9.1 - Processo de Lévy.

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Nesta seção, vamos apresentar as propriedades básicas dos processos de Lévy (incrementos independentes e contínuo em probabilidade). Inicialmente, mostraremos que todo processo de Lévy tem uma modificação com trajetórias contínuas à direta e com limite à esquerda (cadlag).  Como consequência, sempre que nos referirmos a um processo de Lévy assumiremos que estamos lidando com a modificação de trajetórias cadlag. Na sequência, vamos estudar a filtragem relacionada com o processo de Lévy. Neste módulo, mostraremos que a filtragem interna do processo de Lévy, devidamente completada, é contínua à direita .  

Para qualquer processo de Lévy $X$ denotamos por $\varphi_{s,t}$ a função característica do incremento $X(t)-X(s)$ com $s\leq t$: $$\varphi_{s,t}(u)=E[\exp\{iu(X(t)-X(s))\}],\quad u \in \mathbb{R}.$$ Como os incrementos são independentes temos que $$\varphi_{r,s}(u)\varphi_{s,t}(u)=\varphi_{r,t}(u),~~r\leq s\leq t.$$ Além disso, como o processo $X$ é estocasticamente contínuo (ou seja contínuo em probabilidade) temos que $\varphi_{s,t}(u)$ é uma função contínua em $s,t$ e u.

Lema 9.1.1:

Seja $X$ um processo de Lévy. Então para todo $u\in\mathbb{R}$, $s,t\in [0,T]$ e $s\textless t$ temos que $$\varphi_{s,t}(u)\neq 0.$$

Demonstração:

Seja $t_0=\inf\{t\geq s:\varphi_{s,t}(u)=0\}$. Desde $\varphi_{s,s}=1$, logo $t_0\textgreater s$. Assim, é suficiente mostrarmos que $t_0=\infty$. Suponha que $t_0\textless \infty$, então

$$\varphi_{s,t}\varphi_{t,t_0}=0~~s\textless t\textless t_0.$$ Como $\varphi_{s,t}(u)\neq 0$, temos que $\varphi_{t,t_0}=0$. Da propriedade de continuidade temos que $\varphi_{t_0,t_0}=0$, o que contradiz o fato de que $\varphi_{t_0,t_0}=1$, logo o resultado segue.

Teorema 9.1.1:

Seja $X$ um processo de Levy. Definimos $$Z_{s,t}(u)=[\varphi_{s,t}(u)]^{-1}\exp\{iu (X(t)-X(s))\},~~s\leq t.$$ Então $\{Z_{s,t}(u) : t\geq s\}$ é um $\{\mathcal{F}_t:t\geq s\}$-martingale.

Demonstração:

Seja $s\leq t_0\textless t$. Então

$$E[Z_{s,t}(u)|\mathcal{F}_{t_0}]=[\varphi_{s,t}(u)]^{-1}\exp\{iu (X(t_0)-X(s))\}E[\exp\{iu (X(t)-X(t_0)})\}|\mathcal{F}_{t_0}]$$

$$=\exp\{iu (X(t_0)-X(s))\displaystyle \frac{\varphi_{t_0,t}(u)}{\varphi_{s,t}(u)}=Z_{s,t_0}(u).$$ Portanto o resultado segue.

A propriedade de martingale de $Z_{s,t}(u)$ é fundamental para mostrarmos que todo processo de Lévy $X$ tem uma modificação com trajetórias contínuas à direita e com limites à esquerda (cadlag). Na sequência, apresentamos um lema técnico.

Lema 9.1.2:(Desigualdade de Ottaviani)

Suponha que $X_1,\cdots X_n$ satisfaz a seguinte condição:

$$P(|X_k+\cdots+X_n|\geq a)\leq \alpha,~~k=1\cdots n,$$ no quais $a\textgreater 0 $ e $\alpha\in(0,1)$ são contantes. Então para qualquer $b\textgreater 0 $ temos que $$\displaystyle P\left(\sup_{1\leq k\leq n}|X_1+\cdots+X_k|\geq a+b\right)\leq \frac{1}{1-\alpha}P(|X_1+\cdots+X_n|\geq b)$$

Demonstração:

Tomamos

$$A_k=[|X_1+\cdots+X_k|\geq a+b]$$

$$B_k=[X_k+\cdots+X_n|\geq a],~~ k=1,\cdots n ~~ B_{n+1}=\emptyset$$

$$C=[|X_1+\cdots+X_n|\geq b].$$ Então,

$$\displaystyle \bigcup_{k=1}^{n} A_k\cap B^c_{k+1}\subset C$$

$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}P(A_1^c\cap\cdots\cap A_{k-1}^c A_k\cap B_{k+1}^c)\leq P\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_k\cap B_{k+1}^c\right)\leq P(C).$$ Por outro lado, $B_{k+1}^c$ é independente de $(A_1^c\cap\cdots\cap A_{k+1}^c \cap A_k)$. Então

$$P(C)\geq \displaystyle \sum_{k=1}^{n}P(A_1^c\cap\cdots\cap A_{k-1}^c A_k\cap B_{k+1}^c)=\sum_{k=1}^nP(A_1^c\cap\cdots\cap A_{k-1}^c A_k)P(B_{k+1}^c)$$

$$\geq (1-\alpha)\displaystyle \sum_{k=1}^{n}P(A_1^c\cap\cdots\cap A_{k-1}^c A_k)=(1-\alpha)P\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_k\right).$$ E portanto o resultado segue.

A seguir, apresentamos um lema de análise que será utilizado na demonstração do teorema 9.1.2.

Lema 9.1.3:

Seja $\{x_n\}$ um sequência de números reais tal que $e^{iux_n}$ converge quando $n \rightarrow \infty$ para quase todo $u\in \mathbb{R}$. Então, a sequência $\{x_n\}$ converge para um limite finito.

Demonstração: 

Vamos utilizar o critério de Cauchy para verificar a convergência da sequência $\{x_n\}$. Tomamos duas sequências crescentes $n_k$ e $\m_k$ tais que $\lim_k n_k = \lim_k m_k= \infty$. Seja $U$ uma variável aleatória  com distribuição uniforme no intervalo $[0,1]$. Para qualquer número real  $0 \leq t \leq T$, por hipótese $e^{itUx_{n_k}}$ e $e^{itUx_{m_k}}$ convergem para a mesma variável aleatória. Portanto, temos que $$\lim_k e^{itU(x_{n_k}-x_{m_k})}=1,\quad \mathbb{P}-\text{quase certamente}.$$ Com isso, as funções características convergem, $$\lim_k \mathbb{E}\left[e^{it(x_{n_k}-x_{m_k})U=1\right],\quad \text{para todo}~ 0\leq t \leq T.$$ Consequentemente, temos que $(x_{n_k}-x_{m_k})U$ converge para zero em probabilidade. Como consequência, concluímos que $(x_{n_k}-x_{m_k}) \rightarrow 0$.

Para simplificar a notação, denotamos $Z_{0,t}(u)$ e $\phi_{0,t}$ por $Z_t(u)$ e $\varphi_t$.

Teorema 9.1.2:

Seja $X$ um processo de Lévy definido na base estocástica $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P})$ satisfazendo as hipóteses usuais. Então, existe um processo de Lévy $Y$ também definido na base estocástica  $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P})$ com trajetórias contínuas à direita e com limite à esquerda (cadlag) tal que $$\mathbb{P}\left[X(t)=Y(t)\right], \quad 0 \leq t \leq T.$$

Demonstração:

Seja $X=\{X(t): 0 \leq t \leq T\}$ um processo de Lévy. Inicialmente, vamos mostrar que, $$\mathbb{P}\left[\sup\{\mid X(t) \mid: t\in [0,T]\cap \mathbb{Q} \mid\}\textless \infty\right]=1,$$ no qual $\mathbb{Q}$ representa o número racionais. Para cada $0\leq t \leq T$, definimos a função $$g^n(t)= \mathbb{P}\left[ \mid X(T)-X(t)\mid \geq n\right] ~~~\text{com}~ n\geq 1.$$ Por definição temos que $g^n(t)\downarrow 0,$ quando $n\rightarrow \infty.$ A seguir, vamos utilizar o teorema de Dini para mostrar que esta convergência é uniforme tem $t$. Através da continuidade em probabilidade de $X$, para cada $n$ e $t_0\in [0,T]$, temos que $$\lim_{t\rightarrow t_0} g^n(t)=\lim_{t\rightarrow t_0} \mathbb{P}\left[\mid X(T)-X(t)\mid \geq n\right]\leq \mathbb{P}\left[\mid X(T)-X(t_0)\mid \geq n\right]=g^n(t_0).$$ Com isso, obtemos que a função $g^n$ é semicontínua inferiormente para todo $n \geq 1$. Além disso, temos que $g^n(t) \geq g^{n+1}(t)$ para todo $0 \leq t \leq T$ e $n \geq 1$. Então, pelo teorema de Dini, obtemos que $$\lim_n \sup_{0\leq t \leq T} \mathbb{P} \left[\mid X(T)-X(t)\mid \geq n\right]=\lim_n \sup_{0\leq t \leq T} g^n(t)=0.$$ A partir da convergência uniforme, podemos escolher $n_1$ tal que $$\sup_{0 \leq t \leq T} \mathbb{P}\mid \left[X(T)-X(t)\mid \geq n_1\right]\textless \frac{1}{2}.$$ Ao aplicarmos a desigualdade de Ottaviani com partição $X(T)=(X(T)-X(t))+X(t)$, obtemos que $$\mathbb{P}\left[\sup_{t\in [0,T]\cap \mathbb{Q}} \mid X(t) \mid \geq n + n_1\right] \leq 2 \mathbb{P}\left[ \mid X(T) \mid \geq n \right].$$ Com isso, concluímos que $$\mathbb{P}\left[\sup\{\mid X(t)\mid: t\in [0,T]\cap \mathbb{Q} \mid\}\textless \infty\right]=1.$$

Na sequência, vamos aplicar o teorema de regularidade das trajetórias ao martingale $\{Z_t(u):t \geq 0\}$. Existe um subconjunto $\Omega_0 \in \mathcal{F}$ com $\mathbb{P}(\Omega_0)=1$ tal que para todo $\omega \in \Omega_0$, temos que

(1) $\sup_{t\in [0,T] \cap \mathbb{Q}} \mid X(T,\omega) \mid \textless \infty$,

(2) Para todo $u\in \mathbb{Q}$ temos que $$\lim_{r \in \mathbb{Q}_{+}, r \downarrow t} e^{iuX(r,\omega)}, \quad t\geq 0 \quad \text{e} \quad \lim_{r \in \mathbb{Q}_{+}, r \uparrow t} e^{iuX(r,\omega)}, \quad t\textgreater 0$$ existem e são finitos.

Como consequência de (2) e do lema 9.1.3, concluímos que 

$$\lim_{r \in \mathbb{Q}_{+}, r \downarrow t} X(r,\omega), \quad t\geq 0 \quad \text{e} \quad \lim_{r \in \mathbb{Q}_{+}, r \uparrow t} X(r,\omega), \quad t\textgreater 0$$ também existem e são finitos. Assim, definimos $$Y(t,\omega)=\begin{array}{cr} \lim_{r \in \mathbb{Q}_{+}, r \downarrow t} X(r,\omega), \quad \omega \in \Omega_0 \\ \\0, \quad \omega \neq \Omega_0\end{array},$$ para todo $0 \leq t \leq T$.

Por construção $Y$ é um processo estocástico com trajetórias contínuas à direita e com limite à esquerda (cadlag). Ao aplicarmos a propriedade de continuidade em probabilidade do processo de Lévy $X$, obtemos que $$\mathbb{P} \left[ X(t)=Y(t)\right]=1,\quad \text{para todo} ~ 0 \leq t \leq T.$$ Com isso, concluímos que $Y$ é uma modificação de $X$. Desde que a filtragem $\mathbb{F}$ satisfaz as condições usuais, obtemos que $Y$ é um processo $\mathbb{F}$-adaptado. Portanto, $Y$ também é um processo de Lévy. Assim, concluímos o teorema.

Como todo processo de Lévy admite uma modificação com trajetórias cadlag, vamos considerar somente a classe dos processos de Lévy com trajetórias cadlag. 

Teorema 9.1.3:

Seja $X=\{X(t):0 \leq t \leq T\}$ um processo com incrementos independentes tal que $\mathbb{E} \mid X(t) \mid \textless \infty$. Então $(X(t)-m_t)$ com $m_t=E[X(t)]$ é um martingale. Além disso, se $d_t=Var(X(t))\textless \infty$ então, o processo estocástico $(X(t)-m_t)^2-d_t$ também é um martingale.

Demonstração:

Como $X$ tem incrementos independentes, obtemos que $$E[X(t)-X(s)|\mathcal{F}_s]=E[X(t)-X(s)]=m_t-m_s,$$ para todo $0 \leq s \textless t \leq T$. Como consequência, concluímos que $$E[X(t)-m_t|\mathcal{F}_s]=E[X(t)-X(s)+X(s)-m_t|\mathcal{F}_s]=E[X(t)-X(s)|\mathcal{F}_s]+E[X(s)-m_t|\mathcal{F}_s]=X(s)-m_s.$$ Logo, o processo estocástico $X-m$ é um martingale.

Na sequência, suponha que $d_t=Var(X(t))\textless \infty$. Sem perda de generalidade podemos admitir que $m_t=0$ para todo $0\leq t \leq T$. Como o processo $X$ tem incrementos independentes, obtemos que $$ \mathbb{E} \left[\mid X(t) - X(s) \mid^2 \mid \mathcal{F}_s \right]=\mathbb{E}\mid X(t) - X(s) \mid^2, ~ ~ \mathbb{P}-q.c.$$ Desde que $X(s)$ e $X(t)-X(s)$ são variáveis aleatórias independentes, temos que $$d_t=Var(X(t))=Var(X(s))+Var(X(t)-X(s))=d_s+\mathbb{E}\mid X(t)-X(s) \mid^2.$$ Por outro lado, como $X$ é um martingale, pois admitimos que $m_t=0$, concluímos que $$\mathbb{E}\left[\mid X(t)-X(s)\mid^2 \mid \mathcal{F}_s\right]= \mathbb{E}\left[\mid X(t)\mid^2 \mathcal{F}_s\right]-2X(s)\mathbb{E}\left[ X(t)\mid \mathcal{F}_s\right]+[X(s)]^2=\mathbb{E}\left[\mid X(t)\mid^2 \mid \mathcal{F}_s\right]-[X(s)]^2, ~ \mathbb{P}-q.c.$$

Utilizando as equações acima, concluímos que $$\mathbb{E}\left[X^2(t)-d_t\right]=X^2(s)-d_s, ~ \mathbb{P}-q.c..$$ Com isso, concluímos o lema.

Considere $X$ um processo de Lévy com $\mathbb{E} \mid X(t) \mid \textless \infty$ para todo $0\leq t \leq T$. Como consequência do teorema 9.1.3, o processo $X$ pode ser representado como a soma de uma média, que é determinística, mais um ruído dado por um martingale, tal que $$X(t)=X(0)+N(t)+M(t), \quad 0\leq t \leq T,$$ no qual $N(t)=\mathbb{E}[X(t)-X(0)]$ é uma função contínua e $M$ é  um martingale. 

Se o processo de Lévy $X$ é homogêneo, sabemos que a distribuição de probabilidade de $X(t)-X(s)$ depende somente de $t-s$. Assim, a função característica $\varphi_{s,t}(u)$ do incremento $X(t)-X(s)$ depende somente de $t-s$: $$\varphi_{s,t}(u)=\varphi_{t-s}(u),$$ para todo $0 \leq s \leq t \leq T$ e $u \in \mathbb{R}$. Como consequência, temos que $N(t) = \gamma t$, no qual $\gamma$ é uma constante. Portanto, o processo de Lévy homogêneo pode ser escrito na forma $$X(t)=X(0)+\gamma t + M(t),\quad 0 \leq t \leq T,$$ no qual $\gamma \in \mathbb{R}$ e $M$ é um martingale. Desde que $\varphi_{s,t}(u)=\varphi_{t-s}(u)$, obtemos que $$\varphi_{t+s}(u)=\varphi_{t}(u)\varphi_{s}(u),\quad s,t, \in [0,T].$$ Como $X$ é um processo de Lévy homogêneo, a variável aleatória $X(t)$ é infinitamente divisível, isto é, $$X(t)=X(t/n)+(X(2t/n)-X(t/n))+\cdots + (X(t)-X((n-1}t/n))\quad (1).$$ Para cada $u \in \mathbb{R}$ e $0 \leq t \leq T$, denotamos $$\Psi_t(u)=-\ln \mathbb{E}e^{iuX(t)}.$$ Como $X(t)$ pode ser decomposto numa soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (ver, (1)), temos que para quaisquer inteiros $m$ e $n$ que $$m\Psi_1(u)=\Psi_m(u)=n\Psi_{m/n}(u).$$ Então, para qualquer racional $t$, temos que $$t\Psi_{1}(u)=\Psi_t(u),\quad u \in \mathbb{R}.$$ Se $t$ é irracional, podemos tomar uma sequência decrescente de racionais $\{t_n:n\geq 1\}$ tal que $t_n \downarrow t$ quando $n \rightarrow \infty$. Como $X$ tem trajetórias cadlag, concluímos que $\exp(-\Psi_t(u))$ é contínuo à direita (basta aplicar o teorema da convergência limitada) e, então, $$t\Psi_{1}(u)=\Psi_t(u),\quad u \in \mathbb{R},$$ para todo $0 \leq t \leq T$.  Como consequência, temos que $$\varphi_t(u)=\mathbb{E}e^{iuX(t)}=e^{-t\Psi_1(u)}=\left[e^{-\Psi_1(u)\right]^t=\left[\varphi_1(u)\right]^t, \quad u \in \mathbb{R} ~ \text{e}~ 0 \leq t \leq T.$$ A seguir, vamos estudar proriedades da filtragem interna associada ao processo de Lévy. 

Dado um processo de Lévy $X$, a filtragem interna do processo estocástico $X$ é definida por: $$\mathbb{F}^o_t(X)=\sigma\{X(s):s \leq t \}, \quad 0 \leq t \leq T.$$ Denotamos por $\mathbb{F}^\mathbb{P}(X)$ o $\mathbb{P}$-completamento da filtragem interna $\{\mathcal{F}^o_t(X):0\leq t \leq T\}.$ Na sequência, vamos mostrar que a filtragem interna do processo de Lévy $\mathbb{F}^\mathbb{P}(X)$ é contínua à direita. Porém, antes desse resultado, vamos demonstrar um lema técnico.

Lema 9.1.4 Para qualquer processo estocástico $X=\{X(t):0 \leq t \leq T\}$ um processo estocástico, a classe $$\mathcal{H}=\left\{ \exp\left[i\left(u_0X(t_0)+\sum_{i=1}^nu_i(X(t_i)-X(t_{i-1})\right)\right]:n\geq 1, ~ (u_0,\cdots , u_n)\in \mathbb{R}^n, ~0=t_0\textless t_1\textless \cdots \textless t_n \right\}$$ é total no $L^2(\mathcal{F}^\mathbb{P}_{T}(X))$, no qual $L^2(\mathcal{F}^\mathbb{P}_{T}(X))$ é o espaço de Hilbert das variáveis aleatórias complexas, quadrado integráveis e $\mathcal{F}^\mathbb{P}_{T}(X)$-mensuráveis.

Demonstração: Inicialmente, vamos considerar um número finito doe variáveis aleatórias, isto é, assumimos $X=(X(t_1), \cdots , X(t_n))$. Neste caso, para qualquer variável aleatória $Z\in L^2(\mathcal{F}^\mathbb{P}_{T}(X))$, o teorema da representação de Doob nos garante que existe um função Borel mensurável $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ tal que $Z=f(X(t_1), \cdots , X(t_n))~ \mathbb{P}-q.c.$. Denotamos por $F_X$ a função de distribuição acumulada de $X$. Tomamos $$dG(x_1,\cdots ,x_n)=f(x_1,\cdots ,x_n)dF_X(x_1,\cdots ,x_n).$$ Se $Z$ é ortogonal a classe $\mathcal{H}$, então para todo $(u_1,\cdots ,u_n)\in \mathbb{R}^n$, obtemos que $$0=\mathbb{E}\left[Z\exp (-i\sum_{j=1}^n u_jX(t_{j})\right]=\int_{\mathbb{R}^n}\exp(-i\sum_{j=1}^n u_jx_j)dG(x_1,\cdots ,x_n).$$ Como consequência da formula inversa da transformada de Fourier (função característica), obtemos que $dG=0$. Assim, concluímos que $Z=0$. Portanto, temos que $\mathcal{H}$ é total no $L^2(\mathcal{F}^\mathbb{P}_{T}(X))$. 

Na sequência, vamos tratar o caso geral, no qual $X=\{X(t):0 \leq t \leq t\}$ é um processo estocástico a tempo contínuo. Tomamos $Z \in L^2(\mathcal{F}^\mathbb{P}_{T}(X))$ e $Z$ ortogonal a classe $\mathcal{H}$. Para qualquer $\epsilon \textgreater 0$, existe um conjunto finito $\{t_1, \cdots , t_n\}$ e $Z_{\epsilon}\in L^2(\sigma(X(t_1),\cdots ,X(t_n))$ tal que $$\mathbb{E}\mid Z -Z_{\epsilon}\mid^2\textless \epsilon .$$ Através da primiera parte da demonstração, sabemos que $Z$ é ortognonal a $Z_{\epsilon}$. Assim, temos que $$\mathbb{E}Z^2=\mathbb{E}\left[Z\bar{(Z-Z_{\epsilon})}\right]\leq \left\{\mathbb{E}Z^2\mathbb{E}\mid Z-Z_{\epsilon}\mid^2\right\}^{1/2}\leq\{\epsilon \mathbb{E}Z^2\}^2.$$ Desta forma, obtemos que $\mathbb{E}Z^2\leq \epsilon.$ Como $\epsilon \textgreater 0$ é arbitrário, concluímos o lema.

Desde que o processo de Lévy é contínuo em probabilidade, isto é, ele não salta em tempos fixos, obtemos que $\mathcal{F}_t=\mathcal{F}_{t^-}$ para todo $0\textless t \leq T$. Com a convenção de que $\mathcal{F}_0=\mathcal{F}_{0^-}$, concluímos que $\mathcal{F}_t=\mathcal{F}_{t^-}$ para todo $0 \leq t \leq T$. Na sequência, vamos mostrar que a filtragem é contínua à direita.

Teorema 9.1.4:

Seja $X$ um processo de Lévy. Então para todo $0\leq t \leq T$, obtemos que $$\mathcal{F}^{\mathbb{P}}_t(X)=\mathcal{F}^{\mathbb{P}}_{t^+}(X)=\mathcal{F}^{\mathbb{P}}_{t^-}(X).$$

Demonstração:  Para todo $u \in \mathbb{R}$ e $0 \leq r \leq s$, temos que $$M(u,r,s)=\mathbb{E}[e^{iu(X(s)-X(r)}\mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_t]=\varphi_{r\vee t,s \vee t}(u)e^{iu(X(s\wedge t)-X(r\wedge t)}.$$ Na realidade, para $t \geq r$, temos que $$M(u,r,s)=\mathbb{E}[e^{iu(X(r)-X(t)}],$$ pois $X$ tem incrementos independentes. Agora, para $r \leq t \textless s$, temos que $$M(u,r,s)=\mathbb{E}[e^{iu(X(s)-X(r)} \mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_t] = \mathbb{E}[e^{iu(X(s)-X(t)} e^{iu(X(t)-X(r)} \mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_t] = \varphi_{t,s}M(u,r,t).$$ Finalmente, para $t \geq s$, obtemos que $$M(u,r,s)=\mathbb{E}[e^{iu(X(s)-X(r)} \mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_t] = e^{iu(X(s)-X(r)}.$$

Com isso, obtemos que $\{M_t(u,r,s):t \geq 0\}$ é um $\mathcal{F}^\mathbb{P}$-martingale, cadlag e limitado. Na sequência, tomamos $$\eta=e^{iu_0X(0)+iu(X(t_1)-X(t_0))+ \cdots + iu_n(X(t_n)-X(t_{n-1}))},$$ para todo $n \geq 1$, $(u_0,\cdots , u_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ e $0=t_0 \textless t_1 \textless \cdots \textless t_n$. Com isso, concluímos que $$Y(t)=\mathbb{E} [ \eta \mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_t] = e^{iu_0 X(0)} M_t(u_1, t_0 , t_1) \cdots M_t(u_n, t_{n-1} , t_n.)$$  Por construção, sabemos que $Y$ é um martingale contínuo à direita. Então, temos que $$\mathbb{E} [ \eta \mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_{t^+}] = Y(t^+) = Y(t) =\mathbb{E} [ \eta \mid \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_{t}], \quad \mathbb{P}-q.c..$$ Portanto, obtemos que $\mathcal{F}^{\mathbb{P}}_{t^+} = \mathcal{F}^{\mathbb{P}}_{t}$. Segue o teorema. 

Dados $X$ um processo de Lévy e $T$ um tempo de parada com respeito a filtragem $\mathbb{F}^P$, denotamo por $X^T$ o processo de Lévy parado em $T$, isto é, o processo $X^T(s) = X(s \wedge T)$, para todo $s \geq 0$. 

Lema 9.1.5:

Seja $(X_t)$ um martingale continuo a direita e $S\leq T$ dois tempos de parada. Então $X_S$ e $X_T$ são integráveis  e

$$E[X_T|\mathcal{F_S}]=X_S ~~ q.c$$

 

Omitiremos a demonstração desse lema entretanto ela pode ser encontrada no livro Sheng-wu et. al. teorema 2.58.

Teorema 9.1.4:

Seja $X$ um processo de Levy homogêneo e $S$ um tempo de parada finito. Tomamos $$Y(t)=X(S+t)-X(S),~~ 0\leq t \leq T.$$ Então

(1) $Y$ é independente de $\mathcal{F}_S$;

(2) $Y$ é um processo com incrementos independentes com respeito a filtragem $\{\mathcal{F}_{S+t}:t\geq 0\}$;

(3) $Y$ tem a mesma distribuição que $X-X(0)$.

Demonstração:

Desde que $Z_t$ é um martingale cadlag, para todo tempo de parada S temos pelo lema 9.1.2 que:

$$E[Z_{S+t}|\mathcal{F}_S]=Z_S~~ q.c.$$

 

Então

$$E[e^{X_{S+t}-X_S}|\mathcal{F}_S]=\displaystyle \frac{\varphi_{S+t}(u)}{\varphi_S(u)=\varphi_t(u)}~~q.c$$

 

Então para qualquer $A\in \mathcal{F}_T$ e n $A\cap[T\leq n]$\in $\mathcal{F}_{T\wedge n}$ utilizando a formula acima obtemos que

$$E[1\!\!1_{A\cap[T\leq n]}e^{iuY_t}]=E[1\!\!1_{A\cap[T\leq n]}\varphi_t(u)]=\varphi_t(u)P(A\cap [T\leq n])$$

 

Tomando $n\rightarrow \infty$ na equação anterior segue que 

$$E[1\!\!1_{A}e^{iuY_t}]=E[1\!\!1_{A}]\varphi_t(u)$$

 

Agora se tomarmos $A=\Omega$, obtemos que 

$$E[e^{iuY_t}]=\varphi_t(u)$$

 

Substituindo na equação anterior temos que 

$$E[1\!\!1_{A}e^{iuY_t}]=E[1\!\!1_{A}]\varphi_t(u)=E[1\!\!1_{A}]E[e^{iuY_t}]$$

 

O que implica que $Y_t$ é independente de $\mathcal{F}_T$. E portanto o resultado segue.

Processo Estocástico

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