, tal que $ t_i\in \omega_0^{-1}(A) $. Note que podemos fazer isso pois $ \omega_0 $ é contínua. E por fim tomamos
$$C=\{\omega\in C[0,\infty)|(\omega(t_1),\cdots, \omega(t_n))\in A^n\},~~n\geq 1,~~ A^n=(A\times\cdots\times A)\in \mathfrak{B}(\mathbb{R}^n)$$
 
então $ \omega_0 \in C $.
 
ii) Mostremos agora que $ \forall \omega \in C[0,\infty) $ e $ r\in \mathbb{R} $ temos que $ B(\omega,r)\in \mathfrak{G} $
 

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO