8.2 - Propriedades do Espaço $C[0,\infty)$

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Construímos o movimento Browniano sobre o espaço $\mathbb{R}^{[0,\infty)}$. O espaço canônico do movimento Browniano é o $C[0,\infty)$ e devido as suas propriedades será mais conveniente utilizarmos esse espaço amostral. Além disso podemos introduzir a seguinte métrica no espaço $C[0,\infty)$
 
$$\rho(\omega_1,\omega_2)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_2(t)|\wedge 1)$$
 

Proposição 8.2.1:

$\rho$ é uma métrica sobre $C[0,\infty)$ e ainda temos que $C[0,\infty)$ um espaço métrico separável e completo.

Demonstração:

i) $\rho(\omega_1,\omega_2)\geq 0$.
De fato, basta notar que é definido como soma de números positivos.
 
ii) $\rho(\omega_1,\omega_2)= 0 \Leftrightarrow \omega_1=\omega_2$.
De fato, note que:
$$\rho(\omega_1,\omega_2)= 0 \Leftrightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_2(t)|\wedge 1)=0$$
$$\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_2(t)|\wedge 1)=0, ~\forall n\in\mathbb{N}$$
$$\Leftrightarrow \displaystyle (|\omega_1(t)-\omega_2(t)|\wedge 1)=0, ~\forall t\in[0,\infty)$$
$$\Leftrightarrow \omega_1=\omega_2$$
 
iii) $\rho(\omega_1,\omega_2)=\rho(\omega_2,\omega_1)$
Basta notar que $|\omega_1(t)-\omega_2(t)|=|\omega_2(t)-\omega_1(t)|$, o que implica no resultado
 
iv) $\rho(\omega_1,\omega_3)\leq \rho(\omega_1,\omega_2)+\rho(\omega_2,\omega_1)$.
De fato, observe que
$$\rho(\omega_1,\omega_3)= \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_3(t)|\wedge 1)$$
$$ =\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_2(t)+\omega_2(t)-\omega_3(t)|\wedge 1)$$
$$ \leq \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_2(t)|\wedge 1)+\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_2(t)-\omega_3(t)|\wedge 1)$$
$$=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_1(t)-\omega_2(t)|\wedge 1)+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\max_{0\leq t\leq n}(|\omega_2(t)-\omega_3(t)|\wedge 1)$$
$$=\rho(\omega_1,\omega_2)+\rho(\omega_2,\omega_1)$$
 
Portanto o resultado segue.
 

Teorema 8.2.1:

Seja $\mathfrak{C}$ a coleção de todos os cilindros finito dimensional definido como
$$C=\{\omega\in C[0,\infty)|(\omega(t_1),\cdots, \omega(t_n))\in A\},~~n\geq 1, A\in \mathfrak{B}(\mathbb{R}^n)$$
 
com $t_i\in[0,\infty), ~~\forall i=1,\cdots n $. E denotamos por $\mathfrak{G}$ a menor $\sigma$-álgebra que contém $\mathfrak{C}$ e ainda é a menor $\sigma$-álgebra que contém todos os abertos de $C[0,\infty)$

Demonstração: 

Primeiramente é importante definirmos os abertos de $C[0,\infty)$, claro que como temos a nossa métrica, para definirmos os abertos basta definirmos as bolas. Assim dizemos que a bola de centro x e raio r é definida da seguinte forma
$$B(x,r)={y\in C[0,\infty)|p(x,y)\textless r}$$
 
Definimos um conjunto aberto da seguinte forma, dizemos que $A\subset C[0,\infty)$ é um conjunto aberto se para todo $\omega \in A$ existe um r tal que a bola $B(\omega,r)\subset A$. Agora mostremos que $\mathfrak{G}=\mathfrak{B}{(\mathbb{R}^n)}$, para isso temos que mostrar que $\mathfrak{G}\subset\mathfrak{B}{(\mathbb{R}^n)}$ e que $\mathfrak{G}\supset\mathfrak{B}{(\mathbb{R}^n)}$.
 
i) Mostremos primeiramente que qualquer $\forall \omega_0\in C[0,\infty)\Rightarrow \omega_0\in C$, para algum $C\in\mathfrak{C}$. De fato, basta escolhermos $A\subset Im(\omega)$, com $A\in\mathfrak{B}(\mathbb{R})$ e escolhermos $t=(t_1,\cdots,t_n)$, tal que $t_i\in \omega_0^{-1}(A)$. Note que podemos fazer isso pois $\omega_0$ é contínua. E por fim tomamos
$$C=\{\omega\in C[0,\infty)|(\omega(t_1),\cdots, \omega(t_n))\in A^n\},~~n\geq 1,~~ A^n=(A\times\cdots\times A)\in \mathfrak{B}(\mathbb{R}^n)$$
 
então $\omega_0 \in C$.
 
ii) Mostremos agora que $\forall \omega \in C[0,\infty)$ e $r\in \mathbb{R}$ temos que $B(\omega,r)\in \mathfrak{G}$
 

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