9.1 - Processo de Lévy.

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Nesta seção, vamos apresentar as propriedades básicas dos processos de Lévy (incrementos independentes e contínuo em probabilidade). Inicialmente, mostraremos que todo processo de Lévy tem uma modificação com trajetórias contínuas à direta e com limite à esquerda (cadlag).  Como consequência, sempre que nos referirmos a um processo de Lévy assumiremos que estamos lidando com a modificação de trajetórias cadlag. Na sequência, vamos estudar a filtragem relacionada com o processo de Lévy. Neste módulo, mostraremos que a filtragem interna do processo de Lévy, devidamente completada, é contínua à direita .  

Para qualquer processo de Lévy $ X $ denotamos por $ \varphi_{s,t} $ a função característica do incremento $ X(t)-X(s) $ com $ s\leq t $:

$$\varphi_{s,t}(u)=E[\exp\{iu(X(t)-X(s))\}],\quad u \in \mathbb{R}.$$

Como os incrementos são independentes temos que

$$\varphi_{r,s}(u)\varphi_{s,t}(u)=\varphi_{r,t}(u),~~r\leq s\leq t.$$

Além disso, como o processo $ X $ é estocasticamente contínuo (ou seja contínuo em probabilidade) temos que $ \varphi_{s,t}(u) $ é uma função contínua em $ s,t $ e u.

Lema 9.1.1:

Seja $ X $ um processo de Lévy. Então para todo $ u\in\mathbb{R} $, $ s,t\in [0,T] $ e $ s\textless t $ temos que

$$\varphi_{s,t}(u)\neq 0.$$

Demonstração:

Seja \varphi_{s,t}(u)=0\} $. Desde $ \varphi_{s,s}=1 $, logo $ t_0\textgreater s $. Assim, é suficiente mostrarmos que $ t_0=\infty $. Suponha que $ t_0\textless \infty $, então

$$\varphi_{s,t}\varphi_{t,t_0}=0~~s\textless t\textless t_0.$$

Como $ \varphi_{s,t}(u)\neq 0 $, temos que $ \varphi_{t,t_0}=0 $. Da propriedade de continuidade temos que $ \varphi_{t_0,t_0}=0 $, o que contradiz o fato de que $ \varphi_{t_0,t_0}=1 $, logo o resultado segue.

Teorema 9.1.1:

Seja $ X $ um processo de Levy. Definimos

$$Z_{s,t}(u)=[\varphi_{s,t}(u)]^{-1}\exp\{iu (X(t)-X(s))\},~~s\leq t.$$

Então  t\geq s\} $ é um t\geq s\} $-martingale.

Demonstração:

Seja $ s\leq t_0\textless t $. Então

$$E[Z_{s,t}(u)|\mathcal{F}_{t_0}]=[\varphi_{s,t}(u)]^{-1}\exp\{iu (X(t_0)-X(s))\}E[\exp\{iu (X(t)-X(t_0)})\}|\mathcal{F}_{t_0}]$$

$$=\exp\{iu (X(t_0)-X(s))\displaystyle \frac{\varphi_{t_0,t}(u)}{\varphi_{s,t}(u)}=Z_{s,t_0}(u).$$

Portanto o resultado segue.

A propriedade de martingale de $ Z_{s,t}(u) $ é fundamental para mostrarmos que todo processo de Lévy $ X $ tem uma modificação com trajetórias contínuas à direita e com limites à esquerda (cadlag). Na sequência, apresentamos um lema técnico.

Lema 9.1.2:(Desigualdade de Ottaviani)

Suponha que $ X_1,\cdots X_n $ satisfaz a seguinte condição:

$$P(|X_k+\cdots+X_n|\geq a)\leq \alpha,~~k=1\cdots n,$$

no quais $ a\textgreater 0  $ e $ \alpha\in(0,1) $ são contantes. Então para qualquer $ b\textgreater 0  $ temos que

$$\displaystyle P\left(\sup_{1\leq k\leq n}|X_1+\cdots+X_k|\geq a+b\right)\leq \frac{1}{1-\alpha}P(|X_1+\cdots+X_n|\geq b)$$

Demonstração:

Tomamos

$$A_k=[|X_1+\cdots+X_k|\geq a+b]$$

$$B_k=[X_k+\cdots+X_n|\geq a],~~ k=1,\cdots n ~~ B_{n+1}=\emptyset$$

$$C=[|X_1+\cdots+X_n|\geq b].$$

Então,

$$\displaystyle \bigcup_{k=1}^{n} A_k\cap B^c_{k+1}\subset C$$

$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}P(A_1^c\cap\cdots\cap A_{k-1}^c A_k\cap B_{k+1}^c)\leq P\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_k\cap B_{k+1}^c\right)\leq P(C).$$

Por outro lado, $ B_{k+1}^c $ é independente de $ (A_1^c\cap\cdots\cap A_{k+1}^c \cap A_k) $. Então

$$P(C)\geq \displaystyle \sum_{k=1}^{n}P(A_1^c\cap\cdots\cap A_{k-1}^c A_k\cap B_{k+1}^c)=\sum_{k=1}^nP(A_1^c\cap\cdots\cap A_{k-1}^c A_k)P(B_{k+1}^c)$$

$$\geq (1-\alpha)\displaystyle \sum_{k=1}^{n}P(A_1^c\cap\cdots\cap A_{k-1}^c A_k)=(1-\alpha)P\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_k\right).$$

E portanto o resultado segue.

A seguir, apresentamos um lema de análise que será utilizado na demonstração do teorema 9.1.2.

Lema 9.1.3:

Seja $ \{x_n\} $ um sequência de números reais tal que $ e^{iux_n} $ converge quando $ n \rightarrow \infty $ para quase todo $ u\in \mathbb{R} $. Então, a sequência $ \{x_n\} $ converge para um limite finito.

Demonstração: 

Vamos utilizar o critério de Cauchy para verificar a convergência da sequência $ \{x_n\} $. Tomamos duas sequências crescentes $ n_k $ e $ \m_k $ tais que $ \lim_k n_k = \lim_k m_k= \infty $. Seja $ U $ uma variável aleatória  com distribuição uniforme no intervalo $ [0,1] $. Para qualquer número real  $ 0 \leq t \leq T $, por hipótese $ e^{itUx_{n_k}} $ e $ e^{itUx_{m_k}} $ convergem para a mesma variável aleatória. Portanto, temos que

$$\lim_k e^{itU(x_{n_k}-x_{m_k})}=1,\quad \mathbb{P}-\text{quase certamente}.$$

Com isso, as funções características convergem,

$$\lim_k \mathbb{E}\left[e^{it(x_{n_k}-x_{m_k})U=1\right],\quad \text{para todo}~ 0\leq t \leq T.$$

Consequentemente, temos que $ (x_{n_k}-x_{m_k})U $ converge para zero em probabilidade. Como consequência, concluímos que $ (x_{n_k}-x_{m_k}) \rightarrow 0 $.

Para simplificar a notação, denotamos $ Z_{0,t}(u) $ e $ \phi_{0,t} $ por $ Z_t(u) $ e $ \varphi_t $.

Teorema 9.1.2:

Seja $ X $ um processo de Lévy definido na base estocástica $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P}) $ satisfazendo as hipóteses usuais. Então, existe um processo de Lévy $ Y $ também definido na base estocástica  $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P}) $ com trajetórias contínuas à direita e com limite à esquerda (cadlag) tal que

$$\mathbb{P}\left[X(t)=Y(t)\right], \quad 0 \leq t \leq T.$$

Demonstração:

Seja  0 \leq t \leq T\} $ um processo de Lévy. Inicialmente, vamos mostrar que,

 t\in [0,T]\cap \mathbb{Q} \mid\}\textless \infty\right]=1,$$

no qual $ \mathbb{Q} $ representa o número racionais. Para cada $ 0\leq t \leq T $, definimos a função

$$g^n(t)= \mathbb{P}\left[ \mid X(T)-X(t)\mid \geq n\right] ~~~\text{com}~ n\geq 1.$$

Por definição temos que $ g^n(t)\downarrow 0, $ quando $ n\rightarrow \infty. $ A seguir, vamos utilizar o teorema de Dini para mostrar que esta convergência é uniforme tem $ t $. Através da continuidade em probabilidade de $ X $, para cada $ n $ e $ t_0\in [0,T] $, temos que

$$\lim_{t\rightarrow t_0} g^n(t)=\lim_{t\rightarrow t_0} \mathbb{P}\left[\mid X(T)-X(t)\mid \geq n\right]\leq \mathbb{P}\left[\mid X(T)-X(t_0)\mid \geq n\right]=g^n(t_0).$$

Com isso, obtemos que a função $ g^n $ é semicontínua inferiormente para todo $ n \geq 1 $. Além disso, temos que $ g^n(t) \geq g^{n+1}(t) $ para todo $ 0 \leq t \leq T $ e $ n \geq 1 $. Então, pelo teorema de Dini, obtemos que

$$\lim_n \sup_{0\leq t \leq T} \mathbb{P} \left[\mid X(T)-X(t)\mid \geq n\right]=\lim_n \sup_{0\leq t \leq T} g^n(t)=0.$$

A partir da convergência uniforme, podemos escolher $ n_1 $ tal que

$$\sup_{0 \leq t \leq T} \mathbb{P}\mid \left[X(T)-X(t)\mid \geq n_1\right]\textless \frac{1}{2}.$$

Ao aplicarmos a desigualdade de Ottaviani com partição $ X(T)=(X(T)-X(t))+X(t) $, obtemos que

$$\mathbb{P}\left[\sup_{t\in [0,T]\cap \mathbb{Q}} \mid X(t) \mid \geq n + n_1\right] \leq 2 \mathbb{P}\left[ \mid X(T) \mid \geq n \right].$$

Com isso, concluímos que

 t\in [0,T]\cap \mathbb{Q} \mid\}\textless \infty\right]=1.$$

Na sequência, vamos aplicar o teorema de regularidade das trajetórias ao martingale t \geq 0\} $. Existe um subconjunto $ \Omega_0 \in \mathcal{F} $ com $ \mathbb{P}(\Omega_0)=1 $ tal que para todo $ \omega \in \Omega_0 $, temos que

(1) $ \sup_{t\in [0,T] \cap \mathbb{Q}} \mid X(T,\omega) \mid \textless \infty $,

(2) Para todo $ u\in \mathbb{Q} $ temos que

$$\lim_{r \in \mathbb{Q}_{+}, r \downarrow t} e^{iuX(r,\omega)}, \quad t\geq 0 \quad \text{e} \quad \lim_{r \in \mathbb{Q}_{+}, r \uparrow t} e^{iuX(r,\omega)}, \quad t\textgreater 0$$

existem e são finitos.

Como consequência de (2) e do lema 9.1.3, concluímos que 

$$\lim_{r \in \mathbb{Q}_{+}, r \downarrow t} X(r,\omega), \quad t\geq 0 \quad \text{e} \quad \lim_{r \in \mathbb{Q}_{+}, r \uparrow t} X(r,\omega), \quad t\textgreater 0$$

também existem e são finitos. Assim, definimos

$$Y(t,\omega)=\begin{array}{cr} \lim_{r \in \mathbb{Q}_{+}, r \downarrow t} X(r,\omega), \quad \omega \in \Omega_0 \\ \\0, \quad \omega \neq \Omega_0\end{array},$$

para todo $ 0 \leq t \leq T $.

Por construção $ Y $ é um processo estocástico com trajetórias contínuas à direita e com limite à esquerda (cadlag). Ao aplicarmos a propriedade de continuidade em probabilidade do processo de Lévy $ X $, obtemos que

$$\mathbb{P} \left[ X(t)=Y(t)\right]=1,\quad \text{para todo} ~ 0 \leq t \leq T.$$

Com isso, concluímos que $ Y $ é uma modificação de $ X $. Desde que a filtragem $ \mathbb{F} $ satisfaz as condições usuais, obtemos que $ Y $ é um processo $ \mathbb{F} $-adaptado. Portanto, $ Y $ também é um processo de Lévy. Assim, concluímos o teorema.

Como todo processo de Lévy admite uma modificação com trajetórias cadlag, vamos considerar somente a classe dos processos de Lévy com trajetórias cadlag. 

Teorema 9.1.3:

Seja 0 \leq t \leq T\} $ um processo com incrementos independentes tal que $ \mathbb{E} \mid X(t) \mid \textless \infty $. Então $ (X(t)-m_t) $ com $ m_t=E[X(t)] $ é um martingale. Além disso, se $ d_t=Var(X(t))\textless \infty $ então, o processo estocástico $ (X(t)-m_t)^2-d_t $ também é um martingale.

Demonstração:

Como $ X $ tem incrementos independentes, obtemos que

$$E[X(t)-X(s)|\mathcal{F}_s]=E[X(t)-X(s)]=m_t-m_s,$$

para todo $ 0 \leq s \textless t \leq T $. Como consequência, concluímos que

$$E[X(t)-m_t|\mathcal{F}_s]=E[X(t)-X(s)+X(s)-m_t|\mathcal{F}_s]=E[X(t)-X(s)|\mathcal{F}_s]+E[X(s)-m_t|\mathcal{F}_s]=X(s)-m_s.$$

Logo, o processo estocástico $ X-m $ é um martingale.

Na sequência, suponha que $ d_t=Var(X(t))\textless \infty $. Sem perda de generalidade podemos admitir que $ m_t=0 $ para todo $ 0\leq t \leq T $. Como o processo $ X $ tem incrementos independentes, obtemos que

$$ \mathbb{E} \left[\mid X(t) - X(s) \mid^2 \mid \mathcal{F}_s \right]=\mathbb{E}\mid X(t) - X(s) \mid^2, ~ ~ \mathbb{P}-q.c.$$

Desde que $ X(s) $ e $ X(t)-X(s) $ são variáveis aleatórias independentes, temos que

$$d_t=Var(X(t))=Var(X(s))+Var(X(t)-X(s))=d_s+\mathbb{E}\mid X(t)-X(s) \mid^2.$$

Por outro lado, como $ X $ é um martingale, pois admitimos que $ m_t=0 $, concluímos que 

$$\mathbb{E}\left[\mid X(t)-X(s)\mid^2 \mid \mathcal{F}_s\right]= \mathbb{E}\left[\mid X(t)\mid^2 \mathcal{F}_s\right]-2X(s)\mathbb{E}\left[ X(t)\mid \mathcal{F}_s\right]+[X(s)]^2=\mathbb{E}\left[\mid X(t)\mid^2 \mid \mathcal{F}_s\right]-[X(s)]^2, ~ \mathbb{P}-q.c.$$

Utilizando as equações acima, concluímos que

$$\mathbb{E}\left[X^2(t)-d_t\right]=X^2(s)-d_s, ~ \mathbb{P}-q.c..$$

Com isso, concluímos o lema.

Considere $ X $ um processo de Lévy com $ \mathbb{E} \mid X(t) \mid \textless \infty $ para todo $ 0\leq t \leq T $. Como consequência do teorema 9.1.3, o processo $ X $ pode ser representado como a soma de uma média, que é determinística, mais um ruído dado por um martingale, tal que 

$$X(t)=X(0)+N(t)+M(t), \quad 0\leq t \leq T,$$

no qual $ N(t)=\mathbb{E}[X(t)-X(0)] $ é uma função contínua e $ M $ é  um martingale. 

Se o processo de Lévy $ X $ é homogêneo, sabemos que a distribuição de probabilidade de $ X(t)-X(s) $ depende somente de $ t-s $. Assim, a função característica $ \varphi_{s,t}(u) $ do incremento $ X(t)-X(s) $ depende somente de $ t-s $:

$$\varphi_{s,t}(u)=\varphi_{t-s}(u),$$

para todo $ 0 \leq s \leq t \leq T $ e $ u \in \mathbb{R} $. Como consequência, temos que $ N(t) = \gamma t $, no qual $ \gamma $ é uma constante. Portanto, o processo de Lévy homogêneo pode ser escrito na forma 

$$X(t)=X(0)+\gamma t + M(t),\quad 0 \leq t \leq T,$$

no qual $ \gamma \in \mathbb{R} $$ M $ é um martingale. Desde que $ \varphi_{s,t}(u)=\varphi_{t-s}(u) $, obtemos que

$$\varphi_{t+s}(u)=\varphi_{t}(u)\varphi_{s}(u),\quad s,t, \in [0,T].$$

Como $ X $ é um processo de Lévy homogêneo, a variável aleatória $ X(t) $ é infinitamente divisível, isto é, 

$$X(t)=X(t/n)+(X(2t/n)-X(t/n))+\cdots + (X(t)-X((n-1}t/n))\quad (1).$$

Para cada $ u \in \mathbb{R} $ e $ 0 \leq t \leq T $, denotamos

$$\Psi_t(u)=-\ln \mathbb{E}e^{iuX(t)}.$$

Como $ X(t) $ pode ser decomposto numa soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (ver, (1)), temos que para quaisquer inteiros $ m $ e $ n $ que

$$m\Psi_1(u)=\Psi_m(u)=n\Psi_{m/n}(u).$$

Então, 

para qualquer racional $ t $, temos que

$$t\Psi_{1}(u)=\Psi_t(u),\quad u \in \mathbb{R}.$$

Se $ t $ é irracional, podemos tomar uma sequência decrescente de racionais n\geq 1\} $ tal que $ t_n \downarrow t $ quando $ n \rightarrow \infty $. Como $ X $ tem trajetórias cadlag, concluímos que $ \exp(-\Psi_t(u)) $ é contínuo à direita (basta aplicar o teorema da convergência limitada) e, então,

$$t\Psi_{1}(u)=\Psi_t(u),\quad u \in \mathbb{R},$$

para todo $ 0 \leq t \leq T $.  Como consequência, temos que

$$\varphi_t(u)=\mathbb{E}e^{iuX(t)}=e^{-t\Psi_1(u)}=\left[e^{-\Psi_1(u)\right]^t=\left[\varphi_1(u)\right]^t, \quad u \in \mathbb{R} ~ \text{e}~ 0 \leq t \leq T.$$

A seguir, vamos estudar proriedades da filtragem interna associada ao processo de Lévy. 

Dado um processo de Lévy $ X $, a filtragem interna do processo estocástico $ X $ é definida por:

s \leq t \}, \quad 0 \leq t \leq T.$$

Denotamos por $ \mathbb{F}^\mathbb{P}(X) $ o $ \mathbb{P} $-completamento da filtragem interna 0\leq t \leq T\}. $ Na sequência, vamos mostrar que a filtragem interna do processo de Lévy $ \mathbb{F}^\mathbb{P}(X) $ é contínua à direita. Porém, antes desse resultado, vamos demonstrar um lema técnico.

Lema 9.1.4 Para qualquer processo estocástico 0 \leq t \leq T\} $ um processo estocástico, a classe

n\geq 1, ~ (u_0,\cdots , u_n)\in \mathbb{R}^n, ~0=t_0\textless t_1\textless \cdots \textless t_n \right\}$$

é total no $ L^2(\mathcal{F}^\mathbb{P}_{T}(X)) $, no qual $ L^2(\mathcal{F}^\mathbb{P}_{T}(X)) $ é o espaço de Hilbert das variáveis aleatórias complexas, quadrado integráveis e $ \mathcal{F}^\mathbb{P}_{T}(X) $-mensuráveis.

Demonstração: Inicialmente, vamos considerar um número finito doe variáveis aleatórias, isto é, assumimos $ X=(X(t_1), \cdots , X(t_n)) $. Neste caso, para qualquer variável aleatória $ Z\in L^2(\mathcal{F}^\mathbb{P}_{T}(X)) $, o teorema da representação de Doob nos garante que existe um função Borel mensurável \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n $ tal que $ Z=f(X(t_1), \cdots , X(t_n))~ \mathbb{P}-q.c. $. Denotamos por $ F_X $ a função de distribuição acumulada de $ X $. Tomamos

$$dG(x_1,\cdots ,x_n)=f(x_1,\cdots ,x_n)dF_X(x_1,\cdots ,x_n).$$

Se $ Z $ é ortogonal a classe $ \mathcal{H} $, então para todo $ (u_1,\cdots ,u_n)\in \mathbb{R}^n $, obtemos que

$$0=\mathbb{E}\left[Z\exp (-i\sum_{j=1}^n u_jX(t_{j})\right]=\int_{\mathbb{R}^n}\exp(-i\sum_{j=1}^n u_jx_j)dG(x_1,\cdots ,x_n).$$

Como consequência da formula inversa da transformada de Fourier (função característica), obtemos que $ dG=0 $. Assim, concluímos que $ Z=0 $. Portanto, temos que $ \mathcal{H} $ é total no $ L^2(\mathcal{F}^\mathbb{P}_{T}(X)) $

Na sequência, vamos tratar o caso geral, no qual 0 \leq t \leq t\} $ é um processo estocástico a tempo contínuo. Tomamos $ Z \in L^2(\mathcal{F}^\mathbb{P}_{T}(X)) $ e $ Z $ ortogonal a classe $ \mathcal{H} $. Para qualquer $ \epsilon \textgreater 0 $, existe um conjunto finito $ \{t_1, \cdots , t_n\} $ e $ Z_{\epsilon}\in L^2(\sigma(X(t_1),\cdots ,X(t_n)) $ tal que

$$\mathbb{E}\mid Z -Z_{\epsilon}\mid^2\textless \epsilon .$$

Através da primiera parte da demonstração, sabemos que $ Z $ é ortognonal a $ Z_{\epsilon} $. Assim, temos que

$$\mathbb{E}Z^2=\mathbb{E}\left[Z\bar{(Z-Z_{\epsilon})}\right]\leq \left\{\mathbb{E}Z^2\mathbb{E}\mid Z-Z_{\epsilon}\mid^2\right\}^{1/2}\leq\{\epsilon \mathbb{E}Z^2\}^2.$$

Desta forma, obtemos que $ \mathbb{E}Z^2\leq \epsilon. $ Como $ \epsilon \textgreater 0 $ é arbitrário, concluímos o lema.

Desde que o processo de Lévy é contínuo em probabilidade, isto é, ele não salta em tempos fixos, obtemos que $ \mathcal{F}_t=\mathcal{F}_{t^-} $ para todo $ 0\textless t \leq T $. Com a convenção de que $ \mathcal{F}_0=\mathcal{F}_{0^-} $, concluímos que $ \mathcal{F}_t=\mathcal{F}_{t^-} $ para todo $ 0 \leq t \leq T $. Na sequência, vamos mostrar que a filtragem é contínua à direita.

Teorema 9.1.4:

Seja $ X $ um processo de Lévy. Então para todo $ 0\leq t \leq T $, obtemos que

$$\mathcal{F}^{\mathbb{P}}_t(X)=\mathcal{F}^{\mathbb{P}}_{t^+}(X)=\mathcal{F}^{\mathbb{P}}_{t^-}(X).$$

Demonstração:  Para todo $ u \in \mathbb{R} $ e $ 0 \leq r \leq s $, temos que

$$M(u,r,s)=\mathbb{E}[e^{iu(X(s)-X(r)}\mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_t]=\varphi_{r\vee t,s \vee t}(u)e^{iu(X(s\wedge t)-X(r\wedge t)}.$$

Na realidade, para $ t \geq r $, temos que

$$M(u,r,s)=\mathbb{E}[e^{iu(X(r)-X(t)}],$$

pois $ X $ tem incrementos independentes. Agora, para $ r \leq t \textless s $, temos que

$$M(u,r,s)=\mathbb{E}[e^{iu(X(s)-X(r)} \mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_t] = \mathbb{E}[e^{iu(X(s)-X(t)} e^{iu(X(t)-X(r)} \mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_t] = \varphi_{t,s}M(u,r,t).$$

Finalmente, para $ t \geq s $, obtemos que

$$M(u,r,s)=\mathbb{E}[e^{iu(X(s)-X(r)} \mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_t] = e^{iu(X(s)-X(r)}.$$

Com isso, obtemos que t \geq 0\} $ é um $ \mathcal{F}^\mathbb{P} $-martingale, cadlag e limitado. Na sequência, tomamos

$$\eta=e^{iu_0X(0)+iu(X(t_1)-X(t_0))+ \cdots + iu_n(X(t_n)-X(t_{n-1}))},$$

para todo $ n \geq 1 $, $ (u_0,\cdots , u_n) \in \mathbb{R}^{n+1} $ e $ 0=t_0 \textless t_1 \textless \cdots \textless t_n $. Com isso, concluímos que

$$Y(t)=\mathbb{E} [ \eta \mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_t] = e^{iu_0 X(0)} M_t(u_1, t_0 , t_1) \cdots M_t(u_n, t_{n-1} , t_n.)$$

 Por construção, sabemos que $ Y $ é um martingale contínuo à direita. Então, temos que

$$\mathbb{E} [ \eta \mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_{t^+}] = Y(t^+) = Y(t) =\mathbb{E} [ \eta \mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_{t}], \quad \mathbb{P}-q.c..$$

Portanto, obtemos que $ \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_{t^+} = \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_{t} $. Segue o teorema. 

Dados $ X $ um processo de Lévy e $ T $ um tempo de parada com respeito a filtragem $ \mathbb{F}^P $, denotamo por $ X^T $ o processo de Lévy parado em $ T $, isto é, o processo $ X^T(s) = X(s \wedge T) $, para todo $ s \geq 0 $

Lema 9.1.5:

Seja $ (X_t) $ um martingale continuo a direita e $ S\leq T $ dois tempos de parada. Então $ X_S $ e $ X_T $ são integráveis  e

$$E[X_T|\mathcal{F_S}]=X_S ~~ q.c$$

 

Omitiremos a demonstração desse lema entretanto ela pode ser encontrada no livro Sheng-wu et. al. teorema 2.58.

Teorema 9.1.4:

Seja $ X $ um processo de Levy homogêneo e $ S $ um tempo de parada finito. Tomamos

$$Y(t)=X(S+t)-X(S),~~ 0\leq t \leq T.$$

Então

(1) $ Y $ é independente de $ \mathcal{F}_S $;

(2) $ Y $ é um processo com incrementos independentes com respeito a filtragem t\geq 0\} $;

(3) $ Y $ tem a mesma distribuição que $ X-X(0) $.

Demonstração:

Desde que $ Z_t $ é um martingale cadlag, para todo tempo de parada S temos pelo lema 9.1.2 que:

$$E[Z_{S+t}|\mathcal{F}_S]=Z_S~~ q.c.$$

 

Então

$$E[e^{X_{S+t}-X_S}|\mathcal{F}_S]=\displaystyle \frac{\varphi_{S+t}(u)}{\varphi_S(u)=\varphi_t(u)}~~q.c$$

 

Então para qualquer $ A\in \mathcal{F}_T $ e n $ A\cap[T\leq n] $\in $ \mathcal{F}_{T\wedge n} $ utilizando a formula acima obtemos que

$$E[1\!\!1_{A\cap[T\leq n]}e^{iuY_t}]=E[1\!\!1_{A\cap[T\leq n]}\varphi_t(u)]=\varphi_t(u)P(A\cap [T\leq n])$$

 

Tomando $ n\rightarrow \infty $ na equação anterior segue que 

$$E[1\!\!1_{A}e^{iuY_t}]=E[1\!\!1_{A}]\varphi_t(u)$$

 

Agora se tomarmos $ A=\Omega $, obtemos que 

$$E[e^{iuY_t}]=\varphi_t(u)$$

 

Substituindo na equação anterior temos que 

$$E[1\!\!1_{A}e^{iuY_t}]=E[1\!\!1_{A}]\varphi_t(u)=E[1\!\!1_{A}]E[e^{iuY_t}]$$

 

O que implica que $ Y_t $ é independente de $ \mathcal{F}_T $. E portanto o resultado segue.

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